Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию обратных задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов с неитегрируемой особенностью лежащей внутри интервала. Исследуются дифференциальные операторы как второго так и высших порядков на полуоси и конечном интервале.
Обратные задачи спектрального анализа являются задачами восстановления операторов по их заданным спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естественных наук и имеют множество приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники.
Значительный вклад в историю развития теории обратных спектральных задач внесли В.А. Амбарцумян, Р. Биле, Г. Борг, Н. Левинсон, Б.М. Левитан, З.Л. Лейбензон, В.А. Марченко, В.А. Юрко и другие математики. В настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается благодаря возникновению новых приложений в различных областях естественных и технических наук. Отметим, что сложность решения обратных задач связана во многом с тем, что эти задачи являются существенно нелинейными и в связи с этим в теории обратных задач все еще остается много нерешенных проблем.
В диссертационной работе изучается случай неинтегрируемой особенности лежащей внутри интервала, а также наличия произвольных условий склейки решений. Наличие особенности внутри интервала вносит существенных качественные изменения при исследовании обратных задач. Для исследования этого класса обратных задач в диссертационной работе используется подход, связанный с развитием идей метода спектральных отображений*. При этом важную роль играют специальные фундаментальные системы решений дифференциального уравнения с особенностью, а также асимптотическое поведение соответствующих множителей Стокса.
Целью данной диссертационной работы является решение обратной спектральной задачи для дифференциальных уравнений с неинтегрируемой особенностью типа Бесселя внутри интервала, решения которого подчиняются некоторому дополнительному условию склейки около особой точки. Под решением обратной задачи будем понимать исследование трех основных этапов
-
Доказать теорему единственности решения обратной задачи;
-
Получить алгоритм решения обратной задачи;
*Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007, 384с.
3. Получить необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.
Класс дифференциальных уравнений с неинтегрируемыми особенностями является важным в математике и приложениях. Широкий класс дифференциальных уравнений с точками поворота может быть сведен к дифференциальным уравнениям с неинтегрируемыми особенностями, при этом особая точка будет лежать внутри интервала. Обратные задачи для таких уравнений и для уравнений с точками поворота также используются при исследовании разрывных решений нелинейных интегрируемых эволюционных уравнений математической физики. Уравнения с особенностью также возникают при применении преобразования Дарбу.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
-
Построить фундаментальные системы решений дифференциальных уравнений с неинтегрируемыми особенностями и исследовать их асимптотические и аналитические свойства;
-
Доказать теорему единственности решения обратной задачи;
-
Получить основное уравнение решения обратной задачи;
-
Получить алгоритм решения обратной задачи;
-
Получить необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.
Методы исследования. Основным методом исследования обратных спектральных задач в диссертационной работе является метод спектральных отображений, в основе которого лежит метод контурного интегрирования Коши-Пуанкаре. В работе преодолены трудности, связанные с применением метода спектральных отображений к исследованию уравнений с неинтегрируемыми особенностями и позволяющие развить его. В работе также используются асимптотические методы, спектральная теория дифференциальных операторов, теория операторов в банаховых пространствах и другие методы вещественного, комплексного и функционального анализа.
Научная новизна: Все результаты диссертации являются новыми. В работе получены следующие основные результаты:
1. Решена обратная задача для уравнений Штурма-Лиувилля с неинтегриру-емой особенностью внутри интервала, заданных на конечном отрезке при условиях Дирихле у(0) = у(Т) = 0.
-
Решена обратная задача для уравнений Штурма-Лиувилля с неинтегриру-емой особенностью внутри интервала, заданных на полуоси при условии Дирихле 2/(0) = 0.
-
Решена обратная задача для уравнений Штурма-Лиувилля с неинтегриру-емой особенностью внутри интервала, заданных на полуоси при условии Робина у'(0) - hy(0) = 0.
-
Получена теорема единственности решения обратная задача для дифференциальных уравнений высших порядков с неинтегрируемой особенностью внутри интервала, заданных на полуоси.
Все полученные результаты справедливы при произвольном поведении спектра исследуемых объектов.
Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертационной работы носят теоретический характер и могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений, теории упругости, геофизике, оптике, а также в технике. Развитые в работе методы исследования, могут быть использованы при изучении других сингулярных дифференциальных операторов. Также результаты диссертационной работы могут быть применены в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов и аспирантов.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: 16-ой Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Россия, Саратов, 2012), Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XXIV» (Россия, Воронеж, 2013), конференциях «Актуальные проблемы математики и механики» (Россия, Саратов, 2011, 2012, 2013), студенческой научной конференции Саратовского Государственного Университета (Россия, Саратов, 2011), научных семинарах кафедры математической физики и вычислительной математики Саратовского Государственного Университета под руководством д.ф.-м.н., профессора В.А. Юрко (Россия, Саратов, 2011, 2012, 2013), кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей Воронежского Государственного Университета под руководством д.ф.-м.н., профессора В.В. Провоторова (Россия, Воронеж, 2013), кафедры дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии Университета Дуйсбург-Эссен под руководством профессора Г. Фрайлинга (Германия, Дуйсбург, 2011).
Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 10 печатных работах. Статьи [1—4] опубликованы в журналах, включенных в список ВАК РФ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 153 наименования. Полный объем диссертации 126 страниц текста.
