Голоморфные функции дифференциальных операторов и дифференциальные уравнения бесконечного порядка Лагодинский Владимир Меерович

Голоморфные функции оператора Dx

Тогда краевая задача будет самосопряженной и система ее собственных функций может быть выбрана такой же, как и у самосопряженного оператора гдх (с тем же 0), следовательно, этой задаче можно сопоставить самосопряженный оператор в L2[a,b] и, очевидно, этот оператор можно считать квадратом оператора ідх в смысле определения Дж. фон Неймана. Но для этого уравнения можно поставить и другую самосопряженную краевую задачу, задав краевые условия [21]: где а, /З Є BL Собственные функции этой краевой задачи не являются собственными функциями самосопряженного оператора гдХ1 поэтому самосопряженный оператор, соответствующий этой краевой задаче, не может быть квадратом самосопряженного оператора іЬх в смысле определения Дж. фон Неймана.

Пусть теперь Р — [0, со). Как известно [29],в этом случае оператор ідх вообще не может быть определен как самосопряженный, в то время как самосопряженная задача Штурма-Лиувилля может быть поставлена с помощью краевого условия [21] и условия ограниченности на бесконечности. Соответствующий самосопряженный оператор не может считаться квадратом самосопряженного оператора гдх в смысле определения Дж. фон Неймана.

Это определение приводит и к еще одной трудности. Пусть Р = К. Тогда самосопряженный оператор ідх можно определить как псевдодифференциальный с символом г, а самосопряженный оператор —в2 — как псевдодифференциальный с символом z2, то есть квадрат оператора гдх в смысле определения Дж. фон Неймана. Но если предположить, что в рассматриваемом уравнении —д2 — это обозначение псевдодифференциального оператора с символом z2, то сразу оказывается, что оно не имеет решений при любом А С, поскольку функция ехр(гкх) "для нас не существует, так как она не является квадратично интегрируемой" [25]. Для решения этой проблемы приходится вводить такую громоздкую конструкцию, как оснащенное гильбертово пространство [7].

Рассмотрим ОЛДУ несколько более сложного вида, чем раньше: UQ Є R. Конечно, решить это уравнение нетрудно. Легко найти общие решения отдельно на правой и левой полуосях, а затем, с помощью условий непрерывности решения и его производной, определить решение на всей оси с точностью до постоянного множителя. Если же оператор —д2 определен как псев до дифференциальный, нам придется искать это решение в виде интеграла Фурье, но то решение, которое получается обычным способом, не может быть получено в этом виде, поскольку оно не является интегрируемым.

Вывод, который следует из проведенного рассмотрения, следующий: оператор —д% в ОЛДУ — это не квадрат самосопряженного оператора гдх в смысле определения Дж. фон Неймана, и вообще не самосопряженный оператор, а (с обратным знаком) оператор двухкратного дифференцирования в классическом смысле [35]:

Те задачи, которые с легкостью ставятся и решаются с помощью этого определения, не могут быть решены, а иногда и поставлены, если для оператора д% в уравнении принято определение Дж. фон Неймана. Это значит, что теория, основанная на определении Дж. фон Неймана, заведомо не может быть обобщением теории ОЛДУ конечного порядка (характерно наличие приставки "псевдо-" в названии псевдодифференциального оператора), и ответ на первый вопрос — отрицательный.

По-видимому, этот вывод может быть связан с замечанием в предисловии к монографии [21] о том, что завершенность спектральной теории самосопряженных операторов в абстрактном гильбертовом пространстве, основанной на использованнии разложения единицы, не остановила развития спектральной теории дифференциальных операторов. Дифференциальные операторы имеют свою специфику, которая не улавливается абстрактной теорией.

Рассмотрим теперь второй вопрос — о соответствии определения Дж. фон Неймана потребностям прикладных теорий (если бы такое соответствие имело место, можно было бы ставить вопрос о построении теории уравнений с операторами, определенными по Дж. фон Нейману, безотносительно к теории ОЛДУ конечного порядка).

Очевидно, действие оператора /(-А), определенного по Дж. фон Нейману, на некоторую функцию можно разделить на три этапа: сначала функция разлагается в ряд Фурье по собственным функциям оператора А (пусть он, для определенности, имеет только точечный спектр), потом коэффициент ряда, соответствующий собственному значению Хп, умножается на /(А„), и, наконец, получившийся ряд суммируется. Таким образом, для вычисления значения функции f(A)u в некоторой точке XQ области определения функции и(х), нужно произведения этой функции на собственные функции оператора А интегрировать по всей этой области, то есть это значение зависит от всех значений функции и{х). Иначе говоря, оператор /(A), определенный по Дж. фон Нейману, нелокален. Но прикладные теории, нужды которых имеются в виду в настоящей работе, описывают процессы, имеющие локальный характер. Поэтому и на второй вопрос ответ будет отрицательным. Несомненно, локальными являются операторы умножения на любую функцию независимой переменной и ОЛДО конечного порядка, в которых производные определяются классически. В то же время любой самосопряженный оператор нелокален, поскольку принадлежность функции его области определения зависит от того, удовлетворяет ли эта функция некоторым интегральным условиям, в частности, условию квадратичной интегрируемости.

Заметим, что нелокальность псевдодифференциальных операторов хорошо известна физикам, и хотя они используют эти операторы для решения некоторых конкретных квантоворелятивистских задач (например, для расчета спектра водородоподобного атома [44,45,50]), но не упоминают о них в аксиомах релятивистской квантовой теории [3]. В работе [50] прямо говорится, что псевдодифференциальный оператор (на языке физиков — импульсное представление) используется только потому, что такое определение квадратного корня из дифференциального оператора, которое давало бы дифференциальный оператор, неизвестно.

Итак, для построения теории ОЛДУ бесконечного порядка необходимо дать такое определение ОЛДО бесконечного порядка, которое приводило бы к локальному оператору. Самосопряженные операторы в этой теории должны появляться так же, как в теории ОЛДУ конечного порядка — из решения задачи типа Штурма-Лиувилля: знание спектра и собственных функций такой задачи дает возможность построить разложение единицы и, следовательно, определить самосопряженный оператор. Этот оператор, очевидно, не входит в условие данной задачи, он, в противоречие со смыслом этого слова, не является тем, чем оперируют при решении этой задачи (оперируют только локальным оператором), а является результатом ее решения. Конечно, если появится другая задача, достаточно близкая к первой, этим оператором можно будет воспользоваться для ее решения, оперируя именно им (теория возмущений [28]).

Основные определения, частные решения

Итак, определение ОЛДО в виде "ряда Тейлора по степеням оператора дифференцирования" применимо, по-видимому, лишь к теориям типа теории уравнений с отклоняющимся аргументом. По этой теории имеется обширная литература, но в настоящей работе эта теория затрагиваться не будет, поскольку она слишком резко отличается от теории ОЛДУ конечного порядка.

Но этот подход можно усовершенствовать с помощью метода аналитического продолжения по параметру так, что эта трудность снимается. Действительно, в теории функций комплексной переменной функция f(z) может быть представлена рядом Тейлора с центром в любой точке, в которой f[z) голоморфна, и переход от одного представления к другому осуществляется с помощью аналитического продолжения, при этом существуют такие функции f(z), что это аналитическое продолжение может быть выполнено, как аналитическое продолжение по вещественному параметру, который меняется от нуля до единицы, то есть вместо функции f(z) рассматривается однопараме-трическое семейство функций {f(cez) : а [0,1]}. При этом предполагается, что функция f(z) такова, что нуль принадлежит ее области голоморфности, и любую точку этой области можно соединить с нулевой точкой отрезком прямой, целиком лежащим в этой области. Тогда при достаточно малых а функции f(az) и любому ОЛДО конечного порядка Dx (на самом деле, и дифференциального оператора в частных производных, но в диссертации рассматриваются только функции ОЛДО конечного порядка) можно сопоставить локальный оператор в виде "ряда Тейлора" по степеням aDx. Результатом действия этого оператора на любую функцию и: Р —У С (Р С R) из его области определения будет функция wa: Р - С, значение которой при любом х Р может быть представлено степенным рядом по степеням параметра а. Если этот ряд может быть аналитически продолжен как функция а до значения а = 1, то функция и принадлежит области определения оператора f(Dx), а результат этого продолжения — функция w\{x) — считается результатом действия оператора f(Dx) на функцию и:

По-видимому, такой оператор можно рассматривать как ОЛДО бесконечного порядка. Такое усовершенствование локального подхода предложено автором настоящей диссертации [14-18,47]. В ней определяются локальные дифференциальные операторы, названные голоморфными функциями дифференциального оператора, исследуются различные свойства этих локальных операторов и линейных уравнений, содержащих такие операторы, а затем выделяется и изучается такое подмножество этих уравнений — ОЛДУ бесконечного порядка — что теория начальных и краевых задач для них в максимальной степени аналогична теории задач Копш и Штурма-Лиувилля соответственно для ОЛДУ второго порядка.

Все полученные результаты иллюстрируются примерами, связанными, в основном, с уравнением, которое можно рассматривать как релятивистский аналог одномерного уравнения Шредингера для бесспиновой частицы конечной ненулевой положительной массы. Это не значит, что предлагается некоторый новый вариант релятивистской квантовой теории — разработка такой теории может быть осуществлена лишь физиками, знающими все экспериментальные данные, которым должна соответствовать эта теория. Автор хотел лишь продемонстрировать важнейшие математические свойства этого уравнения, показать, что эти свойства не дают оснований для того, чтобы отвергнуть его кандидатуру на роль основного уравнения релятивистской квантовой механики. Это явилось целью публикации [18].

Цели исследования, проводимого в диссертационной работе: 1) построить отображение некоторого подмножества (вообще говоря, неполиномиальных) голоморфных функций комплексной переменной ("символов") в множество локальных операторов, аналогичных обыкновенным линейным дифференциальным операторам конечного порядка, определенным классически — обыкновенных линейных дифференциальных операторов бесконечного порядка (голоморфных функций обыкновенных линейных дифференциальных операторов конечного порядка); 2) изучить основные свойства голоморфных функций обыкновенных линейных дифференциальных операторов конечного порядка; 3) построить основы теории уравнений бесконечного порядка (уравнений, операторы которых являются голоморфными функциями операторов конечного порядка) с постоянной потенциальной функцией; 4) выделить класс уравнений бесконечного порядка, для которых можно ставить задачи Коши с условиями, содержащими результат действия на решение операторов бесконечного порядка, и построить основы теории таких задач; 5) выделить класс уравнений бесконечного порядка, для которых можно ставить задачи типа Штурма-Лиувилля, и построить основы теории таких задач. В работе используются методы комплексного анализа, функционального анализа, теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений конечного порядка, спектральной теории краевых задач Штурма-Лиувилля.

Задача Коши и общее решение

В первом разделе второй главы даются определения ОЛДУ бесконечного порядка и его частного решения и изучаются некоторые их свойства. Согласно теореме 6 множество частных решений ОЛДУ бесконечного порядка с постоянными коэффициентами совпадает с множеством решений некоторого ОЛДУ конечного порядка: любой символ из S имеет лишь конечное число нулей, поэтому он может быть представлен в виде произведения полинома на голоморфную функцию, не имеющую нулей, а любая голоморфная функция ОЛДО конечного порядка может быть представлена в виде произведения ОЛДО конечного порядка на голоморфную функцию ОЛДО конечного порядка с символом, не имеющим нулей, а значит, имеющую обратный оператор. Следствие теоремы 6 утверждает, что рассматриваемые ОЛДУ бесконечного порядка имеют лишь конечное число линейно независимых решений. Это делает теорию таких уравнений во многом аналогичной теории ОЛДУ конечного порядка. Существуют, однако, и различия. Согласно теореме 7, неоднородное ОЛДУ бесконечного порядка с оператором из F(dx, G) имеет решения, только если его правая часть принадлежит B(dx,P,G). Тогда, согласно теореме 8, в случае, когда символ оператора уравнения не имеет нулей, уравнение имеет единственное решение, чего не бывает в теории ОЛДУ конечного порядка, но если он нули имеет, то аналогия с этой теорией полная: общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения. Каждому ОЛДУ бесконечного порядка с постоянными коэффициентами можно сопоставить характеристиче ское уравнение. Отличие от теории ОЛДУ конечного порядка здесь состоит в том, что характеристическое уравнение ОЛДУ бесконечного порядка может не иметь корней, поскольку в его левой части — не полином. Согласно теореме 9, в этом случае однородное ОЛДУ бесконечного порядка не имеет решений, а если характеристическое уравнение имеет корни, то этих корней — конечное число (так выбрано множество символов), и множество частных решений однородного ОЛДУ бесконечного порядка совпадает с множеством частных решений соответствующего однородного ОЛДУ конечного порядка, корни характеристического уравнения которого совпадают с корнями характеристического уравнения данного ОЛДУ бесконечного порядка. Конечно, в случае непостоянной потенциальной функции такого совпадения решений не будет. Но и при постоянной потенциальной функции совпадение имеет место, только если характеристическое уравнения ОЛДУ бесконечного порядка имеет корни. Наличие этих корней зависит от величины потенциальной функции, которая считается постоянной, но вид ОЛДУ конечного порядка, соответствующего данному ОЛДУ бесконечного порядка, от нее не зависит. А ОЛДУ конечного порядка всегда имеет решения. Но эти решения в том случае, когда характеристическое уравнение не имеет корней, не являются решениями исходного ОЛДУ бесконечного порядка. В этом происхождение трудностей релятивистской квантовой теории, связанных с наличием решений, соответствующих состояниям свободной частицы с отрицательной энергией.

Во втором разделе второй главы рассматриваются задача Копти и общее решение ОЛДУ бесконечного порядка с постоянными коэффициентами. Очевидно, для такого уравнения можно ставить те же задачи Коши, что и для соответствующего ОЛДУ конечного порядка. Однако в работе показано, что для уравнений вида (1) могут быть поставлены задачи Коши и с помощью ОЛДО бесконечного порядка, поскольку справедливо обобщенное тождество Лагранжа: Нельзя ли с их помощью ставить задачи Коши? Очевидно, для этого пригоден не каждый набор таких операторов. Действительно, решение задачи Коши состоит в том, что сначала находятся все линейно независимые решения уравнения, из них составляется линейная комбинация с дока неизвестными коэффициентами и подставляется в условия Коши. Получается система линейных алгебраических уравнений относительно этих коэффициентов. Таким образом, для единственности решения за дачи Коши необходимо, чтобы эта система имела ненулевой определитель. Это требование оставляет довольно большую свободу в выборе условий Коши. Но в теории ОЛДУ конечного порядка решения задачи Коши продолжимы на весь промежуток задания уравнения с помощью тех же условий Коши — это связано с замечательным свойством вронскиана системы решений: если решения линейно независимы (зависимы), он не равен (равен) нулю на всем промежутке задания уравнения, что следует из тождества Лагранжа. Поэтому условия Коши для ОЛДУ конечного порядка должны быть такими, чтобы определителем упомянутой системы уравнений был вронскиан. Таким образом, проблема поиска приемлемых условий Коши сводится к поиску аналога вронскиана в теории ОЛДУ бесконечного порядка. В настоящей работе эта проблема для произвольного ОЛДУ бесконечного порядка в общем виде не решается. Удалось, однако, выделить класс ОЛДУ бесконечного порядка, для которых этот аналог имеется. Этот класс соответствует подмножеству Sk С S символов вида f(z) = (/і2 — z2)1/ffc, где к Є N, fi Є (0, оо) (при к — 1 это ОЛДУ конечного порядка). Показано (лемма 4), что для уравнений этого класса справедливо обобщенное тождество Лагранжа. Поскольку (при к = 1) в этот класс входят и ОЛДУ второго порядка без членов первого порядка, то теория таких уравнений обобщается теорией уравнений этого класса. Аналогом вронскиана в этой теории служит выражение, стоящее под знаком производной в правой части обобщенного тождества Лагранжа. Этот аналог назван ft-вронскианом и обозначается Ь[х;щ,и2]. Оказывается справедливой теорема 10, которая утверждает эквивалентность трех утверждений (щ(х) и и2(х) — два решения):

Регулярная задача Штурма-Лиувилля и периодическая краевая задача

Покажем, что проблему нахождения частных решений уравнения (2.2) можно свести к аналогичной проблеме для некоторого ОЛДУ конечного порядка.

Если символ f(z) не имеет нулей, то уравнение (2.2) имеет только тривиальное решение и(х) = 0, в противном случае множество его частных решении совпадает с множеством частных решений ОЛДУ конечного порядкгде {п}1і — множество нулей символа f(z), a kn — кратность п-го нуля.

Доказательство. если символ f(z) не имеет нулей, то, по следствию 1 из теоремы 4, в F(dx,G) существует оператор g(dx) с символом g{z) = [/(-г)]"1, обратный оператору f(dx). Пусть и(х) — решение уравнения (2.2), тогда (2.2) — верное тождество. Подействовав на него оператором g(dx), получим: u(x) 0. Первое утверждение теоремы доказано. Пусть теперь символ f(z) имеет нули, тогда его можно представить в виде (1.13), следовательно, по теореме 4, оператор f(dx) можно представить в виде: где оператор fo(dx) имеет обратный оператор go(dx) Є F(dx,G). Если u(x) — частное решение уравнения (2.2), то (2.2) — верное тождество. Подействовав на него оператором go(dx) и используя (2.4), получим, что и(х) — решение уравнения (2.3). Наоборот, пусть и{х) — решение уравнения (2.3), тогда (2.3) — верное тождество. Подействовав на него оператором fo(dx) и используя (2.4), получим, что и(х) — решение уравнения (2.2). Теорема доказана полностью.

Уравнение (2.2) имеет конечное число линейно независимых решении. Это число, которое будем называть эффективным порядком уравнении (2.2) и (2.5), равно числу нулей символа f(z) с учетом их кратности. Множество решений является конечномерным комплексным линейным пространством.

Таким образом, теорема о совпадении числа линейно независимых решений ОЛДУ с порядком ОЛДУ [2] несправедлива, если порядок бесконечен. Это связано с тем, что ОЛДУ бесконечного порядка не может быть записано в виде (конечной или бесконечной) нормальной системы ОЛДУ по следующей причине: при записи ОЛДУ конечного порядка N в виде нормальной системы первые JV — 1 уравнений получаются просто как результат переобозначений, а реальный смысл имеет лишь последнее уравнение, соответствующее старшей производной. То есть ОЛДУ конечного порядка может быть записано в виде нормальной системы, потому что оно разрешимо относительно старшей производной. Но в ОЛДУ бесконечного порядка старшей производной нет. Вместе с тем нельзя, по-видимому, считать, что на самом деле уравнение (2.2) имеет конечный порядок, равный числу линейно независимых решений этого уравнения, поскольку это число может измениться при замене в уравнении оператора f(dx) на оператор f(dx) + С, где С — некоторая постоянная. В случае, когда оператор f(dx) имеет полиномиальный символ, то есть уравнение (2.2) действительно имеет конечный порядок, это, очевидно, невозможно. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Пусть символ f(z) є S имеет нули и оператор f(dx) в (2.2) может быть представлен в виде (2.4). Тогда уравнение (2.3) называется ОЛДУ конечного порядка, соответствующим урав-нению (2.2). Теперь понятно, почему в используемое здесь множество символов S включены лишь те функции комплексной переменной, которые имеют конечное число нулей. Оказывается, ОЛДУ бесконечного порядка, содержащие операторы с такими символами, имеют конечное число линейно независимых решений и тем похожи на ОЛДУ конечного порядка. Это позволяет строить теорию ОЛДУ бесконечного порядка (рассматриваемого здесь класса) по достаточно близкой аналогии с теорией ОЛДУ конечного порядка и, в то же время, как нетривиальное обобщение этой последней. Рассмотрим неоднородное уравнение: Прежде всего установим, каким условиям должна удовлетворять функция V(x), чтобы уравнение (2.5) имело хотя бы одно решение. ТЕОРЕМА 7. Чтобы уравнение (2.5) имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы V(x) Є B(dx, Р, G). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть u{x) — решение уравнения (2.5), тогда, во-первых, и B(dx,P,G), во-вторых, (2.5) — верное тождество. Тогда, по теореме 2, и V(x) Є B(dx, Р, G). Теорема доказана. Будем теперь считать, что в (2.5) V(x) Є В(дх, Р, G). Используя теорему б и теорему об общем решении неоднородного ОЛДУ конечного порядка, легко показать, что справедлива ТЕОРЕМА 8. Если f(z) не имеет нулей, то уравнение (2.5) имеет единственное решение u{x) = (g{dx)V)(x)j х Є Р гДе я{х) — опе ратор, обратный оператору f(dx), если же f(z) имеет нули {п}п=ъ и справедливо (2.4), то (2,5) имеет бесконечно много решении и сумма любого его решения и любого решения ОЛДУ конечного порядка (2.3) есть снова решение уравнения (2.5). Таким образом, ОЛДУ бесконечного порядка, в отличие от ОЛДУ конечного порядка, может вовсе не иметь решений или иметь единственное решение, но, как и ОЛДУ конечного порядка, может также иметь бесконечно много решений. По аналогии с теорией ОЛДУ конечного порядка с постоянными коэффициентами [40] сопоставим уравнению (2.2) следующее алгебра ическое уравнение:От характеристических уравнений ОЛДУ конечного порядка (2.6) отличается только тем, что в его левой части может находиться не полином, а некоторая, вообще говоря, нецелая функция, которая может не иметь нулей. В то же время, подобно характеристическим уравнениям ОЛДУ конечного порядка, уравнение (2.6) (если f(z) Є S) может иметь лишь конечное число корней, причем каждый из корней уравнения (2.6) имеет конечную кратность, то есть уравнение (2.2) имеет конечный эффективный порядок. Если он отличен от нуля, то, решив уравнение (2.6), легко найти фундаментальную систему решений и уравнения (2.2).

Похожие диссертации на Голоморфные функции дифференциальных операторов и дифференциальные уравнения бесконечного порядка

Линейные отношения, пары операторов и граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений второго порядка в гильбертовом пространствеМытник, Юрий Васильевич

Применение теории порядка и типа оператора в локально выпуклых пространствах к исследованию аналитических задач для дифференциально-операторных уравненийАксенов, Николай Александрович

Банаховы пространства бесконечно дифференцируемых функций и нелинейные дифференциальные уравнения бесконечного порядкаБалашова, Галина Сергеевна

Равномерные и С1 - приближения функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на компактах в R2Федоровский, Константин Юрьевич

О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на компактах в R^2 Зайцев Александр Борисович

Идеальные пространства вектор-функций: геометрия, интерполяция и применения к нелинейным операторам и уравнениямНгуен Хрнг Тхай

К теории операторно-дифференциальных уравнений высокого порядка Нуар Ахмед

Граничные задачи для дифференциально-операторных уравнений первого порядка в гильбертовом пространстве Левчук Валерий Владимирович

Колеблемость ветвящихся решений уравнений второго порядка - спектральная теорияАбдулмоджид Муаз

Гладкость и эргодичность слабых решений дифференциально-операторного уравнения первого порядкаМаркин, Марат Вениаминович