Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения 28
1.1. Компактные вложения в пространствах последовательностей с весом. Индуктивный и проективный пределы локально выпуклых пространств 28
1.1.1. Полная непрерывность вложений в пространствах последовательностей с весом 28
1.1.2. Индуктивный и проективный пределы локально выпуклых пространств 33
1.2. Функция, сопряженная по Юнгу к выпуклой функции, и ее свойства 36
1.3. Пространства Харди в круге и во внешности замкнутою круга 38
1.4. Пространства Бергмана в круге и во внешности замкнутою круга 43
1.4.1. Пространство Бергмана A2(Ua) 43
1.4.2. Пространство БергманаA2(C\Ua) 45
Глава 2. Гильбертовы пространства последовательностей со степенным весом и их изоморфноеіь пространствам Харди и Бері мана 48
2.1. Преобразование Меллина элементов пространства последовательностей l2(w„,i) 50
2.2. Преобразование Меллина в пространстве /2(wffl): связь с классами Харди 58
2.2.1. Пространство /2+(wal) 58
2.2.2. Пространство /2~(wff і) 60
2.3. Индуктивный и проективный пределы последовательности пространств /2(Ян) 64
2.3.1. Пространство Аа 65
2.3.2. Пространство #„ 68
2.4. Преобразование Меллина в пространстве '2(^,2): связь с классами функций с производными из пространств Бергмана 71
2.4.1. Пространство l2(wa2) 73
2.4.2. Пространство l2(wa2) 76
2.5. Преобразование Меллина в пространстве ^(^т.з) связь с пространствами Бергмана 79
2.5.1. Пространство /^(^з) 81
2.5.2. Пространство Гг (wai) 83
2.6. Описание преобразования Меллина элементов многомерною пространства последовательностей С(Чт,і) 86
Глава 3. Гильбертово пространство последовательностей li(h) с логарифмически выпуклым весом 92
3.1. Преобразование Меллина элементов пространства /2(/2): связь с пространством Бергмана функций, аналитических в С\{0} 94
3.2. Индуктивный и проективный пределы последовательности пространств /2(/2) 99
3.2.1. Пространство Ah 100
3.2.2. Пространство Bh 102
3.2.3. Преобразование Меллина элементов пространств А/, и Bh 105
3.3. Преобразование Меллина элементов многомерною аналої а пространства /2(/2) 109
Глава 4. Уравнение свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с весом 116
4.1. Уравнение свертки в гильбертовых пространствах последовательностей со степенным весом 117
4.2. Уравнение свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с логарифмически выпуклым весом 120
Список литературы 123
- Пространства Бергмана в круге и во внешности замкнутою круга
- Преобразование Меллина в пространстве /2(wffl): связь с классами Харди
- Преобразование Меллина в пространстве '2(^,2): связь с классами функций с производными из пространств Бергмана
- Индуктивный и проективный пределы последовательности пространств /2(/2)
Введение к работе
Классический подход к решению уравнения свертки в пространствах аналитических функций (см., в частности, [6]) или его дискретною аналога (см., например, [50]) - в пространствах последовательностей состоит в применении к обеим частям этого уравнения непрерывного либо, соответственно, дискретного преобразования Фурье (Фурье-Лапласа), переводящего свертку оригиналов в произведение изображений, что позволяет свести исходную задачу к задаче факторизации функций в некотором функциональном пространстве. Как следствие, возникает вопрос об описании замкнутых идеалов в различных пространствах (аналитических) функций. Свойства операторов свертки, а также близкие к ним проблемы факторизации и описания замкнутых идеалов в различных функциональных пространствах исследовались многими отечественными и зарубежными математиками: достаточно привести в пример работы ia-ких ученых, как Л. Эренпрайс [59], Б. Мальгранж [62], И.Ф. Красичков-Терновский ([20]-[22]), А.Ф. Леонтьев [28], Ю.Ф. Коробейник [19], Н.К. Никольский ([38],[39]), A.M. Седлецкий [45], М.Г. Крейн [23], В.В. Напалков [34], Н.А.Широков ([54]-[56], [63]), А.С. Кривошеее [24], Р.С. Юлмухаметов [57]. Тесная связь между оператором сдвига, с помощью которого часто определяется свертка, и оператором дифференцирования породила также интерес к исследованиям так называемых D-операторов (из современных работ см., например, [9]). Большое внимание к проблемам данной тематики обусловлено тем, что, с одной стороны, многие чисто теоретические вопросы сводятся к изучению уравнений свертки, а с другой стороны - операторы свертки часто применяются при решении задач прикладного характера. При этом важную роль играет специфика рассматриваемых пространств аналитических функций, в частности, многие исследования приводят к необходимости конструктивного изучения пространства H(Ur) аналитических в открытом круге Ur радиуса г (с центром в
начале координат комплексной плоскости) функций с топологией равномерной сходимости на внутренних компактах и пространства H(Ur) функций, аналитических в замкнутом круге Ur радиуса г, - индуктивною предела при т —* +оо пространств HiUrrVm).
Благодаря наличию в пространствах H(Ur) естественного базиса Шаудера {zn}l'0, любая задача для этих пространств может быть поставлена в терминах
коэффициентов Тейлора - например, задача о представлении аналитических функций рядами экспонент, решением которой занимался А.Ф. Леонтьев [27], или вопрос эквивалентности дифференциальных операторов, изучавшийся К.М. Фишманом [48]. Наличие базиса Шаудера в локально выпуклом пространстве гарантирует существование изоморфного ему пространства последовательностей, вследствие чего локально выпуклые пространства, классу которых принадлежат многие функциональные пространства, имеют естественное изоморфное представление в виде пространства последовательностей. Наиболее известным примером является гильбертово пространство функций Z,2(0;1), которое может быть представлено как пространство последовательностей /2. Менее тривиален пример пространства Бергмана AP(U\) аналитических в единич-
( V"
ном круге U\ функций с нормой 11/11 = jjf(z)\p dxdy , где 1 <р <+со, изо-
^<1 )
морфного пространству 1Р. В данной работе показано, что пространство H(Ur) для г > 1 изоморфно проективному пределу Вг весовых гильбертовых пространств комплекснозначных последовательностей с неотрицательными индек-
** I и V сами /;я = {а = {ап} ~: \\а\1г2Л ||2 = -г <+«>}, где К А < г, а пространсгво
//(/,)- индуктивному пределу пространств 12А, где X > г.
Изоморфное представление пространств аналитических функций в виде пространств последовательностей делает актуальной задачу решения дискретною аналога уравнения свертки. Под руководством Напалкова В.В. изучением уравнения свертки для различных пространств последовательностей занима-
7 лись Карпов А.В. (см. [12]), Ким В.Э. (см. [13],[36]), Коган (Сапронова) Г.А. (см. [15],[37]), Шагапов И.А. ([52]).
В данной диссертации исследуется дискретный аналог уравнения свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с весом, причем особую важность в ходе исследований приобрел вопрос о способе реализации таких пространств в виде пространств аналитических функций. В связи с этим возникла необходимость построения естественного изоморфизма между гильбертовыми пространствами последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весом и некоторыми функциональными пространствами. Специфика структуры гильбертова пространства, а также введение в весовых пространствах последовательностей преобразования Меллина (а не преобразования Фурье-Лапласа, как в вышеупомянутых работах), позволили получить требуемую изоморфную реализацию таких пространств в виде пространств функций, аналитических в круге и в кольце комплексной плоскости, а также в виде функциональных пространств типа Харди и Бергмана. Отдельная задача, решению которой посвящена глава 4 диссертации, состояла в определении на исследуемых пространствах последовательностей операции, обладающей всеми свойствами свертки, и изучении аналога уравнения свертки для такой операции.
В работе получены следующие основные результаты:
построена естественная изоморфная реализация относительно преобразования Меллина гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами, а также их индуктивного и проективного пределов, в виде пространств функций, аналитических в открытом и замкнутом круге, в кольце, а также в комплексной плоскости без начала координат;
на элементах гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами определена бинарная операция, обладающая всеми свойствами свертки, образ которой в изоморфных относительно преобразования Меллина про-
8 странствах аналитических функций совпадает с произведением образов исходных последовательностей; получено описание образов гильбертовых пространств последовательностей со степенным и логарифмически выпуклым весами относительно введенного оператора свертки, а также необходимые и достаточные условия разрешимости и единственности решения дискретного аналога уравнения свертки для случая таких пространств последовательностей.
Структура диссертации
Работа состоит из введения и 4 глав.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, изложены цели и задачи работы, перечислены научные положения, выносимые автором на защиту, описана структура работы и приведены ее краткое содержание, а также список публикаций автора по теме диссертации.
Пространства Бергмана в круге и во внешности замкнутою круга
Пусть, по-прежнему, Uо = {zeC: \ z а] - открытый, a Ua = {zeC: z а] - замкнутый круги радиуса а с центром в начале координаї в комплексной плоскости С. При определении и исследовании пространств Бергмана A2(Ua) и A2(C\UUa) в круге и во внешности замкнутого круга мы следовали схеме, приведенной в [46]. 1.4.1. Пространство Бергмана A2(Ua) Обозначая через ds плоскую меру Лебега ds = dxdy = rdrdtp на комплексной плоскости С, введем следующее определение: Определение 1.4.1. Пространством Бергмана A2(Ua) называется пространство функций, аналитических в круге U„ и таких, что интеграч jj]/(z)2 ds конечен. Система функций ij/k(z) = zk, k = О, I ,2, ..., является ортогональной, но не ортонормированной Пусть J{z) - произвольная функция из A2(U0).
Тогда j{z) разлаїаеіся в ряд МаклоренаДг) = XXZ" Найдем коэффициенты щ разложения эгой функции в Маклорена данной функции. Таким образом, ряд Фурье равномерно сходится внутри круга Ua к функции j{z). Отсюда следует, что всякая функция J[z)eA2(Ua) разлагается в ряд Фурье по ортонормированной системе {cpk(z))l a, Теорема 1.4.1. Аналитическая в круге Ua функция J{z) = ckz принадлежит пространству Бергмана A2(U„) тогда и только тогда, когда ее коэффициенты Тейлора Q удовлетворяют условию Определение 1.4.2. Пространством Бергмана Л2(СШ0) называется пространство функций g(z), аналитических вне замкнутого круга Uа и таких, что интеграл \\\g{z)\2 ds конечен. Система функций щ(г) = z , k = 2, 3, ..., является ортогональной, но не ортонормированной в Следовательно, система {(pk{z)}]\, где pk(z) = J акЛ-z\ ортонормированна в Ai(C\Ua). Пусть g(z) - произвольная функция из Ai{C\Ua). В силу аналитичности g(z) в C\Un ее ряд Лорана имеет вид g(z) = cnz", где N - некоторое натуральное число. Из сходимости интеграла fjj g(z) \2 ds следует равенство нулю коэффициентов сп при п -2, то есть g(z) Y T- Найдем коэффициенты (її разложения этой функции в ряд Фурье по системе { (z)}4 2: а = Значит, ряд Фурье функции g(z) no системе { (z)} 2 имеет вид Благодаря своим «хорошим» свойствам, в частности, изоморфности пространству /2, гильбертовы пространства представляют большой интерес для исследований. В качестве примера описания структуры различных весовых гильбертовых пространств можно привести работы [17], [18]. В данной главе изучаются гильбертовы пространства последовательностей со степенным весом. Показывается, что преобразование Меллина, определенное на элементах таких пространств, осуществляет изометрический изоморфизм между этими пространствами и пространствами Харди и Бергмана функций, аналитических в кольце комплексной плоскости. Кроме того, получена изоморфная реализация пространств функций, аналитических в открытом и замкнутом кольце комплексной плоскости, в виде соответственно проективного и индуктивного пределов пространств последовательностей со степенным весом. Результаты отражены в работах [1], [2] и распространены также на многомерный случай.
Преобразование Меллина в пространстве /2(wffl): связь с классами Харди
Введем подпространства «односторонних» последовательностей //(н ,) и /2"(wffl) пространства /2(vv„,): последовательность ає/ й ,) единственным образом может быть представлена в виде суммы a = то есть справедливо разложение /2(ivffl) = /2+(wCTl)/2 (wCTl). Это разложение, в силу линейности преобразования Меллина, влечег выполнение равенства Ma(z) = M (z) + M (z), где M (z), M a(z) - преобразования Меллина последовательностей d\ а соответственно. Для демонстрации связи между пространством l2(wal) и пространствами Харди H2{Ua) и H2(C\UVa) рассмотрим преобразование Меллина в каждом из пространств /2+(wCTl), l2 (wal) по отдельности. Напомним, что под обозначением Ua мы понимаем открытый, а под Un -замкнутый круги радиуса а с центром в начале координат в комплексной плоскости С, то есть Ua= {zeС: z \ a), Ua= {zeС: z \ а]. Пространство /2+(w„,) отождествим с гильбертовым пространством последовательностей с неотрицательными индексами: Для того чтобы «степенная» последовательность z = {z"} принадлежала пространству /2 (ivol), необходимо и достаточно, чтобы величина z лежала в открытом круге Ua: действительно, норма г""" / (vP , ) = YA конечна тогда и только тогда, когда z \ а. Преобразование Меллина элемента bel (wal) имеет вид Mrb(z) = является преобразованием Меллина некоторой Доказательство. Пусть функция F(z) принадлежит пространству Н (Ua). Тогда F(z) аналитична в круге U„ и для zeUa справедливо представление F(z) = По утверждению теоремы 1.3.2 (см. 1.3 главы 1 данной работы), для коэффициентов Тейлора сп функции F(z) сходится ряд ХУС«1, Т")
Полаїая " b z" коэффициенты bn = спа2п, получаем искомое представление F(z) = Х-2- -, где последовательность b = {b„)l 0, в силу равенства \\b /2 (vvffl) = Y, =S(l сп I т") »лежит в пространстве I (waх). Возьмем теперь последовательность Ь = {Ьп}\\ из пространства /2 (w\i) b zn и определим функцию F(z) равенством F(z) = М (z) = Х-2- " силу неравенства Коши-Буняковского верна оценка сходится абсолютно на круге z а. По теореме Абеля ряд сходится равномерно на любом замкнутом круге z \ г а , откуда следует аналитичность ею суммы F{z) в круге Ua. Тогда ряд Тейлора функции F{z) имеет вид cnz" и для коэффициентов п-0 с„ справедливо соотношение с„ = - -. Равенство ХІЮ 0"") = X! Mr = 1.3) функция F(z) принадлежит пространству Н (U„).
Теорема полностью доказана. 2.2.2. Пространство l 2{waX) Пространство /2 (wCTl) можно отождествить с гильбертовым пространством последовательностей с отрицательными индексами: «Степенная» последовательность z" = {zn} „l, принадлежит пространству / (wCT,) тогда и только тогда, когда z принадлежит внепіносіи замкнутого кольца Ua: в самом деле, выполнение неравенства \z\ \1а есть Теорема 2.2.2. Функция F{z) принадлежит пространству Hl(C\UVn) тогда и только тогда, когда F(z) является преобразованием Меччина некоторой последовательности из пространства Доказательство. В пространстве #02(СШ1/(Т) возьмем произвольную функцию F(z). По определению пространства Hl(C\UUa) F(z) аналитична во внешности замкнутою круга UUa и представима в виде ряда Лорана с.2"- В силу следствия из теоремы 1.1.3 (см. 1.3 главы 1) при п 0 коэффициенты сп равны нулю, а для коэффициентов с отрицательными индексами сходится ряд Наконец, полагая Ьп = сп -а " для п О, получим искомое представление Пусть теперь последовательность b = {&„}"!,, принадлежит пространству позволяет сформулировать критерий принадлежности функции, аналитической в кольце комплексной плоскости, прямой сумме пространств Харди H2(Ua) Ф H (C\UUa) в терминах коэффициентов ее «взвешенного» ряда Лорана: Теорема 2.1.3. Для того чтобы функция F{z) допускала (единственное) разчожение F(z) = F+(z) + FJz), где функции /v(z) и F-(z) принадлежат пространствам Н(Ua) и //02(СШ]/(7) соответственно, необходимо и достаточно, чтобы F(z) являлась преобразованием Меллина некоторой т a z" последовательности из пространства
Преобразование Меллина в пространстве '2(^,2): связь с классами функций с производными из пространств Бергмана
Гильбертово пространство l2(wa2) с весом wa2 = фиксированное действительное число, описывается равенством Так как последовательность wa\ = ,— принадлежит пространству любого действительного числа Л є (1 \а) имеет место равенство lim = О, то есть последовательность w"1, = {/Г } _, принадлежит пространству с0( wn 2), что влечет полную непрерывность вложения l2(wA,) с (и ). Следовательно, справедливо и вложение Аа czl2(wa2). При этом все вложения - сірої ие, і о есть множества l2{wal)\l2(wa2) и l2{wn2)\Aa не пусты. В качестве примера элемента пространства l2(wa2), не принадлежащего Аа, достаточно привести последовательность а = — } , для которой норма а 12("а2)\\2 = сходимости ряда = /2(vvCT,)2, лежит в пространстве /,(wffl), принадлежность b разности пространств l2(wcl)\l2(wal). Отметим, что для любого фиксированного значения z из открытою кольца Ка = {z: — \ z \ а), «степенная» последовательность z = {z"}l , T \z\2n -\п\ принадлежит пространству l2{wal). Действительно, z/2(wff 2) = ]Г -—Ц-!—- = сг и z — соответственно. Вложение /2(м ст 3) cz /2(vv ,) позволяет рассматривать последовательности і = {zn)ll,, где zeKa, и a = {an} el2(wa2) как элементы пространства l2(wn,). Тогда равенство определяет преобразование Меллина Ma{z) последовательности а.
Прежде чем дать полное описание свойств функции A/,(z) -преобразования Меллина элемента а пространства l2{wa2), рассмотрим сужение преобразования на подпространства l2(wn2) и Пространство l2(wa2) отождествим с гильбертовым пространством последовательностей с неотрицательными индексами: Для того чтобы «степенная» последовательность Т = {z"YJ0 принадлежала пространству l2(wa2), необходимо и достаточно, чтобы 74 величина z лежала в открытом круге Ua = {zeC: \ z \ а}. Действительно, ряд Преобразование Меллина элемента b = {Ьп)\\ пространства ll(wa,) Прежде чем сформулировать критерий принадлежносіи функции образу пространства /3( 2) относительно преобразования Меллина, напомним определение пространства A 2" (/„): где A2{U„) - классическое пространство Бергмана в открытом круге Ua (см. и. 1.4.1 1.4 главы 1) Верна следующая теорема: Теорема 2.4.1. Функция F(z) принадлежит пространству Л(2"{Ua) тогда и только тогда, когда F(z) является преобразованием Мелчина (2.2) некоторой последовательности из пространства ll{wa2), то есть когда Доказательство. Пусть функция F(z) аналитична в круге Ua и ее производная функция F\z) принадлежит пространству Бергмана A2(Ua). Тогда F (z) разлагается в круге Ua в ряд Тейлора Yacnz" Для коэффициентов сп которого, в силу теоремы 1.4.1 (см. 1.4 главы 1), выполнено условие = {b„}\\ принадлежит пространству /2+(vv). Пусть теперь последовательность b = {bn} 0 принадлежит пространству K(wal) и функция F(z) определена равенством F(z) = M (z) = - 77. В силу неравенства
Индуктивный и проективный пределы последовательности пространств /2(/2)
Рассмотрим выпуклые на действительной оси R функции h\(t), h2{t), удовлетворяющие следующим условиям: Для весовых последовательностей и , = {exp(-2h\(n))} 1\ и w2 = ={ехр(-2/22(«))} .в выполнено условие леммы 1.1.1 (см. н.1.1.1 1.1 главы 1): последовательность w"1 = {ехр(2/ і(я))} _ принадлежит пространству /,(w2), так как в силу условия 2 норма \\w l\ /_,(iv2 ) = supexp(2[/ji(A7) - h2(n)]) конечна, - и, следовательно, справедливо вложение /2(/?і)с /2(/22). Более того, условие 2 влечет равенство lim ехр(2[/?і(я) - h2(n)]) = О, то есть последовательность w[x лежит в пространстве c0(w2), откуда, по предложению 1.1.2 (см. п. 1.1.1 1.1 главы 1), следует, что вложение /2(/zi)cz /2(/ 2) вполне непрерывно. Таким образом, верно следующее предложение - частный случай предложения 1.1.2 (там же) для пространств l2(h): Предложение 3.2.1. Для того чтобы вложение l2(h\)c:l2(h2) было впочне непрерывно, необходимо и достаточно, чтобы выпуклые функции h\(t) и h2(t) удовлетворяли условиям 1-2. Изложение дальнейших результатов в том, что касается теории выпуклых функций и их мажорант (минорант) основывается на монографиях [41], [43]. Обозначим через m(h) множество выпуклых минорант функции h(t) -таких выпуклых на действительной оси R функций g(t), чю g(t) h(t) для всех значений teR, - удовлетворяющих условиям: объединение берется по всевозможным выпуклым минорантам g(t) функции h(t), принадлежащим множеству m(h). Наделим А/, топологией индуктивною предела , порождаемой семейством {kig)} (m(h)- Нетрудно показать, что Ah - собственное подпространство пространства l2(h). Вложение Ahdl2(h) выполняется в силу справедливости для gem(h) вложений l2(g)al2{h). При этом последовательность b = лежит в пространстве l2(h), так как норма конечна, но для любой выпуклой миноранты g(t)em(h) в силу условий 1 и 2 не ограничена норма есть последовательность принадлежит разности пространств /2(/?)\Л/„ и множество Пусть g = {gk(t)}7-\ - монотонно возрастающая последовательность выпуклых минорант gk(t) функции h(t), принадлежащих множеству m(h), при любых натуральных к удовлетворяющих условию lim [g \(t) - gk(t)\ = +со, имеющая предел Wmgk{t) - /2(/). Для любой миноранты gk(t)e g найдутся такие выпуклые миноранты h\{t) и h2(t) функции /2(/) из множества m(h), что h\{t) gk{t) h2(t) /2(/), и, следовательно, выполняются вложения Тогда верны вложения (J/2(/г,) с (J/2(gk) с (J/2(h2), и справедливо равенство (J/,(g) = пространстве Л/, можно ввести топологию индуктивного предела г, порожденную семейством Покажем, что топологии ц и г совпадают. В силу свойств последовательности g для любой выпуклой миноранты g(t)em(h) функции h(t) найдется такая функция
Для которой g{t) также является выпуклой минорантой, и выполняется вложение /2(g)c/2(gm). Пусть и}" = {xe/2(g): 11 1 higrM ) - е-окрестность нуля в /2(g) в топологии, индуцируемой из пространства /2(gm), а V = {х є /2(g): х /2(g) е } - е-окрестность нуля в /2(g) в собственной топологии. Так как для всякой последовательности х є V верно соотношение лежит в с-окрестности нуля Ugem и, в силу произвольности выбора элемента х, выполняется вложение Vck с Uscm. Следовательно, топология в /2(g), индуцируемая из /2(gm), мажорируется собственной топологией в /2(g), что позволяет сделать вывод (см. [42], с. 146) о совпадении топологий индуктивного предела ц и г в пространстве Ah, порождаемых шкалой {/2(g)}, где функция g(t) пробегает семейство m(h) выпуклых минорант функции h{t), удовлетворяющих условиям 1 и 2, и шкалой {Ijigk}} [\ соответственно. 102 Так как в силу условия, наложенною на последовательность g, все ВЛОЖеНИЯ /2(gi)ci/2(g2)c..c/2(gA)cz/2(gil+i)c... ВПОЛНЄ Непрерывны, TO пространство A}, = lim ind liigi), снабженное топологией г, есть LN - к мг пространство (см. [44]). Стоит отметить, что для совпадения топологий рг условие выпуклости функций g{t) семейства т(И) на всей действительной оси R не играло решающей роли: достаточно было наложить условия 1 и 2 (см. замечание к 3.1 данной главы). Таким образом, далее под семейством т{И) будем понимать множество непрерывных на всей числовой оси R функций g(t) таких, что 1. Iim =+oo; и -»+« і /1 2. lim [//(/) -g(t)] = +оо. Рассмотрим преобразование Меллина в пространстве А\,. Для всякой последовательности a = {an}Z , принадлежащей пространству А/„ преобразование Меллина определим равенством Заметим, что функция Ma(z), определяемая формулой (3.3), совпадает с преобразованием Меллина последовательности а как элемента пространства l2(h) (см. 3.1 данной главы), что обусловлено вложением /,с/2(/г). Следовательно, функция F(z) = Ma(z) удовлетворяет условиям теоремы 3.1.1. Ниже будет получено более «тонкое» описание поведения F(z).
