Содержание к диссертации
Введение
1. Неразложимые операторы. 20
1. Неразложимые матрицы и неразложимые интегральные операторы 20
2. м0-неразложимые операторы 39
3. Неразложимые нелинейные интегральные операторы 46
4. Неразложимые абстрактные нелинейные операторы 53
2 Новые оценки спектрального радиуса линейного неразложи мого оператора 66
5 Сравнение спектральных радиусов двух положительных операто ров 66
6. Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора 73
7. Оценка позитивного спектра неразложимого положительного оператора 81
8. Оценка собственных значений оператора, не являющегося положительным 88
3. Приближенное решение операторных уравнений второго рода 94
9. О решении операторных уравнений второго рода вида x = Ax+f в случае, когда спектральный радиус оператора А больше 94
10. Об одном итерационном методе решения операторного уравнения вида х = Ах+/ 107
Литература 111
- м0-неразложимые операторы
- Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора
- Оценка собственных значений оператора, не являющегося положительным
- Об одном итерационном методе решения операторного уравнения вида х = Ах+/
Введение к работе
Актуальность темы. Значительное число задач анализа, алгебры, теории интегральных уравнений можно представить с единых позиций с помощью линейного или нелинейного операторного уравнения вида
x = A{x) + f (1)
с оператором А\х), действующим в том или ином банаховом пространстве Е. При этом для таких уравнений возникают весьма специфические задачи. Одной из них является довольно распространенная задача о существовании у уравнения (1) решения х=х , обладающего свойством
неотрицательности: х >в. Такого рода задачи, вообще говоря, присущи задачам экономики, для которых экономический смысл имеют лишь неотрицательные решения. Поэтому при рассмотрении подобных задач предполагается наличие в пространстве дополнительной структуры -конуса К, с помощью которого в пространстве Е вводится полуупорядоченность: для некоторых пар векторов х, у &Е определено отношение
х>у , если (х — у)еК , являющееся аналогом обычного скалярного неравенства: х>у . От свойств конуса в пространстве и от вида оператора А , действующего в этом пространстве, зависит существование решения х у уравнения (1), а также способы, с помощью которых можно построить приближения к этому решению.
Основной интерес в работе приобретают уравнения с так называемыми неразложимыми операторами. Отметим, что неразложимые операторы впервые были введены в работах В.Я. Стеценко в плане развития и обобщения результатов МА Красносельского, посвященных уравнениям с и0 положительными операторами. Уравнения с щ -положительными операторами обладают рядом важных свойств, в частности, для них было установлено существование и единственность положительного решения, сходимость метода последовательных приближений к этому решению и т.д. Впоследствии в работах В.Я. Стеценко было замечено, что многое свойства и0 -
положительных операторов имеют место и для существенно более широкого класса операторов, получивших название неразложимых. Поводом для выделения класса неразложимых операторов также послужила теория неразложимых матриц, построенная в работах Фробениуса, которую развил М.А Красносельский на случай абстрактных уравнений.
После построения теории неразложимых операторов естественным представляется следующий шаг - попытка распространения основных
09 ту***
f ос национальная/ БЙБДНОТЄХЛ I СИ"-*" *
свойств неразложимых операторов на более широкий класс операторов, который в данной диссертации получил название и0 -неразложимых операторов. Класс ий -неразложимых операторов содержит в качестве правильной части неразложимые операторы и обладает основными свойствами таких операторов.
Исходя из ранних работ П. С. Урысона по нелинейным интегральным операторам и теории линейных щ -положительных операторов, МА Красносельский и его ученики (Л.А. Ладыженский, ИА Бахтин и другие) построили содержательную теорию для некоторых классов нелинейных положительных операторов, действующих в полуупорядоченном банаховом
пространстве. Особенно глубоко была развита теория Щ -вогнутых операторов. Вместе с тем существуют достаточно широкие классы операторов (в работе соответствующий класс получил название нелинейных неразложимых операторов), которые не относятся к классу нелинейных м0
вогнутых операторов, но которые тем не менее обладают основными свойствами этих операторов.
В осмыслении и решении ряда задач общей теории систем, теории управления, механики, прикладной математики и т. д. важную роль играет монотонность соответствий между данными и результатами, позитивность и монотонность линейных и нелинейных отображений. Математические модели подобных объектов во многих ситуациях приводят к уравнениям с операторами в пространствах, полуупорядоченных некоторым конусом. Это, в частности, объясняет широкое применение теории операторов и конусов.
Основными вопросами, на которые призвана отвечать теория операторов, являются, во-первых, вопросы качественного характера и, во-вторых, вопросы, касающиеся приближенных методов решения операторных уравнений. В настоящей работе исследуется лишь некоторая их часть. Например, такие вопросы, как: обобщение известного понятия неразложимости на более широкий класс операторов (и0 -неразложимые,
неразложимые нелинейные операторы), оценки позитивного спектра линейного неразложимого оператора, сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов, построение приближений к решению операторного уравнения (1) в случае, когда спектральный радиус линейного оператора А не обязательно меньше единицы, и др.
Исследование указанных вопросов представляется актуальной задачей не только теоретического, но и большого практического значения. Диссертационная работа продолжает исследования в области теории
операторных уравнений, проведенные М.Г. Крейном, М.А. Красносельским, ИА Бахтиным, В.Я. Стеценко, ТА. Костенко и др.
Цель работы - обобщение класса линейных неразложимых и нелинейных и0 -вогнутых операторов на более широкий класс операторов с сохранением основных свойств соответствующих операторов; развитие теории линейных неразложимых операторов на нелинейные операторы; получение новых оценок позитивного спектра неразложимого оператора; сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов; приближенное решение операторных уравнений вида (1) в случаях, когда спектральный радиус Р(А) лилейного оператора^ не обязательно меньше единицы.
Методические основы исследования. В работе используются идеи
и методы классического функционального анализа и теории положительных операторов, действующих в полуупорядоченных пространствах.
Научная новизна. Результаты работы представляют собой развитие теории линейных и нелинейных операторов, действующих в полуупорядоченных банаховых пространствах. Так, например, в работе введен новый класс линейных операторов, который в качестве своей правильной части содержит линейные неразложимые операторы. В диссертации развиваются некоторые результаты теории линейных неразложимых операторов на нелинейные операторы (нелинейные интегральные операторы и нелинейные абстрактные операторы), изучены свойства соответствующих операторов. Получены новые оценки (как снизу, так и сверху) для спектрального радиуса р\А) линейного неразложимого оператора. Предложены методы решения операторных уравнений вида (1) в случаях, когда у вполне непрерывного оператора А несколько или все собственные значения по модулю больше единицы.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность заключается в обобщении теории линейных неразложимых операторов на нелинейные неразложимые операторы; введении новых классов операторов и доказательстве их свойств; получении новых оценок спектрального радиуса Р\А) оператора^ путем сравнения со спектральным радиусом другого оператора В, исходя из информации об их поведении на некотором элементе конуса К; разработке новых методов решения уравнения (1).
Практическая ценность работы заключается в возможности применения результатов исследования при анализе и решении конкретных задач математики (конечные и бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, дифференциальные и интегральные уравнения и их системы), математической экономики, биологии, экологии и других задач, сводящихся к операторным уравнениям вида (1). Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и при подготовке учебных пособий.
Достоверность исследований вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (г. Воронеж, 2003), на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002), на международной летней школе молодых ученых «Итерационные методы и матричные вычисления» (г. Ростов-на-Дону, 2002), на региональной научной конференции «Теоретические и прикладные проблемы современной физики» (г. Ставрополь, 2002), на 46 научно-методической конференции преподавателей и студентов «XXI век - век образования» (г. Ставрополь, 2001) и неоднократно на семинарах кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета (руководитель - профессор В.Я. Стеценко).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ [1-8]. Часть результатов диссертации получена автором совместно с научным руководителем профессором В.Я. Стеценко и его ученицей, к.ф.-м.н. ТА Костенко, при этом В Л. Стеценко и ТА Костенко в соответствующих результатах принадлежат постановка задач и общие рекомендации относительно метода их решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих утверждений.
Структура-диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка использованной литературы. Общий объем диссертации - 119 страниц. Список использованной литературы содержит 91 наименование.
Автор выражает глубокую признательность и благодарность д.ф.-м.н., проф. В.Я. Стеценко и к.ф.-м.н. ТА. Костенко за постановку задач и общие рекомендации к их выполнению, обсуждение полученных результатов, оказанную помощь и поддержку при работе над диссертацией.
м0-неразложимые операторы
Как уже отмечалось выше, свойства неразложимых матриц конечного порядка и линейных интегральных операторов с непрерывным ядром во многом аналогичны свойствам линейных и0 -положительных операторов. Поскольку понятие линейного и0 -положительного оператора существенно шире понятия м0-положительной матрицы, ис -положительного линейного интегрального оператора, то вытекает желание иметь более общее понятие неразложимого абстрактного линейного оператора, не сводимого в общем случае к линейным и0 -положительным операторам. Заметим, что определения неразложимых матриц, неразложимых интегральных операторов не допускают непосредственного обобщения на случай абстрактных операторов. Поэтому для получения естественного обобщения понятия неразложимости нужно иметь эквивалентные рассмотренным в 1 определения неразложимости конкретных операторов (матрицы, интегрального оператора), которые бы не использовали непосредственно структуру этих конкретных типов операторов. Такую возможность представляют следующие критерии В.Я. Стеценко. Теорема 2.1. Пусть А - неотрицательная матрица конечного порядка. Тогда для ее неразложимости в пространстве R" с конусом К неотрицательных векторов необходимо и достаточно, чтобы из неравенств Ях Лх, (х =К, ХФО), где А 0 некоторое число, следовало бы, что х - вектор, у которого все компоненты положительны. Теорема 2.2. Интегральный оператор А с непрерывным в квадрате 0 tts \ неотрицательным ядром является неразложимым в пространстве C[0;l] с конусом К неотрицательных непрерывных функций тогда и только тогда, когда из x(t) 0, хФО, где Я - некоторое положительное число, следует, что x(t) -внутренний элемент конуса К, т.е. x(t) 0 для всех значений /є[0;і]. В связи с этими критериями В.Я. Стеценко предложил следующее определение неразложимости абстрактного линейного оператора, действующего в банаховом пространстве с телесным конусом. Определение 2.1. Пусть Е - банахово пространство с телесным конусом К, оператор А действует в Е и АК с К. Оператор А будем называть неразложимым в Е относительно конуса К, если Vrє К, ХФ6 ИЗ неравенства Лх Ах следует, что х - внутренний элемент К. Если А - матрица конечного порядка или интегральный оператор, являющийся неразложимым оператором, то данное определение переходит в соответствующие определения, введенные выше для матриц и интегральных операторов.
В других случаях определение 2.1 обобщает понятие неразложимости на случай абстрактных операторов, т.е. операторов в произвольных банаховых пространствах с телесным конусом. Следующее определение позволяет ввести понятие неразложимости для линейных операторов, оставляющих инвариантным произвольный конус К (телесность К не предполагается). Определение 2.2. Оператор А, действующий в полуупорядоченном конусом К пространстве Е, назовем и0 -неразложимым оператором (w0 -фиксированный элемент конуса К), если из соотношений вытекает, что Из определений 2.1 и 2.2 следует, что каждый неразложимый оператор является м0 -неразложимым, если в качестве и0 взять любой внутренний элемент конуса К. Обратное утверждение неверно. Матрица и0 -неразложима, если в качестве элемента и0 взять элемент и0 время, как уже было показано в 1 (пример 1), эта матрица не является Неположительным оператором ни при каком выборе элемента и0єК. Теорема 2.3. Каждый и0-положительный линейный оператор является щ - неразложимым оператором. Доказательство. Пусть элемент х удовлетворяет соотношению (2.1). Т.к. оператор А является и0 -положительным, то, по определению, для элемента х в при некотором натуральном п, действительных X О и JJ. О Понятие и0-неразложимого оператора применительно к матрицам яв- ляется дальнейшим развитием понятия неразложимости: всякая неразложимая матрица иа -неразложима, если и0 = (і, 1, ..., \)т. Действительно, если А неразложима, то из соотношения а(х)Ах х следует, что х - внутренний элемент К, и поэтому а, (:ф0 й х # (л)м0 (а!, Д 0). Однако даже для матрицы конечного порядка класс ы0 - неразложимых операторов (даже в случае, когда щ - внутренний элемент К) шире класса неразложимых матриц. Действительно, рассмотрим матрицу которая очевидно разложима и не и0 -положительная ни при каком выборе элемента и0 єК. В то же время эта матрица «0-неразложима, если в качестве иа взять элемент и0 = (і, 1, if. В самом деле, пусть х в, и Обозначим д- = (,, 2, зГ Если , 0, то из (2.5) следует 0, тогда в силу (2.4) %3 0. Пусть 2 0, то из (2.4) следует , 0, а это на основании доказанного гарантирует, что 3 0. Наконец рассмотрим случай, когда 0, в силу (2.4) j 0, а это на основании доказанного гарантирует, что , 0. Т.о. неравенства (2.4) и (2.5) вместе с условием х & гарантируют, что х » в, а поэтому при и0 - (l, L, l)r. Утверждение доказано. Приведем теперь пример ый-неразложимого интегрального оператора. Пусть ядро K(t,s) положительно для точек (г, s), удовлетворяющих соотношениям а в остальных точках квадрата 0 /, 1 ядро K(t,s) равно нулю. Тогда оно, очевидно, разложимо. Вместе с тем, как и для только что приведенного примера с матрицей, можно показать, что из следует, что jc(r) 0. Действительно, предположим, что найдется такая точка г0е 0,- , что х(/0) 0. Тогда найдется и такая точка /, є -,- , что лг(/,) 0. В самом деле, в противном случае получим, что при t0 є Полученное противоречие доказывает, что хотя бы для одной точки /, є -,— x(tt) 0. Поэтому Vf є[0,і] в силу (2.6) Пусть теперь х(г) = о при г0 є 0,- . Т.к. Х(()Ф0 при /є[0,і], то найдется такая точка /2, принадлежащая либо , то аналогично доказывается, что x(t) 0 при ґє[0;і]. Если же , , то x{t) 0 при - / -, а это, как уже отмечалось, приводит к тому, что x(t) 0 при /є[0,і]. Итак, доказано, что оператор А и0 -неразложим, если в качестве и0 взять функцию и0 = ий (t) = Перейдем теперь к изучению свойств иа -неразложимых операторов. А именно, покажем, что эти операторы обладают основными свойствами линейных и0 -положительных операторов.
Теорема 2.4. Пусть # 0 є К, рй - собственный вектор м0 -неразложимого положительного оператора А: Тогда из соотношения вытекает, что Доказательство. Покажем вначале, что множество решений уравнения лежащее в К, одномерно. Предположим противное: пусть у/й є АГ, у/й $ и Из и0 - неразложимости оператора А следует, что За ру,аг,рг 0: Из последнего неравенства следует существование такого t 0, для которого p0y/0.K. Обозначим через /0 наибольшее из всех таких чисел t, для которых выполняется последнее соотношение (такое наибольшее /0 существует, т.к. -у/йе.К). Очевидно, p00if/0 e, причем в силу предположения противного, )(, -/05//0 в. Из (2.7) и (2.8) следует Последнее неравенство противоречит максимальности /0. Осталось доказать, что А не может иметь позитивных собственных значений, отличных от Л0. Допустим противное: пусть Ац/й = Я}у/0 (у/й єК,і{/0 в). Не ограничивая общности, можно считать, что \ Л]. Из и0 неразложимости оператора А следует, что 3r0 0: {ц/й-ій р0)єК и (y/0 p0) К при / /0. Очевидно, что Отсюда из максимальности t0 следует, что А0 А,. Пришли к противоречию. Теорема доказана. Теорема 2.5. Пусть р0&К, ра - собственный вектор и0 -неразложимого положительного оператора А: Пусть конус К телесен, и0 - внутренний элемент конуса К. Тогда является простым собственным значением оператора А, причем = р{А). Доказательство. Из и0-неразложимости оператора А следует, что аи0 р0 (а 0). Последнее означает, что р0 - внутренний элемент конуса К, и тогда из теорем 1.4 и 1.5 следует утверждение теоремы. Теорема 2.6. Пусть выполнены условия теоремы 2.4, а П- инвариантное подпространство оператора Л, которому не принадлежит положительный собственный вектор р0. Пусть, далее, выполнено одно из следующих двух условий: (а) подпространство П - конечномерно, (б) пространство Е слабо полно, единичный шар в пространстве Е - слабо компактен, конус К допускает оштукатуривание. Тогда пересечение подпространства П с конусом К состоит из точки в. Доказательство. Допустим противное: пусть Кп = К П П. Очевидно, ЛКП с Kn. Покажем, что каждое из условий (а), (б) гарантирует существование в Кп собственного вектора оператора А. Этим доказательство будет завершено, т.к. существование отличного от pQ положительного собственного вектора противоречит теореме 2.4. Если выполнено условие (а) или (б), то существование собственного вектора в Кп непосредственно вытекает из теоремы 2.7 Красносельского [44]. Теорема доказана.
Оценки спектрального радиуса линейного положительного оператора
В данном параграфе предлагается дальнейшее развитие оценок спектрального радиуса линейного положительного оператора, заключающееся в том, что сравнивается значение элемента Ати0 со значением комбинации элементов ,5) где В - специальным образом подобранный оператор, причем для получения оценок Р(А) достаточно знать оценку р{в), а не его точное значение. Результаты, полученные в этом параграфе, являются продолжением работ ([36], [39], [40], [42], [78]). В частности, справедлива следующая теорема. Теорема 6.1. Пусть К воспроизводящий и нормальный конус, А и В линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. АВ = ВА. Пусть А - неразложим. Если для некоторого и0 в и /3 0 выполняется неравенство Доказательство. Согласно теореме 5.3, существует такой функционал /, что А 1 = р(АУ И В 1 = А31, где Лв - собственное значение оператора В , соответствующее функционалу /. Применим функционал / к (6.1): Т.к. оператор А - неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса К [80]. Поэтому р{А) а + рлв. Заменив Лв на р(в), мы только усилим неравенство (т.к. \ЛЯ \ р(в)): р(А) а + Мв). Первое утверждение теоремы доказано. Из последнего неравенства очевидным образом следует неравенство (6.2). Теорема доказана. Пример 1. Рассмотрим матрицу А и вектор и0 пространства R2, а также матрицу В, коммутирующую с матрицей А: поэтому Аиа ,0Л1и0 + Вы0, и сг,/? 0. Все условия теоремы 6.1 выполнены, следовательно р(А) 0Л\ + р(в), т.к. /э(я) = 0.3162, то имеем р{А) 0.4262. В то время, как р{А) = 0.4162. При В = в получим известную теорему Стеценко В.Я. [80] (а именно: пусть оператор А неразложим и А 9, К телесный и нормальный конус, и для некоторого элемента и0 в выполняется неравенство Au0 a0uQ, тогда справедливо неравенство р(А) а0\ которая является частным случаем теоремы 6.1. Кроме того, заметим, что использование коммутирующего с оператором А оператора В способствовало уточнению оценки р{А). Действительно, если в примере 1 предположить В $, то Ащ = 1.1и0, и тогда р(/ї) 1.1, а эта оценка намного хуже оценки р(л) 0.4262. Аналогично теореме 6.1 доказывается следующая теорема. Теорема 6.2. Пусть К воспроизводящий и нормальный конус, А и В линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. АВ=ВА. Пусть А - неразложим и для некоторого р{А)$ tfaQ+a]P{B) + ... + aiPk{B). Если для р(в) верна оценка р{В)йу, тогда р{А) а0+а у + ... + акгк . Теорема 6.3. Пусть К воспроизводящий и нормальный конус, А и В линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. АВ = ВА. Пусть А - неразложим.
Пусть для некоторого «0 & выполняется неравенство где Д0 - наименьшее позитивное собственное значение оператора В. Доказательство, Применим к (6.3) функционал / из теоремы 6.1: Т.к. оператор А- неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса К [80]. Поэтому Т.к. Лв Я0, то заменив в последнем неравенстве 1е на Л0, только усилим его: Р"(л) А,+АЛв+...+ &лД таким образом p(A) tffi0 + Д,Д0 +... +р\Д0 . Теорема доказана. Следствие (к теореме 6.3). Если в условиях теоремы 6.3 предположить, что оператор В также неразложим, тогда будет верна оценка: Теорема 6.4. Пусть л: воспроизводящий и нормальный конус, А и В линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. А В = ВА. Пусть А - неразложим, и пусть для некоторого и0 в выполняется неравенство а, 2:0, Д О. Если спектральный радиус оператора в известен и p(A) J i Z P (B)-Если для р{в) известна оценка р{В) у и выполняется неравенство Zai + ZPiY1 і тогда имеет место оценка: р(А) J а,- + Д,-г Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 6.1, придем к неравенству Предположим, что р{л) \, тогда, усиливая неравенство (6.4), получим что противоречит предположению. Остается принять, что р{А) \. Усиливая неравенство (6.4), получим Первое утверждение теоремы доказано. Заменяя в неравенстве (6.4) р(в) на большее число /, повторим рассуждения и получим второе утверждение теоремы. Теорема доказана. Теорема 6.5. Пусть К воспроизводящий и нормальный конус, А и В линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. АВ = ВА. Пусть А - неразложим и для некоторого и0 в выполняется неравенство at 0, Д 0. Если наименьшее позитивное значение А0 оператора В известно Если для А0 известна оценка Л0 у, и выполняется неравенство аг(. + РУ -1» тогДа имеет место оценка: р(Л) Ja( + Доказательство теоремы 6.5 вполне аналогично доказательству теоремы 6.4. Следствие (к теореме 6.5). Если в условиях теоремы 6.5 предположить, что оператор В также неразложим, спектральный радиус р(В) оператора В известен и a, + Ві р (в) 1, тогда верна оценка: Теорема 6.6, Пусть К воспроизводящий и нормальный конус, А и В линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. АВ = ВА. Пусть А - неразложим. Если для некоторого и0 в выполняется неравенство Ати0 йа0ий + а1Виа +... + акВки0, Доказательство. Аналогично тому, как это было сделано в теореме 6.1, приходим к неравенству из которого следует, что р{в) \. Действительно, предположив противное, т.е. предположив, что р{В) \, и усилив неравенство (6.5), получим рт(А) аа +«, +... + ак, что противоречит условию. Остается принять, что р(в) \. Усиливая неравенство (6.5), получим рт(А) (ай +ог, + ,.. + ак)рк(в), откуда следует Теорема доказана. Похожие результаты для более узкого класса операторов были описаны в работах ([41], [42]). Важным моментом доказанных теорем является то, что (в отличие от предыдущих результатов) телесность конуса не предполагается. Как известно [44], утверждения об оценке спектрального радиуса р{л) линейного оператора снизу и сверху влекут за собой несовместность некоторых неравенств. Утверждения типа несовместных неравенств бывают полезны при оценке точечного спектра (или позитивной его части) линейного положительного оператора.
Предложенные результаты продолжают исследования ряда авторов (Красносельский М.А., Стеценко В.Я., Костенко Т.А. и др.) и ценны тем, что являются более простыми в практическом применении. Теорема 6.7. Пусть К телесный и нормальный конус, операторы А и В коммутируют, А - неразложимый оператор, и для некоторого w0 & выполняется неравенство где Д 0. Если Яо = ]Д/У(Я), то для каждого ненулевого хєК (х»в),и при всех Я Дщ Доказательство. Прежде всего, заметим, что в условиях доказываемой теоремы имеет место следующая оценка: Предположим, что утверждение теоремы не имеет места, т.е. для некоторого xf)»6 и Л Я0 Атх0 Лха. Поэтому найдется такое ta 0, что х0 t0wa и ха t0w0 g К при / /0. Рассмотрим возможные случаи. Пусть в начале х0 t0w0. Имеем Применяя к последнему неравенству функционал /, отвечающий р{А), и учитывая его линейность, получим рт{А)1(х0 100) Л1{х0)- в,р {в)1(гак0). Усилим последнее неравенство, учитывая выбор числа X, Так как х0 f0w„, то в силу свойств неразложимого оператора что противоречит неравенству (6.6). В случае равенства х0 = t0wa, имеем Применяя к последнему неравенству функционал /, и учитывая его линейность, получим что противоречит выбору числа Л. Теорема доказана. Аналогичным образом доказывается Теорема 6.8. Пусть К телесный и нормальный конус, операторы А и В коммутируют, А — неразложимый оператор, и для некоторого внутреннего элемента w0 в конуса К при Д 0 выполняется неравенство Если Л0= &Р (Ю то Для каждого ненулевого хеК и при всех Область применения теорем 6.7 и 6.8 определяют, например, следующие следствия Следствие (к теореме 6.7). При выполнении условий теоремы 6.7 все позитивные собственные значения оператора А лежат в круге \г0\ ф ком- плексной плоскости, где Л0 вычисляется по формуле Следствие (к теореме 6.8). При выполнении условий теоремы 6.8 все позитивные собственные значения оператора А лежат вне круга \zQ\ ф комплексной плоскости, где Л0 вычисляется по формуле 7. Оценка позитивного спектра неразложимого положительного оператора В монографии [44], работе А.Р. Есаяна [19] была установлена невозможность некоторых неравенств, и показано, что эти неравенства находят полезное приложение в теоремах существования решения и сравнения собственных значений линейных операторов.
Оценка собственных значений оператора, не являющегося положительным
Результаты этого параграфа позволяют оценивать собственные значения линейных операторов В, имеющих отрицательную миноранту {- л) и положительную неразложимую мажоранту А по поведению оператора А на одном фиксированном элементе телесного конуса К. Говоря другими словами, предполагается, что оператор В удовлетворяет неравенствам где А - линейный положительный оператор. Неравенства (8.1) означают, что для всякого х е К имеют место неравенства - Ах Вх Ах. Полученные при этом результаты можно рассматривать как дальнейшее развитие результатов М.Г. Крейна, М.А. Красносельского, И.А. Бахтина, В.Я. Стеценко, и других. Как и в 3, будем рассматривать Е - банахово пространство с телесным конусом К. Комплексным расширением Е пространства Е назовем совокупность упорядоченных пар {х,у}, где xtyeE. Пару {х,у} иногда будем обозначать как x + iy. Операции сложения пар и умножения пары на комплексное число A = a + ie введем формулами: При таком введении алгебраических операций, Е превращается в линейную систему над полем комплексных чисел. Е можно превратить в нормированное пространство, если в Е ввести норму, положив При этом пространство превратится в полное линейное нормированное пространство, т.е. в пространство Банаха. Оператор А можно продолжить с Е на Е при помощи равенства А{Х, у} = {Ах, Ay]. Число Л,, которое может быть уже комплексным, называется собственным значением оператора А в пространстве Е, если Зг0 є Е, zQ 0: Az0= A z0. В комплексном расширении Ё пространства Е, рассмотрим множество К элементов z = {x,y} = x + iy, у которых х,уєК. Будем писать, что z, z2 {zl,z2 єЕ), если (z, -z:)s К. Соотношение обладает следующими основными свойствами: 1. Из z, , z2 следует, что tzl tz2 при / 0, и fe, /z2 при t О; 2. Из zx z2 и z2 z, вытекает, что z, =z2; 3. Из zt z2 и г, z4 вытекает, что z, + z3 z2 + z4; 4. Из Z! z2 и z2 z3 вытекает, что г, z3; 5. Множество - замкнутое множество; 6. Если Z,z2 є К, то (z, + zz)e АГ. Иными словами, /? обладает всеми основными свойствами конуса, т.е. его можно рассматривать как конус в Е. Если конус К телесный, и w - внутренний элемент К, то конус К также будет телесным, причем одним из внутренних элементов этого конуса будет являться элемент Для доказательства достаточно показать, что Зє 0: из неравенства следует, что z =K. Предположим противное, т.е. предположим, что V- 0 3ze е К, для которого Возьмем последовательность є„= —. Тогда V« 3zn &К: Соотношение z„ І К означает, что если z„ = хп + iy„, то либо х„ ё К, либо у„&К (n = 1,2,...). Не ограничивая общности, можно считать, что для всех и = 1,2,... из z„ К вытекает, что хп К (п = 1,2,...), в противном случае мы бы перешли к подпоследовательности. Соотношение (8.2) означает, что max \\(w - хп )sin в + (w - уп )cos в\\ ,. —, откуда следует, что и подавно п И в то же время х„ е К, а это противоречит тому, что w - внутренний элемент К.
Очевидно также, что АК а К, и из zsK ,в силу (8.1), - Az Bz Az. Отметим теперь одно вспомогательное утверждение. Лемма. Из соотношения (8.1) и условия следует, что для любого натурального т справедливы неравенства Доказательство. В силу (8.4) имеем Из (8.8) и (8.10) путем их почленного сложения и последующего сокращения на 2, получим Неравенства (8.5) для любого натурального т доказываются аналогично методом математической индукции. Теорема 8.1. Пусть операторы А и В удовлетворяют условию (8.1), причем А и А2 - неразложимые операторы. Пусть для некоторого w 0 вы- # полняется неравенство Тогда модуль любого собственного значения оператора В не превосходит 1. Если Я является вещественным собственным значением оператора В, которому соответствует собственный вектор X ву то \Л\ 1. Доказательство. Пусть z0 є Е - собственный вектор оператора В. Обозначим через Л соответствующее ему собственное значение. Покажем, что \Л\ 1. Предположим противное: Я 1. Так как оператор А неразложим, то из (8.12) следует, что w - внутренний элемент К, а поэтому w = w + iw будет внутренним элементом конуса К. Поэтому для некоторого а О Из (8.1) и (8.13) в силу леммы вытекает, что для любого натурального т справедливы неравенства Aw = Aw + iAw w + iw = w, откуда следует, что для любого т = 1,2,... Amw w. Поэтому из (8.14) вытекает, что но Bmz0 = XmzQ, следовательно —aw X"z0 aw, откуда следует, что = 1, то последовательность —- можно считать, не ограничивая 92 Так как общности, сходящейся. Обозначим ее предел через г. Тогда, переходя к пределу в (8.15) при т -»оо, получим откуда z0 = в, что невозможно, т.к. z0 - собственный вектор оператора В, следовательно \Л\ 1. Докажем теперь, что если вещественному собственному значению Л оператора В отвечает собственный вектор из /С, то \Л\ 1. Предположим вначале, что Вх =Лх\ х в, Л 0. Так как w - внутренний элемент конуса К, то для некоторого /„ О так как Вх Ах . Поэтому, если бы было выполнено неравенство Л 1, то из (8.16) следовало бы w t0x Aw t0Ax = A\w0x ). Могут представиться следующие два случая: В первом случае, очевидно, должно иметь место соотношение w Aw і Bw = Лм , откуда следует, что Л 1. Докажем, что Л 1. В противном случае из последнего соотношения вытекало бы, что w Aw w, т.е. w = Aw,a это противоречит условию. Рассмотрим второй случай. Из доказанного соотношения следует, что {w-/„ ) является внутренним элементом К. Но тогда найдется откуда w (5 + t0)x\ Последнее соотношение противоречит выбору (а. Итак, в обоих случаях: 0 Л 1. Рассмотрим теперь случай отрицательного X. Пусть В2х = Л2х\ В силу леммы Согласно условию, оператор А2 неразложим.
Так как собственное значение ф Л2 оператора Вг положительно, то в силу (8.17) из проведенных рассуждений следует, что Л2 1, а значит \Л\ 1. Теорема доказана. 9. О решении операторных уравнений второго рода вида х = Ax+f в случае, когда спектральный радиус оператора А больше 1 Известно, что при решении уравнений второго рода где х - неизвестный элемент банахова пространства Е, А - линейный положительный оператор, действующий в пространстве Е, f - заданный элемент пространства Е, обычный метод последовательных приближений сходится при некоторых весьма существенных дополнительных условиях (в частности, для этого достаточно, чтобы спектральный радиус р{А) оператора А удовлетворял условию Р(А) \). В ЭТОМ случае метод (9.2) сходится к единственному решению х є Е уравнения (9.1) со скоростью геометрической прогрессии где С-const, a q \. Величина q может быть сколь угодно близкой к р(А) (при стремлении q к Р(А) постоянная С, вообще говоря, неограниченно возрастает). Если Р{А) .\ метод (9.2), в общем случае, не является сходящимся. Ввиду удобства метода (9.2) последовательных приближений для решения уравнения (9.1) возникает естественное желание использовать его аналоги в случае, когда в уравнении (9.1) Р(А) 1. Т.е. преобразовать это уравнение так, чтобы, с одной стороны, получить эквивалентное (9.1) уравнение а с другой стороны, чтобы для оператора В выполнялось неравенство которое позволило бы для решения уравнения (9.3) использовать метод последовательных приближений. Заметим, что при выполнении условия (9.4) метод последовательных приближений обладает рядом важных достоинств, в частности, в этом случае при использовании метода последовательных приближений с погрешностями округлений на каждом шаге ошибки округления не накапливаются. Это означает, что если на каждом шаге в методе последовательных приближений соответствующее уравнение решать с точностью 0, то независимо от числа шагов можно гарантировать близость приближенного решения хп к точному решению х порядка где Су = С, (г) - константа, зависящая от є. Данный параграф посвящен описанию метода преобразований уравнения (9.1) таким образом, чтобы уменьшить спектральный радиус входящего в уравнение оператора. Заметим, что соответствующие преобразования не лишены смысла и в том случае, когда р{л) \, т.к. это дает возможность перейти от одного уравнения к другому, эквивалентному, с меньшим значением спектрального радиуса, что позволяет увеличить скорость сходимости итерационного метода решения исходного уравнения. Хотя основной интерес представляют итерационные методы решения уравнения х = Ах+/ в случае, когда Р{А) \. В дальнейшем рассматриваются уравнения вида (9,1) в основном с положительными относительно некоторого конуса К вполне непрерывными операторами А.
Об одном итерационном методе решения операторного уравнения вида х = Ах+/
Значительное число задач анализа, алгебры, теории интегральных уравнений можно представить с единых позиций с помощью линейного или нелинейного операторного уравнения вида с оператором А(х), действующим в том или ином банаховом пространстве Е. При этом для таких уравнений возникают весьма специфические задачи. Одной из них является довольно распространенная задача о существовании у уравнения (0.1) решения х=х , обладающего свойством неотрицательности: х 9. Такого рода задачи, вообще говоря, присущи задачам экономики, для которых экономический смысл имеют лишь неотрицательные решения. Поэтому при рассмотрении подобных задач предполагается наличие в пространстве дополнительной структуры - конуса К, с помощью которого в пространстве Е вводится полуупорядоченность: для некоторых пар векторов х,уєЕ определено отношение х у, если (х-у) =К) являющееся аналогом обычного скалярного неравенства: xty. От свойств конуса в пространстве Е и от вида оператора А, действующего в этом пространстве, зависит существование решения х у уравнения (0.1), а также способы, с помощью которых можно построить приближения к этому решению. Основной интерес в работе приобретают уравнения с так называемыми неразложимыми операторами. Отметим, что неразложимые операторы впервые были введены в работах В.Я. Стеценко ([83], [77], [75], [71]) в плане развития и обобщения результатов М.А. Красносельского, посвященных уравнениям с щ -положительными операторами [44]. Уравнения с «0-положительными операторами обладают рядом важных свойств, в частности, для них было установлено существование и единственность положительного решения, сходимость метода последовательных приближений к этому решению и т.д. Впоследствии в работах В.Я. Стеценко было замечено, что многие свойства ий -положительных операторов имеют место и для существенно бо- лее широкого класса операторов, получивших название неразложимых. Поводом для выделения неразложимых операторов также послужила теория неразложимых матриц, построенная в работах Фробениуса, которую развил М.А. Красносельского на случай абстрактных уравнений. После построения теории неразложимых операторов, естественным представляется следующий шаг — попытка распространения основных свойств неразложимых операторов на более широкий класс операторов, который в данной диссертации получил название и0 -неразложимых операторов.
Класс щ -неразложимых операторов содержит, в качестве правильной части, неразложимые операторы и обладает основными свойствами таких операторов. Исходя из ранних работ П.С. Урысона [89] по нелинейным интегральным операторам и теории линейных и0-положительных операторов, М.А. Красносельский и его ученики (Л.А. Ладыженский, И.А. Бахтин и другие) построили содержательную теорию для некоторых классов нелинейных положительных операторов, действующих в полуупорядоченном банаховом пространстве. Особенно глубоко была развита теория «„ -вогнутых операторов ([2], [44], [45]). Вместе с тем существуют достаточно широкие классы операторов, которые не относятся к классу нелинейных щ-вогнутых операторов, но которые тем не менее обладают основными свойствами этих операторов. В осмыслении и решении ряда задач общей теории систем, теории управления, механики, прикладной математики и т. д. важную роль играет монотонность соответствий между данными и результатами, позитивность и монотонность линейных и нелинейных отображений. Математические модели подобных объектов во многих ситуациях приводят к уравнениям с операторами в пространствах, полуупорядоченных некоторым конусом. Это, в частности, объясняет широкое применение теории операторов и конусов. Основными вопросами, на которые призвана отвечать теория операто- ров, являются, во-первьгх, вопросы качественного характера и, во-вторых, вопросы, касающиеся приближенных методов решения операторных уравнений. В настоящей работе исследуется лишь некоторая их часть. Например, такие вопросы, как: обобщение известного понятия неразложимости на более широкий класс операторов (н0-неразложимые, неразложимые нелинейные операторы), оценки позитивного спектра линейного неразложимого оператора, сравнение спектральных радиусов двух положительных операторов, построение приближений к решению операторного уравнения (0.1) в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы, и Др. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованной литературы. Для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы в нем. В диссертации для целостности изложения приведен ряд известных результатов, которые сопровождаются ссылками. Часть результатов диссертации получена автором совместно с научным руководителем д.ф.м.н. профессором Стеценко В.Я. и его ученицей к.ф.м.н. Костенко Т.А. При этом в соответствующих результатах Стеценко В.Я. и Костенко Т.А. принадлежат постановка задач и общие рекомендации относительно метода их решения, а автору диссертации - реализация этих рекомендаций и доказательства соответствующих утверждений.
В диссертации используется терминология функционального анализа и, в частности, теории полуупорядоченных пространств ([32], [44], [46], [48]), Прежде чем перейти к обзору основных результатов, приведем некоторые определения. Будем рассматривать банахово пространство Е, полуупорядоченное конусом /Г, и оператор А произвольной природы, действующий в Е. Выпуклое множество К с Е называется конусом, если вместе с каждой своей точкой х оно содержит луч, проходящий через х, и если из х-хєК вытекает, что х=в (лучом, проходящим через точку хеЕ х в, называется совокупность точек tx (t О)). Конус К называется телесным, если он содержит внутренние элементы. Если любой элемент х пространства Е может быть представлен в виде x = u v (u,v K), то конус К называется воспроизводящим. Конус К называется нормальным» если из неравенства 0 х у следует, что М -const — константа нормальности, не зависящая ни от х, ни от у. Множество К функционалов сопряженного пространства Я , принимающих неотрицательные значения на элементах конуса КсЕ, называется сопряженной полугруппой. Для того чтобы полугруппа К была конусом, приходится налагать дополнительные условия на конус К. Будем говорить, что х0 =К =.Е является квазивнутренним элементом, и обозначать #„»0, если для каждого ненулевого функционала 1&К" выполняется неравенство /( „) 0. Положительный линейный оператор А назовем неразложимым, если для любого х 0 из неравенства х .аАх (а о), следует, что х»в. В соответствии с [44], условимся писать, что х 2 у, если (х - у)& К. Линейный оператор называется вполне непрерывным, если он переводит каждое ограниченное по норме пространства Я множество в компактное множество. Почти во всякой физической задаче, которая может быть сформулирована с помощью линейных операторов, важной характеристикой типа задачи является спектр соответствующего оператора. Одной из основных характеристик спектра оператора является спектральный радиус этого оператора. Напомним, что те значения Л, при которых уравнение Ах—Лх = /, где А - рассматриваемый оператор, имеет единственное решение, а оператор (А-іу1 ограничен, называются регулярными. Совокупность всех значений Л, не являющихся регулярными, называется спектром оператора А и обозначается Т(А). Спектральным радиусом р{А) оператора называется число, оп- ределенное формулой Если уравнение Лх = Ах при данном Л имеет решение, отличное от тривиального, то Л называется собственным значением оператора А, а нетривиальное решение уравнения называется собственным вектором, отвечающим этому собственному значению Л. При этом собственное значение Л называется позитивным, если Л О и отвечающий ему собственный вектор х принадлежит конусу К.
