Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Суммирование двойных последовательностей регулярными матричными методами 12
1. Суммирование ограниченных и неограниченных последовательностей 15
2. Совместность и включение методов 46
3. Регулярные методы, эквивалентные сходимости .58
4. Почти сходящиеся двойные последовательности. 68
5. Транслятивнне методы суммирования двойных последовательностей . 84
ГЛАВА II. Суммирование рядов гарлонических функций . 96
6. Суммирование осесимметричных рядов . 96
7. Суммирование ряда Далласа методом Миттаг-Леффлера 105
Литература 114
- Суммирование ограниченных и неограниченных последовательностей
- Регулярные методы, эквивалентные сходимости
- Транслятивнне методы суммирования двойных последовательностей
- Суммирование ряда Далласа методом Миттаг-Леффлера
Суммирование ограниченных и неограниченных последовательностей
Теоремы I и ІУ переносятся на матричные метода суммирования двойных последовательностей (теоремы І.І и 1.2), только в формулировке аналога теоремы ІУ (теорема 1.2) для двойных последовательностей неограниченная последовательность заменяется на существенно неограниченную.
Основной в 2 является теорема 2.1, в которой построены два регулярных матричных метода, суммирующие одни и те же расходящиеся двойные последовательности, но к различным значениям. Тем самым показано, что на матричные методы суммирования двойных последовательностей не может быть перенесена без выполнения дополнительных условий одна из самых значительных теорем теории однократного суммирования Теорема У (теорема Мазура и Орлича /77 ). Если Я и В Т -матрицы и 3 ограниченно сильнее Л , то J ж В ограниченно совместны.
Теоремы 2.2 и 2.3 обобщают теорему У на матричные методы суммирования двойных последовательностей при выполнении условий соответственно (j6 ) или (об ). Доказывается, что условие (ы ) в теореме 2.3 (как и в теореме 1.6) ослабить нельзя. Отметим, что для матричных методов некоторого узкого суммирования, удовлетворяющего условию ( ), доказательство теоремы У приводится в статье Как следствие теорем 2.1 и 2.2 получаем, что существуют регулярные матричные методы суммирования двойных последовательностей, ограниченно неэквивалентные никакому треугольному методу, тогда как для любого матричного метода суммирования простых последовательностей можно построить ограниченно эквивалентный ему нижний треугольный метод.
Из содержания этих двух параграфов следует, что для регулярных матричных методов суммирования двойных последовательностей наблюдается аналогия с полунепрерывными методами суммирования простых последовательностей, на которые, как показано в [3], [8j, [9], теоремы П и У Мазура и Орлича могут быть обобщены только при дополнительном условии, введенном в [3] Альтманом и названном им условием (а). Отметим, что условие (у5 ), используемое в данной работе, является обобщением на матричные методы суммирования двойных последовательностей этого условия
Переход от матричных методов суммирования двойных последовательностей к матричным методам суммирования тройных и большей кратности последовательностей ничего нового уже не дает. Для этих методов будут справедливы аналоги теорем 1.3 и 2.1 л обобщения теорем П, Ш, У при дополнительных условиях, являющихся обобщениями на матричные методы суммирования тройных (и большей кратности) последовательностей условий (оО и ijS). Доказательства этих теорем очень громоздки и проводятся теми же методами, что и доказательства соответствующих теорем для методов суммирования двойных последовательностей.
Доказанные теоремы 1.3 и 2.1 о невозможности в общем случае распространить теоремы Мазура и Орлича на матричные методы суммирования двойных последовательностей представляют интерес и с точки зрения суммирования абстрактными методами обобщенных последовательностей (см., например, Ю.Ламп). Эти абстрактные методы охватывают как частный случай и матричные методы суммирования двойных последовательностей, поэтому полученные здесь результаты позволяют установить, какие теоремы теории однократного суммирования могут быть полностью перенесены на абстрактные методы.
В 3 рассматриваются условия, при которых методы суммирования двойных последовательностей будут эквивалентны сходимости, сильнее сходимости. Здесь доказываются теоремы 3.1 - 3.3, котофее обобщают на методы суммирования двойных последовательностей теоремы Агнью [Зб] и Брудно АД. ( [7І, теорема 2.9) (формулировка теорем на стр. 59 ).
В 4 изучаются почти сходящиеся последовательности, их суммирование. Понятие почти сходимости для простых последовательностей ввел Г.Лоренц 22] , им же была доказана теорема УШ (см. стр. 8 ), из которой следует, что не существует регулярного матричного метода суммирования простых последовательностей, ограниченно эквивалентного почти сходимости.
В работе определение почти сходимости, данное Леренцем, переносится на двойные последовательности. Как и для случая простых последовательностей оказывается, что ограниченная двойная последовательность тогда и только тогда почти сходится, когда она равномерно суммируется методом средних арифметических (теорема 4.1). Но теорема Лоренца УШ уже не будет справедлива для матричных методов суммирования двойных последовательностей, как следует из теоремы 4.3, в которой доказывается существование регулярного матричного метода, ограниченно эквивалентного почти сходимости.
Теоремы 4.4 и 4.5. обобщают теорему Лоренца на методы суммирования двойных последовательностей при выполнении условий соответственно (ос ) и (j6 ). В этом же параграфе рассматриваются периодические двойные последовательности как пример почти сходящихся последовательностей.
Регулярные методы, эквивалентные сходимости
Таким образом, {s J содержит подпоследовательность, которая не стремится к нулю. С другой стороны, последовательность /s p} содержит подпоследовательность нулей, т.к., согласно условию, такую подпоследовательность содержит последовательность fu/cj) а каждый нуль последовательности {ик] дает, согласно (1.33) группу нулей в последовательности fsj j . Следовательно, последовательность /s oj расходится.
Рассмотрим теперь континуальное множество ограниченных последовательностей два произвольных действительных числа), построенное И.И.Огиевецким в /25] ). Используя равенства (1,33), определим множество последовательностей ftp Ы\ следующим образом: где {к} - последовательность, определенная выше. Из предыдущих рассуждений следует, что при любом ct & ) последовательность {$„ъМ} ограничена, расходится и суммируется матрицей Л к нулю. Из континуальности множества последовательностей {ик(ы)} следует континуальность множества(s fy} последовательностей. Повторяя почти дословно рассуждения из /"25J (п.6) можно показать, что любая конечная нетривиальная линейная комбинация последовательностей (S &)J расходится. Теорема доказана. ТЕОРЕМА 1.8. Регулярная матрица -Л- тпА,у) , суммирущая хотя бы одну ограниченную расходящуюся последовательность, суммирует континуальное множество ограниченных последовательностей, расходящихся одновременно с любой их нетривиальной конечной линейной комбинацией, если область изменения переменных тип удовлетворяет условию ( ). Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.7, и мы его опускаем. Для методов суммирования простых последовательностей справедлива теорема, доказанная Власенко В#Ф. [Є 1 ; ТЕОРМА. Если Т - матрица суммирует ограниченную расходящуюся последовательность с конечным числом частных пределов, то она суммирует некоторую ограниченную последовательность с бесконечным множеством частных пределов. Эта теорема также не имеет аналога в теории суммирования двойных последовательностей, т.к. любая ограниченная расходящаяся последовательность, суммируемая методом Л , построенным при доказательстве теоремы 1.3, имеет только два частичных предела. Два метода суммирования J ж В называются совместными 1 (ограниченно совместными), если одну и ту же последовательность (ограниченную последовательность) они не могут суммировать к различным пределам. Метод В сильнее метода J/ (или J слабее 8 ), если каждая последовательность, суммируемая методом Л , суммирует-оя и методом В ; метод 3 ограниченно сильнее метода Л ж Все определения те же, что и для "методов суммирования простых последовательностей, и взяты из ill ( Л ограниченно слабее В ), если каждая ограниченная последовательность, суммируемая методом Л , суммируется и методом 8 . Два метода Л ж & эквивалентны (ограниченно эквивалентны), если они совместны (ограниченно совместны) и каждый из них сильнее (ограниченно сильнее) другого. Для методов суммирования простых последовательностей справедлива известная Теорема Мазутза-Ошича. Если Л ж В - Т -матрицы и В ограниченно сильнее J , то -А ж 8 ограниченно совместны. В этом параграфе доказывается теорема 2.1, из которой следует, что аналог теоремы Мазура-Орлича для методов суммирования двойных последовательностей не имеет места. Теоремы 2.2 и 2.3 при дополнительных условиях (условия (jB ) и (сх )) обобщают эту теорему на методы суммирования двойных последовательностей. ТЕОРЕМА. 2.1. Существуют две регулярные матрицы J\=(am-j$ и - гп/шї) суммирующие одни и те же последовательности и не являющиеся ограниченно совместными.
Транслятивнне методы суммирования двойных последовательностей
Понятие транслятивного метода суммирования простых последовательностей, введенное Хиллом /39? , важное и само по себе, тесно связано с вопросами совместности и включения методов. Для простых последовательностей условия транслятивности методов, их связь с совместностью рассматривали Харди, Кнопп, Агранович, Даревский и другие. Теоремы 5,2 - 5.4 этого параграфа являются обобщением на матричные методы суммирования двойных последовательностей теорем, доказанных Горстом Ю.Г. и Единым М.В. [II] для транслятивных методов суммирования простых последовательностей.
В этом параграфе будем рассматривать только ограниченные последовательности. Скажем, что преобразование -(O-mtpc ) транслятивно по переменной /4 , если из суммируемости одной из последовательностей {У оі или / л/-/,?} {//,9=./,4, .. ) следует суммируемость друтой к тому же пределу. Т.е. преобразование транслятивно по переменной г , если из того, что хотя бы одна из последовательностей при /n,n 9 0Q9 Отсюда получаем, что можно определить трансля-тивное по уи преобразование, потребовав, чтобы хотя бы одна из последовательностей {(о Л или (G m//J сходилась и Если матрица Л транслятивна по переменной /Л , то суммируемость ею некоторой ограниченной последовательности /у лЛ влечет за собой суммируемость последовательности . и100 06 Цб ое положительное число), и обратно, к одному и тому же пределу. Аналогично определяется и преобразование, транслятивное по переменной л) Метод Л (Я"т,р)ї І транслятивный и по переменной /V, и переменной ") , будем называть транслятивным. В этом случае из суммируемости методом J последовательности {Xj$ следует суммируемость им же последовательности {Хп+К г\ ПРИ любых целых неотрицательных /с и к тому же пределу и обратно. Скажем, что метод Л-СДгпгги?) абсолютно транслятивен попеременной yU , если ю -Ь/гу О при т,г?- о ь . Ясно, что абсолютная транслятивность по /А метода J равносильна абсолютной эквивалентности (для ограниченных непоследовательностей) ДВУХ МеТОДОВ J=60.m ) И A Uynqwfi). Тогда из теоремы 2.4 получаем, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы метод Л был абсолютно транслятивным по переменной уЫ для ограниченных последовательностей, является со Таким образом, метод Л абсолютно транслятивен (для ограниченных последовательностей) по переменной yU , если для любой ограниченной последовательности f-K j и при любом натуральном к Следовательно, будет справедлива ТЕОРША 5.1. Чтобы регулярный метод J /а ф/?) был абсолютно транслятивен по переменной / для ограниченных последовательностей, необходимо и достаточно, чтобы при любом натуральном к со Аналогично определяются и методы, абсолютно транслятив-ные по переменной 3 Метод Я-(&,„„,(д) назовем абсолютно транслятивным (для ограниченных последовательностей), если он абсолютно транслятивен и по уЫ , и по v . Т.к. то справедлива ТЕОРЕМА 5.2. Метод JМя pJ абсолютно транслятивен (для ограниченных последовательностей) тогда и только тогда, когда при любых целых неотрицательных к и f со В качестве примера транслятивного преобразования рассмотрим преобразование Л - rnrri ) {гъъ . -/, ,...), где а/гг =сг-п? -п и шош сік і =4± ,- ) таковы, что рад 22/с / сходится и 11 С = / . Метод Л регу-лярен (если С-йс о » когда либо / о , либо / ± о , то J будет регулярным для всех последовательностей).
Суммирование ряда Далласа методом Миттаг-Леффлера
Сходится равномерно l6j на любом множестве, заключенном между прямыми Re%-o(f и е -Ы.л , где o(f и = х - любые числа, а потому и на кривой Г , поэтому допустимо почленное интегрирование этого ряда (функция
Ограничена на Г ), т.е. справедливы равенства В [33j (теорема 2) доказано, что если /" - гладкая замкнутая кривая, Q - область комплексной плоскости, ограниченная кривой Г , - область трехмерного пространства (У,# z) , получающаяся при вращении области Q вокруг оси О , и М-тах/М)1 , то may l\s(-, Ы СМ , где постоянная С зависит только от области Q и не зависит от () . Отсюда и из равномерного стремления ficSe ) к нулю при (У-9 О получаем ?- 0 /7=0 ґ(л„ + /) в любой точке (X,gr 2г) из области б" . Теорема доказана. 7. Суммирование рада Лапласа методом Миттаг-Леффлера. Рассмотрим гармоническую в начале координат функцию и(х,%г). Эту функцию в некоторой окрестности начала можно представить радом /29] и(х,&г) цг"11% M seMnntCfsm 6n si /ntfl (7.1) где (?,&,У) - сферические координати точки (Х,,ъ-) , Рп teo$&) - присоединенные функции Лежандра. Под "звездой Миттаг-Леффлера" функции иYK J будем понимать область, которая строится аналогично звезде Миттаг--Леффлера функции одного комплексного переменного, а именно: в пространстве (Х, 2) из начала координат проводятся лучи ко всем особым точкам функции u(x,2-J и по части каждого луча, расположенной за особой.точкой, делается разрез. Звезду Миттаг-Леффлера функции- и(х, г) обозначим через . 7.1. Ряд (7.1) всюду в суммируется методом Миттаг-Леффлера к функции и{х,#,г) . Доказательство, Пусть (X0u0f Zo) - произвольная точка из В , D - ограниченная область, которая содержит начало координат, точку (У0і%о,%о) и вместе со своей границей S содержится в . Можно считать, как и в /3lj , что Ъ звездообразна. Тогда значение функции и(х,#, і) в любой точке (х,#,2) & вычисляется по формуле причем функции F(X,yfz) и Ф(К&2) также гармонические. Функции fCzfrZrj и ЯРО(,& в некоторой окрестности начала представиш рядами Через F /y f и ҐХ&з) будем обозначать соответственно интегральные суммы для первого и второго интегралов в равенстве (7.2), тогда Пусть (%#,&, /J ( , - N ) - точки поверхности S , Z и рк - длины радиус-векторов точек (%%) и ( gKt $ ) , Yg - угол между этими радиус-векторами, тогда интегральную сумму F (х,#,г) можно записать в виде N , В достаточно малой окрестности начала ( / и j&0 - расстояние от начала координат до поверхности S ) FN{x,ytz) разлагается в ряд /30J С другой стороны, функция FN(x,&,&) » являясь функцией гармонической, в окрестности начала координат (например, при Z P0 ) разлагается в ряд.
