О некоторых свойствах решений дискретных уравнений свертки Ким Виталий Эдуардович

exp(z'zAfc)

Краткое содержание главы 4

В главе 4 решается задача построения дискретного достаточного множества для пространства А[р, а]. Как следствие получен результат о разложении функций из пространства Л[р, <т] в ряды экспонент.

п. 4.1 В пространстве Н[р*, а*) была введена топология индуктивного предела нормированных пространств

Hj = {/ Є tf₀ : У/Ця, = sup Jl^)L—_<00\

L ³ *єс\{о}Єхр(<7;|пф||/>) J

Обозначим эту топологию через т. Топологию на пространстве Н[р*_: а*) можно ввести и другими способами.

Рассмотрим класс непрерывных положительных функции

( , _ч exp(^|ln|z||^) ї

K = \k{z): lim ^V ', ' " =0, \/j\.

I ^V ' |ln|*||-oo k{z) J

Определим нормированные пространства

И*)І

H_k = {tp Є H₀ : \\_k = sup MM

^L zGk[Z) J

Введем на пространстве H[p*, <т*) топологию проективного предела нормированных пространств Нк. Обозначим эту топологию через р,. Тогда т > р. Пусть М С С\{0} - произвольное множество единственности для пространства H[q, а). Определим нормированные пространства

гем ехр(ст?| In |г||^) ЯГ = L Є Яо : l|Z)||f = sup MJ1 < оо), к Є К.

Н ='{/ Є Но : ||/||ям = sup '{^(г)| < со), і Є N;

И*)І

Введем на пространстве Н[р*_:а*) топологию тм индуктивного предела нормированных пространств Н^¹ и топологию рм проективного предела нормированных пространств Н^. Тогда

г > Т_М > fl_M, р > р_м.

Определение 1. М называется слабодостаточным множеством для пространства А[р, а], если т — тм-

Определение 2. М называется достаточным множеством для пространства А[р,а], если р = рм-

п. 4.2 В этом пункте проводится построение дискретного достаточного множества для пространства А[р, а].

п. 4.3 Теорема 13. Пусть S = {sm}mez\{o} ~ достаточное множество для пространства А[р, а]. Тогда для каждой функции а Є А[р, а] имеет место интегральное представление

[ z' ^а(^п) = / 7ТТ dv, п Є Z, 7с\{о} «W

где к Є К, и - мера ограниченной вариации с носителем в S; к, v зависят от а.

Теорема 14. Для каждой функции а Є А[р, а] существуют коэффициенты р_т Є С, т Є Z \ {0}, такие что

а(п) = 2_2 Pmexp(mA_m), п Є Z,

meZ\{0}

где ехр(гЛ_т) = s_m, т Є Z\ {0}, а рлд сходится абсолютно в топологии пространства А[р, а].

п. 4.4 Здесь результаты предыдущего раздела применяются для интерполяции целых функций из пространства Е[р,о~], являющихся решениями некоторого уравнения свертки.

„п

Целые функции, сужения которых на Z, являются функциями из пространства А[р, а]

Обозначим через Н() класс всех целых функций. Определим в Я (С) подклассы Е[р, а] и Е[р, сг) следующим образом: Е[р, а] - класс целых функций порядка р или порядка р и типа сг; Е[р, а) - класс целых функции порядка р или порядка р и типа сг. Такие классы целых функций изучались во многих работах (см., например, [20], [2]). Будем рассматривать Е[р, а] как локально-выпуклое пространство с топологией проективного предела банаховых пространств ЕЫ = {/ Є Я(С) : И/Ь,.,, = sup Ш со}. Известно (см., например, [35]), что Е[р,а] является пространством (М ) и пространством Фреше. Если / Є Е[р, сг], то, очевидно, f\% Є А[р, сг] (здесь через /z обозначено сужение функции / на множество Z). Положим строго возрастающей последовательностью. Положим со, если сг = 0. Тогда lim сг = а . Порядок и тип р и сг называются сопряженным порядком и сопряженным типом для р и сг. Рассмотрим теперь пространство Е[р , сг ), наделенное топологией индуктивного предела нормированных пространств Е{ 7 ). Обозначим через Е [р, сг] сильно сопряженное к Е[р, сг] пространство. Пусть F Є Е [р, а]. Преобразованием Фурье-Лапласа функционала F называется функция Запись F(z) означает, что функционал F действует по переменной z. Известно (см., например, [35]), что преобразование Фурье-Лапласа устанавливает линейный топологический изоморфизм между пространством Е [р,сг] и пространством Е[р ,а ).

Функционал F определяет на пространстве Е[ру а] однородное уравнение свертки Функция F называется характеристической функцией уравнения (1.6). Пусть {uk}ken - нули функции F (предположим, что все нули простые). Тогда функции ехр(ігщ), к Є N, являются решениями уравнения (1.6). Действительно Решения ехр(ггщ), к Є N, называются элементарными решениями уравнения (1-6). Как уже отмечалось во Введении, для широкого класса однородных уравнений свертки имеет место теорема о возможности аппроксимации произвольных решений элементарными решениями. Аппроксима-ционная теорема верна (см., например, [40, 7]) и для уравнения (1.6). Более точно, верен следующий результат: span{exp(izuk), к Є N} - замкнутая линейная оболочка элементарных решений ехр(ігщ), к Є N, -совпадает с пространством решений уравнения (1.6). Возникает вопрос: можно ли построить в пространстве решений уравнения (1.6) базис из элементарных решений. Известно (см., например, [5], [12], [13]), что существует двойственная связь между задачей построения базиса и задачей интерполяции. Так, из [5] следует, что функции exp(izuk), к Є N, образуют базис в span{exp(izuk), к Є N} (а значит, в пространстве решений уравнения (1-6)) тогда и только тогда, когда раз решима следующая интерполяционная задача: (Q) Для любой последовательности комплексных чисел {tk}ken} удовлетворяющих условию найдется функция g Є E[p ,a ), такая что д{щ) = tk, V& Є N. Отметим, -что Таким образом, условие (1.7) можно переписать в виде Условия разрешимости интерполяционной задачи (Q) изучались, например, в работе [2]. Для дальнейших исследований нам понадобятся два неравенства, устанавливаемые в следующей лемме. Лемма 2. Пусть Л Є С. Определим функцию q\(n) = ехр(тЛ), п Є Z. Тогда при любом j Є N выполняются неравенства Доказательство.

Возьмем произвольные j Є N, Л Є С. Докажем вначале неравенство (1.9). Имеем Определим для вещественного неотрицательного аргумента г непрерывные функции Нетрудно вычислить, что достигается в точке Обозначим через п д целочисленную точку, удовлетворяющую условиям: 1) 6JA(WJ,A) = sup 6J,AJ 2) j.A ImA 0. Тогда выполняются соотношения то есть выполняется неравенство (1.9). Докажем теперь неравенство (1.10). Для точки nJ)A возможны следующие два варианта: a) ri A - 1 \nj x\ rit\\ б) riA nijA rjt\ + 1. Допустим, выполняется вариант а). Тогда Нетрудно вычислить, что где Заметим, что ад — 1 при 1тЛ — со. Следовательно найдется число го, такое что a\ jj+1 о\-, при 1тЛ го- Таким образом, и, следовательно, выполняется (1.10). Аналогичным способом доказыва ется неравенство (1.10) и в случае б) Опишем пространство А [р, а] с помощью преобразований Меллина и Фурье-Лапласа. Рассмотрим в Н(С) подкласс Р(С) = {дв Я (С) : р(А) = д(Х + 2тг), VA Є с}. Таким образом, класс Р(С) состоит из всех целых функций, имеющих период 2я\ Очевидно, все функции из класса Р(С) ограничены на вещественной оси. Для каждого jeN рассмотрим банахово пространство Определим пространство Р[р ,а ) = {J?1 Pj и снабдим его топологией индуктивного предела банаховых пространств Pj. Введем отображение L, которое каждому функционалу ф Є А [р, а] ставит в соответствие его преобразование Фурье-Лапласа Теорема 1. Отображение L устанавливат линейный топологический изомоморфизм между пространствами А [р,о ] и Р[р ,о ). Доказательство. 1) Пусть ф Є А [р, а]. Тогда найдется j Є N, такое что / Щ - со. Выполняется оценка Тогда, используя неравенство (1.9) и соотношение (1.4), получаем оценку номерно в круге {А Є С : А R} при любом R 0. Таким образом, функция ф является целой. Нетрудно видеть также, что ф Є -Р(С). Кроме того из (1.11) следует, что Из (1.12) следует, что ф Є Р[р ,а ) и что отображение L : А [р, а] —» Р[р ,сг ) является непрерывным. 2) Пусть g Є Р[р ,а ). Тогда ?р., со при некотором j Є N. Для А Є С обозначим х = Re А, у = Im А. Так как р является целой функцией с периодом 27Г, то (см., например, [21, глава 7, 5]) ее можно единственным образом разложить в ряд Фурье:

Уравнение свертки и его элементарные решения

Пусть (р - произвольный функционал из пространства А [р, а]. Рассмотрим на пространстве А[р, а] однородное уравнение свертки Уравнение (2.3) можно записать в виде Обозначим через И7 пространство решений уравнения (2.3). Так как оператор свертки My является линейным и непрерывным, то W p = ker М является замкнутым подпространством в А[р, а]. Функция ф Є Р[р , с ), являющаяся преобразованием Фурье-Лапласа функционала (р, называ ется характеристической функцией уравнения (2.3). Функция ф имеет 9 вид ф{\) = 2 (р(п)ехр(іп\). Будем предполагать, что ф имеет только простые нули. Пусть Л = {Afc}&N, Ajt У со, - множество нулей функции ф, содержащихся в полосе 0 Re А 2к. Тогда Лі = {А& + 27г, t Є ! }k =N - множество всех нулей функции ф. Рассмотрим теперь функцию ф Є Н[р ,сг ), являющуюся преобразованием Меллина функционала (р. Эту функцию также можно рассматривать как характеристическую для уравнения (2.3). Функция ф имеет вид ф() — 2 (р(п)п. Обозначим нулевое множество функции ф через Л. Тогда Л состоит из точек & = exp(zAjt), к Є N. Очевидно, функции #fc(n) = ехр(г"пА&) = , к Є N, являются решениями уравнения (2.3).

Эти решения будем называть элементарными. Разобьем Л на две подпоследовательности: Таким образом, множество Л также разбивается на две подпоследова-тельности: { к}кеп и {& beN, где = ехрОД), Q. = ехр(гА). Отметим, что Обозначения, введенные в этом разделе, будут использоваться в последующих разделах этой главы. Пусть V = {vk}keN последовательность точек в комплексной плоскости, такая что \vk\ /" со. Введем следующие обозначения: через рьу будем обозначать показатель сходимости [19, с. 19] последовательности V; через пу(г) будем обозначать число точек множества V, содержащихся в круге \z\ г; через Ny(r) обозначим функцию, определяемую равенством Согласно [41, с. 19], ц\ = p\t — 1. Так как (р Є Р[р ,а ), то порядок функции (р не превосходит р . Известно [19, с. 27], что показатель сходимости последовательности нулей целой функции не превосходит ее порядка. Таким образом, р р , р\ р — 1. Тогда из определения показателя сходимости [19, с. 19] вытекает следующая оценка: Рассмотрим бесконечные произведения и исследуем вопрос об их сходимости. Заметим, что из (2.4) вытекают следующие неравенства: ИЛИ Отсюда вытекает, что Из последних неравенств следует, что бесконечные произведения /i() и /г() являются целыми функциями. Их нулевыми множествами являются соответственно множества Пусть / Є Н(С). Введем следующие обозначения: Заметим, что (\nr)p = ru(r), где In г Функция и(г) является нулевым уточненным порядком (см., например, [3]).

Таким образом, если 0 г/ со, то / является целой нулевого уточненного порядка и(г) и типа т/ при этом порядке. Если V = \Vk}kGN - нулевое множество целой функции /, такой что Tf со, то [3, теорема 4] выполняется равенство Лемма 5. Выполняются неравенства тд 5а , т/2 5а , где Доказательство. Согласно [3, теорема 3], Пусть r 1. Заметим, что ппДг) совпадает с количеством точек множества {fc}&eN лежащих в кольце 1/г 1, и, как нетрудно видеть, с количеством точек множества {A j-jteNj лежащих в прямоугольнике 0 Re А 27Г, 0 Im А In г. Этот прямоугольник содержится в круге А R, где R = \/(lnr)2 -f 47г2 (см. рисунок 2.1). Следовательно, nni(r) n\(R). Аналогично, пп2(г) совпадает с количеством точек множества {jt}&eNj лежащих в кольце 1 г, и с количеством точек множества {A j-jteN, лежащих в прямоугольнике 0 Re А 27Г, — In г ImA 0. Этот прямоугольник также содержится в круге А R (см. рисунок 2.2). Следовательно, пц2(г) n\(R). Таким образом, мы получили следующие неравенства: Оценим теперь величину n\(R). Так как (р Є Р[р ,а ), то тип функции (р при порядке р строго меньше а . Следовательно, [19, с. 27] выполняется

Аппроксимация решений

В этом разделе доказывается, что любое решение дискретного уравнения свертки (2.3) можно аппроксимировать элементарными решениями xk(n) = einX» = #. Теорема 5. Wip = span{a;fc, к Є N}. Доказательство. Пусть ф Є А [р, а] - произвольный функционал, удовлетворяющий условию: Согласно принципу аппроксимации [42, теорема 2.3.1], для доказательства теоремы достаточно показать, что (ф,ф) = 0, \/ф Є W . Рассмотрим функцию ф{) = Y1 ф(п)п. По теореме 2, ф Є Н[р ,сг ). В силу условия (2.13), Тогда по теореме 4, а Є Н[р ,а ). Следовательно, по теореме 2, существует функционал х Є /[р5 с]» такой что х() = а(). Так как ф = х-їр, то (см. предыдущий раздел) ф = х р. Следовательно, В этом разделе выясняется, при каких условиях на распределение нулей функции (р (или функции (р) выполняется следующее утверждение: (А) элементарные решения Хк{п) = егпХк = , к Є N, образуют регулярный базис в пространстве W . Рассмотрим следующие условия: (Q1) для любой последовательности комплексных чисел { }A;6NJ удовлетворяющих условию А [р, а], такой что (ф, егпХк) = t , \/к Є N. (Q2) для любой последовательности комплексных чисел {jt}fceN удовлетворяющих условию существует функция д Є Р[р , сг ), такая что д(\к) = tk, Ук; (С З)для любой последовательности комплексных чисел {tjtj-fceN) удовлетворяющих условию существует функция w Є H[p ,a ), такая что ш( ) = tk, Ук; Лемма 8. (Q3) (Q2) = (Q1) (= (А). Доказательство. 1)

Соотношение (Q1) = (А) следует из [5, теорема 1], с учетом того, что Wtp = span{emAfc, к Є N} (последнее было доказано в теореме 5). 2) Соотношение (Q3) ==$ (Q2) очевидно. Действительно, условия (2.15) и (2.16) суть одно и тоже, функции и и д получаются друг из друга заменами переменных = ехр(г А) и А = Ln. 3) Докажем теперь соотношение (Q2) = (Q1). Заметим, что по теореме 1 существование функции д Є Р[р , сг ), такой что g(Xk) = tk, Vfc Є N, равносильно существованию функционала ф Є Л [р, а], такого что ( / , егпХк) = tk, Ук Є N. Осталось доказать равносильность условий (2.15) и (2.14). Итак, пусть выполнено (2.15). Тогда с учетом неравенства (1.10), получаем: то есть выполняется условие (2.14). Наооборот, пусть выполнено (2.14). Тогда с учетом неравенства (1.9), получаем: то есть выполняется условие (2.15). Рассмотрим теперь условие (Q3a) для любых последовательностей комплексных чисел { } ен и {&}&eN удовлетворяющих условию существует функция ш Є #[/? , а ), такая что о;( ) = t k, ы(к) = t k, V к. Очевидно, (Q3a) = (Q3). Выясним, при каких условиях выполняется (Q3a). Итак, возьмем произвольные последовательности { }А;ЄМ И { tHeNj удовлетворяющие условиям (2.17).

Положим Согласно (2.11), выполняются равномерные по к оценки: \v k\ Сг , bjtl Cil l- Следовательно, последовательности {v k}ken и { }А;ЄМ удовлетворяют условиям (2.17). Обозначим Согласно (2.5), т\ — тд сг , т2 = т/2 сг . Предположим, что выполняется условие Тогда, согласно [1, теорема 10], существует целая функция 7(0 такая что т7 а , 7(1/й) = w, V&. Положим o i(f) = 7(1/6- ТогДа і(й) = . Аналогично, если выполняется то существует целая функция W2(0» такая что rU2 сг , 0 (7) = v j,, У к. Определим функцию ш(0 = і (0/2 (0+ 2 (О Л Ю- Очевидно, Wi-/2 Є #0, 2 /і Яо- Заметим, что функции /i, u i, ограничены при — со, а функции /г, бс 2, ограничены при — 0. Следовательно, учитывая что т и2 & , т у а , т/2 сг , тд сг , получаем: Отсюда следует, что wi f2 Є Я[р , a ), a;2 /і Є #[/? , сг ). Следовательно, Ц0єЯ[р , 7 ). Кроме того, w(j.) = ., a;( ) = , V&. Действительно, Таким образом, при выполнении условий (2.18) и (2.19), выполняется (Q3a), а значит и (А). Учитывая вид функций /з и /г (см. раздел 2.3), видим, что условия (2.18), (2.19) равносильны соотвественно условиям т Теорема 6.

Если множество Л удовлетворяет условиям (2.20) и (2.21), то функции Xk, к Є N, образуют регулярный базис в пространстве W . Заметим, что условия (2.20), (2.21) равносильны соотвественно усло виям Таким образом, получаем следующее утверждение. Теорема 7. Если множество Л удовлетворяет условиям (2.22), (2.23), то функции Xk, к Є N, образуют регулярный базис в W . Отметим, что в качестве следствия, получены условия разрешимости интерполяционной задачи (Q2), т. е. интерполяционной задачи в классе целых периодических функций с заданными порядком и типом. Теорема 8. Если множество Л удовлетворяет условиям (2.22), (2.23), то то разрешима интерполяционная задача (Q2). Ранее в работе [41] была решена интерполяционная задача в классе целых периодических функций только с заданным порядком.

Построение достаточного множества

Определение. Будем говорить, что множество D С С\ {0} называется .О0-множеством, если оно имеет следующее строение: D = D (J D", б) D С {zeC:\z\ 1}; в) кружки Dk, к Є N, попарно не пересекаются; г) D-k = y(Dk), к Є N, где через j обозначено отображение z ь 1/z. Замечание. Из теории дробно-линейных отображений [18, гл. II, 2] следует, что пересекаются. Из б) следует, что D" С {z Є С : \z\ 1}. Следовательно, D ( )D" = 0. Таким образом, множество D состоит из попарно не пересекающихся кружков. Условимся в этом разделе понимать под асимптотическими оценками такие оценки, которые выполняются для любого є 0 и а) для всех z Є С достаточно больших по модулю, т.е. при \z\ го(є) (в этом случае после неравенства будем писать значок zj); б)для всех z Є С \ {0}, для которых значение lnz достаточно велико, т.е. при 1п-г го(б:) (в этом случае после неравенства будем писать значок lnzf); в) для всех z Є С\{0} достаточно малых по модулю, т.е при \z\ т о(є)(в этом случае после неравенства будем писать значок \z\i). Лемма 10. Пусть D - некоторое DQ-множество. Тогда если функция g Я(С \ {0}) при некоторых числах а 0, q 1, удовлетворяет вне множества D асимптотической оценке то оценка (4-Ю продолжается внутрь множества D.

Доказательство. Из теоремы 3 следует, что g(z) = gi(l/z)g2(z), где 9іі92 Є Н(С), причем функции gi,#2 не обращаются в нуль при \z\ 1. Тогда по теореме об оценке снизу аналитической функции, не обращающейся в нуль [19, с. 31], найдутся положительные константы С2, Сз при которых выполняются неравенства Тогда из (4.2) вытекают следующие асимптотические оценки: что выполняется соотношение: Тогда из принципа максимума модуля следует, что оценки (4.3) про должаются внутрь множества D (см., например, [19, с. 150]). Отсюда вытекает, что оценка (4.2) продолжается внутрь множества D. Теорема 11. Существует f Є Н(С \ {0}), такая что выполняются асимптотические оценки где С\, Сі - некоторые положительные константы, D - некоторое -множество. При этом каждый компонент множества D содержит ровно один нуль функции f. Доказательство. Положим Нетрудно видеть, что функция и(х,у) имеет непрерывные в R2 частные производные первых двух порядков. Кроме того, Из (4.6) видно, что Au(z) 0 для всех z Є С. Таким образом (см., например, [36, с. 54]), функция u(z) является субгармонической функцией в С. Заметим, что u(z) удовлетворяет условию Обозначим через \іи меру Рисса (см., например, [38, с. 62]), ассоциированную с функцией u[z). Пусть w Є С, \w\ 1, t Є (0, гу). Обозначим Покажем, что при некоторых С 0, р 0 выполняется неравенство Имеем Так как кружок D(w,t) содержится в кольце Q = D(Q,\w\+t)\D(Q,\w\ — t)1 то где r = \z\, в = argz. Из (4.6) видно, что lim rAu(r) = 0. Следовательно, найдется константа Со, такая что гАи{г) Со для всех г. Следовательно, /iu(D(w,t)) .Ct C\w\t, где С = 2Со. Таким образом, неравенство (4.8) выполняется, в частности, при р = 1. Тогда, согласно [43, теорема 6], существует целая функция /і со следующими свойствами: пусть {г п}пєм? \wn\ / со, - нули функции /і; тогда (а) при некотором d 0 кружки (b) при z $. D = (J Dn выполняется

Из условия (Ь) следует, что Отсюда, с учетом (4.7), получаем асимптотическую оценку exp a-є)\Ы\z\\ \fl(z)\ exp(к(a + є)\ln\z\\ УzD , \z\b (4.9) Таким образом, мы доказали существование целой функции /і, удовлетворяющей условию (4.9). Очевидно, при этом можно считать, что \wn\ 1, п Є N, и даже более того, что D С {z Є С : \z\ 1}. Из теоремы об оценке снизу аналитической функции, не обращающейся в нуль, следует, что где С\, С 2 - некоторые положительные константы. Положим /2(2) = /і(1/.г). Обозначим через D-n, п Є N, образ кружка Dn при отображении z У- 1/z. Пусть D" = (J D-n. Обозначим D = D {j D". Тогда D neN является )-множеством. Очевидно, каждый кружок D-n, п Є N, содержит ровно один нуль функции /2( ), а именно точку W-n := l/wn. Из (4.9) следует, что выполняется асимптотическая оценка exp((a-e)"lns ) \f2(z)\ exp((a + s)\ln\z\\o), \z\bziD". (4.11) Из (4.10) следует, что Положим f(z) = fi(z) f2{z). Тогда из оценок (4.9), (4.10), (4.11), (4.12) и леммы 10 вытекают оценки (4.4), (4.5). Таким образом, функция / удовлетворяет всем условиям теоремы. Пусть функция / удовлетворяет всем условиям теоремы 11 для значений a = a , q — р . .Обозначим нули функции / через {sm}mez\{o} так?

Похожие диссертации на О некоторых свойствах решений дискретных уравнений свертки

Представление аналитических функций рядами по элементарным решениям уравнения сверткиКомаров, Александр Владимирович

Спектральная теория периодических дифференциальных операторов и асимптотические свойства решений дифференциальных уравненийКобычев, Кирилл Сергеевич

L2 Свойства решений обыкновенных симметрических дифференциальных уравненийМирзоев Кархан Агахан оглы

Системы уравнений свертки в пространствах векторнозначных функций Мерзляков Сергей Георгиевич

О разрешимости уравнения свертки в некоторых пространствах аналитических функцийМальцев, Игорь Михайлович

Уравнения свертки в пространствах числовых последовательностейКарпов Александр Владимирович

Уравнение свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с весомВахрамеева Анна Владимировна

Задача Римана и уравнения в свертках с символами, вырождающимися на счетном множестве Джиргалова С.Б.

Аналитические свойства решений некоторых классических и некоммутативных интегрируемых системКомлов Александр Владимирович

Исследование свойств интегральных представлений голоморфных функций в Cn и решение многомерных краевых задач линейного сопряженияЛуковников, Андрей Евгеньевич