Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию геометрических (качественных) свойств решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и с постоянными коэффициентами.
Состояние качественной теории дифференциальных уравнений долгое время отражали известные монографии Ю.Л. Далецкого, М.Г. Крейна "Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве"и X. Массера, X. Шеффера "Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства", авторы которых отмечали крайнюю важность развития соответствующей теории дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в связи с приложениями к дифференциальным уравнениям с частными производными:
"Авторы отчетливо осознают, что арена бесконечномерных пространств требует присутствия неограниченных операторов, без которых невозможна настоящая теория устойчивости систем с бесконечным числом степеней свободы". (Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн, стр. 12)
"... мы совершенно игнорируем возможность распространения теории на случай, когда значения А (в уравнении вида х + Ах = h - прим. автора) суть неограниченные операторы в X. Такое обобщение теории представило бы конечно, огромный интерес особенно ввиду возможных приложений к уравнениям в частных производных". (X. Массера, X. Шеффер, стр. 11)
Важную роль в качественной теории решений дифференциальных уравнений играют оценки ограниченных решений дифференциальных уравнений. Одним из методов получения оценок является оценка нормы обратного оператора, рассматриваемого в подходящем функциональном
пространстве. Значительную роль при оценках норм обратных операторов играют теоремы вложения Соболева. Важность оценок норм обратных операторов объясняется возможностью их использования при разрешимости нелинейных уравнений. При изучении качественных свойств решений дифференциальных уравнений (на их важность указывал А. Пуанкаре) важно получение формул их асимптотических представлений. Таким вопросам посвящена третья глава диссертации. Таким образом, тема диссертации является актуальной.
Целью работы является 1) получение точной оценки нормы оператора вложения пространства Соболева периодических функций в банахово пространство непрерывно ограниченных функций, 2) получение оценок ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, 3) получение необходимых и достаточных условий обратимости дифференциального оператора с неограниченными периодическими коэффициентами, 4) нахождение функции Грина в задаче о периодических решениях, 5) получение асимптотического разложения ограниченных решений дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Методика исследования. Основными методами исследования являются методы дифференциальных уравнений в банаховом пространстве, методов гармонического анализа, методов теории функции и функционального анализа, спектральной теории операторов.
Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми, четко сформулированными и строго доказанными. При использовании работ других авторов даны соответствующие ссылки. Наиболее существенные
результаты:
-
Получена точная оценка нормы оператора вложения пространства Соболева периодических функций в банахово пространство непрерывно ограниченных функций.
-
Получены оценки ограниченных решений линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
-
Доказана теорема об обратимости дифференциального оператора с неограниченными периодическими коэффициентами;
-
Получена функция Грина в задаче о периодических решениях;
-
Получено асимптотическое представление ограниченных решении линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при исчезающей на бесконечности и медленно меняющейся на бесконечности правой части.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер, полученные результаты представляют интерес для развития аналитических методов исследования ограниченных решений линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с постоянными и периодическими коэффициентами.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2008, 2010), на Международной конференции КРОМШ (Симферополь, 2010), на научном семинаре под рук. проф. Баскакова А.Г.
Публикации. Основные результаты опебликованы в работах [1)-(6]. Из совместной публикации [1] в работу вошли только принадлежащие Кобычеву К.С. результаты. Работа [1] опубликована в издании, соответствующему списку ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации 71 страница. Библиография содержит 70 наименований. Нумерация в автореферате совпадает с нумерацией в диссертации.
