Содержание к диссертации
Введение
1 Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на конечном отрезке с неинтегрируемой особенностью внутри интервала 13
1.1 Свойства спектральных характеристик 14
1.2 Теорема единственности решения обратной задачи29
1.3 Алгоритм решения обратной задачи 34
1.4 Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи50
2 Обратная задача для оператора Штурма-Лиувилля на полуоси с неинтегрируемой особенностью внутри интервала 65
2.1 Функция Вейля и ее свойства 66
2.2 Решение обратной задачи 72
2.3 Необходимые и достаточным условия разрешимости обратной задачи78
2.4 Случай краевых условий Робина 84
3 Обратная задача для дифференциальных уравнений высших порядков с неинтегрируемой особенностью внутри интервала 96
3.1 Свойства спектральных характеристик 97
3.2 Теорема единственности решения обратной задачи108
Литература 113
- Теорема единственности решения обратной задачи
- Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи
- Необходимые и достаточным условия разрешимости обратной задачи
- Теорема единственности решения обратной задачи
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию обратных задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов с неитегрируемой особенностью лежащей внутри интервала. Исследуются дифференциальные операторы как второго так и высших порядков на полуоси и конечном интервале.
Обратные задачи спектрального анализа являются задачами восстановления операторов по их заданным спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естественных наук и имеют множество приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники.
Значительный вклад в историю развития теории обратных спектральных задач внесли В.А. Амбарцумян, Р. Биле, Г. Борг, Н. Левинсон, Б.М. Левитан, З.Л. Лейбензон, В.А. Марченко, В.А. Юрко и другие математики. В настоящее время теория обратных задач интенсивно развивается благодаря возникновению новых приложений в различных областях естественных и технических наук. Отметим, что сложность решения обратных задач связана во многом с тем, что эти задачи являются существенно нелинейными и в связи с этим в теории обратных задач все еще остается много нерешенных проблем.
В диссертационной работе изучается случай неинтегрируемой особенности лежащей внутри интервала, а также наличия произвольных условий склейки решений. Наличие особенности внутри интервала вносит существенных качественные изменения при исследовании обратных задач. Для исследования этого класса обратных задач в диссертационной работе используется подход, связанный с развитием идей метода спектральных отображений. При этом важную роль играют специальные фундаментальные системы решений дифференциального уравнения с особенностью, а также асимптотическое поведение соответствующих множителей Стокса.
Целью данной диссертационной работы является решение обратной спектральной задачи для дифференциальных уравнений с неинтегрируемой особенностью типа Бесселя внутри интервала, решения которого подчиняются некоторому дополнительному условию склейки около особой точки. Под решением обратной задачи будем понимать исследование трех основных этапов
-
Доказать теорему единственности решения обратной задачи;
-
Получить алгоритм решения обратной задачи;
*Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007, 384с.
3. Получить необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.
Класс дифференциальных уравнений с неинтегрируемыми особенностями является важным в математике и приложениях. Широкий класс дифференциальных уравнений с точками поворота может быть сведен к дифференциальным уравнениям с неинтегрируемыми особенностями, при этом особая точка будет лежать внутри интервала. Обратные задачи для таких уравнений и для уравнений с точками поворота также используются при исследовании разрывных решений нелинейных интегрируемых эволюционных уравнений математической физики. Уравнения с особенностью также возникают при применении преобразования Дарбу.
Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:
-
Построить фундаментальные системы решений дифференциальных уравнений с неинтегрируемыми особенностями и исследовать их асимптотические и аналитические свойства;
-
Доказать теорему единственности решения обратной задачи;
-
Получить основное уравнение решения обратной задачи;
-
Получить алгоритм решения обратной задачи;
-
Получить необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.
Методы исследования. Основным методом исследования обратных спектральных задач в диссертационной работе является метод спектральных отображений, в основе которого лежит метод контурного интегрирования Коши-Пуанкаре. В работе преодолены трудности, связанные с применением метода спектральных отображений к исследованию уравнений с неинтегрируемыми особенностями и позволяющие развить его. В работе также используются асимптотические методы, спектральная теория дифференциальных операторов, теория операторов в банаховых пространствах и другие методы вещественного, комплексного и функционального анализа.
Научная новизна: Все результаты диссертации являются новыми. В работе получены следующие основные результаты:
1. Решена обратная задача для уравнений Штурма-Лиувилля с неинтегриру-емой особенностью внутри интервала, заданных на конечном отрезке при
условиях Дирихле у(0) = у(Т) = 0.
-
Решена обратная задача для уравнений Штурма-Лиувилля с неинтегриру-емой особенностью внутри интервала, заданных на полуоси при условии Дирихле у(0) = 0.
-
Решена обратная задача для уравнений Штурма-Лиувилля с неинтегриру-емой особенностью внутри интервала, заданных на полуоси при условии Робина у'(0) - %(0) = 0.
-
Получена теорема единственности решения обратная задача для дифференциальных уравнений высших порядков с неинтегрируемой особенностью внутри интервала, заданных на полуоси.
Все полученные результаты справедливы при произвольном поведении спектра исследуемых объектов.
Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертационной работы носят теоретический характер и могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений, теории упругости, геофизике, оптике, а также в технике. Развитые в работе методы исследования, могут быть использованы при изучении других сингулярных дифференциальных операторов. Также результаты диссертационной работы могут быть применены в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов и аспирантов.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: 16-ой Саратовской зимней школе «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Россия, Саратов, 2012), Воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения - XXIV» (Россия, Воронеж, 2013), конференциях «Актуальные проблемы математики и механики» (Россия, Саратов, 2011, 2012, 2013), студенческой научной конференции Саратовского Государственного Университета (Россия, Саратов, 2011), научных семинарах кафедры математической физики и вычислительной математики Саратовского Государственного Университета под руководством д.ф.-м.н., профессора В.А. Юрко (Россия, Саратов, 2011, 2012, 2013), кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей Воронежского Государственного Университета под руководством д.ф.-м.н., профессора В.В. Провоторова (Россия, Воронеж, 2013), кафедры дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии Университета Дуйсбург-Эссен под руководством профессора Г. Фрайлинга (Германия, Дуйсбург, 2011).
Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в 10 печатных работах. Статьи [-4] опубликованы в журналах, включенных в список ВАК РФ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 153 наименования. Полный объем диссертации 126 страниц текста.
Теорема единственности решения обратной задачи
Для построения фундаментальных систем решений для уравнения с особенностью используются функции, являющиеся обобщением функций Бесселя. В разделе получены асимптотические и аналитические свойства множителей Стокса для построения фундаментальных систем решений. Существенную роль в исследовании прямой и обратной задачи играют обобщения классического решение и функции Вейля [15]. При исследовании обратной задачи с неинтегрируемой особенностью внутри интервала невозможно использовать спектральные данные связанные с обобщением весовых чисел (3). Поэтому в Разделе 1.1 в качестве спектральных характеристик кроме спектра дифференциального оператора вводится так называемая последовательность Вейля, которая позволяет дать определение спектральных данных и сформулировать постановку обратной задачи (Задача 1.1). В Разделе 1.2 доказана теорема единственности решения данной обратной задачи. В Разделе 1.3 получено так называемое основное уравнение обратной задачи, которое является линейным уравнением в соответствующем банаховом пространстве ограниченных последовательностей при фиксированном х и доказана его однозначная разрешимость. Таким образом решение нелинейной обратной задачи сведено к решению линейного уравнения, которое используется для восстановления потенциала (Алгоритм 1.1). Наиболее сложному вопросу получения необходимых и достаточных условий разрешимости обратной задачи посвящен Раздел 1.4.
В Главе 2 уравнение (7) рассматривается на полуоси х 0 вместе с различными краевыми условиями. В разделе 2.1 рассматриваются условия Дирихле, в качестве основной спектральной характеристики задачи вводится так называемая функция Вейля. Краевая задача имеет как непрерывный спектр, так и дискретный спектр. Также необходимо отметить, что в отличии от известных случаев [15] в данном случае дискретный спектр является неограниченным. В Разделе 2.2 доказана теорема единственности решения обратной задачи. Также в разделе получено основное уравнение, которое, в отличии от случая, рассмотренного в Главе 1, является интегральным уравнением, и доказана его однозначная разрешимость в соответствующем банаховом пространстве непрерывных ограниченных функций. Опираясь на решение основного уравнения, получен алгоритм восстановления потенциала. В Разделе 2.3 получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.
Раздел 2.4 посвящен решению обратной задачи для уравнения (7) на полуоси х 0, но уже рассматриваемому вместе с краевым условием Робина у (0) — %(0) = 0. В целом исследование аналогично задаче рассмотренной в начале Главы 2 с соответствующими техническими изменениями.
При этом рассматриваются произвольные в некотором смысле условия склейки, порождаемые матрицей перехода = [jk]j,k=i,2, которая связывает решения уравнения (1.1) в окрестности особой точки (подробнее см. 1.1). Здесь () - комплекснозначная функция, Q - комплексное число. Положим = 2 — 1/4 и, для определенности, Re 0, 1,2,... (остальные случаи вносят незначительные изменения). Предположим, что ()\ — тш(Д-2Кег/) (0,). Класс таких функций () будем обозначать через .
В данной главе строятся специальные фундаментальные системы решений дифференциального уравнения (1.1) и исследуется их асимптотическое поведение. Для построения фундаментальных систем решений для уравнения с особенностью используются функции, являющиеся обобщением функций Бесселя. Получены асимптотические и аналитические свойства множителей Стокса для построения фундаментальных систем решений. Существенную роль в исследовании прямой и обратной задачи играют обобщения классического решение и функции Вейля [15]. Для того чтобы сформулировать постановку обратной задачи 1.1 в качестве спектральных данных вводится спектр краевой задачи С и последовательность Вейля. В главе доказана теорема единственности решения обратной задачи. Для того чтобы найти решение обратной задачи 1.1 построено основное уравнение, являющееся линейным уравнением в соответствующем банаховом пространстве ограниченных последовательностей. Доказана его однозначная разрешимость. Используя решение основного уравнения обратной задачи, построена конструктивная процедура решения обратной задачи 1.1 и найдены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи.
Необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи
В связи с недостаточной эффективностью метода оператора преобразования при п 2 возникла необходимость в разработке другого метода, позволяющего исследовать дифференциальные операторы высших порядков и другие классы операторов. Такой метод, связанный с развитием идей метода контурного интегрирования, был постепенно создан в трудах нескольких математиков. Н. Левинсон [14] впервые использовал метод контурного интегрирования для исследования обратной задачи Штурма-Лиувилля. З.Л. Лейбензон развил [65, 66] идеи Н. Левинсона и предложил использовать вместо оператора преобразования специальные отображения пространств решений дифференциальных уравнений. Используя этот аппарат, В.А. Юрко разработал так называемый метод спектральных отображений, который позволяет решать обратные задачи для широкого класса как сингулярных так и регулярных дифференциальных операторов [15,67-72].
Важным и нетривиальным является также вопрос о постановках обратных задач. Так при исследовании обратной задачи для дифференциальных операторов вида (5) с суммируемыми коэффициентами при п 2 спектральная матрица-функция является неподходящим объектом, так как не определяет однозначно самосопряженный оператор, а для несамосопряженных операторов вида (5) она вообще не существует. В работах [67-72] В.А. Юрко ввел так называемую матрицу Вейля, в качестве основной спектральной характеристики для оператора (5). Оказалось, что матрица Вейля является удобным объектом для исследования, наиболее полно выражающим спектральные свойства дифференциального оператора (5). Постановка обратной задачи с использованием матрицы Вейля и использование метода спектральных отображений позволило разработать теорию решения обратной задачи для несамосопряженного дифференциального оператора (5) на полуоси и на конечном отрезке [15]. Обратная задача рассеяния на оси для операторов вида (5) в различных постановках исследовалась в [73-81] и других работах. Множество работ посвящено обратным задачам для систем дифференциальных уравнений вида QoY (x) + Q(x)Y(x) = pY(x), (6) где р - спектральный параметр, Y = [ук] _ вектор столбец, QQ = diag[qk]k=Y , Q(x) = [qkj(%)]k,j=Tfi- Матрица Q(x) называется потенциалом, qk = 0, к = 1, п - различные комплексные числа. Исследование некоторых систем вида (6), например, системы Дирака и ее обобщений, в случае если корни характеристического уравнения лежат на вещественной оси, аналогично исследованию оператора Штурма-Л иу ви л ля. В этом случае метод оператора преобразования дает результаты схожие с результатами для оператора Штурма-Лиувилля. В общем случае, при произвольном расположении корней характеристического уравнения и произвольном поведении спектра (см. [15]), при решении обратных задач для систем дифференциальных уравнений возникают трудности, характерные для случая операторов высших порядков с интегрируемыми коэффициентами. Такие системы исследовались в работах [82-93]. В случае исследования обратной задачи для системы (6) на полуоси и конечном отрезке вводится матрица Вейля, являющаяся аналогом матрицы Вейля, введенной для уравнения (5). С помощью метода спектральных отображений была решена обратная задача восстановления потенциала системы вида (6) по заданной матрице Вейля в общем случае [15,82-85,92,93]. Отметим также обратные спектральные задачи для дифференциальных операторов на пространственных сетях (геометрических графах) [94-99], для матричных операторов Штурма-Лиувилля [100-109], для пучков дифференциальных операторов [110-121] и других классов дифференциальных операторов. Данная диссертационная работа посвящена исследованию обратной спектральной задачи для дифференциальных уравнений с неинтегрируемой особенностью типа Бесселя внутри интервала, решения которого подчиняются некоторому дополнительному условию склейки около особой точки. В работе исследуются дифференциальные уравнения как второго порядка -»"+ ( (Д)2 + 4 = А» (7) когда 0 х Т оо, а Є (0, Т), так и высших порядков п-2 уМ(х) + J2 {(x-ka)n-k + Qk(x) )yw(x) = \у(х), (8) где Uk, к = 0, п — 2 комплексные числа, а 0. Класс дифференциальных уравнений с неинтегрируемыми особенностями является важным в математике и приложениях. К примеру, если в уравнении (4) функция г(х) имеет нуль внутри интервала, то уравнение (4) называется уравнением с точкой поворота. Такие уравнения возникают в различных разделах естественных наук таких как теория упругости, геофизика, оптика, а также в технике. Уравнения с точками поворота могут быть сведены к дифференциальным уравнениям с неинтегрируемыми особенностями вида (7), (8) при этом точка а будет лежать внутри интервала. Обратные задачи для таких уравнений и для уравнений с точками поворота также используются при исследовании разрывных решений нелинейных интегрируемых эволюционных уравнений математической физики [122]. Уравнения с особенностью вида (7) также возникают при применении преобразования Дарбу [123].
В работах [124-129] довольно полно изучен случай когда особенность лежит на конце интервала = 0). Случай когда особенность лежит внутри интервала является существенно более трудным и мало исследованным. Некоторые частные случаи обратных задач для уравнений с особенностью (7), (8) и для уравнения с точками поворота (4) исследовались в работах [48,130-141]. В диссертационной работе изучается случай неинтегрируемой особенности лежащей внутри интервала 0, а также наличия произвольных условий склейки решений. Наличие особенности внутри интервала вносит существенных качественные изменения при исследовании обратных задач. Для исследования этого класса обратных задач в диссертационной работе используется подход, связанный с развитием идей метода спектральных отображений. При этом важную роль играют специальные фундаментальные системы решений дифференциального уравнения с особенностью, а также асимптотическое поведение соответствующих множителей Стокса.
Диссертационная работа состоит из трех глав. В Главе 1 рассматривается уравнение (7) заданное на конечном отрезке Є (0,) с граничными условиями Дирихле (0) = () = 0 при произвольном поведении спектра. В Разделе 1.1 построены фундаментальные системы решений уравнения (7), исследованы их спектральные свойства.
Необходимые и достаточным условия разрешимости обратной задачи
Опираясь на технику оператора преобразования В.А. Марченко, Б.М. Левитан и другие построили теорию решения обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля. Так В.А. Марченко доказал [16-19], что самосопряженный оператор Штурма-Лиувилля на конечном отрезке или полуоси однозначно восстанавливается по заданной спектральной функции. В случае оператора Штурма-Лиувилля, рассматриваемого на конечном интервале, эта задача эквивалентна обратной задаче в следующей постановке [15,20].
Пусть tp(x, А) - введенное выше решение уравнения (1). Обозначим ап := / f2(x,Xn)dx, (3) где Хп - собственные значения краевой задачи (1)-(2). Набор чисел {Ап, ап}п 0 будем называть спектральными данными. В этом случае обратная задача по спектральной функции эквивалентна задаче восстановлении потенциала q(х) и коэффициентов краевых условий h, Н по заданному набору спектральных данных {An,an}n 0. Разработка конструктивной процедуры решения нелинейных обратных задач, и особенно задача описания необходимых и достаточных условий разрешимости являются существенно более сложными задачами по сравнению с доказательством единственности решения обратной задачи. В работе И.М. Гельфанда, Б.М. Левитана [21] при помощи метода оператора преобразования были получены необходимые и достаточные условия, а также метод восстановления дифференциального оператора Штурма-Лиувилля по его спектральной функции. Для обратной задачи восстановления уравнения Штурма-Лиувилля на конечном интервале по двум спектрам аналогичные результаты были получены в [22]. М.Г. Крейн в работах [23,24] развил другой метод исследования обратных задач.
Помимо спектральных данных, важным объектом при исследовании обратных задач для оператора Штурма-Лиувилля является так называемая функция Вейля [25]. Задание функции Вейля в случае самосопряженного оператора Штурма-Лиувилля равносильно заданию спектральной функции. В большинстве случаев функция Вейля возникает естественным образом при исследовании как оператора Штурма-Лиувилля, так и других классов операторов. А.Н. Тихонов первым использовал функцию Вейля в качестве данных обратных задач. В работе [26] он доказал единственность решения обратной задачи Штурма-Лиувилля на полуоси по заданной функции Вейля в случае кусочно-аналитических потенциалов.
Много результатов в теории обратных задач относятся и к другим классам дифференциальных операторов второго порядка. Так краевые задачи с условиями разрыва внутри интервала связаны с разрывными свойствами среды. Например, в радиоэлектронике при синтезе параметров неоднородных линий передач с заданными техническими характеристикам возникают разрывные обратные задачи [27, 28]. Коэффициенты, характеризующие свойства одномерных разрывных сред также могут быть восстановлены при помощи спектральной информации [29,30]. При построении геофизических моделей земного шара возникают краевые задач с условиями разрыва во внутренней точке [31, 32]. Различные постановки разрывных обратных задач исследовались в [29, 30, 33-38]. Отметим также обратные задачи для сингулярного потенциала [39, 40], для интегро-дифференциальных и интегральных операторов [41-47]. Большое количество приложений связано с дифференциальным уравнением вида - (Р(Х)УУ + q(x)y = Хг(х)у, (4) которое является обобщением уравнения (1). Если функции гир достаточно гладкие, то уравнение (4) сводиться к уравнению (1) с помощью преобразования Лиувилля [48]. Случай недостаточной гладкости у функций г и р исследовался в работах [49-56].
Обширную область применения имеет теория обратных задач для дифференциальных операторов высших порядков вида п-2 у + Е ) п 2- 5) к=0 Обратные задачи для оператора (5) являются существенно более сложными для исследования чем для оператора Штурма-Лиувилля. Метод оператора преобразования оказывается недостаточно эффективным для решения обратных задач для дифференциальных уравнений высших порядков, так как операторы преобразования в этом случае имеют более сложную структуру [57, 58]. Однако, в случае аналитических коэффициентов оператор преобразования имеет значительно более простую "треугольную" структуру, как и для операторов Штурма-Лиувилля. При помощи такого "треугольного" оператора преобразования Л.А. Сахнович [59-61] и И.Г. Хачатрян [62-64] исследовали обратную задачу восстановления самосопряженных дифференциальных операторов на полуоси с аналитическими коэффициентами по спектральной матрице-функции и обратную задачу рассеяния. В частности было доказано, что в случае аналитических коэффициентов задание спектральной матрицы-функции однозначно определяет оператор.
Теорема единственности решения обратной задачи
Диссертационная работа посвящена исследованию обратных задач спектрального анализа для обыкновенных дифференциальных операторов с неитегрируемой особенностью лежащей внутри интервала. Исследуются дифференциальные операторы как второго так и высших порядков на полуоси и конечном интервале.
Обратные задачи спектрального анализа являются задачами восстановления операторов по их заданным спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естественных наук и имеют множество приложений в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. В 1967 г. был разработан [1] метод, связанный с использованием обратной задачи, позволяющий решать некоторые важные нелинейные уравнения математической физики, например, уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение Буссинеска и другие. Созданный метод обратной задачи вызвал дополнительный интерес к обратным задачам спектрального анализа и в дальнейшем этот метод был использован во многих работах (см. монографии [2-6] и литературу в них). На данный момент теория обратных задач интенсивно развивается благодаря возникновению новых приложений в различных областях естественных и технических наук. Отметим, что сложность решения обратных задач связана во многом с тем, что эти задачи являются существенно нелинейными и в связи с этим в теории обратных задач все еще остается много нерешенных проблем.
Первый результат в теории обратных спектральных задач принадлежит советскому ученому, основателю теоретической астрофизики В. А. Амбарцумяну [7]. Интересен вопрос о том, как он пришел к обратной задачи. В 1926 году Э. Шредингер опубликовал работы [8-12] по волновой механике. Он показал, что вопрос исследования энергетических уровней системы приводит к решению задач нахождения собственных значений некоторых дифференциальных уравнений. В астрофизике спектральный анализ атомов является одним из основных методов исследования небесных объектов. В.А. Амбарцумян хотел выяснить можно ли по наблюдаемым спектрам атомов однозначно узнать о строении и состоянии атома, что и является "обратной" задачей. Оказалось, что решение этой нелинейной задачи в общем случае весьма трудно. Тогда он рассмотрел частный случай: можно ли утверждать, что система собственных частот, характерная для однородной струны, свойственна только ей и однозначно определяет ее среди всех струн? Ему удалось разрешить эту проблему и сформулировать следующий результат [7] для уравнения Штурма-Лиувилля - v" + q(x)y = Ху. (і) Здесь А - спектральный параметр, q{x), х Є (0,7г) - вещественная интегрируемая функция. В.А. Амбарцумян показал, что если краевая задача для уравнения (1) с граничными условиями у {0) = у { ЇЇ) = 0 имеет собственные значения Хп = п2, п 0, то q{x) = 0. Однако этот результат является исключительным - в общем случае задания одного спектра недостаточно для восстановления потенциала q{х). Впоследствии Г. Борг [13] показал, что потенциал q{x) однозначно определяется на конечном отрезке по двум спектрам двух разных краевых задач с общим дифференциальным уравнением и одним общим граничным условием. Н. Левинсон использовал другие спектральные характеристики - спектр и коэффициенты перехода (в настоящее время называющиеся коэффициентами Левинсона). В работе [14] им была доказана теорема единственности восстановления потенциала q{x) по этим спектральным характеристикам.
Важную роль в развитии спектральной теории операторов Штурма-Лиувилля сыграл оператор преобразования. Рассмотрим краевую задачу для уравнения (1) на интервале х Є (0,7г) с граничными условиями 3/(0) - %(0) = 0, у {ЇЇ) + НУ{ЇЇ) = 0. (2) Пусть if (ж, Л) - решение уравнения (1) при начальных условиях (/?(0, А) = 1, (0, А) = h и пусть X = р2 (lm р 0). Оператор преобразования связывает решения двух различных уравнений Штурма-Лиувилля при всех значениях спектрального параметра А, а именно
/ж (/?(ж, А) = cos рх + / G(x,t) cos ptdt} J0 где G(x,t) - вещественная непрерывная функция, не зависящая от А и являющаяся функцией Римана соответствующей задачи Коши для волнового уравнения [15]. В данном случае оператор преобразования отображает функцию cospx, являющуюся решением уравнения —у" = Ху, в функцию tp(х, А).
