Введение к работе
Актуальность ,темы. Булевозначные модели теории множеств, были построены Д.Скоттом и Р.Соловэйем и нашли многочисленные применения для доказательства независимости различных предложений от аксиом теории множеств Цермело - Френкеля.
{Зледущий этап в применениях булевозначных моделей связан с появлением будевоэначиого анализа, развитого в работах Ш.Й.Гордона, Г.Такеути, А.Г.Куераева, С.С.Кутателадзе,-В.А.Яэбецкого, М.Озава и др.
Метод- булевозяачного анализа основан на том, что многие достаточно сложные матшатическив. структуры становятся существенно более простыми при подъеме в подходящую булевознашуэ модель. Так, например, расширенное К-простраиство с базой SB оказывается пашг вещественная чисел е булвгодоачиом универсуме Vs- (Е.Й.ГсрдонЬ Аналогично в работах различных авторов показано, что оператора- с абстрактной норкой становятся непрерывными яинайншй функшоиаяам» оператор условного математического окаденил - интегралом Лебега, оператори Йагараи - по-рядЕосо-иекрернвнши |»удащконзя8Мй»'пространство Банаха —Канторовича - банахоєия пространством» унитарные, представления локально-коктакяих абеяевня групп - характерами двойственных групп к т.д.
После.'-ого как при тдъемо сяогной структуры найдена ее более простая интерпретация в булееозкачдай модели» используют тот факт, что -кяассичзсйи вмводйкйэ' теоремы теория множеств 2FC имеют булеву оденку, равяуэ едшшо» a твкге, что, йсян оценка хорновской формули ц> расна едшнйз, то tp - истшш с спуске, т.е. в исходной структуре. Таким'способом к»ю доказать," например, вещественную звккнутоет& рзезиренязго К-прост-рэнст з,, используя вещественную замкнутость пеня двйстеитель-ных" чисел," интегральную'представимость-операторов с абстрактной нормой, используя интегральную предста&аюсть яичбйнда функционалов, получать, различные факты об операторах Мягярлм *из ZFC-теорем.о-порядково'непрерывных функционалах и т.д. Классическая' теорегп Стоуна об рднопараметрической группе уии-
гврийх. операторов получается переносом простой теоремы о строении характеров группы вещественных чисел.
Из сказанного видно, насколько ваяно уметь находить хорошие буяевозначные интерпретации для различных математических объектов. В диссертации такая задача решается для широкого класса операторов на счетно-нормированных пространствах и строгих шщукаивньк пределах таких пространств со значениями в ^пространстве. Эти операторы названы кусочно-ограниченными (и.о. ояараторши). Понятие к.о. оператора естественно возникает при обобщении понятия оператора с абстрактной нормой на банахавом пространстве на лодинормированные пространства. В важных для приложений случаях» когда в качестве К-пространет-ва выступает пространство измеримых функций нч некотором пространстве с меройу к.о. операторы - это просто непрерывные отображения в произведения.пространств типа L* с тихоновской топологией. Класс тс.о. операторов содержит непрерывные операторы на счетно-нормированных пространствах со значениями в К~прастранствах ограниченных элементов, многие, в том числе дифференциальные операторы на пространствах гладких функций (если рассматривать их как операторы со значениями в {{-пространстве измеримых функций на Еп ) и другие.
Оказывается,-что к.о. операторы интерпретируются как непрерывные линейные функционалы на.некотором полинормированном пространстве в подходящей булевозначной модели теории множеств. В случаях, когда структура функционалов на этом пространстве в модели известна, методом булевозначного анализа можно получить результаты о структуре соответствующих к.о. операторов. Например, для к,о. операторов на пространствах пробных функций со значениями в К-пространстве измеримых функций получены различные типы их интегральных представлений. Эти представления, а также аналог для к.о. операторов известной теоремы Шварца о ядре получаются переносом на к.о. операторы результатов об обобщенных функциях. Отметим, что отыскание интегральных представлений для различных классов операторов является традиционной задачей в функциональном анализе. ' , ;
Поняг. ;е к.о. оператора представляет интерес и в связи с вопросами существования, единственности и структуры решений
~ IF-5--
дифференциальных уравнений в частных производных, поскольку . решения некоторых классов таких уравнений с измеримыми коэффициентами, как показано в работе, могут быть иитерпретирова'-, ны как к.о. операторы. . " ~
Цель,, работ». Работа посвящена исследованию следующих вопросов}
а) построению подходящих пространств булевознавдых ин
терпретаций для пространств линейных, билинейные и полилиней
ных к.о. операторов;
б) изучению методом булевозначного анализа различных
свойств к.о. операторов, в том числа их интегральных представ
лений (для к.о. операторов на пространствах гладких функций);
в) изучения методом булевозначного анализа вопросов о су
ществовании, единственности и структуре .решений некоторых
классов дифференциальных уравнения в частных производных с из
меримыми коэффициентами;,.,
г) применению булевозначного.анализа для доказательства
интегральной представимости некоторых классов, операторов.
Основная методика исследования. Основным методом исследования в работе является метод булевозначного анализа, возможность применения которого здесь основана на существования подходящих буяевозначнБК-реализаций для исследуема классов one-,'раторов, а такие на свойствах абсолютной опредеяшости различных пространств функций* Используются.такке методы теория упорядоченных пространств, теории обобщенных функций,
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. -- . ... " , -
, Основные ре зуд ьта'ты.. работы. ' .,. ' I. Установлено, что пространства линейных (полилинейных) к.о. операторов на счетно-нормированных пространствах и их строгих индуктивных пределах со. значениями в К-пространствах изоморфны пространствам'линейных (полилинейных), непрерывных " функционалов на подходящих полных пространствах в булевознач-.ной модели у15 теории множеств ZFC (теоремы I и 2).. '" 2. С использованием'свойстве абсолютной определимости ос-
повних пространств гладких функций (теорема 3) получены конкретные примеры соответствий вида
к. о. оператор «»-* обобщенная функция в V (теорема 4) и интегральные представления для к.о. операторов на пространствах гладких функций со значениями в К-лространст-ве измеримых функций (теоремы 5, б).
-
Для 'билинейных к.о. операторов доказан аналог известной теоремы Шварца о ядре (теорема 7) и получена интегральные представления таких операторов.
-
Исследованы вопросы о существовании, единственности и структуре решений дифференциального уравнения " .
P(D)D. * А ,
где p.(D) - дифференциальный многочлен с измеримыми коэффициентами (или с коэффициентами из произвольного расширенного К-пространства), А -- заданный к.о. оператор на одном из пространств гладких.функций со значениями в ' -К-пространстве измеримых функций (или со значениями в произвольном расширенном К-пространства) (теоремы 8, 8мі9), '
с. 5. Показано, кан методом'булевозначного анализа "можно
единообразно получать некоторые (известные) теоремы об интег
ральной представимости некоторых классов операторов (теорема
10). . ' .
. Теоретическая и практическая значимость. Результаты дис
сертации носят теоретический характер. Они могут быть исполь
зованы в теории обобщенных функций, теорий дифференциальных
уравнений с частными производными, а также в связи с другими
применениями булевозначного анализа. '
Апробация работы. Основные результаты диссертации докла
дывались в Горьковском и Ленинградском университетах, Горьков
ском пединституте, в Институте математики СО АН-СССР, на Х-ХП
Всесоюзных-школах по теории операторов в функциональныхпрост
ранствах а городах Новосибирске (1985 г.), Челябинске (1986г.)
и Тамбове (1937 г.), на УШ Всесоюзной конференции по математи
ческой логике в г. Москве (1986 р'.), на конференциях молодых
ученых Горьковской области к Волго-Вятского региона (1933 и
1984гг.). ;'
.--7-
Публикации. По теме диссертации опубликовано В работ.
Структура и объем работы. Диссертация объемом 86 машинописных страниц, состоит из введения и двух глав, разбитых на 9 параграфов. Список литературы содержит 60 наименований:.
