Введение к работе
;! , '
ЩиД f
Актуальность темы. Спектральная теория линейных операторов іграет фундаментальную роль в различных математических Дисциплинах и их приложениях. При этом возникает много проблем, приводящих к краевым задачам для дифференциальных оператороз на конечном интервале. Такие задачи изучались В.А. Стеклопкм, Щк, Биркгофом, Я.Д. Тамзркиннм, М.В. Келдышем и другими авторами. Теория дифференциалышх операторов, еще- далека от своего завершения и в настоящее время интенсивно развивается.
Объект исследования. В работе исследуется разложение но производным цепочкам Келдыша для краевых задач следующего вида:-
' кул) = у<п)+ р1(Х,Х)у'п~1)* ... + Рп(Х,К)У = О. (1)
Uj(y,\) = J aJb(\)y(k)(0) f bJk(\)y(h)(1) = О, 12)
J ~ иг n ,
n-1
ГД8 pg(x,\) = I PV!,(X) *' ajh^}' bJft^ ~ пРОИЗВОЛЬШ9
полиномы от X, функции p (x) - достаточно гладкие.
Изучен также вопрос о существовании и единственности режепип задачи Кипи дня . соответствующего . уравнения с частннчіт ггроизводными.
В напем. случае соответствующее дифференциальное
уравнение имеет вид
v+n-a п
1 I (-*>" PvsW Т. T^u^'^ " Р:'
д t д X
О $ X < 1, С $ f < то,
п кратные ус.!!от>т тис-лж:
(4) ,п ).
ь=о i=o at1 ta* ' і - о
* p-""~r~*ur*,t; L-,] =
at1 ал* x- '
(J-- і.г, ..
Для выделения единственного решения нужно еще поставить начальные условия. Условия, выбранные в диссертации, таковы: J
U(X,t) J = ф, (X) (5)
.61* ' *= 0
.. fj = о,», ... ,n-j; .
Цель работы. Получить формулы для вычисления коэффициентов разложений по производным цепочкам Келдыша, построешшх по собственным функциям (СФ) спектральной задачи (1)-(2). Доказать теорему существования и единственности для задачи (3)-(5) и обосновать применимость метода Фурьв .для решения этой задачи.
Методика исследований. В работе используются некоторые общие результаты из теории линейных операторов и теории полугрупп. Использоьзнн также некоторые новые метода из теории пучков неогр?глЧ9КННХ операторов.
'їаучімн новизна, практическая и теоретическая ценность рабс-Tj. В диссертации получены общий метод нахождения коэффициентов разложений по\ производным цепочкам Келдыша, 'эффективные формулы их вычисления для некоторых частных случаев, теорема существования и единствешюсти для задач (3)-(5), а также обоснована применимость метода Фурье для решения этих задач. '
Перечисленные результаты являются новыми. Они могут быть использованы как в дальнейших исследованиях по разрешимости краевых задач, так и для вычисления коэффициентов рззложошій при решении когафетных- задач методом Фурье. Некоторые применения рассматриваются в диссертации.
Апробация работы. Основные результаты работа докл-чд'.'взлисл
|7укОЬОДитйим up.*4*?v;tjv^a л.д. шдшшішци^ **ч ч,^.і*и.*.г« .--.-^,-^—
Ифференциальных уравнений . БГУ (под руководством д.ф.-м.н. :.Т. Султанаева ), на конференции молодых ученых мохшшко-іатематического факультета МГУ в 1988 году/ на 24-ой Воронежской имней математической школе " Современные проблемы теории функций :' теории дифференциальных уравнений " в январе 1991 года, на іеспубликанской научной конференции " Теория приближения н июжения функциональных пространств " в г.Караганде в июне 1Э91 ода.
Публикации. Основные результаты диссертации опублікованії в іабогах автора, список которых приводится в конце автореферата.
Структура и обьеи диссертации. Диссертационная работа юстоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем эаботы 135 машинописных :страниц. Библиография содержит 42 шзвания.
