Введение к работе
Актуальность темы. Спектральная теория операторных пучков с самого начала развивалась в тесной связи с различными приложениями. Спектральные задачи для операторных пучков возникают в различных областях математической физики (теория упругости, гидродинамика, теория колебаний и волн и другие).
Многие задачи линейной теории устойчивости упругих систем можно привести к исследованию спектральных свойств квадратичных операторных пучков. При этом необходимым условием устойчивости является отсутствие собственных значений соответствующего операторного пучка в открытой правой полуплоскости. Поэтому актуальной является задача о поиске методов, позволяющих для различных классов пучков оценивать число их собственных значений в открытой правой полуплоскости, а также исследовать критическое значение параметров, при которых задача теряет устойчивость.
В диссертации рассмотрена несамосопряженная задача, возни
кающая при изучении малых колебаний трубопровода при протекании
по нему жидкости с постоянной, а также переменной скоростью
(см. [і] - [4] ).
Гі]федосьев В.Н. О колебаниях и устойчивости при протекании
через нее жидкости. Инж.сб., 1951, т.10. [2] Челомей СВ. О динамической устойчивости упругих систем при
протекании через них пульсирующей жидкости. Известия АН
СССР, МТТ, 1984, . 5. І 3J Зефиров В.И., Колесов В.В., Милославский А.И. Исследование собственных частот прямолинейного трубопровода.- Изв.АН
СССР, 1985, В I, с.179-188. |4І Милославский А.И. О дестабилизирующем воздействии малого
демпфирования на абстрактные неконсервативные системы.
Успехи математических наук, 1986, т.41, вып.1.
Цель работы. I. Получить результаты о суммарной алгебраической кратности спектра в открытой правой полуплоскости для квадратичных пучков неограниченных операторов.
2. Исследовать критические значения некоторых параметров,
при которых задача теряет устойчивость.
Научная новизна. Основные результаты диссертации состоят в следующем.
I. Получены достаточные условия на коэффициенты некоторых Квадратичных пучков операторов, позволяющие вычислить количество неустойчивых точек спектра,и, в частности, утверадать неустойчивость нулевых решений соответствующих дифференциальных уравнений.
~г. Получен критерий устойчивости для одного класса дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. На основе этого критерия указаны достаточные условия, обеспечивающие устойчивость равновесного положения трубопровода при протекании через него жидкости с переменной скоростью.
3. Получены результаты о дестабилизирующем воздействии
малого демпфирования на абстрактные неконоервативные системы.
Эти результаты используются в задаче о малых колебаниях прямо
линейного консольного трубопровода.
Приложения, результаты диссертации могут найти применение в исследованиях по спектральной теории пучкэЕ операторов. Они могут быть также использованы для исследования задач теории упругости и гидродинамики.
Апробация работы. Результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по теории несамосопряженных операторов (руководители - А.Г.Костюченко, А.А.Шкаликов, С.А.Степин) в
в Московском университете.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [l-4j список которых приведен в конце автореферата. Работ по теме диссертации, написанных в соавторстве,нет.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 6 параграфов, списка литературы, содержащего 41 наименование. Общий объем диссертации 114 страницы. Нумерация такова: первая цифра указывает номер параграфа, а следующее за ней число - порядковый номер утверждений в параграфе.
Обозначения. Через *о(Н) обозначается множество замкнутых операторов в сепарабелъном гильбертовом пространстве Н , а через <Ь(Н) - множество компактных операторов в [А Через D(A) обозначается область определения оператора А , считается, что 0(A) плотна в Н Положим бСі_)(б"(А)) - спектр пучка L (оператора А ); M(L) . - число собственных значений пучка |_ СА) , лежащих на правой полуплоскости ^Х1 ЯеА "> О j ; К1__(А) - число отрицательных собственных значений оператора А . Через W ЦоД] обозначается Соболев-ское пространство функций на отрезке L.> І]} .
