Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. О локализации и стабилизации решений задачи Коши для параболических систем в классе обобщенных функций 14
1. Предварительные сведения и обозначения 14
2. О локализации решений задачи Коши для параболических в смысле Шилова систем с постоянными коэффициентами в классе обобщенных функций .. 28
3.О локализации решений- задачи Коши для параболических в смысле Петровского систем в классе обобщенных функций 49
4. О стабилизации решений задачи Коши для параболических систем в классе обобщенных функций 72
ГЛАВА II. О полиномиальном приближении решений дифференциально-операторных уравнений в гильбертовом пространстве 86
1. Некоторые вспомогательные сведения 86
2. О полиномиальном приближении решения задачи Коши для эволюционного уравнения параболического типа 90
3. О полиномиальном приближении решения задачи Коши для эволюционного уравнения гиперболического типа с вырождением 95
4. О полиномиальном приближении решения уравнения 102
Литература 110
- О локализации решений задачи Коши для параболических в смысле Шилова систем с постоянными коэффициентами в классе обобщенных функций
- О стабилизации решений задачи Коши для параболических систем в классе обобщенных функций
- О полиномиальном приближении решения задачи Коши для эволюционного уравнения параболического типа
- О полиномиальном приближении решения задачи Коши для эволюционного уравнения гиперболического типа с вырождением
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию свойств /локализации и стабилизации/ решений задачи Коши для параболических систем дифференциальных уравнений, а также полиномиальному представлению решений дифференциально-операторных уравнений.
I. Для рядов Фурье суммируемых на [о, 2L3C] функций хорошо известен принцип локализации Римана [25] : сходимость или расходимость ряда Фурье в точке зависит только от поведения функции в окрестности этой точки. Другими словами, если L А^ЦоДТ) совпадают на интервале (а,8) с [о; 2.Х] » то во всяком отрезке [оь+,8-] 1т>0 , разность их рядов Фурье равномерно сходится к нулю. Для обобщенных функций этот принцип, вообще говоря, не выполняется. Например, <5-функция Дирака совпадает с нулем на любом промежут-
ке, не содержащем точку 0, но ее ряд Фурье \~"~^г не сходится
равномерно к нулю на любом таком промежутке. Если перейти к функциям многих переменных, то принцип локализации уже не имеет места и для суммируемых функций. Для его выполнения надо накладывать дополнительные условия гладкости /см. [i] /. Однако, во многих задачах математической физики, где пользуются представлением функции в виде ряда Фурье, более естественным является выполнение этого принципа не для самих рядов Фурье, а для рядов Фурье, просуммированных некоторым методом. Так, например, принцип локализации для ряда Фурье функции | , просуммированного методом Абеля-Пуассона, эквивалентен принципу локализации для решения задачи Дирихле .для уравнения Лапласа в единичном круге с граничной функцией I , заданной на окружности: если | на какой-то открытой части окружности совпадает с непрерывной функцией, то при подходе к границе круга по некасательным направлениям решение задачи Дирих-
_ 4 -
ле сходится к Ї равномерно на любом компакте этого участка. В.И.Горбачук и М.Л.Горбачуком [із] показано, что для преобразования Абеля-Пуассона ряда Фурье принцип локализации имеет место в классе ультрараспределений Жевре.
Естественно поставить следующую задачу: пусть в области С с границей*"^ рассматривается уравнение U=o и граничная задача DUUa5 to , где L и d - дифференциальные операторы, действующие в области G и на границе Ъ0> соответственно, aif - обобщенная функция, заданная на^Ьб ; если известно, что ij) на каком-то участке границы достаточно гладка, то будет ли решение рассматриваемой граничной задачи сходиться к ф равномерно при подходе к этому участку?
В данной работе этот вопрос изучен для задачи Коши в случае, когда L порождается системой дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, т.е. системой вида
111 Д-_ м
І=м (Kltp
в достаточно широких классах обобщенных начальных данных.
2. Вопрос о стабилизации решений задачи Коши для систем вида /0.1/ /т.е. существование у решения К,(і,Ж.) приі->+*> определенного предела, понимаемого в том или ином смысле/ в классе обычных начальных функций рассматривался М.Кжижанским, С.Д. Эйдельманом, Ф.О.Порпером, А.М.Ильиным, Ю.Н.Дрожжиновым, В.Д. Репниковым, А.К.Гущиным, В.П.Михайловым, Е.Б.Сандаковым, Ю.Н. Валицким, В.В.Жиковым, В.Н.Денисовым и др. В классах обобщенных функций конечного порядка он изучался Ю.Н.Дрожжиновым, С.Д. Эйдельманом, Ю.Н.Валицким, Б.И.Завьяловым в случае уравнения теплопроводности. Обзор работ, относящихся к этому вопросу, см. в [17] - [18] , [21] - [22] .
В диссертационной работе исследуется стабилизация решений
задачи Коши для параболических в смысле Петровского в каждой по
лосе [~| = СГГ] * R0" систем вида /0.1/ /р = 2.В /с непрерывными и
і її
ограниченными при і?О коэффициентами OL^^xJaOL^-t) в классах обобщенных функций бесконечного порядка.
3. Многие задачи математической физики для уравнений с частными производными могут быть представлены в виде абстрактной задачи Коши для I/ эволюционного уравнения параболического типа Іі'0:)+А^Ш=0, ІеСоГГХа(0)=І ; 2// ЭВОЛК)Ционного уравнения гиперболического типа с вырождением ііЧі)+і'ЛіЦ{)*0, У*оДє[о,"Т] » !l(o)-f ,tl(o)=0 ; 3/ в виде уравнения Au=*| , где Д^О - неограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве /в 3/ предполагается, что А^рЕ ,Р>0 ,Е - тождественный оператор/.
В работах А.В.Бабина [2] - [б] методами теории весового приближения функций на полупрямой получены представления решений задач I/, 3/ и задачи 2/ с v = o в виде U - tiift Рп, СМ? где РпАЙ -полином степени ц переменной X /при фиксированном \. в случае I/, 2/ /. В качестве весовой функции берется &(КУЮ , где R>0 - такое число, что ||CfLCKvA)fЦ< /|||| - норма в п /. Полиномы Yn,(h) строятся в явном виде, при этом дается оценка скорости сходимости: погрешность ||и~Ри(А)|II У^вает в стационарном случае как ц-ki , в параболическом - как е ft , в гиперболическом - как
В диссертационной работе предложен иной способ построения полиномов Р^(Х)» основанный на приближении функций на полуоси частными суммами их рядов Фурье по обобщенным многочленам Лагерра, образующим ортонормированный базис в пространстве L2.(10,»),\Аёг")
где
Кратко изложим основные результаты диссертации.
Прежде чем сформулировать результаты первой главы, напомним,
что символами Sj,b ...,^ (Г) . S>1'-\>* (Г) . Sfc^l W обозна-чаются пространства типа S » введенные И.М.Гельфандом и Г.Е.Шиловым в [ТО] . Векторные пространства S
Через $^,...,^) , S'K-h (Г) . S'ijjr^V (Г) обозначим пространства всех линейных непрерывных функционалов над соответствующими основными пространствами, а их элементы будем называть обобщенными функциями. Соответственно элементы пространств
$М,~М М ' W'-'f1 (Iі) $'::.& (Г) называются обос-
щенными вектор-функциями.
Если для системы вида /0.1/ задано начальное условие
U^gc^f /0.2/
где 1^,..., 46S'fc-& №) А то под Решением задачи Коши /0.I/-/0.2/ будем понимать вектор-функцию U-(-l,.) /(i,Dc)
(оЛ"]^ІТІ/' дифференцируемую по 4 и р-раз дифференцируемую по х , удовлетворяющую системе /0.1/ и равенству /0.2/ в том смысле, чтои(1д)-»| приі-»0 в топологии пространства Sj, ^ (1W
В 2 рассматривается система вида /0.1/ с 0,^(1,.)г Ou, , параболическая в смысле Шилова, с показателем параболичности \ , приведенным порядком р0 и родом 1Л /опр. (l, р0 »/і см» в гл.і, I, п.4/. Задача Коши для такой системы однозначно разрешима в пространстве начальных данных Sj 'Т (RM » ГДе «JL =* ^"Т^'Р0* <//-^^ .
Ее решение дифференцируемо по t , бесконечно дифференцируемо по эг и дается формулой
uft,*) - &(Ы»М«S'f:.:;f (Г), /о -з/
где ^- оператор сдвига в прост-
ранстве S^:;;;!1 iff) . &tt^)^(trj)» &&,"$) - Фундаментальная матрица решений /ф.м.р./ системы /при каждом 4 є(о,~[~] элементы матрицы G(t,x.) , рассматриваемые как функции ос , принадлежат
пространству SlV.^-.'i'H^) А
Основной результат этого параграфа составляет
Теорема 1.2.2 /принцип локализации/. Если обобщенная вектор-функция
?
совпадает в области Цс К1 с непрерывной вектор-функцией Q(x) ,
то n(i,s} >А() равномерно на произвольном компакте KcQ .
В 3 рассматривается система дифференциальных уравнений вида /0.1/ /р=2Й / с переменными коэффициентами, равномерно параболическая в смысле Петровского в области П = LoJT] * Ц11 в предположении, что коэффициенты flli^(fc,3c) непрерывны по {. /при этом непрерывность по I старших коэффициентов равномерна относительно хе^1/ бесконечно дифференцируемы по х и ограничены вместе со всеми своими производными в П
Задача Коши для такой системы однозначно разрешима в пространстве $цл л* Ор^) , где ^ = 2.8/(2.8--() . Ее решение дифференцируемо по t , бесконечно дифференцируемо по эс и имеет вид
где Z(t>0)^,"5)/t >0 / - ф.м.р. системы /0.1/ /при каждом tє(о,~Г] иос-є^ элементы матрицы 2(ц0,Х,?) , рассматриваемые как функции х , принадлежат пространству $^ л* ((К"-) /.
Имеет место
Теорема 1.3.2 /принцип локализации/. Если обобщенная вектор-функция Д е Si|
Если 0^(1 Ос!) з 0.. то задача Коши для систем такого вида однозначно разрешима в пространстве SJj/' їй (Д^) " ПРИН1ПШ локализации справедлив уже в пространстве SЙ'"'Ції (Ц*1) >К>^ *
В 4 рассматривается система /0.1/ /р = ^-о / с непрерывными и ограниченными при { ^0 коэффициентами (ці^х) з dj(0» паРа~ болическая в смысле Петровского в каждой полосе (~Vr= &Л~] * Ь ' Предполагается, что ф.м.р. системы удовлетворяет условию: при
- 9 -каждом t >0
-n-lrnl
1ВДЫ1 *Ъ«Ъ «}{-ь(-^)%о*ы<~, /0.4/
где 0, = 2.^/(1^--1) , 01 > 0 , &(!)- непрерывная монотонно возрастающая функция аргумента I , 0t(o)= 0,^= t^-^^... ^ , где 0 <. Ь <.^ , С,Dt>0 , 1=4,...,It , - некоторые постоянные /условие /0.4/ впервые было введено С.Д.Эйделъманом в [зі] /. Условию /0.4/ с J>=l/2.& удовлетворяет, например, ф.м.р. параболической в смысле Петровского системы вида /0.1/ с постоянными коэффициентами, содержащей только группу старших членов.
Из /0.4/ следует, что при каждом t>0 элементы матрицы G(i,x) , рассматриваемые как функции ос , принадлежат пространству S{/rt".'.4b (т*1) . Задача Коши в полупространстве г >0 для такой системы однозначно разрешима в пространстве $л/ 7^/0 (Ц^), при этом ее решение имеет тот же вид, что и в формуле /0.3/.
Будем говорить, следуя работе l9] /см. также [в] / , что \ е$лл''* лім (IW имеет обобщенное шаровое предельное среднее, равное I /1= (ui,...,tfc) / и писать М(|)= I , если
где й-^(ос0) - шар радиуса ft с центром в т. х0 , [ties ^(^о)- С.Да-его объем, (?^vf)(oa) = <|,X-ot(f 0)>» $ (З) == <Р(~ї) 'Т-х - аератор сдвига в пространстве S^ftf ...'ч/0 (К*1) * Отметим, что |j(i) не зависит от того, в какой точке Х0выбрать центр шара.
Обобщенная вектор-функция |е J h "у,и Q^\ называется положительной /рО /, если <$,^>%0 для любой положительной основной вектор-функции Ф .
Справедлива следующая
Теорема 1.4.2. Если \ eS'{^;;..'^ [.Vі) , f?o , МДО-0 . то
Для тех уравнений /систем/, у которых ф.р. /ф.м.р./С({,х) как функция ос зависит от |х| , теорема 1.4.2 справедлива при более слабых ограничениях, а именно: если -5 є Sift"" '-ku ($01) /fe
^ ^яі, — ^^CR^ /и М(|Ьо » то <^СІ,*і,ч>і—1 для люс3ой основ"
ной функции /вектор-функции/. Для уравнений специального вида условие М(1)-0 является не только достаточным, но и необходимым для стабилизации решения задачи Коши к нулю в обобщенном смысле.
Перейдем к изложению результатов второй главы.
Пусть h - неотрицательный самосопряженный оператор в сепара-бельном гильбертовом пространстве \\ со всюду плотной областью определения Ъ{^). Рассмотрим I/ задачу Коши параболического типа
«-} Ш + А<ц {{) = о, -U [о,т], іцСоЬ f і
2/ задачу Коши гиперболического типа с вырождением
3/ уравнение ^1СЬ=Р , А>РЕ» Р>0 , Е - тождественный оператор. Решения этих задач можно представить в виде
о J
где К/ А^О / - разложение единицы оператора Д .(^(i,^-6 »
I >о. C.tt.X'i = ігг ^^(п ^^)/(Rl)snrt\ г = i/U+i),
II -
|Ч')- гамма-функция Л 'С1)- функция Бесселя первого рода, G*(X) =
Обозначим через р^М 'Р/ЦцМ ' P2,jul,Vl^^ соответствен-но частные суммы рядов Фурье функций Ц^^ ,(,=< ,(^(К^ по м*10"
гочленам
образующим ортонормированный базис в Lj.CC0,00) X &/ ) /Л>Н , IL>Q - фиксированные параметры/:
tjt iW = «^|>(-8)Е:(8к/(кіГ(к^и))*)(-і)кі t . RM,
n ' к=о 'г'
где ьН^Сї^Л . «=^-^/(ГСФшгъ).
I іч —t) /
Предполагается, что в последней формуле параметр Л {^,5,6,...1 .
Пусть Нооь(?бН^|е Q^K/ffi > Н& - множество аналитических
А *=< J
векторов оператора ft , т.е.
H„-{bH»|3ci>0:«H|UcW}
Имеют место следующие теоремы.
Теорема 2.2.1. Если 1^(.0)= |бHou , то для любогоТ>0 существуют постоянные C1-t^(|)>0 і li = lt(|)>0 >0<р = р(Т)^ такие, что
щ КЮ-РіиСМ?!*^11*4 /0.5/
b[o,T] г' ' ;
Обратно, если для некоторого-^ 0 существуют постоянные С|>0 , /JL > 0 , 0 < j) М такие, что для fJLf^t)/! е [о,Т] / ui(о) = ? Ц*> выполняется /0.5/, то ^ е Ц^ .
Теорема 2.3.1. Если ^.^(0)=1 С Но,» то Для любого*Х>0 существуют постоянные Ca.= CjL(|)>o , jUL = jU.(|) >0 »L=LtT)><) такие, что
Обратно, если для некоторого |>о существуют постоянные Сд_>0 , JUL>0,L>0 такие, что для <1,.Ш/1 є [оЛ"] / с *Ыо) = |еН«о ^{/р^О выполняется/0.6/, то | є На.
Теорема 2.4.1. ЕслиІ є На » т0 Для произвольно фиксированного
Обратно, если для некоторого <^ б{^5,6,-} существуют постоянные Съ, 11 >О ,6>Н такие, что для U^A"*! с |еЦоо выполняется /0.7/,
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [і4] -- [іб] , докладывались на седьмой совместной сессии семинара имени И.Г.Петровского и Московского математического общества /1984 г./, на конференциях молодых математиков, проводимых в
- ІЗ -
Институте математики АН УССР /1982, 1984 гг./, на семинарах по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям в частных производных в Институте математики АН УССР.
Пользуясь случаем, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Мирославу Львовичу Горбачуку за постановку задач и постоянное внимание к работе.
О локализации решений задачи Коши для параболических в смысле Шилова систем с постоянными коэффициентами в классе обобщенных функций
Для рядов Фурье суммируемых на [о, 2L3C] функций хорошо известен принцип локализации Римана [25] : сходимость или расходимость ряда Фурье в точке зависит только от поведения функции в окрестности этой точки. Другими словами, если L А ЦоДТ) совпадают на интервале (а,8) с [о; 2.Х] » то во всяком отрезке [оь+,8-] 1т 0 , разность их рядов Фурье равномерно сходится к нулю. Для обобщенных функций этот принцип, вообще говоря, не выполняется. Например, 5-функция Дирака совпадает с нулем на любом промежут ке, не содержащем точку 0, но ее ряд Фурье \ " г не сходится равномерно к нулю на любом таком промежутке. Если перейти к функциям многих переменных, то принцип локализации уже не имеет места и для суммируемых функций. Для его выполнения надо накладывать дополнительные условия гладкости /см. [i] /. Однако, во многих задачах математической физики, где пользуются представлением функции в виде ряда Фурье, более естественным является выполнение этого принципа не для самих рядов Фурье, а для рядов Фурье, просуммированных некоторым методом. Так, например, принцип локализации для ряда Фурье функции , просуммированного методом Абеля-Пуассона, эквивалентен принципу локализации для решения задачи Дирихле .для уравнения Лапласа в единичном круге с граничной функцией I , заданной на окружности: если на какой-то открытой части окружности совпадает с непрерывной функцией, то при подходе к границе круга по некасательным направлениям решение задачи Дирихле сходится к Ї равномерно на любом компакте этого участка. В.И.Горбачук и М.Л.Горбачуком [із] показано, что для преобразования Абеля-Пуассона ряда Фурье принцип локализации имеет место в классе ультрараспределений Жевре.
Естественно поставить следующую задачу: пусть в области С с границей " рассматривается уравнение U=o и граничная задача DUUA5 to , где L и D - дифференциальные операторы, действующие в области G и на границе Ъ0 соответственно, aif - обобщенная функция, заданная на Ьб ; если известно, что ij) на каком-то участке границы достаточно гладка, то будет ли решение рассматриваемой граничной задачи сходиться к ф равномерно при подходе к этому участку?
В данной работе этот вопрос изучен для задачи Коши в случае, когда L порождается системой дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа, т.е. системой вида в достаточно широких классах обобщенных начальных данных. 2. Вопрос о стабилизации решений задачи Коши для систем вида /0.1/ /т.е. существование у решения К,(і,Ж.) приі- + определенного предела, понимаемого в том или ином смысле/ в классе обычных начальных функций рассматривался М.Кжижанским, С.Д. Эйдельманом, Ф.О.Порпером, А.М.Ильиным, Ю.Н.Дрожжиновым, В.Д. Репниковым, А.К.Гущиным, В.П.Михайловым, Е.Б.Сандаковым, Ю.Н. Валицким, В.В.Жиковым, В.Н.Денисовым и др. В классах обобщенных функций конечного порядка он изучался Ю.Н.Дрожжиновым, С.Д. Эйдельманом, Ю.Н.Валицким, Б.И.Завьяловым в случае уравнения теплопроводности. Обзор работ, относящихся к этому вопросу, см. в [17] - [18] , [21] - [22] . В диссертационной работе исследуется стабилизация решений задачи Коши для параболических в смысле Петровского в каждой по лосе [ = СГГ] R0" систем вида /0.1/ /р = 2.В /с непрерывными и ограниченными при і?О коэффициентами OL xJaOL ) в классах обобщенных функций бесконечного порядка. 3. Многие задачи математической физики для уравнений с частными производными могут быть представлены в виде абстрактной задачи Коши для I/ эволюционного уравнения параболического типа Іі 0:)+А Ш=0, ІеСоГГХа(0)=І ; 2// ЭВОЛК)Ционного уравнения гиперболического типа с вырождением ііЧі)+і ЛіЦ{) 0, У оДє[о,"Т] » !l(o)-f ,tl(o)=0 ; 3/ в виде уравнения Au= , где Д О - неограниченный самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве /в 3/ предполагается, что А рЕ ,Р 0 ,Е - тождественный оператор/. В работах А.В.Бабина [2] - [б] методами теории весового приближения функций на полупрямой получены представления решений задач I/, 3/ и задачи 2/ с v = o в виде U - tiift Рп, СМ где РпАЙ -полином степени ц переменной X /при фиксированном \. в случае I/, 2/ /. В качестве весовой функции берется &(КУЮ , где R 0 - такое число, что CfLCKvA)fЦ / - норма в п /. Полиномы Yn,(h) строятся в явном виде, при этом дается оценка скорости сходимости: погрешность и Ри(А)II У вает в стационарном случае как ц-ki , в параболическом - как е ft , в гиперболическом - как В диссертационной работе предложен иной способ построения полиномов Р (Х)» основанный на приближении функций на полуоси частными суммами их рядов Фурье по обобщенным многочленам Лагерра, образующим ортонормированный базис в пространстве L2.(10,»),\Аёг") где L --1 , a AJb 0 - число, зависящее от начального вектора /предполагается, что принадлежит к множеству аналитических векторов оператора А /. При этом ju - р Ш СЄЦ, , где с-=:с(}) 0. а ц равно: pn-/o j /l /-в параболическом случае, LW /О - L № / - в гиперболическом случае, /-в стационарном случае. Решена также и обратная задача: если выполняется неравенство flu- Рц,М С Ср. , то принадлежит к множеству аналитических векторов оператора А . Предложенный метод дает более точную оценку отклонения чем в [2] - [б] , но в более узком классе начальных данных. Кратко изложим основные результаты диссертации. Прежде чем сформулировать результаты первой главы, напомним, что символами Sj,b ..., (Г) . S 1 -\ (Г) . Sfc l W обозна-чаются пространства типа S » введенные И.М.Гельфандом и Г.Е.Шиловым в [ТО] . Векторные пространства S JU,,... і ((М , {уЬ - j "- (Jf\ , Si T JL ) определяются как прямая сумма аналогичных скалярных пространств.
О стабилизации решений задачи Коши для параболических систем в классе обобщенных функций
Учитывая соотношение /3.19/, получаем, что (1д)г— 1) ) равномерно на каждом конечном шаре вЩ 1, т.е. осталось показать, что ЗЛ, Л і—»0 равномерно на каждом конечном шаре в )((11 . Так как \ЦД) состоит из конечного числа слагаемых, мы покажем, что каждое слагаемое в /3.20/ обладает указанным свойством.
Рассмотрим интеграл и разобьем его на две части: ЗР (i, ) ПРИ 8 и Зр (4д) при 2t S ; 0 возьмем так, чтобы \№ ( " "К чСі)! если ос+"- $=9с 8 . Здесь = .(.) - произвольное положительное число, 5 - фиксированное положительное число, зависящее от 8 . Поскольку, в силу /3.10/, то, произведя замену %« УРг« ,1=4,-, П- , получаем где е = t(X) не зависит от t . Тогда Аналогично найдем, что Здесь 0 6в С0 - фиксированное число, М-_ я ЭД D lfC$ Так как «М (-о$Н )- 0 при i- 0 , то, используя /3.21/, получим, что 3 (1,3)- 0 при t- 0 . Тогда up (1 )1 , еслиі достаточно мало. Следовательно, И} (І Л + J} (t Ч\ (с+і)Е. ДЛЯ достаточно малых! . Так как 0 - произвольно, то это означает, что )— 0 при- O . Тем самым доказано также, что и /О К00 / равномерно на каждом конечном шаре в ОДП-. Для завершения доказательства теоремы осталось показать, что решение задачи /3.I/-/3.I / единственно в пространстве Vifl djflPV Для этого рассмотрим систему, сопряженную в смысле Лагранжа к /3.1/ /j\ обозначает матрицу, транспонированную к /L/, с начальным условием Поскольку в пространстве Si/й ... ife, (R / определена и ограничена операция дифференцирования, а элементы матрицы АїСі, ) » как функции & , в силу условий 2/, 3/, являются мультипликаторами в этом пространстве, то при любом {.е[о,Т] для любой вектор-функции if $- ,...,1(Ц\п) имеем A eS dC1). Тогда, в силу теоремы единственности И.М.Гельфанда и Г.Е.Шилова /см. [її] , с. 44--45/, задача Коши /3.I/-/3.I / будет иметь в пространстве іМм-ИІІ ІМ единственное решение, если для любых {0 и І /о і й Ти «(x)6S{fo (R11) задача /3.22/-/3.23/ разрешима в основном пространстве Sw _ (Ш 1) Так как tfoCk) - ограниченная функция, то решение задачи /3.22/-/3.23/ дается формулой где 2 (Уо,,т) - ф.м.р. системы /3.22/. При выполнении условий 2/, 3/ Z4M k) Z4Uo, })/CWI- 1» п-3/» Z - матрица, транспонированная к _ ; поэтому свойства матрицы подобны свойствам матрицы Учитывая это свойство, а также то, что в силу определения ф.м.р. системы /3.22/ /см. I, п.З/, подобно тому, как это делалось ранее устанавливаем, что при каждом о Wt0 ГГ v;(i,x) $ ,.., (Г) и vrtt, )- vre(ot) при{- 10 в топологии пространства 5 /л . \\ L {.Vе) » т.е. что задача Коши /3.22/-/3.23/ разрешима в пространстве %.,. .и (№\ . Основным результатом этого пункта является Теорема 3.2 /принцип локализации/. Если обобщенная вектор-функция I е %пл ... .jrt (R"-) равна нулю в области QcRC1, TOU(1,OC)-— 0 равномерно на произвольном компакте )\ с Q . Доказательство проведем в случае одного уравнения /Ц-\ /.
Пусть К с (_ с Q , где К - некоторое компактное множество BR11. Построим функцию if(x) eS-M .. ir(RIL) G носителем BQ такую, что if(oc)M дляэсеК . Так как при каждом 1е(р,Т1 и хє 11 И)(і) xZ(i,0,X,3) 0-fC )2Cio,x,5) , как функции , принадлежат пространству S-i0 ІЛ (К 1) , то справедливо равенство
Поскольку SUM (if ( )2(1,0,3(,3))= Q . то где = f-f Так как V( ,)s0 для т Кі » то для доказательства теоремы достаточно показать, что семейство функций і зе,( ) = {" JfMZG. 0,ХД) ограничено в S in _ д(л СЩ11) равномерно по і , для достаточно ма - 67 -лых значений 1 , ос є К и1ІГЛКі » т е что где постоянные 0(-,( ,..., не зависят от b, 9и,Т , которые изменяются указанным образом.
О полиномиальном приближении решения задачи Коши для эволюционного уравнения параболического типа
Обратно, пусть для некоторого i. f , ,б -\ существуют постоянные с, (Л 0 ,& \ такие, что дляк.а)\ с f&Hco выполняется /4.2/. Тогда .для U Р справедливо представление причем Для того чтобы показать, что + вНа, » достаточно установить, что є$(в/ (&А)) при некотором 0 . Исходя из [28] , с. 234, получаем, что функция Ф(\) = е/)ф(Х) разлагается в ряд Фурье по многочленам ]_ и и ( ) » если 0 Д/2., и это разложение имеет вид В силу неравенства Коши-Буняковского и неравенства /4.3/ Используя формулу Стирлинга /см. [29І , с. 792/, найдем, что Далее, легко видеть, что если взять о е mi.n[u.(SL,jyL/(i+e A )\ , то ибо 6 i . Поскольку I P A (X) -» e ) (б А) при it. - в каждой т. Ae[p,oo) , то, на основании леммы Фату заключаем, что
Замечание к 2-4. В теореглах 2.1 - 4.1, исходя из приближения решений рассмотренных задач многочленами от оператора Д , установлены необходимые и достаточные условия, характеризующие H(t - множество аналитических векторов оператора А . Поскольку многочлены Ри(А) во всех случаях выписываются явно, то первые утверждения указанных теорем можно рассматривать как приближенные методы для нахождения решений этих задач в классе начальных данных Н k.
Другой способ построения многочленов PjtCft) в случае стационарного уравнения, задачи /2.I/-/2.2/ и задачи /3.I/-/3.2/ с у=о был предложен в [2] - [б] . В предположении, что начальные данные принадлежат области определения оператора Л(Ц УУ) Д 0 , в качестве искомых полиномов в этих работах берутся полиномы, приближающие соответственно функции \ VA Р 0 /, е , COS({YA) на полуоси с весом сИ(КУХ) . В стационарном случае задача о представлении решения U.-ft в виде tL = ищ РГ1(Д) сводится к за-даче о минимизации многочленами г СЛ) ДР0и (КК)Ц )У(П 0 т&ЬА. -- » которая решается с помощью метода С.Н.Бернштейна построения дробей, наименее уклоняющихся от нуля на прямой. В остальных случаях в качестве Р (Х) берутся интерполяционные многочлены Іагранжа функций ё/-Л f c4 s(t"VX) с узлами интерполяции в точках где Хг - положительные корни полинома
О полиномиальном приближении решения задачи Коши для эволюционного уравнения гиперболического типа с вырождением
Через S » % » S/ обозначим пространства всех линейных непрерывных функционалов над соответствующими основными пространствами с топологией проективного предела последовательностей.
Введенные пространства Sj .S/ » $ А являются совершенными [ю] , т.е. пространствами, все ограниченные множества в которых компактны. Таким образом, эти пространства обладают рядом свойств, которые не имеют места в бесконечномерных нормированных пространствах. Так, в совершенных пространствах сильная сходимость совпадает со слабой; ограниченные множества в пространствах, сопряженных к совершенным пространствам, также компактны и сильная сходимость в таких пространствах также совпадает со слабой сходимостью; совершенные пространства всегда рефлексивны.
Пространства типа $ тесно связаны друг с другом через преобразования Фурье; именно, имеют место формулы где S обозначает пространство Фурье-образов: SJ » S »Sj . являются топологическими алгебрами относительно обычного умножения и свертки. Во всех этих пространствах определены и ограничены операции сдвига, дифференцирования и умножения на независимую переменную.
Определение векторного пространства $ производится по формуле где - - обычная норма вектора в евклидовом пространстве. Такое векторное пространство является прямой суммой аналогичных скалярных пространств. Аналогичным образом определяются векторные пространства S/ » S Линейные непрерывные функционалы на векторном основном пространстве также можно считать векторами - "обобщенными вектор-функциями" 1=( ,... YL) ; при этом функционал действует на основную вектор-функцию if = ( ,..., 4 а) по формуле Отметим, что все сформулированные выше определения переносятся очевидным образом и на случай нескольких независимых переменных. Например, пространство $, , состоит из всех беско-нечно дифференцируемых функций lf(x) = 0 ,...,0( ) , которые удовлетворяют неравенствам Аналогичные изменения при переходе к ц независимым переменным производятся и в остальных определениях пространств типа S Свойства этих пространств подобны свойствам аналогичных пространств в случае одной независимой переменной. Условимся в дальнейшем введенные пространства типа S обозначать символами s , ..., (Xі) . $Ь " i (fc ) , S ;:: (їм 2. Абстрактные функции. Элемент tji\ линейного топологического пространства ф или объединения линейных топологических пространств, зависящий от параметра , называется абстрактной функцией от s . Элемент 1р0 называется пределом абстрактной функции Фл при -v 0, если для любой последовательности - о предельное соотношение 1Рл - 0 выполняется в смысле сходимости в пространстве Абстрактная функция называется дифференцируемой в точке 0 , если предельное соотношение выполняется в смысле сходимости в пространстве ф . Перечислим сейчас некоторые свойства числовых функций вида {, » где Шл - элементы основного пространства Ф , а -линейный непрерывный функционал на нем. I/ Если в основном пространстве Ф при - 0 последовательность элементов \ сходится к элементу l{0 , то последовательность Л сходится к Д . 2/ Если элемент основного пространства - дифференцируемая функция параметра , то , - числовая дифференцируемая функция, причем Пусть в совершенном функциональном пространствеф задана непрерывная абстрактная функция л для значений a. 4 I . Тогда в пространстве ф существует предел интегральной суммы Для определенного таким образом интеграла выполняются все обычные свойства; в частности, справедлива теорема о среднем: О Отметим также, что в совершенном пространствеФ с непрерывными операциями сдвига и дифференцирования предельное соотношение
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
