Введение к работе
і-' ;Актуальность темы. Настоящая диссертационная работа посвящена теории полумодулей инфраполуединиц, геометрии идеальных пространств ( Loo-модулей) измеримых вектор-функций, теории линейных и нелинейных операторов в них и их приложениям к задачам о разрешимости нелинейных операторных и интегральных уравнений Гаммерштейна л краевым задачам для систем уравнений математической физики.
Теория нелинейных интегральных уравнений,- восходящая к фундаментальным исследованиям А.М.Ляпунова', Э.Шмидта, П.С.Урысона и получившая дальнейшее развитие в работах Л.Лихтенштейна, А.Гаммерштейна, М.Голомба, первоначально строилась в классических пространствах С непрерывных функций и (La, интегрируемых (в смысле Лебега) с квадратом функций. Однако, к началу шестидесятых годов после исследований М.А.Красносельского, А.И.Поволоцкого, М.Н.Вайнберга и других авторов в классических вариантах теории были обнаружены весьма существенные "дефекты". В частности, теория нелинейных интегральных уравнений в пространствах С не позволяла исследовать разрывные решения нелинейных уравнений (в частности, уравнения с разрывными нелинейностямп) и была излишне сложной технически из-за "плохой" геометрии пространства С ; теория же в пространствах (La (даже после привлечения пространств fLp ) позволяла рассматривать нелинейные интегральные уравнения только со степенными нелинейностямп. Именно в связи с этим обстоятельством М.А.Красносельский и Я.Б.Рутицкий предложили и обосновали возможность применения к исследованию интегральных уравнений с произвольными нелинейностямп пространств Орлича, введенных'в анализе В.Орличем еще в тридцатых годах, в первую очередь, в связи с теорией рядов Фурье.
В те же годы развивалась и теория систем нелинейных интегральных уравнений. Их анализ проводится по аналогии со скалярным случаем, причем в качестве пространств, в которых эти уравнения рассматривались, использовались сначала прямые суммы пространств Лебега Lp , а затем и
- 3 - '
пространств Орлича Lu .
В шестидесятых годах П.П.Забрейко и А.И.Поволоцкий впервые предложили и обосновали возможность применения к исследованию интегральных уравнений общих идеальных пространств (в частности, и пространств Лоренца А^ и пространств Марщшкевича ЇІ* ) Следует отметить, что идеальные пространства измеримых скалярных функций (иначе, функциональные банаховы пространства, пространства Кёте, банаховы структуры и др;) рассматривались по разным поводам еще в пятидесятых и шестидесятых годах Ж.Дьедонне, Х.Эллисом, И.Гальпериным, Г.Лоренцем, Д.Вергеймом, В.А.Люксембургом и А.Зааненом, Ю.И.Грибановым, П.П.Забрейко. В те же годы в связи с потребностями вариационного исчисления' и теории оптимизации начала развиваться теория пространств Орлича вектор-функций (причем не только конечномернознач-ных, но и бесконечномерноэначных). Однако, в работах по нелинейным интегральным уравнениям продолжали использоваться прямые суммы пространств Лебега, Орлича (и более общих идеальных пространств). Естественно, что использование прямых сумм пространств скалярных функций для исследования систем нелинейных интегральных уравнений позволило, как в скалярном случае, рассматривать уравнения с нелинейностями сколь угодно "большого" роста. Но (и это было замечено не оразу!) теория нелинейных интегральных уравнений Гаммер-штейна, основанная на использовании прямых сумм пространств скалярных функций, не охватывала многие олучаи нелинейносте? имеющих существенно различный рост, по различным направлениям.
В этой связи было желательно для анализа интегральных уравнений с такими нелинейностями попытаться использовать теорию пространств Орлича вектор-функций, построенную в работах М.Скаффа, А.Д.Иоффе, А.Козека, З.Шателейна, Э.Жинера, Б.Турэта, АВ.Л.Левина, И.В.Шрагина, и др. До 1986 года было известно неоколько вариантов такой теории, различающихся предположениями о порождающих пространства ' N -
_ 4 -
функциях (выпуклых нормальных интегрантах). Оказалось, что с точки зрения приложений к нелинейным интегральным уравнения.» ни один из этих вариантов не обеспечивает необходимой общности. Основными "недостатками" в указанных вариантах пространств Орлича вектор-функций и введенных позднее В.Л.Левиным,. С.Кастэном, А.Каминской банаховых пространств измеримых вектор-функций, являются следувдие. Во-первых, в их построениях предполагались выполненными различные дополнительные и часто весьма существенные ограничения. Во-вторых, до настоящего времени оказались не изученными в полном объеме такие важные для применений к .нелинейным интегральным уравнениям свойства, как сепарабельность, критерии компактности и абсолютной ограниченности, условия слабой (в различных смыслах) сходимости и т.п. В-третьих, совершенно не изучались-свойства различных линейных и пели-' нейных операторов в таких пространствах. И, наконец, подходы А.Д.Иоффе, З.Шатедейна, Э.Нинера, А.Козека, В.Л.Левина, С.Касгэна и др. не позволяют добктьсявдолной общности упомянутых результатов, необходимых для применений к нелинейным уравнениям. Лишь в 1985-1987 гг. в работах П.П.Забрей-ко и автора была предлонеяа теория пространств Орлича вектор-функций, достаточно хорошо приспособленная г. исследованию интегральных уравнений.
В 1985-1987 гг. П.П.Забрейко были введены идеальные пространства (конечномернозначяых) измеримых вектор-функцвй, как модули над алгеброй L «j существенно ограниченны:: измеримых скалярных функций и построена- общая теория этих пространств. Эти новые пространства содержат как частные . случаи прямые .суммы (бохнеровские варианты) идеальных пространств скалярных функций, упомянутые выше варианты пространств Орлича, а также банаховы пространства измеримых вектор-функций, рассмотренные в 1985-1987 гг. В.Л.Левиным, С.Кастэном и А.Каминской.
Систематическое использование пространств Лебега, и Орлича для изучения разрешимости в пространствах Соболева краевых задач для эллиптических (квазилинейных) дифферея-
циальных уравнений в частных производных и систем таких уравнений впервые было дано в работах М.И.Вишика в первой половине шестидесятых годов. Затем, В.И.Юдович, Ю.А. Ду-бинский, СИ. Похожаев, Н.Трудингер уточнили нелинейности
в эллиптических уравнениях при использовании полученных ими теорем вложения пространств Соболева в пространства Ор-лича. В семидесятых и восьмидесятых годах в работах Т.До-налдсона,Ж.-П.Госсеза,Н.Трудингера и Т.Доналдсона.А.Фу-жера,Т.Лакруа и др. широко использовались пространства Ор-лича скалярных функций для изучения разрешимости в пространствах Соболева-Орлича краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с коэффициентами нестепенного роста; в те же годы для таких задач начали использоваться пространства Орлича вектор-функций в работах А.Д. Иоффе, Ш. Баррила и Р. Ваудена, B.C. .Климова и их коллег.
Естественно было попытаться для анализа краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений использовать идеальные -пространства. В настоящей работе впервые предпринимается попытка продвинуться и в этом направлении.
Цель настоящей работы состоит в построении геометрии (в частности, теории двойственности)идеальных пространств ( Loe-модулей и банаховых Leo-модулей) вектор-функций, теории линейных и нелинейных операторов в таких пространствах и их применения к теории интегральных уравнений и краевым эадачам для эллиптических дифференциальных систем и уравнений.
Методика исследования. Первоначальная теория идеальных пространств скалярных функций основана на анализе свойств упорядоченности, порожденной конусом неотрицательных функций. При переходе к идеальных пространствам (модулям над алгеброй Loo ^ вектор-функций ситуация резко меняется. Уже пространства Орлича вектор-функций не являются К-пространствами (и даже полуупорядоченными пространствами относительно естественной упорядоченности, порожденной конусом вектор-функций с неотрицательными компонентами). В этой связи в работах С. Кастэна, Р. Рокайеллара, А.Д. Иоффе и В.М. Тихомирова, В.Л. Левина и др. был развит тон-
- б -
кий аппарат (так называемый выпуклый анализ в пространствах измеримых вектор-функций), основанный на хорошо развитой
теории измеримых многозначных отображений;
Однако, при нашем построении теории идеальных пространств вектор-функций выяснилось два важных обстоятельства. Во-первых, математический аппарат выпуклого анализа можно свести к минимуму - только к теореме об измеримом выборе для измеримых многозначных отображений и простейшим следствиям из нее (среди которых стоит отметить леммы А,Ф.Филиппова о неявных функциях). Во-вторых, обнаружено, что идеальные пространства вектор-функций, введенные П.П.Забрейко, являются "упорядоченными" в некотором новом некласоическом смысле, а именно, введенное диссертантом множество инфра-полуединиц (измеримых по С.Касгэну специальных многозначных отображений) в таких пространствах является полумодулем, являщимся порядково полной алгебраической системой счетного типа (этот факт является следствием свойства порядковой полноты алгебры измеримых множеств и некоторых свойств выпуклых множеств в конечномерном пространстве).
Соответствующие результаты об этом полумодуле инфра-полуединиц приводят, во-первых, к простой схеме исследования идеальных пространств вектор-функций, в частности, построению теории двойственности таких пространств и, во-вторых, к достаточно богатой теории линейных и нелинейных операторов, действующих в них. В частности, они позволяют естественным образом ввести модуль линейного оператора в таких пространствах (он оказывается "линейным" оператором в полумодулях инфраполуединиц). Далее, они позволяют обнаружить естественность и полезность применений интегралов Аумана и Бохнера многозначных отображений к изучению интегральных операторов в таких пространствах.
Отметим еще, что множество инфраполуединиц идеальных пространств вектор-функций является полукольцом в смысле В.П.Маслова со специальной операцией сложения без вычитания; наша конструкция полумодулей инфраполуединиц идейно близка к некоторым конструкциям В.П.Маслова.
Построенная теория идеальных пространств вектор-функций и операторов в таких пространствах позволяет получить ряд результатов (новых уже для одного уравненш ния) о разрешимости систем нелинейных операторных и интегральных уравнений Гаммерштейна и краевых задач для квазилинейных систем уравнений в частных производных с "сильными" нелинейностями.
Научная новизна. В диссертации предложен и развит новый подход к построению теории идеальных пространств (модулей и банаховых модулей над банаховой алгеброй L во ) вектор-функций и теорий операторов и уравнений в таких пространствах, основанный на анализе введенного диссертантом нового математического объекта - полумодуля инфраполуединиц и операторов в таких полумодулях (это построение в скалярном случае эквивалентно анализу конуса неотрицательных функций и теории положительных относительно такого конуса операторов). Основными результатами диссертации являются :
-
Теория нового математического объекта - полумодулей инфраполуединиц (измеримых по С, Кастэну специальных многозначных отображений) и построенные на ее основе теория идеальных в смысле П.П. Забрейко пространств (модулей и банаховых модулей над банаховой алгеброй L» „л ) вектор-функций и теория линейных и нелинейных (интегральных) операторов в таких пространствах;
-
Получение новых (уже для одного уравнения) теорем о разрешимости нелинейных операторных и интегральных уравнений Гаммерштейна и краевых задач для квазилинейных эллиптических дифференциальных систем с "сильными" нелинейностями, основанных на новой теоретико-функциональной схеме и на теории идеальных пространств ( Ь о,, -модулей) вектор-функций и теории операторов в таких пространствах.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Предложенный и развитии в диссертации новый подход построения теории идеальных пространств ( Ьоэ-модулей) вектор-функций и соответствующие ему результаты юле ют естественные применения в теории интерполяции линейных и нелинейных операторов; в интенсивно развивающихся в последнее время теориях интегральных и дифференциальных включениях; к теооема)* вложения типа С.Л. Соболева-С.М. Никольского для пространств вектор-функций, которые и обобщенныз производные которых имеют различный по различным направлениям рост; и такие в интенсивно развивающейся теории функционально-дифференциальных стохастических уравнений Ито с вольтерровскими (в частности, суперпозиционно измеримыми) коэффициентами.
Полученные з диссертации нозыэ теоремы о разрешимости нелинейных интегральнгпс уравнений приводят к новым признакам существования вынуясденних периодических колебаний в существенно нелинейных одноконтурных и многоконтурных системах управления. Установленные в диссертации новые теоремы о разрешимости краевых задач для квазилинейных эллиптических систем с "сильными" нелииейностями также приводят к новым теоремам существования для ряда "возмущенных" конкретных краевых задач нелинейной механики (механики вязкопласти-ческих сред, механики упругости и др.),. т.о. таких "возмущенных" вариантов классических краевых задач нелинейной механики, где воздействующая на механическую систему "сила" не фиксирована, а зависит от "состояния системы" в виде оператора суперпозиции от "состояния системы".
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных семинарах БГУ по функциональному анализу (руководитель - профессор Я.В. Радыно), на семинаре по функциональным уравнениям в Воронежском инженерно-строительном институте (руководитель - профессор Я.Б. Рутицкий), на семинарах по нелинейному анализу в институте проблем управления АН СССР (руководители -профессор М.А. Красносельский, доктор физико-математи- ческих наук А.В. Покровский), на семинаре ВГУ под руководством профессоров С.Г. Крейна и Е.М. Семенова, на Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах в г. Челябинске (1986 г.), Тамбове (1987 г.), Ульяновске (1990 г.), Нижнем Новгороде (1991 г.), на второй Международной конференции по функциональным пространствам в Познани (Польша, сентябрь 1989 г.).
Публикации. На защиту выносятся только результаты, полученные лично автором. Они были опубликованы в работах С I - 12 1 (см. также еще в С 13 - 16 ] ).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка" сокращенных слов и основных обозначений, трех глав и списка литературы, она изложена на 341 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 322 наименований.
