Содержание к диссертации
Введение
I. Существование неподвижных точек монотонных операторов 13
2. Существование положительных собственных векторов монотонных операторов . 52
3. Заполнение позитивным спектром положительного монотонного оператора промежутка 66
4. Существование непрерывных ветвей положительных собственных векторов вогнутых операторов 81
5. Сходимость метода последовательных приближений в теории нелинейных уравнений с монотонными операторами . III
6. Задача о динамике доходов при внешних расходах / задача математической экономики 117
ЛИТЕРАТУРА
- Существование неподвижных точек монотонных операторов
- Существование положительных собственных векторов монотонных операторов
- Заполнение позитивным спектром положительного монотонного оператора промежутка
- Существование непрерывных ветвей положительных собственных векторов вогнутых операторов
- Сходимость метода последовательных приближений в теории нелинейных уравнений с монотонными операторами
Существование неподвижных точек монотонных операторов
В этом параграфа приводятся новые признаки существования неподвижных точек монотонных операторов, действующих в вещественном банаховом пространстве t с конусом К
Существование неподвижных точек монотонных операторов исследовалось в работах Г.Биркгофа [43-], А.Тарского, М.А.Красно-сельского [43 ], И.А.Бахтина [2, 6, 9-И ] , В.Я.Стеценко [бг], В ИфОпойцева [ 56-59 ] и ряда других математиков [ 33-35, 74 ]
В отличие от многих авторов мы в большинстве случаев не предполагаем существование инвариантного конусного отрезка и не требуем нормальности конуса и компактности и непрерывности по норме оператора.
Г Приведем вначале предварительные сведения, которые будут использоваться в дальнейшем.
Пусть оператор J\ действует в вещественном банаховом пространстве Е [39, 4Г, 53 ] , полуупорядоченном при помощи конуса U [ 18-19, 36-37, 43, 5Г] : пишут ЭС4 Ц (& %) , если Lj-ЗіЄІІ (%-&6 U\o).
Определение. Оператор j\ называется положительным на множестве М С Б [43, 47 ] , если Я М С k .
Определение. Оператор А называется монотонным на множестве М С Е , если для любых С, уG М из У следует
Определение. Последовательность ( п)а Е называется О-сходящейся к Л t [ 38 J, если существуют последовательнос-ти (Цп);&п)с » такие, что %\,гпі , a: = s«p fyj = fnff2n).
Определение. Оператор Я называется О -непрерывным в точке 5С0 Г38 J, если для любой последовательности ( п)с » Счп — Я?о последовательность Я %п — Я 0со .
Определение. Положительный на конусе (я оператор М называется с -измеримым [42,43 ], если V# 0 существуют числа у 3 О , такие, что
где U0yO _ фиксированный элемент.
Определение. Положительный монотонный &о -измеримый на конусе К оператор v/l называется вогнутым L 20 J, если У&У-О
я Vie (о ) J\im іЛк.
Определение. Элемент ОС Є Е называется соизмеримым с элементом иоуо , если существуют числа ос, А о , такие, что
Обозначим через множество всех ОаЄ К , соизмеримых с фиксированным элементом UQyo ,
Определение. Вогнутый оператор J\ называется U0 -вогну
тым [ 42, 48 ] , если существует
число 0 , такое, что
Л #+?; Ля.
Определение. Вогнутый оператор Л называется равномерно U0 -вогнутым [ 3,4,6 J , если для любых чисел иіУ 0 ; yU = V и t Є (&, {) существует число 2 0 , такое, что
Определение. Оператор Я называется U0 -монотонным [ 2І на множестве М С Е , если для любых 0Ct и Є М , «9: U существует число о 0 , такое, что лУ - Л%Ъ?о и0 f где о 0 -фиксированный элемент.
Определение. Линейный положительный на конусе К оператор J\ называется -положительным, если \/& 0 существуют натуральное число п и числа , /3 о , такие, что
где о О — фиксированный элемент.
В [ 6 ] показано, что если линейный / аддитивный однородный, и непрерывный / оператор J\ UQ -положителен, то существуют фиксированное натуральное число П0 и число ft0 О , такие, что
и существуют числа С , О, О , такие, что
Определение. Пусть 1? L и U 1? . Тогда множество
u, v = {осеЕ U # 19 } называется конусным отрезком L43 J. Определение. Число где инфимум берется по всем , удовлетворяющим неравенству
-iuQ я tuQ) где U0yO -фиксированный элемент, называется Ц0-нормой элемента
Обозначим через L множество всех элементов (Є Ь , на которых определена норма fl&L. , через Ки -множество.
Определение. Конус КС t называется нормальным [l8,43, 51 J , если существует число N О / называемое константой нормальности конуса гч /, такое, что У%,У Є W. из ЗігЩ следует
Определение Конус КС С называется /г -экстремальным [ 18 ] t если для всякой возрастающей ограниченной сверху последовательности (#n)c k :
существует элемент СС =
Как известно [ 17 J, каждый k -экстремальный конус к нормален.
Определение. Конус КС t называется ct -экстремальным [18 J, если для всякой возрастающей ограниченной по норме последовательности (эсп ) С U :
1сспЫи (neIN)
существует элемент SC = S&p f# t)
Существуют d -экстремальные конусы, не обладающие свойством нормальности [ 18 ], Всякий нормальный а -экстремальный конус fi -экстремален [ 18 ].
Существование положительных собственных векторов монотонных операторов
В этом параграфе приводятся новые теоремы существования положительных собственных векторов положительных монотонных операторов, действующих в вещественном банаховом пространстве с конусом.
Перейдем теперь к теоремам существования положительных собственных векторов равномерно U0 -вогнутых операторов, деист— вующих в вещественном банаховом пространстве С с произвольным конусом к Теорема 2.3. Пусть выполнены условия:
I/ оператор Л равномерно UQ -вогнут;
2/ линейный оператор Q , являющийся асимптотической производной оператора Я по конусу к » U0 -положителен и имеет в конусе U собственный вектор SCQ , соответствующий собственному числу Д : QSCQ XQXQI
3/ существует число /А0 И/ , такое, что для любого Л G (Л Л0) найдется элемент 0 О , обладающий свойством: из последовательности
Заполнение позитивным спектром положительного монотонного оператора промежутка
В этом параграфе в вещественном банаховом пространстве с экстремальными и произвольными конусами приводятся новые теоремы о заполнении позитивным спектром положительного монотонного оператора некоторого промежутка.
Г. Теорема 3.1. Пусть выполнены условия:
I/ положительный монотонный на конусе к оператор Я (Ао о) О -непрерывен;
2/ линейные операторы Риб?, являющиеся соответственно U0 -производной Фреше в нуле по конусу U и асимптотической ио -производной по конусу к оператора Я , обладают свойствами:
а/ ?Л С А . Р# fa о) ;
б/ операторы г и 6? U0 -положительны и имеют в конусе К собственные векторы #р и &р , соответствующие собственным числам Лр и AQ :
З/ конус К rL -экстремален.
Тогда позитивный спектр 3 (Я) оператора Я совпадает с интервалом (А$ } An) , где Д. Ир
Доказательство. Покажем вначале, что Аа Ар Допустим, что Ал Ар «В силу ио -положительности операторов Риб? существуют такие натуральные числа т і , Щ. и числа J4f » К , М А что о ук,ы0 Р%р = Д ар .
Существование непрерывных ветвей положительных собственных векторов вогнутых операторов
В этом параграфе приводятся новые теоремы существования непрерывных ветвей положительных собственных векторов вогнутых операторов, действующих в вещественном банаховом пространстве с экстремальными и. произвольными конусами.
Понятие непрерывной ветви собственных векторов оператора было введено М.А.Красносельским [ 42 ] . Понятия Ц0 -непрерывной и О -непрерывной ветвей положительных собственных векторов оператора было введено И.А.Бахтиным [ 4, 6 J .
I. Пусть каждому X Sf(J\) соответствует единственный положительный собственный вектор х = X (X) оператора Д :
Ах = Хх
Определение. Говорят, что семейство X (X) (X & (А) = — Ы В0)) положительных собственных векторов оператора Я образует О -непрерывную ветвь бесконечной длины, если функция Х(Х) О -непрерывна в интервале (о(0 ft с?) и выполняются равенства
о- km Х(Х) о о-km xU)- Теорема 4.1. Пусть
I/ оператор J\ вогнут;
2/ при каждом X Є S (Д) оператор Д имеет в конусе К единственный собственный вектор Х(Х) : лх(Х) Лх(Л) ;
3/ выполняются все условия теоремы 3.1.
Тогда семейство X (X) (XGS (Я) = (л$}-Хр)) положительных собственных векторов оператора Д образует О -непрерывную ветвь бесконечной длины.
Доказательство. В силу теоремы 3.1 позитивный спектр S+(J\) оператора А совпадает с интервалом (\ ) /\ ) с (Ъ, оо ) . Покажем, что функция tt/l) убывает в интервале (А@ , Ир) . Возьмем произвольные числа Д, » Ж G f/L Ир) і такие, что
Допустим, что #(1/ ) #(Ч ) Обозначим через
Ь максимальное число, при котором
Очевидно, і с4 , так как в противном случае что противоречит допущению 3!("Hf) jj Г«л ) . С другой стороны, так как то число "6 О .
Но тогда в силу вогнутости оператора Я откуда где —г- - і і , что противоречит определению числа і .
Итак, $fAf)J flCfAt) V
Покажем теперь, что функция #(0) О -непрерывна в интерва Б самом деле, возьмем произвольные число Ло0.(Ал. Ар) и последовательность (лп) С М# Ир) , такие, что И - Х0 .
2. Определение. Говорят, что семейство Ot (у\) (AGS (А) — — (оСо, и »)) положительных собственных векторов U0 -вогнутого оператора Д образует Ы0 -непрерывную ветвь бесконечной длины [4,6 J, если функция Х(Л) непрерывна по U0 -норме в интервале (о(0) 1$о) и для любых чисел Г7г і My О существуют такие числа \А , Жл (о(0) р0) , что
Сходимость метода последовательных приближений в теории нелинейных уравнений с монотонными операторами
В этом параграфе приводится обоснование сходимости метода последовательных приближении в теории нелинейных уравнений с монотонными операторами, действующими в вещественном банаховом пространстве с конусом.
При других ограничениях обоснование сходимости метода последовательных приближений в теории нелинейных уравнений с вогнутыми операторами было дано И.А.Бахтиным и М.А.Красносельским [2, 6, 22 j и затем дополнялось рядом других авторов [26,54,58,61, 68,74 ].
I. Теорема 5.1. Пусть выполнены условия:
I/ О -непрерывный оператор л вогнут и имеет в конусе к единственную ненулевую неподвижную точку СС : Яда = %% ;
2/ конус R rL -экстремален.
Тогда Vcto 0 последовательность. п = Ахпч (neN) /і/
О -сходится к & . Доказательство. Возьмем произвольное число і: (о? 4) и элемент UQ t . Очевидно, возрастает и ограничена сверху элементом # . В силу -экстремальности конуса к последовательность (Цп) имеет точную верхнюю границу . Мы будем иметь 4»\U .
Доказательство. Так как компактный на конусе ( оператор J\ ограничен, то, как и при доказательстве первого этапа теоремы 4.3, показывается, что последовательность / 7 / ограничена по норме. В силу компактности оператора Я последовательность / 7 / компактна» Поэтому из любой ее подпоследовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. Пусть сСп - 3! По-кажем, что & = ("Л) Действительно, так как по теореме Бахтина — Красносельского
