Введение к работе
«
Актуальность темы. Операторные уравнения являются естественный и широким обобщением линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, с целой характеристической функцией, теория которых, как известно, разработана в трудах Д.Полиа, Е.Ва-лирона, А.О.Гельфонда, А.ФДеонтьева и других математиков первой половины 20-го века.
В настоящее время это направление является одним из активно развивающихся. В его разработке принимают активное участие такие известные математики, как Напалков В.В., Коробейник Ю.Ф., Краеич-ков-Терновский И.Ф., Громов В.П., Радыно Я.В. и другие.
Исследование циклических элементов линейного оператора восходит к классической аппроксимационной теореме К.Вейерштрасса
к последовательность
полна в пространстве L,|[Q>»b3 ) и к-работам А.И.Маркушевича, который изучал условия полноты в пространствах аналитических
функций последовательных производных-! (ї)І(операторЛ=-— ).
В.П.Громов и В.А.Казьмин впервые описали тесную связь циклических элементов с линейными операторными уравнениями с постоянными коэффициентами.
Настоящая работа посвящена исследовании операторных уравнений с целой характеристической функцией и (тесно связанных с рассматриваемыми операторами) циклических элементов линейного ограниченного оператора, в полном локально выпуклом пространстве (.ЯШ) над полем комплексных чисел.
- 3 _
Цель работы. I. Исследование структуры решений однородного операторного уравнения
с целой характеристической функцией
Н.= 0
в полных ЛВИ.
2. Описание условий существования оператора вида:
П/.= 0
в полных ЛВП.
-
Изучение свойств циклических элементов линейного ограниченного оператора, действующего в полном ЛВП.
-
Изучение свойств экспоненциальных векторов в их тесной связи с решениями операторных уравнений и циклическими элементами.
Методы исследования. Широко и систематически используются методы функционального и комплексного анализа, теории голоморфных векторнозначных функций, методы теории ЛВП. В основе методов исследования лежит, аппарат линейных операторов. В частности широкое применение находят понятия порядка и типа линейного оператора, действующего в произвольном ЛВЛ. -
Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты:
I. Исследована структура решений однородного операторного уравнения бесконечного порядка в ЛВП довольно общей природы, с целой характеристической функцией.
Z. Описаны условия существования оператора бесконечного порядка е лвп.
3. Изучены циклические элементы линейного ограниченного опера-
тора в полной ЛВЯ, в частности доказан критерий описывающий циклические злеиенты ограниченного оператора.
4. Исследованы свойства экспоненциальных векторов линейного оператора и установлена их тесная связь с решениями операторных уравнений и циклическими элементами.
Практическая и теоретическая значимость. Результаты, полученные в работе, носят теоретический характер и могут быть использованы в общей теории линейных операторов, в теории обобщённых уравнений в свёртках и в теории аппроксимаций в ЛШ.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладыва
лись и обсуждались: j
на конференции по теории функций посвященной памяти чл.-корр. АН СССР А.Ф.Леонтьева (г.Нижний Новгород, 1991г.);
на научно-исследовательском семинаре кафедры математического анализа Московского педагогического университета под руководством профессора Громова В.П.;
на научном семинаре кафедры математического анализа Московского государственного университета под руководством профессора Казьмина Ю.А.;
на традиционных "Герценовских чтениях" в РГПУ им.А.И.Герцена в секции профессора Одинца В.П. (г.Санкт-Петербург, 1993г.);
на б-ом Всероссийском семикире по теории функций (г.Сыктывкар, 1993г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4-х работах, список которых приведён в конце автореферата.
Объём и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения и двух глав. Библиография содержит 78 наименований. Объём диссертации - 82 страницы машинописного текста.
