Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена исследованию некоторых актуальных задач спектральной теории линейных операторов в гильбертовых пространствах: обратной спектральной задаче, теории регуляризован-ных следов, получению явного вида функций Грина для важных конкретных краевых задач математической физики.
Теория операторов охватывает обширную часть анализа, имеет многочисленные применения в прикладных вопросах и постоянно развивается.
Первым результатом обратной задачи была следующая теорема единственности В. А. Амбарцумяна *:
Пусть {A„}+f^ - собственные числа краевой задачи
-у" + q(x)y = Ху, у'(0) = у'(тг) = О,
где q(x) -действительная непрерывная функция. Если А„ = п~ для всех п, то q{x) = 0.
Затем Г. Борг 2 показал, что результат Амбарцумяна является исключением, и одного спектра недостаточно. Он решил задачу об однозначном определении потенциала и коэффициентов двух пар краевых условий оператора типа Штурма-Лиувилля по двум соответствующим последовательностям его собственных значений.
Далее А. Н. Тихонов 3 получил теорему единственности в задаче на полуоси по функции Вейля. Для операторов Штурма-Лиувилля обратная задача была полностью решена в работах В. А. Марченко 4, И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана5, М. Г. Крейна 6. И в настоящее время обратная задача в различных постановках остается одной из важнейших задач спектральной теории.
Регуляризованные следы дифференциальных операторов (суммы собственных чисел, из которых вычтены некоторые выражения так. что ряды становятся сходящимися) являются сстсстыенным обобщением понятия следа для
1 Ambarzumian V. A. Ueber eine Frage der Eigrarwerttheorie. Zs. f. Plvys. 1929. V. 53. P. 690 - 695.
2Borg G. Eine Umkehnmg der Sturm-Liouvilleschcn Eigenwcrtaufgabe. Acta Math. 1946. V. 78. P. 1 - 96.
3Тихонов A. H. О единственности решения задачи электроразведки. ДАН СССР, 1949, т. 69, №6, с. 797 -800.
4Марченко В. А., Некоторые вопроси теории дифференциального оператора второго порядка, ДАН СССР, 1950, т. 72, №3, с. 457 - 460.
5Гельфапд И. М., Левитан Б. М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. ДАН СССР, 1953, т. 88, Х'4, с.593 - 596.
6Крейн М.Г., Решение обратной задачи оператора Штурма-Лиувилля, ДАН СССР, 1951, т. 76, ЛН, с. 21 - 24.
матриц. Для регулярных обыкновенных дифференциальных операторов второго порядка такие тождества были доказаны И. М. Гсльфандом и Б. М. Лсви-
таном: для оператора Штурма - Лиувилля е потенциалом q(x), J q(x) dx = О
о верна формула:
Ь Vі" - п ) = 4 "
Метод, основанный на исследовании асимптотического разложения следа, резольвенты предложил использовать И. М. Гельфанд 7, для оператора Штурма - Лиувилля впервые получив формулы следов высших порядков:
Yi№-Ak(n)) = B(k), (1)
где A/t{n) — отрезок разложения /^ по степеням п (то есть фактически по степеням невозмущенного спектра А„), содержащий только неотрицательные степени п, В(к) в коночном виде выражаются через q{x) и се производные.
Принципиальным прорывом в теории следов стало применение методов теории функций для исследования дзета - функции оператора в работе В. Б. Лидского и В. А. Садовничего 8. Здесь для специального класса функций К, включающего в себя характеристические определители многих спектральных задач, в том числе "почти всех" задач для регулярных обыкновенных дифференциальных операторов, был дан метод вычисления регуляризованных сумм корней, что вместе с данным в работе этих же авторов 9 методом вычисления асимптотических разложений этих корней по степенно - логарифмическим функциям номера позволило решать задачи теории следов во многих важных случаях.
Результаты В. А. Садовничего о получении регуляризованных сумм, содержащих дробные степени собственных чисел10 явились основой нового направления в спектральной теории операторов.
7Гельфанд И. М. О для. собственных .значений дифференциального оператора второго порядка. УМН, 1956, т. 11, JV4, с. 191 - 198.
8Лидский В. Б., Садошшчий В. А. Рсгулярилооанныс суммы одного класса целых функций, Ж. "Фупкц. Анализ 1967. т. 1 , .V2.
"Лидский В. Б., Садошшчий В. А., Асимптотические, формули для. корней одного класса целых функций, Ж. "Матом, ей. 1968, т. 75, вып. 4, с.558 - 566.
10Садовпичип В. А. Регуляризованныс. следы, полуцелых степеней оператора Штурма - Лиувилля., Ж. "Математические заметки 1973, т. 14, -V'2, с. 279 - 290.
Важной задачей спектральной теории является задача о построении явного вида функции Грина некоторых краевых задач. Тсоретико -групповые методы особенно эффективны в решении краевых задач математической физики, которые не допускают в тех или иных координатах разделение переменных11. Применение тсоретико-групповых методов выступает на первый план и в связи с изучением спектра краевой задачи для уравнения Лапласа в фундаментальных областях аффинных групп Вейля. В двумерном случае таковыми являются многоугольники, углы которых целое число раз вкладываются в 7г. Спектральная задача в этих областях изучалась многими авторами. Так, наименьшее собственное значение задачи Дирихле для прямоугольного треугольника (серия ( с углом 7г/6 и соответствующая собственная функция были построены Д.Пойа12. Еще ранее Б.Р.Сетт13 нашел бесконечную, но неполную систему собственных функций для этой же задачи. Для задачи Неймана полную систему собственных функций, хотя и не минимальную, указал С.К.Лактпмана Рао14. К тому же. вопрос о полноте этой системы не исследовался. Одной из наиболее ранних работ, в которой были найдены некоторые серии собственных функций для указанного треугольника, является работа Г.Ламе15.
Спектральная задача для правильного треугольника (серия A
Цель работы. Настоящая работа посвящена исследованиям в теории обратных задач дифференциальных операторов; распространению на абстрактные
"Шестопая А. Ф., Геометрия оператора Лапласа, Киев, Из-во "Вища школа 1991, 159 с.
12Polya G., Л note, on the principal frequency of a triangular membmne, Qj'art. Apl. Math., 1951, V.8, ЛГ|14, p.386.
13Seth B. R-, Transverse vibrations of triangular membranes, Proc. Indian Acad. Sei., 1940, Ser A-12, p/ 101 -105.
14Lakshmana Rao S. K., An exposition on the classical problem of mbrations of membranes and plates, Journ. of the Inst. of. Telecom. Eng., 1957, .N"«4, p. 96 - 101.
l0Lame G. Legons sur la theorie tie la chalor, Paris, 1861, 189p.
10Манжерои Д., Шестопал А. Ф., Вклад в задачи применения функции Грина. I Разложение функции Грина линейных дифференциальных операторов в частных нроизаодпы:г. по фундаментальней реыени-JU«,Re.v. Math. Pures Appl, 1964, .V>9, p.863 - 875.
17Шестопал А. Ф., Разлооїеение функций Грина линейных дифферелщиальпых уравнений оллитпическо-?.о типа по их фундаментальным решениям а некоторых многоугольных областях, An. St. Univ. "Al. J.Cuza"lasi, sect. l(Mat), 1964, 10, УЧ, pp. 75 - 90.
Важной задачей спектральной теории является задача о построении явного вида функции Грина некоторых краевых задач. Теоретико -групповые методы особенно эффективны в решении краевых задач математической физики, которые но допускают в тех или иных координатах разделение переменных11. Применение теоретико-групповых методов выступает на первый план и в связи с изучением спектра краевой задачи для уравнения Лапласа в фундаментальных областях аффинных групп Всйля. В двумерном случае таковыми являются многоугольники, углы которых целое число раз вкладываются в тт. Спектральная задача в этих областях изучалась многими авторами. Так, наименьшее собственное значение задачи Дирихле для прямоугольного треугольника (серия () ^ углом 7г/6 и соответствующая собственная функция были построены Д.Пойа12. Еще ранее Б.Р.Сстт13 нашел бесконечную, но неполную систему собственных функций для этой же задачи. Для задачи Неймана полную систему собственных функций, хотя и не минимальную, указал С.К.Лакпімана Рао14. К тому же, вопрос о полноте этой системы но исследовался. Одной из наиболее ранних работ, в которой были найдены некоторые серии собственных функций для указанного треугольника, является работа Г.Ламе15.
Спектральная задача для правильного треугольника (серия А<х) была исследована в 1964г. в работе Д.Манжерона и А.Ф.Шсстопала16, где были построены функции Грина соответствующих задач и указан метод приведения их к спектральным разложениям1', основанный на использовании обобщенной формулы суммирования Пуассона.
Цель работы. Настоящая работа посвящена исследованиям в теории обратных задач дифференциальных операторов; распространению на абстрактные
пШостопал А. Ф., Геометрия оператора Лапласа. Киев. Ш-во "Вища школа 1991, 159 с.
I2Polya G., A note, on the. principal frequency of a triangular membmne, Qyart. Apl. Math., 1951, V.8, ЛЧ, p.386.
"Sctli B. R., Transverse vibrations of triangular membranes, Proc. Indian Acad. Sri., 1940, Ser A-12, p/ 101 -105.
14Lakshmana Rao S. K., An exposition on the classical pwblem of vibrations of membranes and plates, .Tourn. of the Inst. of. Tekram. Eng., 1957, AM, p. 96 - 101.
loLame G. Leqons лиг la theorie de In. chalor, Paris, 1861, 189p.
1г'Манжс-рои Д., Шестопал А. Ф., Вклад о ладачи применения функции Грипа. І Разложение функции Грина линейных дифференциальных операторов а частных проилаодных по фундаментальным решени-амДст. Math. Pures Appl, 1964, -V«9, p.863 - 875.
"Шестопал А. Ф., Раллооїе.ение функций Грина линейных дифференциальных уравнений эллиптического типа по их фундаментальным решениям о некоторых многоугольные, областях.. An. St. Univ. "Al. J.Cuza"lasi, sect. l(Mat), 1964, 10, .VI, pp. 75 - 90.
рата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на 7 параграфов, заключения и списка цитированной литературы. Общий объцм диссертации составляет 106 страниц, библиография содержит 52 наименования.
