Введение к работе
Актуальность темы. Исторические сведения. Обратная задача спектрального анализа заключается в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естествознания, например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в-радиотехнике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний, в геофизике, в метеорологии и т.д. Обратные задачи играют важную роль и при интегрировании нелинейных уравнений математической физики. Интерес к обратным задачам постоянно растет благодаря появлению новых важных приложений в естественных науках, и сейчас теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.
Наиболее полно обратные спектральные задачи изучены для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля с суммируемым потенциалом
-у" + я(х) У-
Основные результаты в этом направлении принадлежат В.А.Амбарцумяну, Г.Боргу, Н.Левансону, В.А.Марченко, И.М.Гельфанду, Б.М.Левитану и другим. Наиболее полных результатов в этих исследованиях удалось добиться с помощью метода операторов преобразования, который впервые применил В.А.Марченко, что позволило получить конструктивную процедуру решения обратной задачи и сформулировать необходимые и достаточные условия разрешимости.
Среди систем дифференциальных уравнений важную роль в спектральной теории и ее приложениях играет система Дирака
у2(х) + qn{x)yi{x) + qn{x)y2{x) = \yi(x),
(1) -У[(х) + Ч2і(х)уі{х) + q22(x)y2(x) = Xy2{x).
Систему (1) удобно рассматривать в одном из следующих канонических видов
ї/г(я) + Рі(х)уі(х) = Хуі(х), У2{х) + qi(x)yi(x) + q2{x)y2(x) = \у\{х),
или .
-у[(х) +Рг{х)у2{х) = Ху2(х), -lA(z) + q2(x)yi{x) - qi(x)y2(x) = Ху2(х).
Систему Дирака в первой канонической форме чаще всего используют при исследовании прямых спектральных задач, а во-второй - при решении обратных. В случае суммируемых коэффициентов краевая задача для системы Дирака изучалась многими авторами. Следует отметить рабагы М.Г.Гасымова,
WC. НАЦИОНАЛЬНАЯ!
етда&ч
БИБЛИОТЕКА С. Петербург < ОЭ
Б.М.Левитана, в которой рассматривается система Дирака на полуоси, в качестве спектральных данных выбрана спектральная функция, доказана теорема единственности, получена процедура решения, описаны необходимые и достаточные условия на спектральную функцию; И.С.Саргсяна (тоже полуось, но система в другом каноническом виде), Т.Н. Арутюняна, в которой доказана теорема единственности восстановления системы Дирака по двум спектрам, Асано Н., Като Я., Кокса С, Нобеля Р. Эти работы также основываются на идее оператора преобразования для системы Дирака.
Системы большей размерности также изучены достаточно полно в работах Шабата А.Б., Билса Р., Коифмана P.P., Асано Н., Като Я., Баєва А.В., Зоу К., Маламуда М.М.
Система Дирака с регулярной особенностью на конце интервала изучалась в работе Гасымова М.Г. для системы вида
у'2{х) + Рі{х)уі{х) + -у2{х) = Хуі{х),
х Є (0, оо),
-у[{х) + -уі(х) +Рг{х)Уг{х) = *Уг{х), х
задачи подобного типа возникают при решении методом Фурье систем дифференциальных уравнений в частных производных в полярных координатах.
Краевые задачи с регулярными особенностями внутри интервала играют важную роль в спектральной теории и имеют много приложений в различных областях естествознания. Кроме того, широкий класс дифференциальных уравнений с точками поворота сводятся к уравнениям с особенностями внутри интервала.
Операторы Дирака с регулярными неинтегрируемыми особенностями внутри интервала еще не изучались. Наличие особенностей внутри существенно осложняет исследование, при этом классический метод операторов преобразования оказывается неудобным, поэтому будем использовать другой метод, связанный с развитием идей метода контурного интеграла.
Цель работы. Основными целями диссертации являются следующие.
Исследовать обратную задачу спектрального анализа для операторов Дирака с неинтегрируемыми особенностями внутри интервала.
Найти спектральные характеристики, достаточные для однозначного решения обратной задачи.
Построить конструктивную процедуру решения обратной задачи.
Получить необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи, дающие описание спектральных характеристик.
Методика исследований. Используются методы теории функций действительного и комплексного переменных, дифференциальных уравнений, алгебры, функционального анализа. Используются также методы спектральной теории дифференциальных операторов и теории спектральных обратных задач.
Научная новизна. Основными результатами диссертации являются следующие.
Указаны спектральные характеристики, обладающие достаточной информативностью для восстановления оператора, и доказана теорема единственности решения обратной задачи.
Выявлены асимптотические и аналитические свойства спектральных характеристик.
Построено конструктивное решение обратной задачи.
Получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи, дающие описание спектральных данных.
Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти применение в математической физике, спектральной теории дифференциальных операторов, при исследовании различных прикладных задач естествознания и техники, а также могут быть использованы в учебном процессе.
Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, прошли апробацию на семинаре по спектральной теории кафедры математической физики и вычислительной математики СГУ (руководитель - проф. В.А. Юрко), на международных конференциях "Дифференциальные уравнения и асимпто-тики"(Россия, Уфа, 2002), "Inverse Problems and Nonlinear Equations "(Украина, Харьков, 2002), на научной конференциях "Математика, механика и их приложения "механико-математического факультета СГУ (Сара-тов, 2000, 2001, 2002, 2003), на объединенном семинаре кафедр теории функций и приближений, дифференциальных уравнений и прикладной математики, математической физики и вычислительной математики и кафедры математического анализа СГУ (руководитель - проф. А.П. Хромов).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы (37 наименований). Общий объем диссертации 105 страниц машинописного текста.
