Введение к работе
Актуальность темы исследования
Систематическое изучение неравенств началось с выходом в свет ныне классической монографии Г.Г. Харди, Д.Е. Литтлвуда и Г. Полна1, где, в частности, рассматриваются две стандартные формы неравенства Харди при 1 < р < оо: дискретное неравенство Харди
га=1 \ k=\ J \У / „=1
верное для произвольных последовательностей неотрицательных действительных чисел {afc}i, и интегральное неравенство Харди
f№)'**()'vw* т
выполненное для всех неотрицательных функций / на (0, оо), интегрируемых на любом интервале (0, х) для всех х > 0.
Для 0 < р < оо обозначим 1Р совокупность всех последовательностей а = {ап}'^=1 вещественных чисел таких, что
(
00 \ р
llallko :=sup|ofc|.
Аналогично, Lp состоит из всех измеримых на (0, оо) по Лебегу функций (классов эквивалентности по модулю равенства почти всюду) / = f(x) таких, что
/оо
Уо \f(x)\pdx
< со, 0 < р < оо,
\\Lx := esssup|/(x)|.
гє(0,оо)
'Г. Г. Харди, Д. Е. Литтлвуд, Г. Полна. Неравенства. - М. ИЛ, 1948.
При 1 < р < со пространства 1Р и Lp являются линейными нормированными пространствами.
Определим линейные операторы
1 " о -> h(a) = {hn(aj} :=-^«fc
nfc=i
x Jo
которые называются дискретным оператором Харди и интегральным оператором Харди, соответственно.
Отметим, что константа (&) в обоих неравенствах (1) и (2) является наилучшей из возможных. Из неравенств (1) и (2) вытекает, что операторы Харди h и Н при р > 1 являются ограниченными линейными операторами, действующими из пространства 1Р в 1Р и из Lp в Lp, соответственно, и их нормы равны -^-.
В литературе к диссертации имеется гораздо больше результатов, касающихся обобщения интегральной версии (2). Эти два диаметральных случая смыкаются, когда рассматриваются неравенства с произвольными мерами Бореля.
Остановимся на развитиии результатов для дискретного неравенства Харди.
По аналогии с интегральным случаем возник естественный вопрос: найти необходимые и достаточные условия на весовые неотрицательные последовательности (}^ и {un}U такие, что неравенство
«»(!>) )
выполняется для всех произвольных неотрицательных последовательностей {an}Li ПРИ фиксированных параметрах О < р, q < оо.
Первый результат в этом направлении получен К. Ф. Андерсеном и X. П. Хайнигом 2( Теорема 4.1), которые в 1983 году показали, что если l
(
оо \ ї / п \ 7
Лич [^2vl~pj <00>
к=п / \к=1 /
то неравенство (3) выполняется.
Кроме того, в 1985 году X. П. Хайниг 3( Теорема 3.1) доказал, что если 1 < и
< 00,
*= Е 2> *П vi-
, /:=1 \fc=n J \к=\
то неравенство (3) выполняется с константой С < q*(p')7В.
В 1987-1991 Г. Беннеттом в серии работ4, 5 и 6 представлена хара-ктеризация неравенства (3) практически для всех соотношений параметров р и q за, исключением случая 0 < q < р < 1, где критерий имел неявный вид. Случай 0<7. В полном объеме задача о характеризации весового дискретного неравенства Харди для всех соотношений параметров ри q была решена М.Л.Гольдманом в 1998 8 .
Аналогичные результаты имеют место для двойственного
2К. F. Andersen, Н. P. Heinig. Weighted norm inequalities for certain integral operators, jJ SIAM J. Math. V. 14. 1983. P. 834-844.
3H. P. Heinig. Weighted norm inequalities for certain integral operators II. // Proc. Amer. Math. Soc. V. 95. 1985. P. 387-395.
4G. Bennett. Some elementary inequalities. // Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). V. 38.1987. P. 401-425.
5G. Bennett. Some elementary inequalities II. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). V. 39.1989. P. 385-400.
6G. Bennett. Some elementary inequalities III. Quart. J. Math. Oxford Ser. (2). V. 42. 1991. P. 149-174.
7M. S. Braverman, V. D. Stepanov. On the discrete Hardy's inequality. Bull. London Math. Soc, V. 26. 1994. P. 283-287.
8M. L. Goldman. Hardy type inequalities on the cone of quasi-monotonefunctions. Research report 98/31, Russia Acad. Sci. Far-East Branch Computer Centre Khabarovsk. 1998. P. 1-70.
дискретного неравенства
(
оо /оо \ в\ « / \р
n=l \fc=n / / \п=1 /
а также для их интегральных аналогов.
Кроме этого, в литературе рассматривалась задача о нахождении необходимых и достаточных условий на неотрицательные меры Бореля А, [і и г/, при которых для любых неотрицательных измеримых функций / выполняется неравенство Харди
([ (7 f(t)d\(t)Yd^x)\ <с([ f(xYdy(x))P. (4)
V [0,00) \J[o,x] J ) V [0,00) J
При 1 < p = q < +00 и d\(t) = dt эта задача в 1972 была решена Б. Мукенхоуптом 9, а затем результат тем же методом был обобщен на случай 1 < р < q < +00 (см. 10, п).
Во всей полноте неравенство Харди (4) с тремя мерами было изучено Д. В. Прохоровым 12.
Диссертация посвящена изучению обобщений неравенства (4) и дискретного неравенства Харди (3), когда пределами суммирования являются переменные функции.
Из всего многообразия мы рассматриваем, в основном, три задачи. Первая из них состоит в нахождении необходимых и достаточных условий выполнения неравенства Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с мерами, вторая - в нахождении необходимых и достаточных условий выполнения дискретных неравенств Харди с одним переменным пределом суммирования в пространствах последовательностей, и,
9В. Muckenhoupt. Hardy's inequality with weights. // Studia Math. V. 44. 1972. P. 31-38. WJ. S. Bradley. Hardy's inequalities with mixed norms. Canada Math.Bull. V. 21. 1978. P. 405-408 ИВ. Г. Мазья. Пространства Соболева. - Л., Изд-во Ленинградского ун-та. 1985. 12Д. В. Прохоров. Неравенство Харди с тремя мерами. // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. Т.255. 2006. С. 233-245.
наконец, третья задача о необходимых и достаточных условиях выполнения дискретных неравенств типа Харди с двумя переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей. Все три задачи объединены тем, что в них появляются новые критерии выполнения неравенств Харди.
За последние двадцать лет критерии выполнения неравенств Харди и связанные с этим вопросы об оптимальности и соотношении констант разрабатывались Ю. А. Дубинским, М. Л. Гольдманом, Р. Ойнаровым, Д. В. Прохоровым, В. Д. Степановым, Е. П. Ушаковой, А. Куфнером, Л. Малиграндой, L. -Е. Перссоном, К. Лаем, С. А. Окпоти, В. М. Манаковым и многими другими авторами.
Цель работы
Целью работы является решение сформулированных выше задач, а именно
-
Получить критерии выполнения неравенства Харди для интегральных операторов с переменными пределами интегрирования в пространствах Лебега с мерами.
-
Получить критерии выполнения дискретных неравенств Харди с одним переменным пределом суммирования в пространствах последовательностей.
-
Получить критерии выполнения дискретных неравенств типа Харди с двумя переменными пределами суммирования в пространствах последовательностей.
Методы исследования
В работе используются методы теории функций, математического и функционального анализа.
Научная новизна работы
Основные результаты диссертации является новыми и обобщают или дополняют ранее известные.
Теоретическая значимость
Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться во многих разделах функционального анализа и теории дифференциальных уравнений.
Апробация работы
Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались на научном семинаре РУДН по функциональному анализу под руководством чл-корр. РАН В. Д. Степанова, на Российской школе-конференции с международным участием "Математика, информатика и их приложения и роль в образовании, 2009.
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях и тезисах докладов на научных конференциях.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, и списка литературы (43 наименования). Объем диссертации составляет 70 страниц.
![Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b]](/i/i/4249/45537.png "Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b] Шатохина Лариса Владимировна")