Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Краевые задачи для операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка на полуоси 15
Глава II. Краевые задачи для операторно-дифферен-циального уравнения четвертого порядка с нормальной главной частью на полуоси 65
Глава III. О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка на всей оси 102
Список использованной литературы ИЗ
- Краевые задачи для операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка на полуоси
- Краевые задачи для операторно-дифферен-циального уравнения четвертого порядка с нормальной главной частью на полуоси
- О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка на всей оси
Введение к работе
Успешное применение функциональных методов в прикладных целях явилось результатом того бурного развития, которое переживает функциональный анализ с начала нашего века. Оно служило мощным толчком для общего развития математики и помогло достичь крупных успехов в решении ряда важных вопросов научной практики. С другой стороны, прикладные задачи, в свою очередь, в немалой степени стимулировали последовательное расцветание функционального анализа как математической науки. Они служили для абстрактной теории "тем насущным хлебом, которым она живет", если выражаться словами французского математика А.Веиля.
Использование сильных орудий функционального анализа оказалось плодотворным, и обусловило крупнейшие достижения в различных областях математики, как дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, эргодической теории, теории управления и других.
Широкое применение, которое нашли и находят функциональные методы, вызванные прежде всего тем новым подходом к исследованию различных проблем математического анализа, той общей абстрактной формой рассмотрения этих проблем, которые позволяют одновременно изучать разные по прикладной сущности вопросы, рассматривая их с более глобальной точки зрения. Из этих соображений возникли такие задачи как изучение разрешимости абстрактных операторных и операторно-дифференциальных уравнений в абстрактных пространствах. В их прикладной основе стоят различ-
ные проблемы механики и математической физики. К числу таких уравнений относится, в частности, операторно-дифференциальное уравнение общего вида:
?{41Ль)и1ь)^Ъ^^ = л>>1 (ол)
с различными краевыми условиями в различных пространствах. Поэтому в последние годы широкое развитие получили исследования по этому направлению.
Среди уравнений вида (0.1) подробно изучены уравнения первого и второго порядков, для которых корректны задачи Коши, см. Сі,2] . В этом плане, нужно прежде всего упомянуть, ставшие классическими, результаты исследований Хилле, Филлипса, Иосиды и Като и»2,3 J . Ими были получены первые теоремы существования решения задачи Коши для уравнения вида (0.1) при
К ~ 1 с неограниченным оператором А <( и А0- І в банаховом пространстве, сформулированные в терминах теории полугрупп операторов. В этих работах были заложены основы теории операторно-дифференциальных уравнений, и как правило, рассматривалась задача Коши и предполагалось, что ^\ _ производящий оператор для полугруппы.
Задача Коши для операторно-дифференциальных уравнений более широкого класса была изучена в [ 4 ] . В случае дифференциальных операторов Aj» краевые задачи для уравнения (0.1) исследованы в работах Г.Е.Шилова, Г.В.Дикополова, В.П.Дрломадо-ва [5 J . Для уравнений второго порядка вида (0.1) краевая зада-
ча при так называемых нелокальных граничных условиях на [о , Т] рассмотрена в [б ] . Эта задача исследована также в [2 ] методом теории полугрупп. Впервые краевая задача для уравнения:
(J/# -Л)« = f (0.2)
без указанного предположения относительно оператора А , была изучена А.А.Дезиным в [&) и [9] . Последняя работа посвящена исследованию уравнения (0.2) в банаховом пространстве при граничных условиях:
где f< - произвольное комплексное число, 9- - заданный элемент
пространства. В работе строится обобщенное решение задачи при
предположении, что спектр оператора /\ не пересекается с по
люсами функции: а* і - /
В работе Романко fioj оператор vkf в (0.2) заменен на%„ и А предполагается нормальным оператором, порожденным дифференциальным выражением с постоянными коэффициентами. Изучены постановки корректных задач и установлена их разрешимость. Тот же круг идей исследуется в работах Н.И.Юрчука /IIJ и /12J для уравнений, содержащих в главной части операторы вида:
iJLm+1
где A - некоторый абстрактный оператор в гильбертовом пространстве, удовлетворяющий условию самосопряженности.
В серии работ /l3,I4,I5,I6J М.Г.Гасымова развивается теория К - корректных задач для уравнения вида (0.1) на полуоси, изучается связь разрешимости краевых задач с кратной полнотой части корневых векторов характеристического пучка, связь факторизации характеристического пучка с корректностью задачи с fc- краевыми условиями при * - . Позже, в работах [^7,18] М.Г.Гасымова установлена разрешимость краевых задач для опера-торно-дифференциальных уравнений с характеристическим многочленом в виде пучка М.В.Келдыша. В работах А.Ш.Кахраманова и Ш.Дж.Мамедовой LI9,20,2IJ найден класс уравнений, для которых существует корректно поставленная краевая задача.
В работах С.С.Мирзоева [22-28} получены точные условия на малости коэффициентов характеристического пучка, которые обеспечивают корректную разрешимость краевых задач на полуоси. В частности, получены условия корректной разрешимости краевых задач вида:
?(Jt#Hto - f«> (0-з)
В работах Шкаликова А.А. 29 J и Власова /30-31J изучена
ф - разрешимость краевых задач, полнота и минимальность убывающих решений, а в работе А.Г.Костюченко и А.А.Шкаликова 32] изучена корректная разрешимость для уравнений второго порядка на полуоси. В ряде работ С.А.Якубова и его учеников исследованы корректная разрешимость и фредгольмовость операторно-диффе-ренциальных уравнений при различных предположениях относительно коэффициентов (см. (33-36J ). Отметим, что в работах f37-39J Ю.А.Дубинского приводится классификация наиболее общих уравнений указанного типа и изучается постановка задач для этих уравнений и их разрешимость. Следует также отметить работы З.И.Ха-лилова [55,56] , где преди&лагается метод, при помощи которого разрешимость смешанных задач сводится к отысканию решения задачи Коши для одного класса абстрактных дифференциальных операторов. В работе J40] Х.А.Хасайнейна изучены корректность и фредгольмовость операторно-дифференциальных уравнений второго порядка с нормальной главной частью. Настоящая работа посвящается исследованию операторно-дифференциального уравнения ви-
где A ) Aj f j= o^..,Ujлинейные операторы в гильбертовом пространстве И . Уравнение (0.5) рассмотрено при различных предположениях относительно абстрактного оператора А и коэффициентов A I . Изучены, в частности, корректная разрешимость краевых задач для уравнения (0.5) на полуоси и корректная разрешимость на всей оси.
Работа состоит из трех глав. В главе I, следуя метод
работы [26J , мы изучаем уравнение (0.5) при предположении, что оператор Д самосопряженный и положительно определенный, с краевыми условиями:
/U*'(l} s о, *'**,' > **/ > *'*'*} (0.6)
В I первой главы вводятся необходимые определения и обозначения и ставится задача.
Область определения t)(А ) (V?) является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения:
Мы обозначим его через Н / .
Обозначим через 1)(^+, У) линейное множество бесконечно-дифференцируемых функций со значениями в /, имеющие компактные носители на *+ - 1 s09/*
Относительно скалярного произведения:
оно является гильбертовым пространством. Обозначим его пополнение через W&, и).
Далее, определяется пространство \л/(R+, U> 5,si) следующим образом:
*#,//,*,*;-/*/*« Ufa,»), #}'.,*u% = of
Определение 0.I Задача (0.5)-(0.6) называется регулярной,
если для каждой функции существует век-
тор функция ^U(f")mz W (fa, И ), которая удовлетворяет урав-
нению (0.5) почти всюду, а граничные условия (0.6) выполняются в смысле сходимости по норме пространства {J/i-_0 ** к-**'*/& Такой вектор функцию 1/СОт назовем регулярным решением задачи (0.5)-(0.6).
Такая постановка задачи имеется в работе /22 J С.С.Мирзоева, где задача (0.5)-(0.6) рассмотрена при з* = * Si- і . В данной работе, опираясь на результаты работы /26J , мы улучшаем результаты, полученные в /227 и получаем новые точные условия на малости коэффициентов Aj ,обеспечивающие разрешимость задачи (0.5)-(0.6) при различных значениях Sa, >V из /о/ i,z, ъС
Отметим, что результаты первой главы получены совместно с М.М.Мирзоевым. Основные результаты этой главы изложены в следующих теоремах:
Теорема I. Ц/сть имеет место следующее неравенство:
Тогда задача (0.5)-(0.6) имеет единственное регулярное решение из 1л/ (R+ / W, s*ySf ) в следующих случаях:
?* - о , sr і -г
-г„ =. 1? *і = *
Теорема 2. Цусть в задаче (0.5)-(0.6) s0& л, *t -z 3 и имеет место следующее неравенство:
Тогда задача (0.5)-(0.6) имеет единственное регулярное
- 10 -решение из Д/' (R4./ /-/,*, і ) .
Теорема 3. Пусть в Задаче (0.5)-(0.6) s0-0^s-fz-i и имеет место следующее неравенство:
Тогда Задача (0.5)-(0.6) имеет единственное регулярное решение из
Теорема 4. Пусть в Задаче (0.5)-(0.6) s0= * ** - * и имеет место следующее неравенство:
Тогда Задача (0.5)-(0.6) имеет единственное регулярное решение из
В главе П, в уравнении (0.5) оператор п предполагается нормальным, а его спектр <ґ ( А ) удовлетворяет следующим условиям:
Д <Ґ (А ) =-> / fti^a ' ^ "* /,г,
В краевых условиях (0.6) S0j S*f принимают следующие значения:
- II -
Такие же краевые условия для уравнения (0.5) были рассмотрены Мирзоевым в работе /23J . В данной работе, поменяв условия на спектр с1 (А )» мы улучшаем результаты работы /23 J .
Основные результаты второй главы изложены в параграфе 4 в следующих теоремах:
Теорема 5. Пусть в Задаче (0.5)-(0.6) «Л» = о, -v = *
и Д "ГуУ^ цть >%гу* ычл
Тогда Задача (0.5)-(0.6) - имеет единственное регулярное решение из W (tf+. Hj Ojl)*
Теорема 6. Пусть имеет место следующее неравенство:
/*
+ UvA~' //-= (і-**»*)
Тогда при ;е-о; ^ = . и ;, s /; -*/=* задача
(0.5)-(0.6) Имеет единственное регулярное решение VIZ У(&,/, Jo Л,
= і
Теорема 7. Цусть в Задаче (2.2)-(3.2) J+ - *> > si = и имеет место:
/' II +(Ь)1*к f'l + ()^//4, А~г/и
v*.
Тогда Задача (0.5)-(0.6) имеет единственное регулярное решение из W [R+, Н/ Л ^).
В главе Ш мы изучаем разрешимость уравнения (0.5) на всей оси. В этой части работы оператор А предполагается нормальным и его спектр (Г*(А) удовлетворяет следующим условиям:
1. У «Г G^ (А) =,> l<"f*l* * < ^
2. 7^^.3 =, If. У *
В этой главе получены новые результаты об условиях разрешимости уравнения (0.5) на всей оси.
В изложении результатов используются пространства Lz Cs "' и WfK. /-/j » которые мы определяем аналогично Lb [ R+, Н)
Исследуем достаточные условия, обеспечивающие существование и единственность решения (0.5) из пространства W {R, И) при правой части у(Ь) из пространства /., (/?, И) .
Определение 2. Если при всех fw из LMJ существует вектор функция 1L(t) из \\l(R, Н) такой, что равенство (0.5) выполняется пости всюду, то будем говорить, что урав-нени е (0.5) имеет регулярное решение из У[Я, И).
- ІЗ -
Основной результат этой главы изложен в следующей Теореме:
Теорема 8. Пусть имеет место следующее неравенство: і/
c/(s)llir/l
/
J=i
Тогда уравнение (0.5) имеет единственное регулярное ре
шение из Здесь числа С() определяются следую
щим образом:
[1)4 при o^t.- /$
L (в) = С^ () j= JifVcowt
(-C#if)
np*tr/f«*%
-'/.
-—. при Ті, < /ч
Lcc)~
при 0 ^ - "Я/
[ЛтЦВІ при Т\,< Є < h/.
?
За постановку задачи, полезные советы и постоянное внимание к работе автор приносит глубокую благодарность своим научным руководителям профессору А.Ш.Габибзаде и доценту С.С.Мир-зоеву.
Краевые задачи для операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка на полуоси
В работе Романко fioj оператор vkf в (0.2) заменен на%„ и А предполагается нормальным оператором, порожденным дифференциальным выражением с постоянными коэффициентами. Изучены постановки корректных задач и установлена их разрешимость. Тот же круг идей исследуется в работах Н.И.Юрчука /IIJ и /12J для уравнений, содержащих в главной части операторы вида: где A - некоторый абстрактный оператор в гильбертовом пространстве, удовлетворяющий условию самосопряженности.
В серии работ /l3,I4,I5,I6J М.Г.Гасымова развивается теория К - корректных задач для уравнения вида (0.1) на полуоси, изучается связь разрешимости краевых задач с кратной полнотой части корневых векторов характеристического пучка, связь факторизации характеристического пучка с корректностью задачи с fc- краевыми условиями при - . Позже, в работах [ 7,18] М.Г.Гасымова установлена разрешимость краевых задач для опера-торно-дифференциальных уравнений с характеристическим многочленом в виде пучка М.В.Келдыша. В работах А.Ш.Кахраманова и Ш.Дж.Мамедовой LI9,20,2IJ найден класс уравнений, для которых существует корректно поставленная краевая задача.
В работах С.С.Мирзоева [22-28} получены точные условия на малости коэффициентов характеристического пучка, которые обеспечивают корректную разрешимость краевых задач на полуоси. В частности, получены условия корректной разрешимости краевых задач вида:
В работах Шкаликова А.А. 29 J и Власова /30-31J изучена - разрешимость краевых задач, полнота и минимальность убывающих решений, а в работе А.Г.Костюченко и А.А.Шкаликова 32] изучена корректная разрешимость для уравнений второго порядка на полуоси. В ряде работ С.А.Якубова и его учеников исследованы корректная разрешимость и фредгольмовость операторно-диффе-ренциальных уравнений при различных предположениях относительно коэффициентов (см. (33-36J ). Отметим, что в работах f37-39J Ю.А.Дубинского приводится классификация наиболее общих уравнений указанного типа и изучается постановка задач для этих уравнений и их разрешимость. Следует также отметить работы З.И.Ха-лилова [55,56] , где преди&лагается метод, при помощи которого разрешимость смешанных задач сводится к отысканию решения задачи Коши для одного класса абстрактных дифференциальных операторов. В работе J40] Х.А.Хасайнейна изучены корректность и фредгольмовость операторно-дифференциальных уравнений второго порядка с нормальной главной частью. Настоящая работа посвящается исследованию операторно-дифференциального уравнения ви где A ) Aj f J= o ..,Ujлинейные операторы в гильбертовом пространстве И . Уравнение (0.5) рассмотрено при различных предположениях относительно абстрактного оператора А и коэффициентов A I . Изучены, в частности, корректная разрешимость краевых задач для уравнения (0.5) на полуоси и корректная разрешимость на всей оси.
Работа состоит из трех глав. В главе I, следуя метод работы [26J , мы изучаем уравнение (0.5) при предположении, что оператор Д самосопряженный и положительно определенный, с краевыми условиями:
В I первой главы вводятся необходимые определения и обозначения и ставится задача. Область определения t)(А ) (V?) является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения: Мы обозначим его через Н / . Обозначим через 1)( +, У) линейное множество бесконечно-дифференцируемых функций со значениями в /, имеющие компактные носители на + - 1 s09/ Относительно скалярного произведения: оно является гильбертовым пространством. Обозначим его пополнение через W&, и). Далее, определяется пространство \л/(R+, U 5,si) следующим образом: Определение 0.I Задача (0.5)-(0.6) называется регулярной, если для каждой функции существует век тор функция U(f")mz W (fa, И ), которая удовлетворяет уравнению (0.5) почти всюду, а граничные условия (0.6) выполняются в смысле сходимости по норме пространства {J/i-_0 к- /& Такой вектор функцию 1/СОт назовем регулярным решением задачи (0.5)-(0.6). Такая постановка задачи имеется в работе /22 J С.С.Мирзоева, где задача (0.5)-(0.6) рассмотрена при з = Si- і . В данной работе, опираясь на результаты работы /26J , мы улучшаем результаты, полученные в /227 и получаем новые точные условия на малости коэффициентов Aj ,обеспечивающие разрешимость задачи (0.5)-(0.6) при различных значениях Sa, V из /о/ i,z, ъС Отметим, что результаты первой главы получены совместно с М.М.Мирзоевым. Основные результаты этой главы изложены в следующих теоремах:
Краевые задачи для операторно-дифферен-циального уравнения четвертого порядка с нормальной главной частью на полуоси
В этой главе мы рассматриваем операторно-дифференциальные уравнения четвертого порядка на полуоси и изучаем разрешимость различных краевых задач для этих уравнений. В работе [26J при изучении краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений высокого порядка, получены точные оценки промежуточных производных и достаточные условия на малости коэффициентов рассмотренных уравнений, обеспечивающие разрешимость изученных задач. В этой главе метод работы [26] реализуется для рассмотренных нами задач.
В этом параграфе приводятся определения и обозначения и ставится задача. Пусть U - положительно определенный самосопряженный оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Н . Через С ( целое неотрицательное число) мы обозначим оператор, действующий в Н следующим образом: Область определения D (С /оператора С , со скалярным произведением: у _- " /\Sr J j является гильбертовым пространством Ну . Обозначим через линейное множество бесконечно дифференцируемых вектор функций со значениями в f f9 имеющих компактные носители в Линейное множество , снабженное скалярным произведением: является предгильбертовым пространством. Его пополнение обозначим через W(Rf-( У). Далее, обозначим через подпространство пространства W(R ,W]t определенный следующим образом: ГДЄ 0S o Xf3 По определению положим: г) ер 1 Из теоремы о следах [49] вытекает, что являются замкнутыми подпространствами пространства Wfl+, И ) . Теперь рассмотрим в гильбертовом пространстве А/ полиномиальный операторный пучок четвертого порядка: множество or-раниченных операторов в И . Очевидно, что операторный пучок (I.I) определен в пространстве f-jt, . Представим его в виде: Свяжем операторный пучок (I.I) со следующей краевой задачей: Определение I.I. Задача (2.1)-(3.1) называется регулярной, если для любой функции / «из LJL( +,H) существует фектор-функция 14.(+) ]л/((?4-, ,- 1 ), которая удовлетворяет уравнению (2.1) почти всюду, а граничные условия (3.1) выполняются в смысле сходимости по норме пространства u/ys , Нч- у-1/ь . Такую функцию 14(+) мы назовем регулярным решением задачи (2.1)-(3.1). Наша задача состоит в нахождении достаточных условий на коэффициентах пучка (I.I), которые обеспечивают существование регулярных решений задачи (2.1)-(3.1). Отметим, что эти условия записываются в виде малости норм операторов Q- (J ,-—J Yjvi являются точными. Определим на пространстве W(fl+/f fs S ) новую норму следующим образом:
О разрешимости операторно-дифференциального уравнения четвертого порядка на всей оси
Таким образом, если минимальное собственное значение мат рицы &i ( +1 обозначено через f (f) » то по выше дока занному: Q , f {о, ( . ) Но, так как f (?) есть непрерывная функция аргумента / , то обязательно: , , rt к ( Nv.j do,; ) является собственным значением (Яj (f о , ) . то есть: но это противоречит условию, что dU ( Ql (fo,fi) ) Ф для любого р из интервала - 44 -Таким образом мы доказываем, что если (№((2 ( ; 1))ф при J є (о, JZ]) то Пусть теперь уравнение , , „ к л JJU (Gs ( 0 4)) = имеет решения из интервала ( , Jv.j ) . Пусть K.j (f,f4 ) наименьшее из них. Это значит, что при некоторых = У)9І из ( л) матрица %( , ) имеет собственное значение, равное нулю. По Леммам (5.I) и (6.I) существуют векторы $0, $1 из такие, что ту Тогда, по Теореме (4.1) справедливо: ь Но, так как ІІС ЧҐ 4 то и в частности: Докажем, что строгое неравенство не может иметь место. Действительно, если: - 45 -Тогда, повторяя предыдущие рассуждения, можно доказать, что dU (Q;(s.,t4 ) -=0 при / = Nc ; ) а это противоречит предположению, что K.jft , ) есть минимальный положительный корень уравнения: dufr ( Q; ( , )) - Теорема доказана. Таким образом, в Теореме (5.1) мы определили, точные значения /Ц/У ( оу S f) , ГДЄ Ґо,Гі VLbf0/ /2,!} . ЭТИ значения будут использованы в следующем параграфе при исследовании достаточных условий разрешимости краевых зндач типа (2.1)-(3.1). 3. Приступим теперь к изучению разрешимости граничной задачи (2.1)-(3.1). Найдены достаточные условия в терминах малости коэффициентов пучка (I.I), обеспечивающие существование и единственность регулярного решения задачи (2.1)-(3.1) в смысле определения (I.I). Рассмотрены также конкретные случаи при различных значениях fo , i из / , г/ Ь . Имеются соответствующие теоремы для каждого случая. Сперва мы докажем следующую Лемму: Лемма 9.1. Пусть имеет место: Тогда задача (2.1)-(3.1) имеет единственное регулярное решение из W( К+ІЧ, sosSfJnpn любых Доказательство. Сначала рассмотрим следующую задачу:из LA. (fa, И) . Решение уравнения (2.1) имеет вид: qjОт) Vffo (Уо + rt) Щ + J9 Get, )}!9"" где G( t- ) есть функция Грина следующей задачи см. /23J : o.Vff , Uf ft-) аналитическая полугруппа порождена операторами /; С , где ь 4 г и?л, суть корни из левой полуплоскости уравнения: у _ у Подчиняя и&) начальным условиям (3.1) , мы получаем: Система (4Л) однозначно определяет коэффициенты % ЧЬ . Этим самым доказаны существование и единственность решения задачи (2.1)-(3.1 Г. Отсюда заключаем, что оператор взаимно-однозначно отображает пространство с нормой // V в пространство L L (R+, Н) . Опираясь на это, мы можем искать решение задачи (2.1)-(3.1) в виде: где аня m Liu (/?f Ш В результате этого задача (2.1)-(3.1) будет эквивалентна следующей: » где ПУт и ft из lb 1К+,Н). Но по неравенству (55.1) оператор I + PJ ( №) Обратим в / я, ( Я+ ,Ц), Следовательно, решение задачи (2.1)-(3.1) имеет вид: и является единственным. Лемма доказана. Следующая Теорема дает, в общем виде, достаточные условия существования и единственности регулярного решения задачи (2.1)-(3.1) при любых З , из {о, 1, I, з}.
