Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. О собственных функциях дифференциальных операторов 22.
1. Схема одного метода исследования собственных функций дифференциальных операторов на примере периодический краевой задачи 22.
2. Основная априорная оценка 28.
3. Априорные оценки нелокального характера 32.
4. Теорема о представлении собственных функций и априорные оценки локального характера 38.
5. Оценки собственных функций с учетом граничных условий 45.
6. Доказательства следствий из априорных оценок собственных функций 49.
ГЛАВА 2. Распределение спектра и выбор базиса в "пачках" собственных подпространств 54.
1. О свойствах одной квадратичной формы 54.
2. Операторные неравенства и распределение спектра.. 59.
3. О выборе базиса в "пачках" собственных подпространств. Следствия 67.
Глава 3. О свойствах резольвенты оператора Штурма - Лиувилля 78.
1. О свойствах одного усреднения 78.
2. Определение классов потенциалов 82.
3. Операторы Штурма - Лиувилля, заданные локально, и их свойства 83.
4. Свойства резольвенты оператора Штурма - Лиувилля 91.
5. Следствия основной теоремы
Дополнение 111
Литература 118!
- Схема одного метода исследования собственных функций дифференциальных операторов на примере периодический краевой задачи
- Теорема о представлении собственных функций и априорные оценки локального характера
- О выборе базиса в "пачках" собственных подпространств. Следствия
- Операторы Штурма - Лиувилля, заданные локально, и их свойства
Введение к работе
Исследование многих задач математической физики и квантовой механики связано с разложениями в ряды по собственным функциям (с.ф.) дифференциальных операторов. При этом важное значение имеют оценки с.ф. и их производных в равномерной метрике. Такие априорные (без учета граничных условий) оценки получены для с.ф. оператора Штурма - Лиувилля в работах профессора В.А.Ильина и его школы: И.Йо, Н.Лажетича, И.С.Ломова, В.В.Тихомирова и др., а для дифференциальных операторов высокого порядка при определенных предположениях относительно расположения их спектра на комплексной плоскости оценки с.ф. локального характера даны в работах В.А.Ильина, А.М.Минкина.
Одной из основных задач спектральной теории самосопряженных дифференциальных операторов является исследование распределения на числовой оси их собственных значений. В связи с различными методами суммирования спектральных разложений весьма важно с одной стороны - изучить многомерные дифференциальные операторы, для которых можно точно определить распределение точек спектра на интервалах числовой оси, с другой стороны - принципиальным является выявление базиса простой структуры в подпространствах, порожденных с.ф., которые соответствуют собственным значениям, принадлежащим этим интервалам.
В последние годы активно исследуются свойства резольвент син гулярных эллиптических операторов в весовых пространствах L (й) , !J-(-oo. оо) . Традиционной моделью при этом слу- жит оператор Штурма - Лиувилля, особое внимание уделялось вопросу о разделимости этого оператора. Основные достижения в этой области принадлежат Х.Эверитту и М.Гирцу, К.Х.Бойматову, М.Отелбаеву. Данная тематика для случая весовых пространств L , . (3) ,
1 4 p < oo , рФоі разработана недостаточно полно: достигнутый уровень общности результатов уступает известному в случае р-3, . В настоящей диссертации изучаются свойства с.ф. дифференциальных операторов, устанавливается взаимосвязь между распределением собственных значений дифференциальных операторов и некоторыми свойствами их собственных функций, исследуются свойства резольвенты оператора Штурма - Лиувилля в весовых пространствах и
В 1979 г. в работе [і] впервые получены априорные равномерные оценки с.ф. самосопряженного оператора Штурма - Лиувилля. С.ф. этого оператора затем исследовались в работах [2] , [з] ; окончательные в определенном смысле результаты получены в работе [4] . С.ф. дифференциального оператора высокого порядка подробно изучались в работах [5] , [б] , [7] . В этой литературе не исследовались равномерные оценки с.ф. в случаях, когда в дифференциальном уравнении высокого порядка для с.ф. коэффициенты существенно зависят от спектрального параметра, для этих дифференциальных операторов не выделены классы граничных условий, при учете которых для с.ф. и их производных могут быть получены точные по порядку оценки в равномерной метрике во всей области задания с.ф.. Эти и некоторые другие вопросы составляют предмет исследования, проведенного в первой главе диссертации. Основным инструментом исследования является развиваемый здесь прием, основанный на выделении главной (в некотором смысле) части с.ф.. В І.І, который имеет вводный характер, излагается схема применения этой техники на примере одной периодической краевой задачи. Поскольку полученная при этом теорема I *' не х' При ссылке на параграф, теорему, лемму или формулу из диссертации впереди добавляется номер соответствующей главы, а для введения впереди добавляется ноль. Внутри глав нумерация двойная: номер параграфа, номер утверждения. Таким образом, І.І, теорема 0.1 - соответственно параграф I главы I, теорема I из введения. Введение и добавление снабжены сквозной нумерацией. отмечалась в литературе, приведем её формулировку. Пусть / Я 0)1 - с.ф. следующей краевой задачи: «2и- Л (An) г-, (К) г -і л к=о ^"V-o - \і) , *=m*-* у (2)
Под решением задачи (1)-(2) понимается функция Я. () такая, что функции Ц 6) » К.- 0,$Lv\-i являются абсолютно непрерывными и периодическими на промежутке [-4-,4] -и удовлетворяют уравнению (I) почти всюду на отрезке l~4-, 11
Теорема I. Пусть выполнены условия: Q () , /< - О, и- - комплекснозначные функции, причем: Г L1(-i,l)) если /с= 0,Лп-3
Тогда существует абсолютная постоянная такая, что для любого решения задачи (I) -(2) при ^ Є G~±- LX : ІЛІ ^ 1 J выполняются неравенства:
1№! ^П&<->1, ,44)'Є-'ЛИ-3 ^ при этом для суммируемой на [г 1,1] функции () под $ - нормой понимается следующая норма (см. I_46J ): ІМІЛС-іі) =Z lCsl (« где I Cj \ s-_QO - коэффициенты Фурье функции f(-) по триго- нометрической системе функций. Оценки производных с.ф. у.1 '(-) , =<2и-2 ; = Лп-1 краевой задачи (1)-(2) здесь не дока- зываются для простоты изложения.
В последующих параграфах первой главы в качестве модели для анализа отмеченных выше вопросов рассматривается уравнение: (-if fa (* + <1(хА)&М=^(х), хй(а,6), и>4 при предположениях: , комплекснозначный потенциал Q(',a) удовлетворяет условию: где постоянная ^(0-і}^±) зависит только от промежутка Са±} &4.1 , (0-,Ь) - конечный или бесконечный интервал. Под решением (с.ф.) уравнения (б) понимается функция )
В 1.2 - 1.3 доказывается
Теорема 2. Пусть в уравнении (б) потенциал Q,C*, j\) удовлет воряет условию (7) при М < 1- /Чп . Тогда для любого промежутка /Ді,$і] С (d, &) существует постоянная ^ (CL±i ві) , за- висящая только от промежутка [O-i, @>±1 , такая, что при любом J\GGr± выполняется неравенство: причем порядок степени величины /-А/ в неравенствах (8) вообще говоря уменьшить нельзя.
Следствие I. При =0,5и-3 выполняются неравенства: где \а (CL±yo±) - абсолютная постоянная, зависящая только от промежутка (Q.±t &l) С (а, &) , у() - любая положительная в (о.^ в±) функция, имеющая непрерывные производные до порядка &уі включительно и нули в точках (LL , Bi порядка большего, чем <и-і .
Если условие (7) выполняется при [&1, &±] - [-/ ] , & - Q. < ОО , то в неравенствах (8), (8) можно промежуток заменить на промежуток [л, &1
Следствие 2. Пусть условие (7) выполняется при LQ-L, e>iJ = -Са}&] ,в-а<оо , Л ЄСгЛ - [Л: Re A <~ij. Тогда не существует абсолютной постоянной С* такой, чтобы равномерно относительно -А б"д выполнялось неравенство: I &<>! №.И<С1*'\<..«
Неравенства (8), (ё) являются новыми. Важное достоинство теоремы 2 - отсутствие специальных требований к характеру расположения спектра в комплексной плоскости. В 1.2 новым приемом выводится грубая априорная оценка с.ф. в равномерной метрике, в 1.3 применением метода В.А.Ильина (см. flj ) на основе новой формулы среднего значения завершается доказательство теоремы 2. Следствия I, 2 доказаны в 1.6. Отметим, что следствие 2 имеет принципиальный характер: необходимым условием равномерной ограниченности с.ф. данного дифференциального оператора является полуограниченность реальной части его спектра снизу.
Не изменяя общности, далее считаем: [-І, 4.]^ (а,&) . Введем следующие обозначения:
1 - ) &Д=[Л:Ц|>Й, &-bO,|feAl ">Лъ |ЛЛ|, Г3 >lj
Теорема 3. Пусть в уравнении (6) потенциал 0,(-} J) удовлетворяет условию (7) при и < /[- /цу\ , X&&fl , R. ^ Ro , где Ко - достаточно большое число. Тогда при каждом Ji& &ц для решения ЧуС-) уравнения (6) имеет место представление: УдСх)= гл(х)+ hA(x) , хб[-і,іЗ (К) _ —- где 2. С-) , К- — 0,3.и-4 - периодические абсолютно непрерывные функции, причем выполняются неравенства: | zj '6)1 ^МПШ)!, .*=<** 11 * ^(-1,4) ,I Следствие. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для любого Б'б (О, 1) существует зависящая только от числа <Г постоянная %(&) такая, что выполняются неравенства: Теорема 3 является новой и доказана в 1.4. Неравенства (10) при Uzz О известны (см. б] , Гт] ). При Ц > О неравенства (10) являются новыми. В основе доказательства теоремы 3 лежит новое представление с.ф. */.() в виде суммы решения некоторой вспомогательной граничной задачи и решения одного однородного уравнения, а так же применение теоремы 2. Сопоставление теоремы 2 и следствия теоремы 3 в случае о- CL < оо показывает, что для распространения неравенств (10) на весь промежуток fa, &] необходимо подчинить с.ф. Ях() некоторым граничным условиям. Широкий класс таких условий описывается в теореме 4. Для её формулировки введем следующие обозначения, определения, условия. Рассмотрим уравнение (6) на промежутке-4,4], предполагаем, что условие (7) выполняется при [й,ь] =-1,4J , /* - с-Ф- задачи (б)-оо. где (*) - - II - - некоторые граничные условия, часть которых имеет вид: о Далее требуем, чтобы число линейно независимых условий в равенствах (II) было равно <2, v\- Д . Обозначим: Введём в изучение определитель: ~іи-3 к4*-3 Л#) = K-SJ . . . [«„-.Sn-iJ fr4M . . . (^) ^„^J г /1 Г I*1 Г _11Кі Г q~l 1 -1 1^ Определение I. Краевые условия (з*) назовём краевыми условиями с невырожденным старшим коэффициентом, если они состоят из двух условий любой структуры и условий (II); эта система условий непротиворечива, выполняются оговоренные выше требования относительно условий (II) и при всех достаточно больших значениях параметров системы S отлично от нуля число 5 , определенное равенством: j = l |/»|<Ди-д J = * где A=±l , i=l, 4w-A ,//4 = Z /*c , ЄФО , Є* - noc-тоянные, р=1Р,Рл,-,Ьк-&}. Рассмотрим подсистему Т системы с.ф. /^, ('4l-4 заДачи (6)-(7)-(), соответствующую собственным значениям, которые принадлежат области о"^ , R > Ко , ло - достаточно большое число. Теорема 4. Пусть выполнены сформулированные выше условия. Если (я) - краевые условия с невырожденным старшим коэффициентом, то существует абсолютная постоянная с такая, что при 4/i6) Т- выполняются неравенства: и\ }*Ш*ЧЩ, . « = ^ (К) с [ У"1-1) Неравенства (12) и определение краевых условий с невырожденным старшим коэффициентом являются новыми. В основе доказательства теоремы 4 лежат результаты 1.4. Теорема 4 доказана в 1.5. Заметим, в качестве примера, что в рамках теоремы 4 можно рассмотреть случай периодических краевых условий и случай краевых условий Дирихле: - ІЗ - ..(& % (1С), ч Основная задача, которая решается во второй главе, - доказа тельство некоторого аналога известной теоремы Г.Биркгофа (см.(Д0]) для многомерного случая. Имеется в виду еледущее. Для одномерного дифференциального уравнения с параметром, которое рассматривается в теореме Г.Биркгофа, указывается асимптотика линейно независимой системы решений, которая является базисом для конструирования с.ф. краевых задач. В многомерном случае есть смысл искать такие базисы уже не для уравнений, но для операторов, и, как это будет видно, в "пачках" некоторых собственных подпространств, что является, напри мер, эффективным описанием совокупности данных подпространств. Эта задача, поставленная, насколько нам известно, впервые, рассмотрена для одного модельного оператора, и как показывает проведенное ис следование, вопрос оказался тесно связанным с характером распре деления спектра изучаемого оператора. Теоремы о распределении спектра, формулируемые ниже,являются новыми и представляют самос тоятельный интерес. Приведем соответствующие обозначения, опреде ления, формулировки. Обозначим: К - евклидово пространство раз мерности m , - т - мерный куб с ребром 1 и центром в точке O^R ; (oil - di + оІ+ . . . + diwx - мультииндекс, + ; +...+ 9x4 Эхл ... Ъхт rxi ^xjl ^xw ^S,X/> - скалярное произведение векторов S , X 6 Я , dCX) = 2-j Cs ^ при 04J4< oo , Sjjl=[0,±l,±&t...j ,j = ~^,X6 2 _ m - - мерный тригонометрический полином, заданный на 5) ; Т мно- жество таких полиномов при всех конечных -М ; У (^) f KJ* число целых вещественных решений уравнения: - область определения соответственно оператора $ квадратичной формы (к.ф.) olC',-) ; СГ(&) - спектр оператора $ ; следующая сумма: означает число точек Л6 0 (.#/ с учетом их кратностей, для кото рых выполняется включение: - К.ГЇ). , заданная на ± выражением: хм-L^rb№^L la?>&fr (із) Я, 5Г ^ ' ч 1 р < 00 - пространство периодических функций С.Л.Соболева (см. fllj ). В 2.1 доказана Теорема 5. Пусть выполнены следующие условия, наложенные на коэффициенты к.ф. (13): Ll(>, если &П>П, 0<М F@), & * Jfy^Z)' если «-f^MU"-*. <2">m С i4) Ьо(0),ръ —^ , если «gw^m, 0 4ІСІІ4П-1 Тогда к.ф. полуограничена снизу, замкнута, Обозначим: L - самосопряженный полуограниченный снизу оператор, порожденный согласно теореме Фридрихса к.ф. Ж.(ш>') . (см. [12]), 9CL) с vq(9) . Теорема 6. Пусть выполнены следующие условия относительно ко- - 15 -эффициентов к. L (0), если &w>m, 0 Пусть выполнены следующие условия относительно коэффициентов К.(Ь. Lt(.W, если о2и>ш, OiUl 1 4^ к. //^-Д^<а где с - абсолютная постоянная. Из теоремы 6 в качестве следствий (следствия I, 2) можно вывести следующие известные результаты. Следствие I. Пусть ки = і . Тогда существуют такие абсолютные постоянные а. , "* , л:fa) , что для Аб-GuJ При целых К. у К,(о.) выполняется неравенство: /j^"-Ksr/««. Следствие 2. Пусть Со - оператор, заданный на С0 (riti) дифференциальным выражением: / ч" (Zn)to <У = (~0 $ <*> +
Тогда существуют такие абсолютные постоянные о. >0, с , К-(а)>0 такие, что для любого положительного самосопряженного расширения оператора со при целых к> для выполняется не- равенство: XL і 4'є /дИ"-к5Г/*а (22)
Теорема 5 и следствия I, 2 доказаны в 2.2. Обозначим Є оператор, соответствующий дифференциальному выражению: и CU =(-Д) и.(х) + ср(х)и(х) , Х60, 3т<^(<)^0 (23) и периодическим краевым условиям на , причем q/0^4^). В 2.3 доказана
Теорема 7. Пусть п > т+ 4 , й 6 ^0, І" 5Г^), /У(*0 - подпространство L. ()) , порождаемое с.ф. оператора с , которые соответствуют собственным значениям, удовлетворяющим неравенст-ву: \/М- кЯ* I 4 а.
Тогда найдется число К.(&) такое, что при любом целом КЖ(О-) в существует базис, представляемый набором функций
I "к.' *''Jic'=i , причем:
И,(Х) = g + 0( * J * - - ~ - (24) где вектор =[*,^, -, ^wj пробегает целочисленные решения уравнения: Si +- Яд + ... + Sm = К- символ О (-) понимается в смысле $ - нормы.
В основе доказательства теоремы 7 лежит доказанная новым приемом лемма 2.3.3 и теорема 6.
Лемма 2.3.3. Пусть #И>И7+3 , / Мд 0)J . ^г-гл) - с.ф. опе ратора с: . Тогда существует абсолютная постоянная х такая, что при выполняется неравенство: \\^%s)^M4nlh^iLAm (25) причем показатель степени величины /Д/ не может быть уменьшен. В последние годы активно разрабатываются методы изучения свойств резольвенты эллиптических операторов в весовых пространст вах L (У* и , в частности, резольвенты оператора Штурма -
Лиувилля (см. fI5J - [27J и др.). Наиболее общие результаты, полученные вариационным методом , даны в работе [23] . Эта тематика для случая весовых пространств L п\й), 4 4 Р < 00 разрабаты-валась для оператора Штурма - Лиувилля в основном в работе [28] и имеющийся в ней уровень общности результатов уступает достигнутому в случае р - Я. .В главе 3 разрабатывается методика, которая позволяет для резольвенты оператора Штурма - Лиувилля в весовых пространствах L (У) , і 4 р < оо , рФ получать те- оремы такого же уровня общности.
В 3.1 введена вспомогательная функция Q () , в терминах которой будут даваться далее основные формулировки. Пусть 0,6)2-1, Q (-)gLj (d) , , VI - натуральные числа. Определим функцию
Я*(* = і»іії*^І(т,?гта?Г , ^W (26)d>0l p-jL $SLK.vCLd J
Функции-усреднения такого типа впервые появились в работах
М.Отелбаева. Некоторые их свойства описаны, например, в работе [29] . В 3.1 подробно рассматриваются свойства функции 7, (.), Часть предложенных здесь доказательств отличается большей общ -ностью, чем в работе [29_/ . В 3.2 вводятся важные для последующего классы йСС^р) " своеобразная параметризация пространства и доказывается, что при %р> классы %(tif>) совпада ют между собой и . Рассмотрим оператор заданный на С? (3) дифференциальным выражением: (L+XotfyM = -у"ы+ (чг&+х,)ха), і є{j (27) где 0,()^1 , tyO? Є Up (У) , Я* - тождественный опера тор в Up С У) . В 3.3 подробно проанализированы локальные свойства оператора . В некоторых случаях (например, лемма 3.3.4) предложены методы, не применявшиеся ранее. В 3.4 на основе схемы локального представления резольвенты М.Отелбаева (см. [22J ) и предшествующих результатов 3.1 - 3.3 доказывается основная
Теорема 8. Пусть і () , С^С) в LpC({f) , tyO^i , О,0)Є $-(tif>X Существует постоянная tf0 > О такая, что если fy < Зо , то A) Оператор (Іі+ЛоЕ") , определенный равенством (27) на %)(1>+}оЕ)- = С(Я) имеет замыкание в Lp(u) ;
Б) Ло - регулярная точка оператора (L + X Е") ; B) Для того, чтобы операторы были ограничены в Lp (ґ) необходимо, а при 0
Теорема 8 является новой при р^< .В случае р-& соответствующий несколько более тонкий результат получен в работе[22]. Доказанная теорема обобщает основные результаты работы Г 28j . В 3.5 доказаны теорема о возмущениях и утверждения, позволяющие определить принадлежность потенциала к классу 3C(fy) без обращения к функции о () , т.е. развивается техника применения теоремы 8. Приведём типичный результат. Пусть 0,0) >4 и локально непрерывна на 0 Введём функции: у(х)=)Гі/я f (х) = тси (ЧоЬЛ) , ^ = 4,^... [Х - to % (*), X-t Ко fe (хЦ
Теорема 9. Пусть существует натуральное число 2. и числа О. , ё і С , $ , /3 , cL такие, что равномерно относительно Х J при любом достаточно большом -А выполнены условия: % (X) 4 У е W при | Х- a U і % (х) (30) ^^VTT^ ПРИ \*-*1 *(*+!)%(*> (3D |
Отметим, что внутри каждого параграфа диссертации буквами ^1 » 42. » обозначены постоянные, точное значение которых несущественно для изложения. Нумерация этих постоянных в каждом параграфе начинается заново. При разложении функций в ряды Фурье по тригонометрической системе функций, нормированных в Lq к единице, запись нормирующих множителей в тексте диссертации для сокращения записи опущена.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [Зі] , [32] , [33j , [49j , [50] , [5l] , [52] , докладывались и обсуждались: на УІІ и УІІІ Казахстанских межвузовских научных конференциях по математике и механике (Караганда - 1981 г., Алма-Ата - 1984 г. ), на XXII всесоюзной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям Пермского политехнического института (Пермь - 1982 г.)» на отчетных конференциях Института математики и механики АН Каз.ССР за 1980 г. - 1983 г., в личной беседе с доктором физико - математических наук К.Х.Бойматовым (1984 г.)» на семинарах: члена - корреспондента АН Уз.ССР Ш.А.Алимова (Ташкент-1984 г.), профессора Н.К.Блиева (Алма - Ата - 1984 г.), академика АН Каз.ССР О.А.Жаутыкова (Алма - Ата - 1984 г.), профессора М.Отелбаева и доктора физико - математических наук Т.Ш.Кальменова (Алма - Ата , 1980 г. - 1984 г.), в том числе с участием профессоров МГУ А.Г.Костюченко и Б.М.Левитана (1983 г.), члена - корреспондента АН Каз.ССР Е.И.Кима (Алма - Ата - 1984 г.), профессора А.П.Хромова (Саратов - 1984 г.).
Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору Мухтарбаю Отелбаевичу Отелбаеву за постановку задач, руководство работой, обсуждения полученных результатов.
Автор благодарит доктора физико - математических наук Тыныс-бека Шариповича Кальменова за внимание к работе и полезные обсуждения результатов.
Схема одного метода исследования собственных функций дифференциальных операторов на примере периодический краевой задачи
Исследование многих задач математической физики и квантовой механики связано с разложениями в ряды по собственным функциям (с.ф.) дифференциальных операторов. При этом важное значение имеют оценки с.ф. и их производных в равномерной метрике. Такие априорные (без учета граничных условий) оценки получены для с.ф. оператора Штурма - Лиувилля в работах профессора В.А.Ильина и его школы: И.Йо, Н.Лажетича, И.С.Ломова, В.В.Тихомирова и др., а для дифференциальных операторов высокого порядка при определенных предположениях относительно расположения их спектра на комплексной плоскости оценки с.ф. локального характера даны в работах В.А.Ильина, А.М.Минкина.
Одной из основных задач спектральной теории самосопряженных дифференциальных операторов является исследование распределения на числовой оси их собственных значений. В связи с различными методами суммирования спектральных разложений весьма важно с одной стороны - изучить многомерные дифференциальные операторы, для которых можно точно определить распределение точек спектра на интервалах числовой оси, с другой стороны - принципиальным является выявление базиса простой структуры в подпространствах, порожденных с.ф., которые соответствуют собственным значениям, принадлежащим этим интервалам. В последние годы активно исследуются свойства резольвент син гулярных эллиптических операторов в весовых пространствах
Традиционной моделью при этом слу жит оператор Штурма - Лиувилля, особое внимание уделялось вопросу о разделимости этого оператора. Основные достижения в этой области принадлежат Х.Эверитту и М.Гирцу, К.Х.Бойматову, М.Отелбаеву. Данная тематика для случая весовых пространств L , . (3) , 1 4 p oo , рФоі разработана недостаточно полно: достигнутый уровень общности результатов уступает известному в случае р-3, . В настоящей диссертации изучаются свойства с.ф. дифференциальных операторов, устанавливается взаимосвязь между распределением собственных значений дифференциальных операторов и некоторыми свойствами их собственных функций, исследуются свойства резольвенты оператора Штурма - Лиувилля в весовых пространствах и
В 1979 г. в работе [і] впервые получены априорные равномерные оценки с.ф. самосопряженного оператора Штурма - Лиувилля. С.ф. этого оператора затем исследовались в работах [2] , [з] ; окончательные в определенном смысле результаты получены в работе [4] . С.ф. дифференциального оператора высокого порядка подробно изучались в работах [5] , [б] , [7] . В этой литературе не исследовались равномерные оценки с.ф. в случаях, когда в дифференциальном уравнении высокого порядка для с.ф. коэффициенты существенно зависят от спектрального параметра, для этих дифференциальных операторов не выделены классы граничных условий, при учете которых для с.ф. и их производных могут быть получены точные по порядку оценки в равномерной метрике во всей области задания с.ф.. Эти и некоторые другие вопросы составляют предмет исследования, проведенного в первой главе диссертации. Основным инструментом исследования является развиваемый здесь прием, основанный на выделении главной (в некотором смысле) части с.ф.. В І.І, который имеет вводный характер, излагается схема применения этой техники на примере одной периодической краевой задачи. Поскольку полученная при этом теорема I не отмечалась в литературе, приведем её формулировку. Пусть / Я 0)1 - с.ф. следующей краевой задачи: Под решением задачи (1)-(2) понимается функция Я. () такая, что функции Ц 6) » К.- 0,$Lv\-i являются абсолютно непрерывными и периодическими на промежутке [-4-,4] -и удовлетворяют уравнению (I) почти всюду на отрезке L 4-, 11
Теорема о представлении собственных функций и априорные оценки локального характера
Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для любого Б б (О, 1) существует зависящая только от числа Г постоянная %(&) такая, что выполняются неравенства:
Теорема 3 является новой и доказана в 1.4. Неравенства (10) при Uzz О известны (см. б] , Гт] ). При Ц О неравенства (10) являются новыми. В основе доказательства теоремы 3 лежит новое представление с.ф. /.() в виде суммы решения некоторой вспомогательной граничной задачи и решения одного однородного уравнения, а так же применение теоремы 2.
Сопоставление теоремы 2 и следствия теоремы 3 в случае о- CL оо показывает, что для распространения неравенств (10) на весь промежуток fa, &] необходимо подчинить с.ф. Ях() некоторым граничным условиям. Широкий класс таких условий описывается в теореме 4. Для её формулировки введем следующие обозначения, определения, условия. Рассмотрим уравнение (6) на промежутке-4,4], предполагаем, что условие (7) выполняется при [й,ь] - некоторые граничные условия, часть которых имеет вид: Далее требуем, чтобы число линейно независимых условий в равенствах (II) было равно 2, v\- Д . Обозначим: lm , ки = і, и-«2. -- элементы множества чисел і &р } : нумерация которых упорядочена по признаку: Re. d-к Re. при. Для краевых условий (II) и системы поло жительных параметров = /3 1 примем обозначения:
Определение I. Краевые условия (з ) назовём краевыми условиями с невырожденным старшим коэффициентом, если они состоят из двух условий любой структуры и условий (II); эта система условий непротиворечива, выполняются оговоренные выше требования относительно условий (II) и при всех достаточно больших значениях параметров системы S отлично от нуля число 5 , определенное равенством: (6)-(7)-(), соответствующую собственным значениям, которые принадлежат области о" , R Ко , ло - достаточно большое число. Теорема 4. Пусть выполнены сформулированные выше условия. Если (я) - краевые условия с невырожденным старшим коэффициентом, то существует абсолютная постоянная с такая, что при 4/i6) Т- выполняются неравенства:
Неравенства (12) и определение краевых условий с невырожденным старшим коэффициентом являются новыми. В основе доказательства теоремы 4 лежат результаты 1.4. Теорема 4 доказана в 1.5. Заметим, в качестве примера, что в рамках теоремы 4 можно рассмотреть случай периодических краевых условий и случай краевых условий Дирихле: Основная задача, которая решается во второй главе, - доказа тельство некоторого аналога известной теоремы Г.Биркгофа (см.(Д0]) для многомерного случая. Имеется в виду еледущее. Для одномерного дифференциального уравнения с параметром, которое рассматривается в теореме Г.Биркгофа, указывается асимптотика линейно независимой системы решений, которая является базисом для конструирования с.ф. краевых задач. В многомерном случае есть смысл искать такие базисы уже не для уравнений, но для операторов, и, как это будет видно, в "пачках" некоторых собственных подпространств, что является, напри мер, эффективным описанием совокупности данных подпространств. Эта задача, поставленная, насколько нам известно, впервые, рассмотрена для одного модельного оператора, и как показывает проведенное ис следование, вопрос оказался тесно связанным с характером распре деления спектра изучаемого оператора. Теоремы о распределении спектра, формулируемые ниже,являются новыми и представляют самос тоятельный интерес. Приведем соответствующие обозначения, опреде ления, формулировки. Обозначим: К - евклидово пространство раз мерности m , - т - мерный куб с ребром 1 и центром в точке O R ; (oil - di + оІ+ . . . + diwx - мультииндекс.
О выборе базиса в "пачках" собственных подпространств. Следствия
В основе доказательства теоремы 7 лежит доказанная новым приемом лемма 2.3.3 и теорема 6.
Лемма 2.3.3. Пусть #И И7+3 , / Мд 0)J . г-гл) - с.ф. опе ратора с: . Тогда существует абсолютная постоянная х такая, что при выполняется неравенство: причем показатель степени величины /Д/ не может быть уменьшен. В последние годы активно разрабатываются методы изучения свойств резольвенты эллиптических операторов в весовых пространст вах L (У и , в частности, резольвенты оператора Штурма Лиувилля (см. fI5J - [27J и др.). Наиболее общие результаты, полученные вариационным методом , даны в работе [23] . Эта тематика для случая весовых пространств L п\й), 4 4 Р 00 разрабаты-валась для оператора Штурма - Лиувилля в основном в работе [28] и имеющийся в ней уровень общности результатов уступает достигнутому в случае р - Я. .В главе 3 разрабатывается методика, которая позволяет для резольвенты оператора Штурма - Лиувилля в весовых пространствах L (У) , і 4 р оо , рФ получать те оремы такого же уровня общности. В 3.1 введена вспомогательная функция Q () , в терминах которой будут даваться далее основные формулировки. Пусть 0,6)2-1, Q (-)GLJ (d) , , VI - натуральные числа. Определим функциюФункции-усреднения такого типа впервые появились в работах М.Отелбаева. Некоторые их свойства описаны, например, в работе [29] . В 3.1 подробно рассматриваются свойства функции 7, (.), Часть предложенных здесь доказательств отличается большей общ -ностью, чем в работе [29_/ . В 3.2 вводятся важные для последующего классы йСС р) " своеобразная параметризация пространства и доказывается, что при %р классы %(tif ) совпада ют между собой и . Рассмотрим оператор заданный на С? (3) дифференциальным выражением: где 0,() 1 , tyO? Є Up (У) , Я - тождественный опера тор в Up С У) . В 3.3 подробно проанализированы локальные свойства оператора . В некоторых случаях (например, лемма 3.3.4) предложены методы, не применявшиеся ранее. В 3.4 на основе схемы локального представления резольвенты М.Отелбаева (см. [22J ) и предшествующих результатов 3.1 - 3.3 доказывается основная Теорема 8. Пусть і () , С С) в LpC({f) , tyO i , О,0)Є $-(tif X Существует постоянная tf0 О такая, что если fy Зо , то A) Оператор (Іі+ЛоЕ") , определенный равенством (27) на %)(1 +}ОЕ) = С(Я) имеет замыкание в Lp(u) ; Б) Ло - регулярная точка оператора (L + X Е") ; B) Для того, чтобы операторы Теорема 8 является новой при р .В случае р-& соответствующий несколько более тонкий результат получен в работе[22]. Доказанная теорема обобщает основные результаты работы Г 28j . В 3.5 доказаны теорема о возмущениях и утверждения, позволяющие определить принадлежность потенциала к классу 3C(fy) без обращения к функции о () , т.е. развивается техника применения теоремы 8. Приведём типичный результат. Пусть 0,0) 4 и локально непрерывна на 0 Введём функции: у(х)=)Гі/я f (х) = тси (ЧоЬЛ) , = 4, ... [Х - to % ( ), X Ко fe (хЦ Теорема 9. Пусть существует натуральное число 2. и числа О. , ё і С , $ , /3 , cL такие, что равномерно относительно Х J при любом достаточно большом -А выполнены условия: Отметим, что внутри каждого параграфа диссертации буквами 1 » 42. » обозначены постоянные, точное значение которых несущественно для изложения. Нумерация этих постоянных в каждом параграфе начинается заново. При разложении функций в ряды Фурье по тригонометрической системе функций, нормированных в Lq к единице, запись нормирующих множителей в тексте диссертации для сокращения записи опущена. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [Зі] , [32] , [33j , [49j , [50] , [5l] , [52] , докладывались и обсуждались: на УІІ и УІІІ Казахстанских межвузовских научных конференциях по математике и механике (Караганда - 1981 г., Алма-Ата - 1984 г. ), на XXII всесоюзной конференции по функционально-дифференциальным уравнениям Пермского политехнического института (Пермь - 1982 г.)» на отчетных конференциях Института математики и механики АН Каз.ССР за 1980 г. - 1983 г., в личной беседе с доктором физико - математических наук К.Х.Бойматовым (1984 г.)» на семинарах: члена - корреспондента АН Уз.ССР Ш.А.Алимова (Ташкент-1984 г.), профессора Н.К.Блиева (Алма - Ата - 1984 г.), академика АН Каз.ССР О.А.Жаутыкова (Алма - Ата - 1984 г.), профессора М.Отелбаева и доктора физико - математических наук Т.Ш.Кальменова (Алма - Ата , 1980 г. - 1984 г.), в том числе с участием профессоров МГУ А.Г.Костюченко и Б.М.Левитана (1983 г.), члена - корреспондента АН Каз.ССР Е.И.Кима (Алма - Ата - 1984 г.), профессора А.П.Хромова (Саратов - 1984 г.).
Автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору Мухтарбаю Отелбаевичу Отелбаеву за постановку задач, руководство работой, обсуждения полученных результатов.
Автор благодарит доктора физико - математических наук Тыныс-бека Шариповича Кальменова за внимание к работе и полезные обсуждения результатов.
Операторы Штурма - Лиувилля, заданные локально, и их свойства
Из неравенств (4.21), (4.22) следует первое неравенство (4.14). В свою очередь, из первого неравенства (4.14) и (яя) следуют второе и третье неравенства (4.14). Лемма 4.4 доказана.
Последовательное применение лемм 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 составляет доказательство теоремы 0.3 и следствия 0.1 в случае -0,&м-3 . Для доказательства следствия 0.1 при =. 2.и- ,си- і необходимо использовать доказанную часть теоремы 0.3 и лемму 1.3.5.
В этом параграфе доказывается теорема 0.4. При доказательстве будем считать, что условие (0.7) выполняется на промежутке 9l,l] Причем МНОЖеСТВО С.ф. /(/ (-)[і/;Л удовлетворяет некоторым краевым условиям с невырожденным старшим коэффициентом (см. определение 0.1 в введении). Обозначим: Лемма 5.1. При - , где #0 - достаточно большое число имеет место равенство: Доказательство леммы опускается как вполне элементарное. Будем считать, что числа ЗЄ; одновременно с числами Ж; (л) занумерованы так, что при \У\ 9.о , где & - достаточно большое число, выполняются неравенства: Здесь заново занумерованные числа обозначены соответственно как Указанное одновременное упорядочение этих двух систем чисел всегда можно проделать при. достаточно большое число. Согласно результатам 4 выполняется равенство: Обозначим: Применив к УхС ) краевые условия (0.11), получим при 0= 0,п- равенства: В силу доказанного ранее при )=0, 4-3 получим соотношения: Таким образом, систему (5.3) при f R.0 , где й.0 - достаточно большое число, можно записать следующим образом: Выпишем определитель АС?) системы (5.6), используя то, что старший коэффициент наших краевых условий невырожден: Пусть определитель, полученный заменой в определителе л С?) столбца с номером $ на столбец свободных членов системы (5.6). В силу соотношений (5.2) и общих правил вычисления определителей, получим оценку: Следовательно, разрешая систему (5.6) согласно правилу Крамара для решения систем линейных уравнений и используя доказанное, получим оценки: Из полученных неравенств сразу следует следующая цепочка оценок: Таким образом, применяя последовательно леммы 4.4 и 4.3 завершим доказательство теоремы 0.4 в случае L- 0,2 и-3 . При = 2и-і, l-SLw-i доказательство теоремы 0.4 следует из рассуждения, проведённого в 1.3 с учетом доказанной части теоремы 0.4. Таким образом, теорема 0.4 доказана полностью. В этом параграфе будут доказаны следствия 0.1, 0.2 теоремы 2. Заметим, что при доказательстве следствия 0.1, не ограничивая общности, можно считать: Cfti, iJ= Efcj = Г 4,іД Обозначим: if/(-) срезывающую функцию, u.f p yJ(-) = -4, A J , VO )= Vу С ) О) , ./ = 0,14,+4,... J,
