Содержание к диссертации
Введение
1. Равномерная аппроксимация -полиномами на компактах без внутренних точек 12
1.1. Формулировка задачи и основных результатов 12
1.2. Доказательство основных результатов 14
2. О равномерной приближаемо сти функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на компактах в R2 (случай произвольного компакта). 24
2.1 Формулировка задачи и основных результатов 24
2.2. Доказательство теоремы 2.1 28
2.3. Доказательство предложений 2.1 и 2.2 35
2.4 Доказательство теоремы 2.2 41
Список цитированной литературы 48
- Доказательство основных результатов
- Доказательство теоремы 2.1
- Доказательство предложений 2.1 и 2.2
- Доказательство теоремы 2.2
Введение к работе
Пусть
д2 рй я2
L = C115^ + 2C125_ + C22M (o.i)
— эллиптический оператор с постоянными комплексными коэффициентами сц, С]2 и с22- Эллиптичность оператора (0.1) означает, что корни (характеристического) уравнения (Jih/Uj
сцА2 + 2с12А + с22 = 0 (0.2)
невещественны. Если, кроме того, мнимые части (характеристических) корней уравнения (0.2) имеют разные знаки, то оператор (0.1) называется сильно эллиптическим.
В диссертации изучаются необходимые и достаточные условия равномерной приближаемости функций L-полиномами, т.е. полиномиальными (по xi и х%) решениями уравнения
1м = 0 (0.3)
на компактах в R2.
В наиболее общем виде интересующая нас задача формулируется так:
При каких условиях на функцию f и компакт X функция f может быть с любой точностью равномерно на X приближена L-полиномами?
Так как в классе непрерывных функций понятия классического и обобщенного решений уравнения (0.3) совпадают ([1, теорема 18.1]), то равномерный предел последовательности решений уравнения (0.3) в некоторой области снова является решением (в той же области). Отсюда следует, что условие Lf = 0 на внутренности Х компакта X является естественным необходимым условием возможности приближения функции / в сформулированной выше задаче.
ЮТрев Ж. Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. М. Мир. 1965.
рос. национальная] библиотека |
С. Петербург _-,/.; ОЭ WjJ atcuJJY і
Для более конкретного изложения введем необходимые нам в дальнейшем функциональные пространства.
Пусть X — компакт в R2, С{Х) — пространство всех комплексно-значных непрерывных на X функций с нормой ||/||х = ma* 1/(^)1-
Положим AL{X) = {/ Є С{Х) : Lf = 0 на X"}. Чер'ез А{Х) обозначим пространство функций, непрерывных на X и голоморфных на Xа. Через Т>ь и V обозначим соответственно классы L-полиномов и полиномов комплексной переменной, через Pl{X) и Р(Х) — замыкание в С(Х) пространств {р\х : р Є Vl) и {р\х : р Є V}, а через R{X) — замыкание в С(Х) сужения на X множества рациональных функций с полюсами вне X. При п > 2 пусть Рп{Х) означает замыкание в С(Х) сужения на X пространства полиномиальных решений уравнения д и = 0 (здесь и далее д = з (&Г + г-^-) — оператор Коши-
Римана), а Ап{Х) = {/ Є С{Х) : Tf = 0 на Х}. Если У — компактное подмножество в X, то через Rl(Y,X) (соответственно через R(Y,X) или R„(Y,X) при п > 2) обозначим замыкание в C(Y) пространства функций, определенных и удовлетворяющих уравнению (0.3) (соответственно голоморфных или удовлетворяющих уравнению д и = 0) в некоторой (своей для каждой функции) окрестности компакта X.
Мы ограничимся рассмотрением следующей задачи:
Каковы необходимые и достаточные условия на компактное множество X, при которых совпадают пространства Pl(X) и Ai{X)?
Компакт X с последним условием называется компактом аппроксимации (точнее, в нашем случае, компактом равномерной L-полиномиаль-ной аппроксимации, или, Ь-компактом).
иWalsh J.L. The approximation of harmonic functions by harmonic polynomials and by harmonic rational functions. Bull. Amer. Math. Soc. 1929. v.35, 499-544.
Р'Гамелин Т. Равномерные алгебры. М. Мир. 1973.
'^Парамонов П. В. Ст-приближения гармоническими полиномами на компактных множествах в R". Матем. сб. 1993. т.184. No 2, 105-128.
і При L = А ответ для
данной задачи дает следующая теорема Уолша-Лебега [2, стр. 503], [3, гл. II, теорема 3.3], которую мы приведем в том виде, как она сформулирована в [4, стр. 107]:
Теорема 1. Пространства Ра(Х) и А&(Х) совпадают в том и только в том случае, когда X — компакт Каратеодори.
Напомним, что X — компакт Каратеодори, если дХ = дХ, где дХ — граница компакта X, а X — объединение компакта X и всех ограниченных компонент множества Ш2 \ X.
Утверждение теоремы Уолша-Лебега с помощью линейной невырожденной замены переменных в R2 может быть дословно обобщено на случай оператора L со взаимно сопряженными характеристическими корнями.
Одним из основных результатов теории аппроксимации полиномами комплексного переменного является следующая теорема Мергеляна [5, стр. 44]:
Теорема 2. Пусть X — компакт в R2. Тогда Р{Х) = А(Х) тогда и только тогда, когда R2 \ X связно.
Заметим, что в приведенных выше критериях полиномиальной аппроксимации соответствующие условия приближаемости являются чисто топологическими и нелокальными.
Для операторов L с условием Аі ф Аг ситуация обстоит заметно сложнее. Основная трудность связана с отсутствием принципов максимума и подходящих результатов о разрешимости и устойчивости задачи Дирихле (в классической постановке) для уравнения (0.3) в од-носвязных плоских областях. Здесь наиболее сильным на данный момент является следующий результат [6, теорема 7.4]:
ИМергеллн С. Н. Равномерные приближения функций комплексного переменного. УМН. 1952. т.7. N 2, 31-122.
t6lVerchota G. С, Vogel A. L. Nonsymmetric sistems on nonsmooth planar domains. Trans. Amer. Math. Soc. 1997. v.349. No 11, 4501-4535.
Теорема 3. Пусть D — жорданова область с кусочно-гладкой границей в R2, L — сильно эллиптический оператор вида (0.1). Тогда для любой функции f C(dD) существует единственная функция и Al(D) с условием u\qd = /.
В 1962 г. Браудер получил результат [7, теорема 2], из которого следует
Теорема 4. Пусть D — жорданова область с гладкой границей. Тогда PL(D) = AL(D).
При доказательстве здесь существенно использовались теоремы вложения Соболева, которые требуют весьма ограничительных условий гладкости на границу компакта.
В 1999 г. П. В. Парамонов и К. Ю. Федоровский установили следующий результат (см. [8, теорема 1.1(2)]):
Теорема 5. Пусть X — компакт в К2, R2 \ X — связно. Тогда Pl{X) = AL(X).
Заметим, что теорема 5 для случая L = д была ранее доказана X. Кармоной в работе [9].
Из теоремы 5 следует, что если X — компакт Каратеодори с несвязным дополнением и в каждой ограниченной компоненте множества R2 \ X задача Дирихле для уравнения (0.3) разрешима при любой граничной функции, то Pl(X) = Аі(Х). В частности, если X — компакт Каратеодори, дХ является объединением конечного числа кусочно-гладких жордановых контуров, L — сильно эллиптический
PIBrowder F. Е. Approximation by solutions of partial differential equations. Amer. Math. J. 1962. v.84. No 1.
^Парамонов П.В., Федоровский К.Ю. О равномерной и С^-приближаемости функций на компактах в R2 решениями эллиптических уравнений второго порядка. Ма-тем. Сборник. 1999. т.190. No 2, 123-144.
'''Carmona J. J. Mergelyan approximation theorem for rational modules. J. Ap-prox.Theory. 1985. v.44, 113-126.
оператор, то из теоремы 3 следует, что Pl(X) = Al(X). Таким образом, в случае произвольного сильно эллиптического оператора вида (0.1) условие связности множества R2 \ X не является необходимым для совпадения пространств Pl(X) и Аь(Х).
Примененный в работе [8] локализационный метод А.Г. Витушкина [10] является весьма универсальным и широко используется в задачах аппроксимации функций решениями общих эллиптических уравнений в метриках различных функциональных пространств.
В 1996 году К.Ю. Федоровский [11] установил критерий аппроксимации полианалитическими многочленами на спрямляемых контурах в М2. В [11] существенным является понятие неванлинновского контура. Спрямляемый жорданов контур Г называется неванлинновским, если существуют функции f(z) и g{z) (д ф 0), ограниченные и голоморфные внутри Г, такие, что почти всюду на Г имеет место равенство ( = —ттг в смысле угловых граничных значений. Примером
неванлинновского контура является окружность. Напротив, любой эллипс, не являющийся окружностью, не является неванлинновским контуром. Также не является неванлинновским контуром любой спрямляемый контур, содержащий две аналитически независимые аналитические дуги ([11, предложение 2]). Основным результатом работы [11] является следующий (см. [11, теорема 1]):
Теорема 6. Пусть Г — спрямляемый контур в R2, п > 2. Тогда Р„(Г) = С(Г) тогда и только тогда, когда Г не является неванлинновским контуром.
Из теоремы б вытекает отсутствие каких-либо топологических критериев выполнения равенства Рп(Х) = А„(Х).
110'Витушкив А.Г. Аналитическая емкость множеств в задачах теории приближений. УМН. 1967. т.22. No 6, 141-199.
'"'Федоровский К. Ю. О равномерных приближениях функций п-аналитическими полиномами на спрямляемых контурах в С. Матем. заметки. 1996. т.59. вып. 4, 604-610.
'"Кармона Х.Х., Парамонов П.В., Федоровский К.Ю. О равномерной аппроксимаї
В 2002 г. П.В. Парамонов, К.Ю. Федоровский и X. Кармона [12] существенно обобщили результат [11, теорема 1]. В работе [12] были даны определения неванлинновской и локально неванлинновской областей. Ограниченная односвязная область D называется неванлинновской (соответственно локально неванлинновской), если существуют функции / и д (д ф 0), голоморфные и ограниченные в D (соответственно голоморфные и ограниченные в D \ Ко, где К0 — некоторый компакт, лежащий в D), такие, что почти всюду на единичной окружности имеет место равенство (в смысле угловых граничных значений)
, , .. = u)(t), где ui(-) — некоторое конформное отображение еди-9(w{4) ничного круга В на область D. Имеет место следующая теорема ([12,
теорема 2.2]):
Теорема 7. Пусть X — компакт Kapameodopu el2c несвязным дополнением, п > 2. Тогда Рп(Х) = Ап(Х) тогда и только тогда, когда каждая ограниченная связная компонента G множества М2 \ X не является неванлинновской областью (что, в свою очередь, эквивалентно условию Rn(dG,G) — C(dG)).
П. В. Парамонов и К. Ю. Федоровский сформулировали следующую гипотезу (см. [8, гипотеза 4.1(2)]):
Гипотеза 1. Пусть L — сильно эллиптический оператор. Тогда для выполнения условия Pl{X) = Al(X) необходимо и достаточно, чтобы X был компактом Kapameodopu.
—2
Для случая L — д гипотеза, аналогичная гипотезе 1, не верна как в части достаточных (см. выше), так и в части необходимых условий. В частности, имеет место следующая теорема (см. [12, теорема 4.3]):
Теорема 8. Пусть жорданова область D со спрямляемой границей не является локально неванлинновской, К — компакт, лежащий в
ции полианалитическими полиномами и задаче Дирихле для бианалитических функций. Матем. Сборник, 2002. т.193. No 10, 75-98.
D, n > 2. Предположим, что P„(K) = Ап(К). Тогда Рп{К U dD) = An(KUdD).
Примером области, не являющейся локально неванлинновскои, служит любая жорданова область, у которой граница содержит две аналитически независимые аналитические дуги.
Цель работы. В диссертации изучаются необходимые и достаточные условия на компактное множество X, при которых совпадают пространства Pi{X) и Ас(Х).
''
Научная новизна. Пусть ф — некоторый фиксированный гомеомор
физм плоскости М2 на себя, Р — совокупность ф — полиномов, т.е.
*' комбинаций вида {p\(z) +Р2(Ф{2)),Р\ и Р2 — полиномы комплексного
переменного }. В первой главе диссертации вводится новое понятие ф-специальных областей Каратеодори и изучаются свойства этих областей. В терминах ^-специальных областей дается характеристика всех нигде не плотных компактов Каратеодори X, для которых пространство Р плотно в С(Х) (назовем такие компакты г^-компактами).
Во второй главе изучаются L-компакты общего вида. Получены новые результаты редуктивного характера, позволяющие установить, что X является L-компактом при условии, что таковыми являются некоторые специальные топологически более простые подмножества компакта X.
В диссертации получены следующие основные результаты:
-
для произвольного гомеоморфизма ф плоскости на себя в терминах ^-специальных областей охарактеризованы все нигде не плотные ^-компакты Каратеодори (теорема 1.1).
-
доказаны редуктивные теоремы, позволяющие получить ряд условий, при которых X является L-компактом; в частности:
« (а) если L — сильно эллиптический оператор, то всякий компакт
u Каратеодори является L-компактом (следствие 2.2 — аналог доста-
точных условий в теореме Уолша-Лебега);
(б) для операторов L с условием Лі ф Аг, не являющихся сильно
эллиптическими, класс L-компактов Каратеодори описан в терминах
так называемых L-специальных областей (следствие 2.1); приведен ряд содержательных примеров наличия и отсутствия аппроксимации;
(в) для операторов L, не являющихся сильно эллиптическими, найден большой класс L-компактов, не являющихся компактами Карате-одори (теорема 2.2 и пример 2.1).
Приведенные здесь основные результаты диссертации являются новыми и обоснованы строгими математическими доказательствами. Точные формулировки приведены ниже.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоре
тический характер. Ее результаты могут быть использованы в ряде
разделов теории приближений.
Методы исследования. В диссертации исгіользуются: теория разло- %
жения ортогональных мер (см. [13], [14], [3]), элементы классической теории потенциала (см. [15]), локализационный метод Витушкина (в контексте работы [8]), а также ряд классических результатов о граничных свойствах голоморфных функций (см. [16], [17]).
Аплробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинарах по комплексному анализу на механико-мате-матическом факультете МГУ (под руководством акад. РАН А. Г. Витушкина, акад. ВШ Е. П. Долженко, проф. П. В. Парамонова).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [zl], [z2] и [z3]. Работ, написанных в соавторстве, нет.
["'Bishop Е. The structure of certain measures. Duke Math. J: 1958. v.25. No 2, 283-289. І В настоящей работе цитировал русский перевод: Э. Бишоп. Структура некоторых мер. В сб. "Некоторые вопросы теории приближений''. М. ИЛ. 1963, 74-86.
'"'Bishop Е. Boundar" measures of ar.al"tic differentials. Duke. Math. J. 1960. v.27. No
3, 331-340. / В настоящей работе цитирован русский перевод: Э. Бишоп. Граничные
меры аналитических дифференциалов. В сб. "Некоторые вопросы теории приближе
ний''. М. ИЛ. 1963, 87-100. I
'^Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М. Наука. 1966. *
''"'Галузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. М. Наука. 1966.
'^Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций. М.-Л.: Гостехиэдат. j
1950. *
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Глава 1 состоит из двух параграфов, а глава 2 — из четырех параграфов. Общий объем диссертации составляет 50 страниц. Список литературы содержит 29 наименований.
Доказательство основных результатов
Если ф — гомеоморфизм плоскости R2 на себя, меняющий ориентацию замкнутых жордановых кривых, то -специальных областей не существует. Это утверждение непосредственно следует из теоремы 1.1 и результатов О Фаррелла ([15, теорема 1]). Независимое доказательство этого факта дается в приведенном ниже доказательстве следующего утверждения. Следствие 1.1. Пусть X — компакт Каратеодори без внутренних точек, ф — гомеоморфизм плоскости Ш2 на себя, меняющий ориентацию замкнутых жордановых кривых. Тогда множество Р плотно в С{Х). Напомним, что любой сильно эллиптический оператор L может быть приведен невырожденным линейным преобразованием плоскости R2 к виду (0.4) при Р — 1, т.е. в данном случае отображение Тр является гомеоморфизмом Ш2 на себя, меняющим ориентацию. Таким образом, из следствия 1.1 следует Следствие 1.2. Пусть X — компакт Каратеодори без внутренних точек, L — сильно эллиптический оператор. Тогда Рь(Х) = С(Х). Для неванлинновских аналитических жордановых контуров верно следующее достаточное условие приближаемости: Следствие 1.3. Пусть D — неванлинновская жорданова область с аналитической границей Т, L — оператор вида (0.4) при (3 1. Тогда D не является L-специальной, т.е. Рь(Г) = С(Г). Напомним сначала некоторые определения. Пусть D — область Каратеодори, функция / голоморфна в D. Говорят, что дифференциал f(t)dt принадлежит H(D) (см. [22, определение 4]), если существуют константа С 0 и последовательность Jn, п = 1,2, спрямляемых жордановых контуров в области D, "определяющих" границу D (т.е. ограниченные ими жордановы области исчерпывают D), такие, что Пусть мера ц имеет носитель на 3D. Говорят, что мера ц является граничной мерой дифференциала f(t)dt класса H(D) (см. [22, определение 5]), если последовательность 5п из предыдущего определения может быть выбрана так, чтобы для всех функций h Є C(D). Доказательство теоремы 1.1. Пусть ни одна из связных ком-понент множества X \ X не является -специальной. Предположим, что Р не является плотной в пространстве С(Х). Так как по теореме Рисса-Маркова ([25, теорема IV.17]) каждый линейный функционал р на пространстве С(Х) представляется в виде где / Є С(Х), a ji p — конечная борелевская комплекснозначная мера с носителем на X, то существует ненулевая борелевская комплекснозначная мера /І на X, удовлетворяющая условиям Пусть X \Х = U Gj, где Gj — ограниченные связные компоненты множества R2 \ X, J — некоторое натуральное число или со.
Так как Г — компакт Каратеодори, то все области Gj являются областями Каратеодори. При t Є R2 \ X положим — преобразование Коши меры fi. Из (1.2) и теоремы Рунге следует т=о (1.4) Из условия (1.4) следует, что fi(t)dt является дифференциалом класса H(Gj) ([22, теорема 2]) при всех J, так что существуют борелевские комплекснозначные меры ///, такие, что Supp (i/j) С dGj и i/j является граничной мерой для Ji{t)dt относительно Gj. При этом при t Є Gj ([22, теорема 1]). Кроме того, при к ф I меры щ и vi сингулярны друг относительно друга ([22, лемма 10]). Отсюда следует, что для любого натурального сходится по норме пространства мер. При этом преобразование Копта 3 меры 52 vi равно Д() при t Є X \ X и нулю вне X. Таким образом, J преобразование Коїли меры /z — E vj обращается в нуль всюду вне X. J Значит, [і = Yluj ([3? Гл. VIII, следствие 8.4]). j=\ Замечание 1.1. Если Ji(t) = 0 при t Є Gj, то легко показать, что Vj = 0. Пусть X i = ф(Х). Так как ф — гомеоморфизм, то данное отображение переводит связные множества в связные. Поэтому (R2 \ X) С R2 \Хч. Аналогично доказывается, что -1(R2 \Хч) С12\Х. Таким образом, (R2 \ X) = R2 \ Хч. Отсюда следует, что каждая точка Хч является граничной для множества R2 \ Хч- Поэтому Хч — компакт Каратеодори. Аналогично доказывается, что ограниченные связные компоненты множества R2 \ Хч есть множества (G/) и только они, и что 0( ()) = (30,-). Определим на Хч меру цч по формуле Цч{3) — и(Ф 1{3))- Из (1.3) следует, что мера \іч удовлетворяет условиям при п — 0,1,2, . Из (1.5) и теоремы Рунге следует, что Из (1.6) следует, что существуют меры Учj с носителями на (0(7/), j = 1,2, , попарно сингулярные друг относительно друга, такие, что i=i Определим на dGj меру Oj по формуле CTJ(S) — 1/2,./( ( ))- Из (1.6) следует, что при t Є Ш? \ Gj, меры Uj,j = 1,2, попарно сингулярны друг относи- J тельно друга и ц = Y2 Меры Uj и Oj сосредоточены на множестве достижимых граничных точек области Gj, причем меры Ї/J и CTJ любой точки равны нулю ([22, лемма 9]). Так как любые две области G и G/, к фі, имеют не более одной общей достижимой граничной точки (см. доказательство леммы 10 работы [22]), то для любого подмножества S множества достижимых граничных точек Gj имеем Vj(S) = n(S) и Tj(S) = /І(5). Следовательно, Oj = Vj при всех.; . Поэтому J Замечание 1.2. Из разложения ц = Yliv5 (а значит, и из условия (1-4)) следует, что мера /і любой точки равна нулю. Так как /і — ненулевая мера, то существует j, такое, что Vj — ненулевая мера. Пусть G — некоторая связная компонента множества X \ X. Предположим, что существует ненулевая мера /і с носителем на 0G, удовлетворяющая условиям (1.4) и (1.7) при t Є Ш2 \ G. Пусть cu(w) — некоторое конформное отображение единичного круга В на G, имеющее радиальный предел в точке 1, x(z) — обратное по отношению к D(W) отображение. Обозначим через R С дВ множество точек, в которых существуют угловые пределы функции и.
Обозначим через М множество достижимых граничных точек области G. Между точками множества М и точками множества R существует взаимно однозначное соответствие, причем х(М) = i?, u(R) = Так как мера /z удовлетворяет условию (1.4) при t Є R2\G, то //(Г\ М) = 0. Пусть f\(w) — Ji(u(w)). Так как дифференциал fi(t)dt Є H(G), то дифференциал f\(uf)uJ{w)dw Є Н(В). Поэтому на дВ существует борелевская комплекснозначная мера /х, которая является граничной мерой данного дифференциала. Мера ft удовлетворяет условиям Между мерами \i и /2 существуют следующие соотношения ([21, теорема 4] с учетом замечания в конце доказательства леммы 9 работы [22]): 1) Если S С М -измеримо, то x(S) Д-измеримо, причем n(S) = 2) Если S С дБ Д-измеримо, то u(SHR) /г-измеримо, причем fi(S) = fi(w(SnR)). По теореме Риссов ([3, глава II, теорема 7.10]) мера /Ї абсолютно непрерывна на дВ относительно линейной меры. Определим функцию Ф на дВ следующим образом: Ф(1) — некоторая фиксированная комплексная постоянная, которую мы выберем позже, Ф(е") = Ф(1) + Д(тв), где 0 s 27Г, т8 = {eip : 0 р s}. Очевидно, что функция Ф абсолютно непрерывна и непостоянна на дВ. Из определения данной функции следует, что где п = 0,1,2, . Интегрируя по частям, получаем, что Из (1.8) следует, что существует функция F(w) класса А(В), удовлетворяющая условию F{w)\dB При отображении ф каждой достижимой граничной точке области G соответствует достижимая граничная точка области ф{С) и наоборот, при отображении ф 1 каждой достижимой граничной точке области ф{С) соответствует достижимая граничная точка области G. Таким образом, множество ф(М) совпадает с множеством всех достижимых граничных точек области ф(Є). Также очевидно, что ф{С) — область Каратеодори. Из условий (1.7) следует, что мера fi2 удовлетворяет (1.6) при t G М2 \ Ф№). Обозначим через и 2(ги) конформное отображение В на ф(Сі), имеющее в точке 1 радиальный предел, равный ф(и(1)), а через Х2(С) — конформное отображение области ip(G) на единичный круг, обратное по отношению к U2(iv). Через / Q &В обозначим множество точек, в которых существуют угловые пределы функции UJ2- Очевидно, что (#2) = ф(М).
Доказательство теоремы 2.1
В данной главе рассматривается следующая задача аппроксимации для "классов функций": Задача 2.1. Найти необходимые и достаточные условия на компакт X и на оператор L, при которых Основным результатом настоящей главы является Теорема 2.1. Пусть X — компакт в Ж2 с несвязным дополнением. Тогда для того, чтобы выполнялось равенство Р (Х) = AL(X), необходимо и достаточно, чтобы для любой связной компоненты G множества Х, содержащей точки множества Ш \ X, выполнялось равенство Если X — компакт Каратеодори, то связные компоненты множества Х, содержащие точки множества R2 \ X, совпадают в точности с ограниченными связными компонентами множества К.2 \ X. Если 1 ф 2? то из теоремы 1.2 следует, что Рі(дХ) = С(дХ) тогда и только тогда, когда каждая ограниченная связная компонента G множества R2 \ X не является L-специальной областью. Таким образом, имеет место следующее утверждение, которое является обобщением [12, теорема 2.2(2)] на случай произвольного эллиптического оператора вида (0.1): Следствие 2.1. Пусть X С IR2 — компакт Каратеодори с несвязным дополнением. Тогда для того, чтобы выполнялось равенство PL(X) = AL(X), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство RL(OG,G) = C(dG) для любой связной ограниченной компоненты G множества Ш2 \ X. Если А і ф А2, то последнее условие эквивалентно тому, что G не является L-специалъной областью. Используя данное следствие и учитывая следствие 1.2, получаем Следствие 2.2. Пусть Xcl2 — компакт Каратеодори, L — сильно эллиптический оператор. Тогда Имеет место следующее необходимое условие равномерной аппроксимации L-полиномами: Предложение 2.1. Пусть X — компакт в Ш2 такой, что Рь{Х) = AL{X). Тогда все связные компоненты множества Х являются од-носвязными областями. Отметим, что утверждение предложения 2.1 при Ai = А2 вытекает (после линейной невырожденной замены переменных в М.2) из принципа максимума для гармонических функций. Пусть D — ограниченная область в R2. Скажем, что для оператора L в области D выполняется ослабленный принцип максимума, если существует такая зависящая только от L и D константа р О, что тах« ртахм для любой функции и Є C(D), удовлетворяющей уравнению (0.3) в D. Напомним, что через Ф мы обозначили специальное фундаментальное решение для оператора L (см. введение).
Справедливы следующие Предложение 2.2. Пусть D — область Каратеодори в R2 с границей Т, содержащей некоторую открытую аналитическую дугу 7? причем каждая точка 7 является достижимой граничной точкой области D. Пусть оператор L не является сильно эллиптическим и Аі ф Аг- Тогда 1) для L в D не выполняется ослабленный принцип максимума; 2) если -Рі(Г) = С (Г), то существует точка с Є D, такая, что РДГи{с}) = С(Ги{с». Теорема 2.2. Пусть L — оператор вида (0.4) при /3 1, D — жор-данова область со спрямляемой границей Г, К — компакт, лежащий в D с условием Рь(К) = Ai (К). Предположим, что не существует функций F, Fp и меры и со следующими свойствами: 1) F Є A(D), Fp Є A(Tp(D)), F и Fp абсолютно непрерывны на 3D и дТр{р) соответственно; Supp(cr) С К. 2) ( 7 Ф)() = F(Q-Fp{TpQ при всех С Є Г, но не при всех С Є D\K. Тогда РЬ(Г U К) = АЬ(ГU К). Приведем пример использования теоремы 2.2. Пример 2.1. Пусть D — жорданова область со спрямляемой границей Г, содержащей две аналитические дуги 71 и 72 со следующими свойствами: 1) 7i и 72 имеют общее начало в точке 0; 2) 7i касается в точке 0 мнимой оси, а 72 — вещественной. Предположим, что величина внутреннего угла области D в точке 0 равна . Далее, пусть компакт К С D, L — оператор вида (0.4) при{3 1, PL(K) = AL(K). ТогдаРь(ГиК) = Аь{ГиК). Не ограничивая общности, будем доказывать теорему 2.1 для случая эллиптического оператора L вида (0.4). Докажем сначала достаточность условий теоремы 2.1. Каждая функция класса Ai{X) может быть равномерно на X приближена функциями класса C/0C(R2), каждая из которых удовлетворяет уравнению (0.3) на Х и в некоторой (каждая в своей) окрестности множества дХ (см. [8, доказательство теоремы 3.1] и [8, лемма 3.1]). Таким образом, достаточно доказать принадлежность к классу Рь(Х) любой функции класса Л і (X), продолжающейся до функции, удовлетворяющей уравнению (0.3) всюду в R2, за исключением некоторого компакта, лежащего целиком в некоторой (своей для каждой функции) связной компоненте множества Х. Следовательно, достаточно рассмотреть случай компакта X, такого, что множество Х\Х содержится целиком внутри одной связной компоненты G множества Х. Пусть v — некоторая борелевская комплекснозначная мера, Т — некоторое подпространство пространства функций С(Х). Будем писать и ± J7, если f fdt/ = 0 для всех / Є Т. В силу теоремы Рисса-Маркова [25, теорема IV.17] достаточно доказать, что любая борелевская комплекснозначная мера \і на X с условием /І X PL{X) удовлетворяет условию /z J_ А (Х). Рассмотрим сначала случай Аі ф А2. Итак, пусть мера /г ± Pi{X). Тогда (см. [8, теорема 1.1(2)]) Пусть ZQ Є G. Имеет место разложение // = fia + fis, где мера ца абсолютно непрерывна относительно некоторой положительной пред-ставляющей меры //о для точки ZQ В алгебре Р(X), а мера ц8 сингулярна относительно всех положительных представляющих мер для точки ZQ в алгебре P{X) (CM. [3, гл. II, следствие 7.5]). Из (2.1) следует, что при z Є Л2 \ X (см. [З, гл. II, теорема 7.6]). Обозначим через М множество точек dG, достижимых изнутри области G. Имеет место следующая Лемма 2.1. Доказательство. Докажем а). Так как Supp( o) Я: G ([3, гл. VI, теорема 3.3]), то Supp (ца) С Xf\G. Пусть существует точка z\ Є X\G, в которой (ia(z\) ф 0. Тогда для любой функции h(z) Є Р{Х) имеем является комплексной представляющей мерой для точки z\ в алгебре Р{Х). Следовательно, существует (положительная) представляющая мера для точки z\ в алгебре Р(Х), абсолютно непрерывная относительно /га, а значит, и относительно /ZQ ([3, гл. И, теорема 2.2]), что невозможно, так как ZQ И Z\ принадлежат разным долям алгебры Р{Х) ([3, гл. VI, теорема 2.2, теорема 4.4]). Итак, pTa{z) = 0 при z Є К2 \ G. Пусть S — некоторое замкнутое подмножество множества 0G \ М, т — мера с носителем на 8G, т ± R(dG,G). Тогда \r\(S) = 0 ([21, лемма 9]). Поэтому S — интерполяционное множество пика для алгебры R(dGjG) ([3, гл. II, теорема 12.7]). Из принципа максимума для голоморфных функций следует, что R(dG,G) = R(G)\dG- Следовательно, S — интерполяционное множество пика для алгебры R(G). Так как мера /ха _L R{G), то //a(S) = 0. Таким образом, /xa(dG \ М) = 0, и а) доказано.
Докажем б). Пусть существует точка z2 Є G, в которой ft8(z2) ф 0. В таком случае множество точек z Є G, при которых /Ts(z) ф 0, имеет положительную плоскую меру. Так как интеграл существует для почти всех z Є G относительно плоской меры Лебега, то можно предположить, что существует. Тогда при всех h(z) Є Р{Х). Таким образом, мера является представляющей мерой для точки z2 в алгебре Р{Х). Следовательно, существует положительная представляющая мера для точки z2 в алгебре .Р(Х), абсолютно непрерывная относительно меры /xs. Но мера ц3 сингулярна относительно всех положительных представляющих мер для точки ZQ в алгебре Р(Х), а точки zo и z2 принадлежат одной доле данной алгебры. Поэтому мера ц8 сингулярна относительно всех положительных представляющих мер для точки z2 в алгебре Р{Х) ([3, гл. VI(2.2)]). Из полученного противоречия следует, что /Ts( ) = 0 при z Є G. Отсюда следует, что //s(G) = 0 ([3, гл. II, теорема 8.2]), следовательно, Supp(/is) С X\G. Остается доказать, что /zs(M) = 0. Пусть S2 С М — замкнутое множество, мера т2 _L R(dX,X \ G). Тогда мера т2 любой точки множества дХ равна нулю (см. замечание 1.2), т2 сосредоточена на множестве точек, каждая из которых является достижимой граничной точкой какой-либо связной компоненты множества Х \ G (см. замечание 1.1). Так как пересечение множества всех таких точек с множеством М состоит из не более чем счетного числа точек, то (тгК г) = 0. Поэтому 5г — интерполяционное множество пика для алгебры R(dX,X \ G) (см. [3, гл. II, теорема 12.1, теорема 12.7]). Из принципа максимума следует, что R(dX,X \G) = R(X \G)\d%. Следовательно, S2 — интерполяционное множество пика для алгебры R(X \ G). Так как \is _L R(X \ G), то 1/ 10) = 0. Таким образом, /JS(M) = 0. Лемма 2.1 доказана.
Доказательство предложений 2.1 и 2.2
Пусть теперь /3 —1. Тогда Ф(г) = CQ\n(zzp), где \n(zzp) — некоторая ветвь многозначной функции Ln {zzp), однозначно определяемая при z ф 0 (см. [8, предложение 2.2(1)]). Пусть Uv(z) означает стандартный логарифмический потенциал меры v (см. [23, гл. 1, 3]), т.е. Пусть Е — замкнутое плоское множество, целиком лежащее в некотором круге диаметра 1. Напомним, что винеровой емкостью (-Б) множества Е (см. [23, гл. 2, 4]) называется supo", где верхняя грань берется по всем положительным мерам и с условиями: Supp(cr) С Е и UCT{z) 1 для всех zeR2. Для произвольного борелевского множества EQ, целиком лежащего в некотором круге диаметра 1, положим C-2(EQ) — supC2(J5), где супремум берется по всем замкнутым в К.2 подмножествам множества EQ. Пусть v — некоторая борелевская комплекснозначная мера с компактным носителем, Q — некоторое открытое подмножество множества R2\Supp(и). Тогда при Є дії через U"(, Q) обозначим lim Uu(z). Для завершения доказательства достаточности условий теоремы 2.1 нам потребуется следующая лемма: Лемма 2.2. Пусть Y = Y — компакт со связным дополнением, целиком лежащий в некотором круге диаметра 1, 12 — связная компонента У. Пусть v — мера на Y \ Q, такая, что для любой точки Є дО существуют /"(, fi) и r/"(,]R2 \У). Тогда найдет ство Е С дО такое, что С2(дО \ S) = 0 и для любой точки Є верно равенство Uv(, О) = 17" (f, R2 \ У). Считая лемму 2.2 доказанной, завершим доказательство теоремы 2.1. При всех z 0 имеет место равенство Так как правая часть равенства (2.3) равномерно ограничена и непрерывна всюду вне 0, то потенциал непрерывен в каждой точке z Є dG. Так как /Ф(С — ) s(C) = 0 при z ЄШ2\Х и f b( — z)diis(0 = g при z Є G, то для любой точки dG существуют W faG) и Cf (,R2 \ X). Из леммы 2.2 (при У = X, Q = (7, Ї/ = //s) следует, что существует точка Є 0(2, такая, что /я (, 2) = t/ ( ,R2 \Х). Отсюда и из равенства (2.3) следует, что q = 0, а значит, /is X 7?,(Л"\Ст,Х\ 7). Следовательно, (см. [8, теорема 1.1(1)]), fis L AL(X\G). Таким образом, ц8 X. AL(X). _ Аналогично доказывается, что /Ф(С — z)rf/fa(C) — О ПРИ 2 Є К2 \ Ст. Следовательно, ца ± Ri(XDG,G). Из условия теоремы 2.1 получаем, что /ia _!_ Аь{Х П G), следовательно, ца J_ А,(Х). Таким образом, fi _L Ai(X), следовательно, PL{X) = Ai(X). Случай А і ф Аг рассмотрен. В случае Ai = А2 достаточность условий теоремы 2.1 доказывает ся аналогично, с той лишь разницей, что условие (2.2) заменяется на условие _ Достаточность условий теоремы 2.1 доказана.
Доказательство леммы 2.2. Не ограничивая общности, будем доказывать лемму 2.2 для вещественнозначной меры v. Имеет место разложение v = v+ — v , где и+ и и — положительные меры. Рассмотрим потенциал U" (z). Пусть SC9Q — множество точек, в которых существуют Uv (z) и Uv (z). Тогда Сг(512 \ Е) = О (см. [23, гл. III, 1, п. 1]) и для всех Є Е имеют место неравенства liminf Uu+(z) 1Г () и liminf Uv (z) Uu (f) (CM. [23, гл. I, 3, n. 7]). Так как Рд(дУ) = C(dY) и У = У, то каждая точка множества 5У — регулярная точка области R2 \ У ([23, замечание к теореме 5.18]). Следовательно, liminf Uu+(z) = Uv+() и liminf Uv (z) = U" () для всех f Є E ([23, теорема 5.10]). Но lim inf U"+ (z) = lira inf Uv (z) + Uv(, R2 \ У), поэтому 7"(,R2 \ У) = 17"(0- Доказательство равенства /"(,)) = І7"() при ( ES СВОДИТСЯ К предыдущему случаю с помощью конформного отображения области 17 на неограниченную односвязную область, осуществляемого функцией w = (z - с)"1 при с Є О. Таким образом, t/"(,fi) = /"(,М2 \ У) для всех Є S. Лемма 2.2 доказана. Докажем теперь необходимость условий теоремы 2.1. Пусть Pi{X) = AL(X), G — некоторая компонента множества J\T, содержащая точки множества Ш2 \ X, ц — мера с носителем на X П G, /л А. Ri(XC\G,G). Тогда \i JL PL{X), следовательно, ц ± Ai{X). Но каждая функция класса AL(X П G) может быть равномерно на X П G приближена функциями класса С/ос(К.2), каждая из которых удовлетворяет уравнению (0.3) в Xа П G и в некоторой (каждая в своей) окрестности множества dG (см. начало доказательства данной теоремы). Каждая такая функция, в свою очередь, представляется в виде суммы функций класса Ai{X)\xr и класса Ri(X П G,G) (см. доказательство [8, теорема 3.1]). Таким образом, ц JL Ai{Xf\G). Следовательно, RL(X П G,G) - AL(Xf\G). Теорема 2.1 доказана. Докажем сначала предложение 2.1. Пусть хотя бы одна связная ком понента (обозначим ее через G) множества Х является неодносвязной областью. Тогда существует жорданова область D с гладкой границей, целиком лежащей в G, содержащая точки множества Ж2 \ G. Так как 0G С дХ, то D содержит точки множества дХ, а значит, и множества Пусть ft = D \ X, fti — односвязная область, такая, что О С fti, Oi С D, а д — такая вещественная функция, что д Є CQ(D), д = 1 в Пі и 0 і? 1. Пусть р Є VL- Тогда, согласно [26, лемма 1] (используемой для функции pfl), при всех t Є ft имеет место равенство p(t) = fФ(г — где ajtk — некоторые постоянные коэффициенты. Далее, и, окончательно, при всех і Є ft. Так как &(z — t) и 9 (Ф(г — t)(dti/dxj)) jdx\. равномерно ограничены при iGft, GD\fti,a все частные производные функции #, начиная с первого порядка, равны нулю вне D \ fti, то существует константа р 0, не зависящая от р, такая, что max \p{t)\ ртах \p{z)\. Так как D \ fti С X и dft С X, то для каждой функции и класса Рь{Х) верно неравенство Пусть а Є ft, f(z) = (z — a) l. Очевидно, что f(z) Є AL(X). Пусть / 0 — расстояние от ft до D \ fti. Тогда max/(z) /-1. Выберем а Є так, чтобы расстояние от а до дії было меньше, чем \1р 1. Тогда max\f(t)\ 2pl l. Таким образом, max\f(t)\ 2pmax\f(z)\. Следовательно, f(z) PL(X). Поэтому Рь(Х) Ф AL(X). Предложение 2.1 доказано. Доказательство предложения 2.2. Докажем 1).
Для этого нам достаточно доказать, что существует точка с Є D, такая, что функцию, равную нулю на Г и 1 в точке с, можно равномерно на Г U {с} приблизить полиномиальными решениями уравнения Lu = 0. Последнее эквивалентно тому, что всякая борелевская комплекснозначная мера /г с условиями Supp(//) С Ги {с}, р JL Pi(TU {с}), удовлетворяет условию р({с}) = 0. Пусть для точки с Є D существует мера р с условиями Supp(/x) С Г U {с}, р ± VL и р({с}) = 1. Тогда р удовлетворяет условиям г Из (2.4) и (2.6) следует, что р\т = —ръ + Ръ где PQ — положительная представляющая мера для точки с в алгебре P(D) с носителем на Г, а р\ A. P{D). Нетрудно показать, что Q(c) = J Qdpo для всех гармониче- г ских полиномов Q. Из теоремы Уолша-Лебега следует, что последнее равенство распространяется на все функции класса A&(D). Следовательно, До — логарифмическая мера для точки с в алгебре P{D) с носителем на Г ([3, гл. IV, теорема 7.2]). Пусть x(z) — конформное отображение области D на единичный круг В с условием х(с) = 0-Данная функция непрерывно продолжается из D (по некасательным путям) в каждую точку дуги 7 причем продолженная таким образом функция отображает j на некоторую открытую дугу единичной окружности взаимно однозначно и непрерывно ([13, гл. II, 3]). Так Imw как :г—:— —логарифмическая мера для точки 0 в алгебре -Р(-В), то дв dfio(z)L = ——:d\nx{z)L ([3, гл. VI, лемма 4.3(v)]). Следовательно, где F\(z) голоморфна в D, непрерывна на 7 и продолжается непрерывно из D по некасательным путям в каждую точку дуги j. Рассмотрим теперь меру fi\. Имеет место разложение где nita абсолютно непрерывна относительно (lo, a //i)S сингулярна относительно HQ. Из леммы 2.1 следует, что (і\ а ± R(D), a fi\iS Л. R(D\D). Кроме того, ціу8 расположена целиком вне множества достижимых граничных точек области D. Так как каждая точка дуги 7 является достижимой граничной точкой области D, то / i,s(7) = 0- Следовательно, fi\7 = -ро + Ц\}(1. Пусть ш — конформное отображение В на D, обратное по отношению к Xi R Q дВ — множество точек, в которых существуют угловые пределы функции и). Определим на единичной окружности Меру Ді,а ПО формуле Ді,а(5) = Ці,а(Ш(3 П R)) TaK KaK Vh - -R(-D), то, как следует из доказательства теоремы 1.1, существует функция F2 Є А(В), абсолютно непрерывная на дВ, такая, что djJL\)a = dF .
Доказательство теоремы 2.2
Так же как и при доказательстве следствия 1.3, доказывается, что существует область V С D, такая, что dV содержит некоторую дугу кривой 7) каждая точка которой является достижимой граничной точкой области V, и (V") С Dp. Поэтому функция определена и голоморфна в V. Пусть с Є V и (р(с) ф Трс. Тогда Тре Є Dp. Так как дуга (7) С dDp, то Тре (річ). Следовательно, существует окрестность V\ дуги у, в которой однозначно определена и голоморфна функция В то же время данная функция не продолжается до функции, голоморфной в области V". Так как (2.10) выполняется на 75 a DV содержит некоторую дугу, лежащую на у, каждая точка которой является достижимой граничной точкой области V, то, по теореме единственности Привалова ([13, гл. X, 2, теорема 1]), (2.10) выполняется также и в Vi П V (будем считать, что данное множество связно). Отсюда и из единственности продолжения голоморфных функций следует, что функция продолжается до функции, голоморфной в V. Из полученного противоречия следует, что не существует меры /і с носителем на Г U {с}, удовлетворяющей условиям / ({с}) = 1и/1 1 Рь(Г U {с}). Следовательно, функция, равная 0 на Г и 1 в точке с, принадлежит классу Р (Ги {с}). Пункт 1) доказан. Докажем 2). Из доказательства 1) следует, что существует точка с Є D, такая, что любая мера ц с условиями Supp(//) С (Ги {с}) и ц _1_ Рі(Ги {с}) удовлетворяет условию [ {{с}) = 0. Но тогда Supp(//) С Г, // ± Рь(Г). Следовательно, /х = 0 и PL(T U {с}) = С(Т U {с}). Предложение 2.2 доказано. Пусть мера ц удовлетворяет следующим условиям: Пусть а = р\к- Из [12, лемма 4.1] следует, что d\i = da + a(Qd( + /(C) CJ гДе С — дифференциал комплексной переменной С на Г, / Є El{D), a /(С) — угловая предельная функция для / на Г, существующая d(-n.B. на Г. Определим меру цр на Тр(Г U К) по формуле fip(S) = (7 (.9)) для любого борелевского множества S С Тр(Т U /С). Очевидно, /г -L Р(Тр(ГиК)). Пусть ар = цр\тр{к)- V = /зС- Вновь применяя [12, лемма 4.1], получим dfip = dap + ap(rj)drj + /)3(77) 77, где eft/ — дифференциал переменной т/ на ТдГ, /# Є .E T D)), //3(17) — угловая предельная функция для fp на Тр(Т), существующая drj-n.B. на Тр(Г). Следовательно, Таким образом, Пусть а — некоторая фиксированная точка на Г, Со Є Г, ("о ф « Обозначим через ГО0 дугу контура Г с концами в точках а и Со? такую, что направление от а к Со вдоль Га 0 совпадает с направлением вдоль Г против часовой стрелки. Так как при z Є D, Со Є Г, Со а можно однозначно определить некоторые ветви логарифмов Ln (Со—z), Ln (а— z),LnT/?(Co — z), Тр(а - г) Пусть F и Fp — некоторые комплексные первообразные функций 2тггсо/ и 2mcofo Так как / Є El(D), fp Є_Е1(Тр(Щ, то F и Fp продолжаются до функций, непрерывных на D и Tp(D) и абсолютно непрерывных на 3D и dTp(D) соответственно (см. [24, гл. III, 7, с. 208]).
При этом При соответствующем выборе констант F(a) и Fp(Tpa) из (2.11) следует, что при всех С Є Г имеет место равенство при всех С Є Г. Из (2.12) и условия теоремы 2.2 следует, что (а Ф)() = F(t) — Fp(Tpt) при всех teD\K. Так как dp(Fp о Tp)(t) = 0 при всех t Є D, a c (cr Ф)() = ci 7(), где сі — некоторая ненулевая комплексная константа, a t Є М.2 \ К, то dpF(t) = сі т() при всех Є D \ К. Из теоремы единственности для голоморфных функций следует, что функция a(t) продолжается до функции, голоморфной всюду в Ж2. Но a(t) — 0 при \t\ — со. Из теоремы Лиувилля для голоморфных функций следует, что a(t) = О при всех t Є R \ К. Но тогда dpF(t) = 0 при всех t Є D \ К, а значит, и при всех t Є D. Поэтому градиент функции F равен нулю в D. Следовательно, f(t) = 0 при всех t Є D. Таким образом, ц = а. Так как \L ± Р/,(ГиК), то о JL Pi{K). Из условия теоремы 2.2 следует, что а ± AL(K). Следовательно, ц l.AL(TijK)u PL{T U К) = AL(T U tf). Теорема 2.2 доказана. Докажем справедливость утверждения в примере 2.1. Так как 7і и 72 — аналитические дуги, то существуют функции (p\(z) и 2(-2), определенные и голоморфные, соответственно, в окрестностях кривых 71 и 72) такие, что zp = 4 \{z) при всех z Є 7і и ZP = 2(2) при всех Є 72- Нетрудно показать, что (0) = \i а УгСО) = 1- Таким образом, функции у 1 и у 2 однолистны в некоторой окрестности точки 0. Пусть ip = р\ о у? "1 Функция 9? определена и однолистна в некоторой окрестности точки 0, причем р {0) = \. Таким образом, Пусть V — окрестность точки 0, такая, что К П V — 0, функции (pi и 9?2 однолистны в некоторой открытой окрестности точки 0, содержащей V, ГП V С 7.1 72- Предположим также, что при всех z Є V имеет место неравенство \ p(z)\ p\z\, где 0 р 1 (т.е. p{V) С V) и что при всех z Є ( P2(D nV))(lV можно выделить однозначную ветвь многозначной функции Arg г, которую мы обозначим через aigz.
Так Таким образом, при всех z 6 ( 2( П V)) П V имеем где константа С 0 не зависит от п и z. Отсюда следует, что при z Є ( P2{D П V")) Г1 V и при всех натуральных п. Будем считать, что V имеет настолько малый радиус, что Таким образом, область J n((y 2(-OnV))nV) содержится целиком внутри некоторого угла с вершиной в точке 0, строго меньшего, чем 2тг. Пусть Р/,(Ги К) Аі,(Ги К). Тогда существуют функции F,Fp и мера а, такие, как в теореме 2.2. При всех z Є DC\V имеет место разложение (а Ф)(г) = H(z) — Hp(zp), где Я Є A(Df\V),Hp Є A(Tp(DnV)). Обозначим F0 = F - H, Fop = Fp - Hp. Очевидно, что функции FQ И Fop не являются константами, FQ Є A(DnV), Fop Є ЛДОПУ ад = Fop(zp) при всех 2ЄГПУ. Так же как и при доказательстве следствия 1.3, доказывается, что множества Tp(D Г) V") и tpi(D П V) расположены по одну сторону от кривой pi{yi), а множества Tp(DC\ V) и (p2(DC\ V) расположены по одну сторону от кривой 2(72)- Так как Fo(z) = Fop( pi(z)) при z EjiHV и FQ{Z) = Fop(cp2(z)) ПРИ Є 72 П V, то из теоремы единственности Привалова следует, что данные равенства сохраняют верность на множествах (DnV)n ( p1lTp(D П V)) и (D П V) П {cp lTp{D П V)) соответственно. Из единственности продолжения голоморфных функций следует, что функция Fop продолжается до функции, голоморфной в области fi(DC\V)U(p2(DnV). Кроме того, при всех z Є DП V имеет место равенство FQ(Z) = Fop((p\(z)) = Fop((f2(z)). Следовательно, при всех z Є ( p2{D П V)) П V имеет место равенство Fop(z) = Fop((p(z)). Таким образом, функция Fop продолжается до функции, голоморфной в области У (pn(( p2(D П V)) П V). Кроме того, F$p продолжается не- прерывно из данной области в точку 0. Пусть точка z Є { P2{D П V)) П V. Тогда lim pn(z) = 0. Следова- тельно, F0p(z) = F0l3((p(z)) = ..- = FQf}(ipn(z)) = = F0/?(0). Таким образом, функция Fop является константой. Нетрудно доказать, что в таком случае функция FQ также является константой. Из полученного противоречия следует, что Рь(Г U К) = Ai(Y U К).
