Введение к работе
Актуальность течи, изучение раалачнис классов бесконечно дифференцируемых *утвди било Начато в иа чиле іХ века в работах — ида-иара, аі.Аоьре, і'.Карлимана, с.і.:акдельбро!Іта и рила других иатеиати-ков* Интерес к ніш появился как в связи с задачами cam.", теории Функций, так и в связи с описанием иночества решена!! различных типов уравнбни!!<часгшд;и производный;!. З дольїиі-пен различные классы бесконечно ди.їчі:вренцируеиис функції!! были предметом исследований таких иытеиатиков как Т.Банг, Л.Карлссон, л.Ъранпрайс, Б.с.ыигягин, Г.В.Бадалян и других.
В последние два десятилетия в работах *J. А. Дуб и не ко го и его учеников било начато изучение нелинейных ди.;>;.орєн! дальних уравнений босшночного порядка вещественных переменных и соотвггсгвуицих uu банаховых пространств бесконечно дий'сронцируемис .рункциЛ. Зти пространства,являющиеся монотонными пределаин соответствующих классических пространств Соболева, называются пространствами Соболева бесконечного порядка, интерес к таким уравнениям и к их энергетический пространствам объясняете как развитием самой теории дифференциальных уравнений и соответствуюцих им функциональных пространств, гик и наличием различных приложений (в частности, к задачам стохастической теории упругости, релятивистской квантовой механики и другим задачам математической физики).
Известно, что в теории нелинейных краевых задач для уравнений с частными производными важную роль играют теоремы продолжения и вложения для классических пространств Соболева.
При исследовании краевых задач для уравнений бесконочного порядка эти теоремы существенны ещо в большее степени, причем они содержательны и нетривиальны даже в одномерном случае. При этом следует отметить, что теория продолжения, влояенил и компактного вложения для пространств Соболева бесконечного порядка оказалась тесно связанно!! с классическими задачами о продолжении функций в неквази-аналитических классах Карломана и о соотноиениях этих классе"
Изучение же различных возмущенных нелинейных уравнений і*
печного порядка приводит к необходимости упорядочения дифферянц.. алыпк операторов бесконечного порядка, т.е. выделения главного оператора, и построения теории ди;);еронциалы1ых уравнений бесконечного порядка с подчиненными членами.
.Із всего сказанного следует, что представленные в работе ис- . следования актуальны как в обценаучном плане - янляотся вкладом в
развитие теории банаховых пространств бесконечно дифференцируемых функций и нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка, так и в свете практических приложений - для решения ряда задач математической физики.
Цель работы. I) Решение классической задачи о восстановльнии бесконечно дифференцируемой функции в не квазиа кал итач соках классах Карлеыана по заданным значениям ее самой и всех ее производных в некоторой точко.
с) описанио классов последовательностей, продолжимых в пространствах Соболева бесконечного порядка.
-
Установление соотношения различных пространств Соболева бесконечного порядка, а такке введение частичного упорядочения дифференциальных операторов бесконечного порядка.
-
Получение условий равномерной корректности семейства краевых задач для дифференциальных уравнений.
-
Построение теории дифференциальных уравнений бесконечного порядка с подчинешшии членами.
Обцая методика исследования. В работе используются методы теории функций (в част носій,обобщенные ряди Тейлора, теория регуляризации последовательностей, ряды »урье, преобразование vypbe), методы нелинейного функционального анализа и теории Дифференциальных уравнения с частными производными.
Научная новизна. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми как в теории банаховых пространств бесконечно дифференцируемых Функций, так и в теории нелинейных дифференциальных уравнений бесконечного порядка.
Сформулируем основные из полученных автором результатов.
-
Для неквазианалитичоских классов Карлемана и их обобщений получено решение классической задачи о восстановлении бесконечно дифференцируемой функции в этих классах по значениям самой функции и всех бе производных в некоторой точке.
-
Установлено необходимое и достаточное условие на последовательность {4у„] для суцзсгвования в любом нетривиальном пространстве Соболева бесконечного порядка W "*{&», р,*]^ а) функции, удовлетворяющей условии
8) Для конкретных пространств "W^u^. р,%\о,а.) найдены необходимые, а также достаточные алгебраические условия, при которых
последовательность {&,VJ продолжима в них, причем для пространств, определяемых быстро убывающей последонатолыюстыо {&„,}, получен критерии продолжения в них последовательности {*.}. ч) Для последовательности функций C^W}, *-6^ ^*і, получени необходимые, а также достаточные условия, при которых в пространство W"{
tt.c-,C4*) = Tv<"Х/) > И, г «7, 4, ....
Ь) Построона теория вложения для пространств W~{a.„,tр,i}(g.) опредолонных на различных одномерные областях О- (прямой, луче, отрезке, окружности) при фиксированных і*р<<><* и t->i .
б) Установлены условия вложонин для пространств Соболева бесконочного порядка ^""{й^р,"!.}. , определенные на многомерных областях (?
У) Найдены условия разномерной корректности семейства дифференциальных уравнении бесконочного порядка, рассматриваемых в пространстве R, , \l?i , а также семейства задач Дирихле для дифференциальных уравнений бесконочного порядка, рассматриваешь в ограниченной области G- с R,v .
8) Для дифференциальных операторов бесконечного порядна введено чаотичноо упорядочение, с помощью которого построена теория дифференциальных уравнений бесконечного порядка, содержащих подчиненные члены.
Достоверность результатов. Все результаты диссертации сформулированы в виде теорем, лемм, следствий и полностью доказаны. Приведены иллюстрирующие примеры.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теорети
ческий характер. В ней для достаточно широкого класса последователь
ностей {.JU*},определяющих классы Карлекана, решена клас
сическая задача о существовании Функций в этих классах. Получены
легко проверяемые алгебраические условия существования в простран
ствах Соболева бесконечного порядке функций,удовлетворяющих задан
ным значениям на границе, а также условия вложения и компактного
вложения этих пространств. Эти результаты позволили построить тео
рию нелинейных ди;;е, енциальных уравнений бесконечного порядка с
подчиненном.! члияамн л установить ім;'риьииисг ь ряда задач, для
которых ранее известными методами птого сделать не удавалось.
Таким образом, іпзмоліость практического использования получен-Н!лс результатні) ,юк; ;'ана в самої! работе.
Апоабация работы. Основные результаты диссертации докладывались: регулярно, начиная с I9V6 года, на научных семинарах МЭИ (рук. проф. А.А.Дубйнский; рук. член-горр. АН СССР С.И.Иохокаев, проф. й.А.Дубинскнй, проф. С.л.Ломов); неоднократно на научных семинарах К» АН СССР им.В.А.Стоклова (рук. акад. С. :>1. Никольский, члон-корр. АН СССР л.Д.Кудрявцев, члон-іарр. л'Л СССР 0.а.Бесов), 1йУ им. И.В. Ломоносова (рук. члон-корр. на СССР ;1. л. Ульянов, прої;;. Б.С.Кашин), УДН (рук. проф. З.й.Буренков), на Международных конференциях (Будапешт 1980 г., Киев 1983 г.) на Всесоюзних конференциях, школах, семинарах по теории функций (Баку 19'/'/ и 1989 г., Уда 198'/ г., Мили-си 1983 и 1090 г., Одесса 1991 г.), на Всесоюзной конференции по некласенческим уравнениям математической физики (Новосибирск, 1981г. на Всесоюзных научно-технических конференциях йд'Л (1978,1980,1984г.)
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19 научных работах, список которых приведен в конца автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, каждая из которых разделена на параграфы, и списка цитируемой литературы из 90 наименований. Общий объем работы 263 стр. машинописного текста.
