Введение к работе
Актуальность теми. Большой теоретический и прикладной интерес представляет изучение спектральных задач, порожденных дифференциальными уравнениями. Это связано как с развитием самой спектральной теории, ток и с запросами многих естественно-научных дисциплин, в частности, теоретической физики и таких ее разделов, как теория упругости, гидродинамика и другие.
К наиболее активно исследуемым относится и вопрос о базисных свойствах производных цепочек, построенных по собственным и присоединенным элементам (СПЭ) краевых задач, возігакающих при решении задачи Коши для уравнений с частными производными, допускающих разделение переменных. Определение производных цепочек впервые дано в [IJ .
Первые, ставшие классическими результаты, связанные с решением этой проблемы, били получены Дж.Биркгофом.и В.А. Стекловым. Затем они нашли свое развитие в монографии Я.Д. Тамаркіша. В их работах изложены результаты о свойствах спектра, асимптотике фундаментальных решений, введено понятие регулярности, доказаны теоремы о полноте.
Позднее различные аспекты проблемы изучались многими авторами. В частности, предложенный в [2 J метод позволил
Г. Келдши М.В. ДАН СССР, 1951,--?.77, !i I,CII-I4.
2. Шкаликов А.А. Труды семинара им.И.Г'.Петровского, 1983, вып.9, с.190-229.
I -
обратиться к спектральним задачам для обыкновенных дифференциальных уравнении в пространстве вектор-функций и для обыкновенных дифференциальных уравнений с нестандартными краевыми условиями, а именно, содержащими условия типа "склейки" во внутренних точках отрезка. Отметим, что к задачам подобного типа обращались многие авторы, но в силу больших технических трудностей, возникающих при их анализе, а также отсутствия ранее метода, позволяющего разработать более общий подход к ним, авторы ограничивались рассмотрением конкретных задач механики, либо рассмотрением только уравнений 1-го и 2-го порядков и доказательством отдельных утверждении о полноте, минимальности и пр. Применение метода 12 J после некоторой его модернизации позволило получить более общие результаты, но потребовало преодоления больших трудностей не только технического, но и теоретического характера. В частности, по причине громоздкости излагаемых результатов во всех задачах, рассматриваемых в'диссертации, предполагается, что порядки граничных условий и условий типа "склейки" меньше, чем порядок уравнения.
Цель работы.
-
Для рассматриваемых задач получить необходимые представления для функции І'ріша, ввести понятие регулярности.
-
Построить для них линеаризующие операторы в специально выбранных гильбертовых пространствах.
-
Доказать теоремы о'базисных свойствах систем СПЭ линеа-
ризующих операторов. 4. Рассмотреть приложения полученных результатов.
Общая методика исследования. Доказательство изложенных в диссертации результатов основано на анализе представления функции Грина методом, предложенным в \2\ . При доказательстве безусловной базисностй со скобками соответствующих линеаризующих операторов использованы результаты [_3J о базисных свойствах операторов, являющихся возмущениями нормальных.
Научная новизна результатов. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Основные из них следующие:
Т. Определение регулярности спектральных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений в пространствах вектор-функций и для задач, содержащих нестандартные краевые условия с полиномиальным вхождением спектрального параметра в уравнение и граничные условия, основанное на анализе представления функции Грина. 2. Теоремы о безусловной базисностй со скобками производных цепочек, построенных по СПЭ задач обоих типов в специально введенных пространствах.
Приложения. Результаты работы могут найти применение в дальнейшем развитии спектральной теоріш дифференциальных
3. Маркус А.С, Мацаев 13. И. На тема тиче сісие исследования (АН МССР, Институт математики с ВЦ)," 1981, вып.61, с.104-129.
.3 .
операторов и в исследовании спектральных задач, возникающих в теории упругости, гидродинамике и др. Некоторые примеры, иллюстрирующие возможные приложения полученных результатов в теории упругости и решении некоторых классических задач спектральной теории, приведены в работе.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференции молодых ученых МГУ в 1985 году, на Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г.Ашхабаде в 1986 году, на научных семинарах механико-математического факультета МГУ по спектральной теории операторов, руководимых А.Г.Костюченко и А.А.Шкаликовым.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шести работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация изложена на 108 страницах, состоит из введения и двух глав. Список литературы содержит 76 наименований.
