Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы Усачев Александр Сергеевич

Введение к работе

Актуальность работы. В 1932 году С. Банах¹ изучил некоторое множество линейных функционалов на пространстве ограниченных последовательностей, совпадающих с обычным пределом на множестве сходящихся последовательностей. Впоследствии эти функционалы были названы банаховыми пределами. Их изучение было продолжено в работах Г.Г.Лоренца, Г.Даса, Л.Сачестона, У.Ф.Эберлейна и других математиков.

Используя банаховы пределы, Г.Г.Лоренц² ввел понятие почти сходящихся последовательностей. Почти сходимость определяет некоторый метод суммирования последовательностей, который не является матричным. Изучению и обобщению понятия почти сходимости посвящен ряд работ Мурсалена, Г.Беннета, Н.Дж.Калтона, М.Крюппеля, Д.Хаджуковича, Р.А.Раими, З.У.Ахмада. Особый интерес представляет изучение класса операторов, относительно которых пространство почти сходящихся последовательностей инвариантно.

Банаховы пределы находят широкое применение в различных областях. Так в работах С.Лорда, А.Л.Кери, Дж.Филлипса, П.Г.Доддса, Б. де Папера, Е.М.Семенова, А.А.Седаева, Ф.А.Сукочева они применяются для изучения следов Диксмье, которые, в свою очередь, находят применение в некоммутативной геометрии А.Конна. Применению банаховых пределов в эргодической теории посвящены работы Л.Сачестона и других математиков.

В диссертации изучается инвариантность банаховых пределов и пространства почти сходящихся последовательностей. Также банаховы пределы применяются для изучения коэффициентов Фурье по системе Хаара.

¹ Банах, С. Теория линейных операций / С. Банах - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 272 с.

²Lorentz, G. G. A contribution to the theory of divergent sequences / Lorentz G. G. // Acta Math. -1948. - V. 80. №1. - P. 167-190.

з v V

\

Целью работы является изучение пространства почти сходящихся последовательностей .

Методика исследований.Используются идеи и методы современной функционального анализа, теории функций действительного переменного. Полученные результаты применяются для доказательства аналогов теоремы Мерсера для коэффициентов Фурье-Хаара.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:

1. Вычислено расстояние от произвольной ограниченной последовательности до пространства почти сходящихся последовательностей;

2. Доказана инвариантность пространства почти сходящихся последовательностей относительно действия некоторых операторов, в том числе, оператора Чезаро и общего оператора усреднения;

3. Установлена почти сходимость некоторых функциональных тригонометрических последовательностей;

4. Доказана почти сходимость к нулю последовательностей, связанных с коэффициентами Фурье по системе Хаара для функций из пространства L_p,oo и функций, удовлетворяющих условию Липшица.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Ростовском, Самарском, Ярославском государственных университетах и др.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва,2007), научной сессии ВГУ (2007, 2008, 2009), научной сессии ВГАСУ (2007, 2008, 2009), Воронежской зимней математической школе (2008), V международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения"(Новороссийск, 2008), меж-

дународпой конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летшо академика В.А.Садошшчего (Москва, 2009), семинаре под руководством профессора А.Г. Баскакова (Воронеж, 2009).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Из совместных работ [1], [6] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на тринадцать параграфов, и списка литературы, включающего 68 источника. Общий объем диссертации 93 страницы.

Похожие диссертации на Пространство почти сходящихся последовательностей и банаховы пределы

Дискретные неравенства Харди с переменными пределами суммирования в пространствах последовательностейАльхалил Айман

Булевозначный анализ кусочно-ограниченных операторов на счетно-нормированных пространствах и их индуктивных пределахСикорский, Михаил Ромуальдович

Экспоненциальные ряды в весовых пространствах последовательностей Коган Галина Анатольевна

Уравнение свертки в гильбертовых пространствах последовательностей с весомВахрамеева Анна Владимировна

Спектральный анализ разностных операторов и отношений в весовых пространствах последовательностей векторовБесаева, Светлана Владимировна

Уравнения свертки в пространствах числовых последовательностейКарпов Александр Владимирович

Подпоследовательности и последовательности нулей для весовых пространств голоморфных функций и их устойчивостьХабибуллин, Фархат Булатович

Последовательности функций в симметричных пространствах и их приложения в геометрии банаховых пространств и теории операторовНовиков Сергей Яковлевич

Спектральный анализ последовательностей бесконечного ранга нестационарности в гильбертовом пространствеЧеремская, Надежда Валентиновна

Последовательности квадратурных формул с пограничным слоем и последовательности типа Грегори в пространствах L_1^(m) [a, b] Шатохина Лариса Владимировна