Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Слабые решения дифференциально-операторного уравнения параболического типа в пространстве вектор-функций 16
1. О пространствах основных и обобщенных элементов,связанных с аналитической сжимающей полугруппой класса ее инфинитезимальным генератором 16
2. Слабые решения дифференциально-операторного уравнения параболического типа в пространстве вектор-функций 31
Глава II. Граничные задачи для дифференциально-операторного уравнения параболического типа в гильбертовом пространстве . 42
1. Минимальный и максимальный операторы . 42
2. О линейных отношениях в гильбертовом пространстве . 53
3. Гладкие максимально диссипативные расширения минимального оператора 57
4. Некоторые спектральные свойства гладких максимально диссипативных расширений 66
5. Примеры 72
Глава 3. К спектральной теории канонического дифференциально-операторного уравнения в пространстве вектор-функций 76
1. Некоторые вспомогательные факты 76
2. Качественная структура спектра максимально I -диссипативных расширений минимального оператора 82
3. Спектрально абсолютно непрерывные самосопряженные расширения минимального оператора 88
4. Примеры 104
Литература 107
- О пространствах основных и обобщенных элементов,связанных с аналитической сжимающей полугруппой класса ее инфинитезимальным генератором
- Слабые решения дифференциально-операторного уравнения параболического типа в пространстве вектор-функций
- Некоторые спектральные свойства гладких максимально диссипативных расширений
- Качественная структура спектра максимально I -диссипативных расширений минимального оператора
Введение к работе
К настоящему времени имеется ряд работ, посвященных изучению граничных задач для дифференциально-операторного уравнения вида ІЩ1-- Ао а + Aiifft)=0, te[o,8],o
Так в случае, когда А0 = Е СЕ - тождественный оператор) для уравнения (I) хорошо изучена задача Коши. В значительной степени результаты по этой задаче освещены в монографиях [ 1, 2.3 .
При определенных условиях на операторы А0 и А^ в А.А.Дезиным изучен некоторый класс нелокальных задач для уравнения (і) (см.напр. С3,43) .
В случае, когда в выражении сС^З оператор где j" - самосопряженный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве Н со свойством ^ = Е и А і - самосопряженный оператор такой, что Aj. J ~ J А і ( канонический случай) В.И.Горбачук и М.Л.Горбачуком в С 5, б] описаны в терминах граничных условий все максимально I -диссипатив-ные и максимально аккумулятивные граничные задачи. В.М.Бруком описаны обобщенные резольвенты такого стшетрического выражения (см. [ 73) .
Когда же Я о и Ai ограниченные операторы или операторы, порожденные дифференциальным выражением в частных производных, граничным задачам на конечном интервале посвящено гораздо больше работ. Отметим некоторые из них [8 - ЮП .
Для дифференциально-операторных уравнений более высокого порядка с неограниченными операторными коэффициентами постановки различных классов граничных задач на конечном интервале изучались в [13-20] ,
Наличие неограниченных операторных коэффициентов позволяет охватить уравнением (і) многие дифференциальные уравнения в частных производных, а поэтому изучение граничных задач с такой точки зрения, является важной задачей в теории дифференциальных операторов. Такой подход изучения различных классов граничных задач позволяет не только с более общей точки зрения взглянуть на результаты, полученные ранее в конечномерном случае, но и получать новые и, как часто бывает, с гораздо меньшей затратой усилий.
Целью настоящей работы является описание в терминах граничных условий всех гладких максимально диссипативных граничных задач для уравнения (I) , в котором А0=Е и At -положительный самосопряженный оператор, а также описание спектрально абсолютно непрерывных граничных задач для канонического уравнения (і).
Изложим основные результаты диссертации.
В первой главе исследуются слабые решения уравнения [Xj] = jjj +AyCt)=0, tC0>g],0<6
Для формулировки основных результатов введем необходимые обозначения.
Пусть lift) (Ьо) - сжимающая аналитическая полугруппа класса С0 , порожденная оператором - А Обозна-чим через Н„ ((..^ "t О ( YI -натуральное число) пополнение пространства Н по норме индуцированной скалярным произведением ( X, U ) , = (Ш) X, U(t) ч) ( (Х,Ц)-к-((А+Е)"№х,(А+БГу)), х,уєН , где (, О скалярное произведение в пространстве п . Положим % г тгр* H-t ^-00 іл _іь оеэ оо уі —ъ оо
Оказывается, что 7и - - Ь-оо
Обозначим tiCfc) - расширение по непрерывности полу группы tiCt) на пространство . Также, как и ILft) , 1ХС"Ь) является аналитической сжимающей полугруппой класса С0 , а ее инфинитезимальный генератор -А замы канием оператора -Д в пространстве Н_ . При этом векторнозначная функция бесконечно дифференци руема в пространстве Н при "С >0 тогда и только тогда, когда |є ^_ .
Пусть, далее, »[0,83 (2)(0,8)) (о < g«*0 - пространство бесконечно дифференцируемых, обращающихся в нуль вместе со всеми своими производными в точках О и б бесконечно дифференцируемых финитных на (О, 8) функций с известной топологией.
Векторнозначним распределением класса (2)4H;(o,g)) называют линейное непрерывное отображение СО из 2)С0,] (2)(0,6)) в Н . Очевидно, что
В класс вкладыва- ется пространство Н -значных векторнозначных функций интегрируемых с квадратом нормы L^CH*, (0,g)J : L (Н- (о В)) э uft) — гі«Ю = ( uttXWttdi,
На векторнозначных распределениях СО 8 (Н; Со,ез) ( (Н*, (0,8))) вводится операция дифференцирования: под И. -й производной от сО понимается элемент ^0 : C0WW)= ИГсоС^), с?е ФСо,&Д (3)(0,6)).
Решением внутри (0,61 уравнения (2) будем называть вектор-функцию у ft) :(o,g]at-*xe2)(A)cH непрерывно дифференцируемую в (0, 63 и удовлетворяющую этому уравнению при t (о, 83 .
Определение. Векторнозначное распределение С0 S'(H;(o,e)) (Sb'CH^0,81) называвтся слабым решением уравнения (2), если равенство -(соСфОЛ) + (со«о,а*Ю= выполняется при любых ф^(о,)(2)Со,3) и 1гбФ(А У # С А - сопряженный к А оператор).
В случае, когда в уравнении (2)оператор А - самосопряжен и положителен в С 11 В.И.Горбачук и М.Л.Горбачуком, а позже А.В.Князюком в рассматриваемой нами ситуации, были описаны все решения внутри (о, ] уравнения (2) , и получено их общее представление, а именно: вектор-функция У ("О ~ решение внутри (О, 61 уравнения (2) в том и только в том случае, когда она представима в виде
Из представления (з) получаем, что всякое решение внутри (0,81 ДОЯ уравнения (2) является слабым решением класса Sb'CH'-, Со,В)) того же уравнения. Возникает вопрос, всякое ли слабое решение класса SD'(H;(o,e»' уравнения (2) является решением внутри (0,ёИ того же уравнения? Ответ дает следующая теорема.
Теорема 1.2.5. Всякое слабое решение СО уравнения (2) класса SS (Н',С0,8)) совпадает с обычным бесконечно дифференцируемым при t > О решением внутри СО» В1 того же уравнения.
Из этой теоремы вытекает, что всякое слабое решение уравнения (2) класса а С Н; Со, В)) представимо в виде (3) Оказывается, что если на вектор . в Сз) наложить более жесткие требования, то можно получить полное описание слабых решений из > (Н*, Со, 8]) ,а именно: необходимым и достаточным условием принадлежности слабого решения СО уравнения (2) к s'd-utag]) является принадлежность вектора f в его представлении 3) к пространству G-oo
В другой ситуации, а именно, для двучленного дифференциального уравнения 2.К1-ГО порядка с самосопряженным операторным коэрициентом, теорема о повьшении гладкости слабых решений - 9 -класса S СИ;(0,8)) получена в [31 .
Близким вопросам при изучении слабых решений для дифференциально-операторных уравнений первого порядка посвящены работы [4,2,1 ,ГЭД,ЯЯидр.
Рассмотрим уравнение
Щі = ^ + Ayft)=fc(t), -teLo.e], 0<е<о. (4) в котором А - положительный самосопряженный оператор в Н и 'kCtK Ц (4^00,6)) . Обозначим G^ O^R1) шкалу пространств, порожденную оператором А . Тогда, для того, чтобы векторно-значная функция V (і) Є Lz (Н; (0,б)) была слабьш решением уравнения (4) необходимо и достаточно, чтобы она допускала представление get) = e"At? + fe-A(t"sWs, 00 где 4- є ^-.
В том случае, когда f г| представление (б) для слабого решения из La(H',(0,6)) уравнения (4) получено ранее и результат содержится в монографии
Содержание второй главы состоит в следующем.
На множестве 2)0(яі,(,)) бесконечно дифференцируемых Q, -значных финитных вектор-функций зададим оператор \10 : L0U = 1С ^] (выражение vCip определяется равенством (4)) . Замыкание оператора L0 в пространстве Lg(H;(0,8)) 9 обозначим его L0 , называется минимальным оператором, порожденным выражением "CC^l Аналогично, по выражению [ul =-М. +Аи строится минимальный оператор L0 . Сопряженный к 1_0 оператор L в пространстве L2 (Н; Со, 8)) называется максимальным, порожденным выражением (4) .
При исследовании граничных задач для дифференциального выражения (4) существенную роль играет изучение структуры областей определения максимального и минимального операторов. Для симметрических дифференциальных выражений с ограниченными операторными коэффициентами в пространстве вектор-функций такое изучение было проведено .С.Рофе-Бекетовым (см. CH,i2,lJ, а в случае неограниченных самосопряженных операторных коэффициентов это сделал М.Л.Горбачук [13] , Здесь же выражение (4) не является симметрическим. Этим и обусловлены основные отличия от общей схемы исследования, предложенной предшественниками при изучении симметрических дифференциальных выражений.
Оказывается, что область определения 90.) максимального оператора L состоит из тех и только, тех вектор-функций из L^CH*, (О,В)) > которые допускают представление (б) с вектор-пункцией ktt) = Ly Ct) = lty№ = У'+Ау L2(H;(o,6)).
Из этого представления сразу делаем вывод, что вектор-функция uOfc) из 1_г(Ц;(о,6)) входит в 2)(L) втоми только в том случае, когда она: а) абсолютно непрерывна на (0,6] в пространстве G.ifc ; б) ІІЦ\ Є Ц(Н;(0,&)). При этом, область определения минимального оператора LQ состоит из тех и только тех вектор-функций tj("b) 2)(L) , которые удовлетворяют условию У (О) = у С) - О .
Установлено также, что максимальный оператор L можно получить замыканием в LaCH-,(o,6)) оператора L : - II - L U = tC'Ul Q ьС^З определяется равенством (4)у > определенного на вектор-функциях Ч^^ бесконечно дифференцируемых в пространстве Q, .
Из представления (б) для вектор-функций из 2)(L) вытекает, что для любых uGh) и Z.Ct) из 2)(L") можно писать равенство \ (bjOfc), ztt))dt + J(^ct),Lzct))dLi = при всех О < < < Ji ^ о .
Обозначим через o&u CL) множество вектор-функций *UCt) Є 2)(L) » которые принимают граничные значения в о і і I точке О в пространстве Н , а сужение оператора I— на множество вВцСО обозначим |_ц . Тогда тождество (б) можно писать для произвольных XX Cfc) и Ъ C"t) из 23ij(L) при любых ьі LO,] . Если oL=0 и li(-b) = 20fc) Є 2)|_j(L) , то (б) принимает вид = iiy(g)f - исомі2 + г fn^(-t)||Vt. С?
Ясно, что L0 С Lj_jQ L .
Из (7) вытекает, что L0 диссипативный оператор, т.е. Re(L0y,y)L (n.(0>g)) ^ при всех LjeS)(Lo), - 12 -а оператор . Lc (расширение Коши), определяемый действием оператора L на вектор-функциях из S)(L) , удовлетворяющих условию tj(0)=0 максимально дисеипативен в пространстве
, причем, L0cLcL Н . Таким образом, мы видим, что существуют максимальные диссипативные расширения оператора L0 , являющиеся сужением оператора L
Максимальное диссипативное расширение L минимального оператора L0 будем называть гладким, если выполнено условие L0cLc LH .
Следующая теорема дает описание таких расширений. Теорема 2.3.2. Каким бы ни было сжатие К в прост-ранстве Н $ расширение L минимального оператора L0 , * ^^ Л. порожденное операцией CijKO = Ц ft) + А у (і) и краевым условием у (о) = К-уСВ) (8) является гладким максимальным диссипативным. Обратно, всякое гладкое максимальное диссипативное расширение L минимального оператора L0 в пространстве І^СН^СС^в)) задается операцией С С"УД и условием вида (в), в котором оператор К" определяется расширением однозначно.
Следующая: задача, которая решается в диссертации - изучение спектральных свойств гладких максимальных диссипативных расширений.
Теорема 2.4.1. Пусть оператор А имеет дискретный спектр. Тогда спектр произвольного гладкого максимального дис-сипативного расширения L^ минимального оператора L0 также дискретен. - ІЗ -
Если же оператор Гильберта -
Шмидта в пространстве Н , то резольвента оператора L^ в пространстве является таким же оператором.
В третьей главе исследуются некоторые вопросы спектральной теории канонического дифференциального выражения вида fry] =L^'+ACt)y, t Є 110,63, 0
4A0t) = A(t)j ДРИ БСех "t^ Со,
Множество Н+ =2)(А) о нормой графина оператора становится пространством с позитивной нормой относительно Н и, как показано в , при наложенных на Aft) ограничениях, Ни. не зависит от выбора t0 СО, ё! , Пусть Н-негативное пространство, построенное по предцепочке И э Ц+ . Обозначим АШ сопряженный к AGfc) оператор в цепочке Н.эНэ н+
Как показано в С6, 7] , при наложенных на операторные коэффициенты выражения (9) ограничениях, существует оператор-функция Cj(t,S) такая, что вектор-функция CO(t,S)-f,4-вН, является обычным решением уравнения в пространстве Н.. , удовлетворяющим условию CO(S,S) = тэ 5єСО,63 .
Оператор ^ можно записать в виде: ^ = Рі"~Н9 > гДе RCP) ортопроектор, отвечающий собственному значению 1 (-1) оператора ^ ,
Введем в рассмотрение унитарный оператор:
8tto) = (Рг + Р4 о>Св,о))(Р1 + Рг со(*,о>)"? (І0)
Все самосопряженные расширения минимального оператора L0 , порожденного выражением (9) , задаются операцией С С*у1 и граничным условием (Е-Ю>(усо>-усв)) +СЕ+Ю(усо)+У«))=о, (п) в котором К - унитарный оператор в Н . Этот результат получен в С 5, 63 для случая ACt) = A и остается в силе в рассматриваемом здесь случае.
Оказывается, что между спектрами операторов KS*(GO) И самосопряженного расширения LK , порожденного операцией uCyl и условием (її) существует тесная связь, а именно: точка Л принадлежит к спектру самосопряженного расширения Lj^ тогда и только тогда, когда точка -6 точка спектра оператора , при этом точка Л собственное значение кратности YYL ( точка непрерывного"* спектра) опе-ратора Lj< в том и только в том случае, когда - собственное значение кратности УП. (точка непрерывного спектра) оператора К8(оЛ
Если Н конечномерно, то все самосопряженные расширения имеют дискретный спектр. В противоположность этому, в случае СІШІН = » не существует самосопряженных расширений L^ минимального оператора L0 , спектр которых был бы дискретным.
Описание самосопряженных расширений L^ с абсолютно непрерывным спектром - дальнейшая наша цель.
Пусть В - самосопряженный (унитарный) оператор в пространстве Ни Е^ - соответствующее ему разложение единицы. Оператор В будем называть спектрально абсолютно непрерывным, если функция (Ex4-,+) абсолютно непрерывна при любом f Є Н
Теорема 3.3.4. Для того, чтобы самосопряженное расширение 1_к минимального оператора L0 , порожденного дифференциальным выражением (9) , было спектрально абсолютно непрерывным необходимей достаточно, чтобы унитарный оператор К8(to) был спектрально абсолютно непрерывным.
Когда в (9) % = Е граничное условие (іі) можно записать в виде 1^(0) = Ку(Ю , и если к тому же AOt) = A , то тогда самосопряженное расширение L^ , определяемое унитарным оператором К , будет спектрально абсолютно непре-рывным в том и только в том случае, когда оператор К^ спектрально абсолютно непрерывен. В частности, если К = Є Е, оС/? , то последнее эквивалентно спектральной абсолютной непрерывности оператора А
Основные результаты опубликованы в LZ7-S01 .
В заключение выражаю искреннюю признательность Мирославу Львовичу Горбачуку, под руководством которого была выполнена настоящая работа, и Юрию Макаровичу Березанскому за внимание к работе.
Г Л А В A I . СЛАБЫЕ РЕШЕНШ ДРШЕРЕНЦИАЛЬНО ОПЕРАТОРНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В ПРОСТРАНСТВЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ.
О пространствах основных и обобщенных элементов,связанных с аналитической сжимающей полугруппой класса ее инфинитезимальным генератором
Максимальное диссипативное расширение L минимального оператора L0 будем называть гладким, если выполнено условие
Следующая теорема дает описание таких расширений. Теорема 2.3.2. Каким бы ни было сжатие К в прост-ранстве Н $ расширение L минимального оператора L0 , порожденное операцией CijKO = Ц ft) + А у (і) и краевым условием является гладким максимальным диссипативным. Обратно, всякое гладкое максимальное диссипативное расширение L минимального оператора L0 в пространстве І СН СС в)) задается операцией С С"УД И условием вида (в), в котором оператор К" определяется расширением однозначно. Следующая: задача, которая решается в диссертации - изучение спектральных свойств гладких максимальных диссипативных расширений. Теорема 2.4.1. Пусть оператор А имеет дискретный спектр. Тогда спектр произвольного гладкого максимального дис-сипативного расширения L минимального оператора L0 также дискретен. Если же оператор Гильберта Шмидта в пространстве Н , то резольвента оператора L в пространстве является таким же оператором. В третьей главе исследуются некоторые вопросы спектральной теории канонического дифференциального выражения вида fry] =L +ACt)y, t Є 110,63, 0 g oo, (9) в котором Att) самосопряженные операторы в Н при любом teCo, 63 с не зависящей от tGCO,83 областью определения (A) причем, вектор-функция сильно непрерывно дифференцируема в - ; % - ограниченный самосопряженный оператор в п со свойством = Е и 4A0t) = A(t)j ДРИ БСех "t Со, Множество Н+ =2)(А) о нормой графина оператора становится пространством с позитивной нормой относительно Н и, как показано в , при наложенных на Aft) ограничениях, Ни. не зависит от выбора t0 СО, ё! , Пусть Н-негативное пространство, построенное по предцепочке И э Ц+ . Обозначим АШ сопряженный к AGfc) оператор в цепочке Как показано в С6, 7] , при наложенных на операторные коэффициенты выражения (9) ограничениях, существует оператор-функция Cj(t,S) такая, что вектор-функция CO(t,S)-f,4-вН, является обычным решением уравнения в пространстве Н.. , удовлетворяющим условию CO(S,S) = тэ 5єСО,63 . Оператор можно записать в виде: = РІ" Н9 гДе RCP) ортопроектор, отвечающий собственному значению 1 Все самосопряженные расширения минимального оператора L0 , порожденного выражением (9) , задаются операцией С С у1 и граничным условием в котором К - унитарный оператор в Н . Этот результат получен в С 5, 63 для случая ACt) = A и остается в силе в рассматриваемом здесь случае. Оказывается, что между спектрами операторов KS (GO) И самосопряженного расширения LK , порожденного операцией uCyl и условием (її) существует тесная связь, а именно: точка Л принадлежит к спектру самосопряженного расширения Lj тогда и только тогда, когда точка -6 точка спектра оператора , при этом точка Л собственное значение кратности YYL ( точка непрерывного" спектра) опе-ратора Lj в том и только в том случае, когда - собственное значение кратности УП. (точка непрерывного спектра) оператора К8(оЛ Если Н конечномерно, то все самосопряженные расширения имеют дискретный спектр. В противоположность этому, в случае СІШІН = » не существует самосопряженных расширений L минимального оператора L0 , спектр которых был бы дискретным. - 15 Описание самосопряженных расширений L с абсолютно непрерывным спектром - дальнейшая наша цель. Пусть В - самосопряженный (унитарный) оператор в пространстве Ни Е - соответствующее ему разложение единицы. Оператор В будем называть спектрально абсолютно непрерывным, если функция (Ex4-,+) абсолютно непрерывна при любом f Є Н Теорема 3.3.4. Для того, чтобы самосопряженное расширение 1_к минимального оператора L0 , порожденного дифференциальным выражением (9) , было спектрально абсолютно непрерывным необходимей достаточно, чтобы унитарный оператор К8(to) был спектрально абсолютно непрерывным.
Когда в (9) % = Е граничное условие (іі) можно записать в виде 1 (0) = Ку(Ю , и если к тому же AOt) = A , то тогда самосопряженное расширение L , определяемое унитарным оператором К , будет спектрально абсолютно непре-рывным в том и только в том случае, когда оператор К спектрально абсолютно непрерывен. В частности, если К = Є Е, оС/? , то последнее эквивалентно спектральной абсолютной непрерывности оператора А
Слабые решения дифференциально-операторного уравнения параболического типа в пространстве вектор-функций
Следствие 2. ЇЛО. Если векторнозначная функция U(-fc) принадлежит области определения 2)(L) максимального оператора L , то она непрерывна на Со, 83 в простран стве G
Доказательство. Пусть uft)e&(L) ,тогда она представима в виде (2.1.4). Ппервое слагаемое этого представления непрерывно на (о, 8] в пространстве Gy„ ,а следовательно, в силу непрерывности второго слагаемого в Gy (см. следствие 2.1.9 следствие доказано.
Замечание. Рассмотрим дифференциальное выражение вида где 0,СЬ) - операторнозначная функция, значениями которой при каждом te[0,6] являются самосопряженные операторы ограниченные и положительные в И и такая,что Ct) ,как функция от t ограничена на СО,бЗ » а ъСу] - дифференциаль ное выражение, определяемое равенством (2.1. i) . Так как минимальный оператор L0 и максимальный L , порожденные выражением (2,1.1), отличаются от аналогичных операторов, построенных по дифференциальному выражению (2.1.12),на ограниченный в L2(H;(o,g)) оператор q, : С}, ? = q,Gt) PCi) ((() е LoW Со» )) » то обтстк определения таких операторов совпадают и описываются теоремами 2.1.5 и 2.1.7. В том случае,когда в выражении (2.1.12) оператор С = X (X о) ,то из теоремы 2.I.I вытекает,что область опреде ления максимального оператора,порожденного таким выражением, состоит из тех и только тех векторнозначных функций IjGfc) , которые допускают представление 2. О линейных отношениях в гильбертовом пространстве. Линейным отношением & в гильбертовом пространстве И называется любое линейное многообразие М@ в пространстве Н@Н . Если Х,х єН и {х,Х }еМ0 , то пишут X 0Х 012] . Множество элементов ХЄ Н таких,что существует хотя бы один элемент х 6 Ц со свойством {X,x j"jvf, называется облас-тью определения 2)(MQ) отношения в Множество тех X из Н , для которых хбх при некотором Х6 Н называется множеством значения 3?СШ. И отношения Иногда линейное отношение, очевидно почему, называют многозначным оператором. В последнее время появилось много работ,посвященных линейным отношениям в гильбертовом пространстве. Одной из областей приложения теории линейных отношений является теория расширений симметрических дифференциальных операторов (см.напр. \}\%-k5l) . В нашем случае, исходный оператор, как будет показано дальше,не является симметрическшя. Последнее обстоятельство вынуждает перенести некоторые, известные для симметрических отношений, результаты на рассматриваемый здесь случай. Терминология, которая используется в этой работе, нескольн ко отлична, чем в работе СА31 ,что вызвано разнобоем в литературе при определении диссипативного оператора СІ0-І63 , Пусть MQ линейное отношение в Н «В работах D &, 43] изучены линейные отношения М , обладающие одним из следующих свойств: 1. iW(X,x )=0 для всех -(х,Х }еМ8; 2. Зт,(х, X ) =о для всех (Х,Х }бМв; 3. Зт. (Х,Х ) 0 для всех x,x e Линейное отношение Мф со свойством I. (2.,3.) будем называть симметрическим ( i-диссипативным, аккумулятивным) . Симметрическое ( І -диссипативное, аккумулятивное ) отно-шение М называется максимально симметрическим (л -дисси-пативным,аккумулятивным), если оно не имеет собственных симметрических (і-диссшативвш:,аккумулятивньк) расширений Met , т.е. М@ DM@ (включение теоретико-множественное) . Симметрическое отношение MQ называется самосопряженным, если свойство 2. и 3. выполняются одновременно. Каноническое описание всех симметрических, самосопряженных, L-диссипативных, аккумулятивных линейных отношений дано в работах С АЗІ (в работе С123 рассмотрен только самосопряженный случай) . Это описание дается следующей теоремой. Теорема 2.2.1. С А А]. Каким бы ни было сжатие К в Н (К11 1) » линейное отношение, определяемое уравнениями
Некоторые спектральные свойства гладких максимально диссипативных расширений
Покажем,что если U(t) пробегает всю область определения SD(L) гладкого максимально диссипативного расширения L , то заполняет все пространство Gty Предположим противное: пусть существует элемент f eGv2. »Для которого в 2 (L) не существует вектор-функции yCt) такой, чтобы выполнялось условие (2.3.12). Рассмотрим расширение L«1 минимального оператора Lo » определяемое операцией ВД и условием у(Р)-КхЦ(%) , где yCt)&H(L) и Ki линейный оператор, определенный на всем пространстве Н , Kt 2 К и /i f C-L II 4- Как установлено при доказательстве достаточности L - гладкое максимально диссипативное расширение оператора L0 .Ясно,что . Покажем, что LKl сущес твенное расширение оператора L #В силу леммы 2.2.1 в 2) (0 существует вектор-функция Ч("Ь) удовлетворяющая условию Ч(.&)-$ t Ч±(.0) = КІ$ , которая принадлежит к ФС -KJ и,по предположению, не входит в cS(L). Этим установлено, что у оператора L существует собственное диссипативное расширение, чего быть не может. Поэтому, оператор К определен на всем пространстве Gy . Замыкание по непрерывности К оператора К однозначно определяет расширение L . Последнее вытекает из того, что любая вектор-функция из ob(L) в точке о принимает значение в пространстве Gd/2 . Покажем, что оператор К в условии (2.3.4) определяется гладким максимально дисеипативным расширением однозначно.Пусть некоторое такое расширение L можно задать операторами Ki и К . Тогда для" всех uCUeSDCL) должно выполняться равенство (КІ - Кг) U Й ) = О . При доказательстве необходимости установлено, что ЦІ.%) заполняет все пространство Сяу - 66 плотное в Н , а поэтому К1=К2 . Теорема доказана. Определения. Гладкое максимально диссипативное расширение L-K минимального оператора L-o , порожденное выражением (2.I.I), будем называть j -гладким (o j V -) если для произвольной вектор-функции U(t) SD(LK) ее граничное значение в точке О принадлежит пространству Gj , при этом L называется максимально гладким,когда j- /z Примером максимально гладкого максимально диссипативного расширения может послужить расширение Коши - LQ , определяемое оператором К= О . Другое максимально гладкое максимально диссипативное расширение может быть задано периодическим краевым условием 4(0) = у(8). Полное описание J -гладких максимально диссипативных расширений дает следующее утверждение. Следствие1 2.3,3. Для того, чтобы гладкое максимально диссипативное расширение L минимального оператора L-o , определяемое оператором К в граничном условии (2.3.4), было j -гладкрш необходимо и достаточно выполнение условия: KGy& с Gj ( J % Доказательство вытекает из теоремы 2.3.2, если отметить,что для произвольной вектор-функции 4 "t) из 2 н0.) («eG . 4. Некоторые спектральные свойства гладких максимально диссипативных расширений. Пусть L-K - гладкое максимально диссипативное расширение минимального, оператора L0 . Тогда оператор 1_к+Лс имеет ограниченный обратный в пространстве Ц,(Н;(0,в)) при любом А О . Так как для произвольной векторнозначной функ - 67 ции kd) из Lj ,(H;(0,6)) вектор-функция uto = (LK+ E) 4гШ (А 0) принадлежит к 9HCL) с SbCL) ,то в силу замечания к 1, она представима в виде (2.1.13) с вектором 4- Ц . Подставив (2.1. ІЗ) В граничное условие (2.3.4) получаем,что при любом Л 0 резольвента оператора L в точке -X имеет вид о где операторнозначная функция oD A) определяется равенством Цудем говорить,что оператор А имеет дискретный спектр если для некоторого комплексного Л оператор (А-ХЕ) определен на всем пространстве и вполне непрерывен. Теорема 2.4.1. Пусть оператор А имеет дискретный спектр.Тогда спектр произвольного гладкого максимально дис-сипативного расширения L минимального оператора L0 также дискретен.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно установить, что в некоторой точке Л0 резольвента (J» (Li ) оператора 1_к является вполне непрерывным оператором в Ц(Н;(0,6)) С37].
Качественная структура спектра максимально I -диссипативных расширений минимального оператора
В этом параграфе приведены некоторыеj необходимые для дальнейшего, результаты, вытекающие из работ С5" -7] . В гильбертовом пространстве L2(H ,(0,8)) (о б «) рассмотрим дифференциальное выражение в котором ACt) при каждом фиксированном t Є С О, в ] _ самосопряженный оператор в Н с независящей от областью определения SfACt)) = 2)(А) ,при этом для произвольного элемента f Ъ(А) вектор-функция AGfc) предполагается сильно непрерывно дифференцируемой в Н ; tyOi) - операторно-значная функция непрерывная в сильной операторной топологии на СО, S] ,значениями которой являются ограниченные самосопряженные операторы в пространстве Н » $ " стосЩ?шетш& в Н оператор со свойствами: J = Е и CA(-fc) + JttJ = fAft)+ Ci 3 при всех ІЄ Со, 83
По дифференциальному выражению (З.І.і) обычным образом строится минимальный оператор L0 (замыкание оператора L_0 : Ці/ = ІСЦ] , у So (см.1,гл.2) в пространстве LZ(H (.Oti)) ). Сопряженный к L0 оператор L называется максимальным оператором, порожденным выражением (З.І.і).
Цусть І0єСО,83 . На множестве Н+ =2) (А) зададим скалярное произведение Очевидно,что Н+ плное гильбертово пространство относительно этого скалярного произведения и его мжно считать пространством с позитивной нормой относительно И0 - Н (см. [Зі]) . Соответствующее негативное пространство обозначим Н- . Цепочка пространств Н_ 2 Из Н + не зависит от выбора t0[b,e] ! в следующем смысле: если Н_ 2Н Н+ - цепочка, построенная по оператору A(t0) (їоє 0,63 , І0Ф±0) , то Н+ сов-падает с Н+ и И, совпадает с Н. как множества и нормы в них эквивалентны 45] . Оператор Aft) ft Є СО,8]) непрерывно переводит Н+ в Н , а потому, сопряженный к нему оператор Aft) действует из Н в И- .При этом Aft) рассматриваемый в И- с 2)(AGfc)) = Н является самосопряженным и Aft) з Aft) С133 . Рассмотрим уравнение Определение. Вектор-функция tfGfc) со значениями в Н ,абсолютно непрерывная в пространстве Н- и удовлетворяющая уравнению для произвольных єф(А), или то же самое, уравнению называется обобщенным решением уравнения (3.1.2) . Как установлено в работах C6,7j »область определения максимального оператора L состоит из тех и только тех вектор-функций Ц&) і которые представимы в виде , а вектор-Функция cO(t,$)Q при любом Q6 Н является слабым решением уравнения сСуЗ=0 удовлетворяющим условию COCS Q = ф Напомним, что ограниченный оператор 8 в пространстве г называется % -изометрическим, если В ЇВ=-Ї и -унитарным, если он -изометричен и обратим. Для любых t,S є Со, ё! операторнозначная функция Gj(t,S) из (3.1.4) обладает следующими свойствами а) оператор COCt S) - унитарен; б) оператор COft,S) -унитарен; в) oXt,s) = cjCt oT s.o) . г) cOCt,-fc) = Е (ІЕ - тождественный оператор). Определение. Оператор В в гильбертовом пространстве Н с плотной областью определения Й)(Е ) называется L-диссипативным (аккумулятивным), если 9иг(В{, ) 0 (t)m(B?,{)$o) при всех -fG(B) и максимально С-диссипативным (аккумулятивным), если он L-диссипативен аккумулятивен и у него не существует собственных с-дисси-пативных (аккумулятивных) расширений. В работе [6] для случая, когда в выражении (3.1.і) A(t)=A дано описание всех максимально L-диссипативных,максимально аккумулятивных, максимально симметрических и самосопряженных расширений L минимального оператора L0. Если учесть представление (3.1.4) для вектор-функций из S(L) , то - 79 теорема об описании таких расширений с дословным доказательством из работы [5 , б] переносится на рассматриваемый здесь случай, а именно имеет место теорема. Теорема З.І.І. С 6 Л . Каким бы ни было сжатие К в И , граничные условия определяют в Lg (Н (0,8)) соответственно максимально -дао-сипативное и максимально аккумулятивное расширения оператора L.0 . Обратно, всякое максимально і-диссипативное (аккумулятивное) расширение в La(M;(0,8)) оператора L0 порождается операцией ЕСч] и граничным условием вида (3.1.5) ((3.1.6)). Максимально симметрические расширения оператора L0 в L2(H;(0,6)) описываются условиями (3.1.5),(3.1.б), в которых К - изометрический в Н оператор.Эти условия задают самосопряженные расширения тогда и только тогда, когда К -унитарен. Для дифференциального уравнения (] ft) = х у со + koto, (з. і. 2) где kCt) 1_г(Н;( ,)) и X - произвольное комплексное число, определение обобщенного решения такое же, как и для уравнения (3.1.1), если в (3.1.2) C(t) заменить на (J0fc)-A а в (3.1.3) fyCfc) заменить на CJ.(t)-A Существование и единственность решения обобщенной задачи Коши для уравнения (3.1.2),т.е.задачи о нахождении обобщенного решения ЦС-Ь) уравнения (3.1.2), удовлетворяющего условию y(S)-ІЄН (S [О, ]) доказано в работе І7] . Предположим, что вектор-функция со Ob,s) (еН) - решение обобщенной задачи Коши для уравнения М =о с начальным условием tj(S)=.f (se Го, 83) . Тогда непосредственной проверкой (учитывая свойства а) - г) для оператор-функции kXt,S)) , убеждаемся, что вектор-функция вида является тем единственным решением обобщенной задачи Коши для уравнения (3; 1.2) удовлетворяющим условию у(о)=.еЦ .Из ф. 1.7) вытекает, что векторнозначная функция t_(t,X) анали-тична по параметру X
