Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исолецо-' ванию линейных отношений в терминах пар ограниченных операторов и их приложениям к граничным задачам для дифференциальных уравнений.
Теория линейных отношений, к необходимости разработки которой независимо пришли Р.Арене и СМаклзйн в 1961 году, развивалась преимущественно а двух направлениях, С одной стороны, известные фанты и конструкции теории операторов в гильбертовом пространстве (операционное исчисление,1 теория расширений) распространялись На линейные отношения как на обьект болеэ общей природы (Р.Арено, Ч.Беневиц, Й.Коддингтон, А.Дьчксма И Ч.Сноо, Г.Лангер и В.Тексто-риус, А.Н.Верник И др.). В атом же направлении различные классы линейных отношений в пространствах с индефинитной метрикой изучались в работах В.П.Г'лухова» А.А»Никонова, Ю.Л.Шмульяна, П.Сорьо-нена, В.С,Рицнерак В.М.Уткина.
G другой стороны, классическая задача об описании самосопряженных расширений минимального оператора, порожденного симметрическим дифференциальным выражением, стимулировала исследования по линейным отношениям и в более прикладном аспекте( который условно можно назвать структурным, так как он связан с представлением отношений d помощью операторов, или в виде множества ресепий некоторого операторного уравнения. Первой работой в этом направлении явилась работа Ф.С.Рофе-Бекетова, в которой.для решения указанной задачи (случай обыкновенного дифференциального выражения На конечном интервале с ограниченными операторными коэффициентами) вводилось понятие бинарного (линейного) отношения И устанавливался общий вид эрмитовых (самосопряженных) отношений в гильбертовом пространстве» Идея бинарных отношений в дальнейшем была использована М.Д.Г'орбачуком при описании самосопряженных граничных задач для Дифференциальных уравнений второго поряйка с неограниченным операторным коэффициентом (такое выражение вкл-тчает некоторые классы уравнений с Частными производными). Затем М.Л.Горба-чуком и AiH.Кочубеем были описаны новые классы (максимальные дис-сипатлзккл и др.) линейных отношений и применены к описание соот-
взтствующих классов расширения. Посла введения А.Н.Кочубеем и В.М.Бруком понятия пространства граничных значений симметрического оператора и построения основ абстрактной теории граничных задач появляется ряд работ по описание различных классов расширений в терминах абстрактных граничных условий. При этом результаты по представлению линейных отношений были получены Ф.С.Рофе-Ееке-товым, А.Н.Кочубеем, В.А.Михайлецом, Л.Й.Вайнерманом.
Несколько иной подход (параметрическая форма отношений) к рассмотрению линейных отношений и пар операторов в банаховом пространства предпринят Н.И.РаДбекь в связи с Изучением задачи Кошм для уравнения 1-го порядка с операторными коэффициентами, неразрешенного относительно производной. Ранее А.Г.Руткасом указана связь таких задач с математической теорией систем (управления), основы которой изложена в монографиях Р.Каямана, П.Фалба, М.Арби-ба и М.МесаровиЧа И Я.Танахары И которая активно разрабатывается в настоящее время многими исследователями. Так, Д.З. Аровым развита теория пассивных линейных стационарных динамических систем и их передаточных функций,
Цель работы. Исследовать линейные отношения, определяемые парой произвольных ограниченных операторов,и применить полученные результаты к нахождении общих самосопряженных граничных для дифференциальных уравнений и некоторым вопросам общей теории линейных систем.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие новые результаты:
-
описаны различные классы линейных отношений в гильбертовом пространства и пространствах с индефинитной метрикой в терминах пар произвольных ограниченных операторові
-
приведены условия максимальной диссипативности '(в частности, самосопряженности) операторов, порожденных дифференциальными выражениями второго порядна эллиптического и гиперболического типов с ограниченным и неограниченным операторным коэффициентом и общими гранич.ными условиями;
-
дано описание бинарно реализуемых линейных систем, получено обобщение формулы передаточной функции и приведены условия пассивности таких систем.
Методика доказательств использует спектральную теориш само-
сопряжанных операторов в гильбертовом пространстве и теорию пространств основных и обобщенных векторов, построенных по положительно определенному оператору.
Диссертация носит теоретический характер.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научных конференциях молодых математиков (г,Киев, І9!іо, І9ііЗ гг.), на семинарах по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям в частных производных в Институте математики Ал Украины (1983 - 1991 гг.).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в четырех работах.
Структура и объем. Диссертационная работа состоит из иве пения, трех глав, списка цитируемой литературы из 64 наименований ч занимает 101 страницу машинописного текста.
