Введение к работе
Состояние вопроса и актуальность темы. Новый отечеі времени в развитии теории упорядоченных пространств, основакоторой была заложена а трудах Л.В.Канторовича, Ф. Рнсса. М. Г. Крепла, А. Заанена, начался после публикации М. Стоуном п 193G году теоремы о реализации полной булевой алгебри как алгебры всех открыто-замкнутих подмножеств некоторого экстремально - несвязного компакта /1/. Значение теоремы Стоуна, область применения
"ОТППОЙ ПрОСТНраОТСЛ ~Т C"F"« иагкМаііІЧЬиііиП ~.~Г"'''". Рп «сио-
матики квантовой механики, трудно переоценить. И теории уноря доченных пространств это открытие позволило реализовать век-Торные решетки в виде пространства непрерывных функций и стало не только мощным инструментом изучения упорядоченных пространств, но и неразрывной частью самой теории. Методология исследования векторных решеток п булевых алгебр с помощью их стоу-нрвеких компактов, заложенные в трудах Дж. Келли, Д Магарам, A. J . Пинскера, Ж. Днксмье, Р. Сикорского, были развиты 3. Т. Дика-новой, Д. А. Владимировым, Ю.Райтом, К. Маттесом.
В разработке теории регулярных операторов приняли участие лвнинградская ( Г. U. Акилон, А. В. Бухвалов, Л. И. Пекслер, Б. 3. Ву-лнх, Г. Я. Лозановский, Б.М.Макаров), японская ( \\. Амения, Т. Лило. К. Иосила. С. Кпкутаїш. X. Цякяна). голландская (А. Заа-пец, В. Люксембург, А.Шепп, Б. де Пагтер), тюбингепская /К.Шеф-фер, В. Арендт), новосибирская (В. Б. Короткое, А. Г. Кусраев, С. С. Кутателадзе, В. Л- Степанов), воронежская ( П. П. Забрейко, И. Г. Красносельский, Е.И.Семенов) школы по теории операторов и упорядоченных пространств, а также такие математики как С. Лли-ирантис и 0. Буркпншоу, А. Ионеску-Тулчеа, С. Ионеску-Тулчеа,
X. Лотц, А. Нелчинский. Д. Фремлин и др.
В совокупности работ этих авторов, охватывающей Весь разнообразнейший спектр задач теории операторов, (шли рлзшгш самые раэаиа методы исследования формулируемое в основном на внутреннем языке, описывающем как само пространство операторов и его элементов, так и упорядоченное пространство на катаром' действуют эти операторы.'
Эффективность топологического подхода в решении задач теории операторов впервые была показана на следующем примере из теории распространения положительных операторов. В связи с известной теоремой Л. В.Канторовича о существовании распространения положительного оператора 111, Р.Сикорским в 1964 г. была сформулирована проблема: существует ли булева алгебра, обладающая свойством слабой продолжаемости , но не являющаяся слабо с -дистрибутивной. Этот интересный круг задач, синтезирующий идеи алгебры и функционального анализа, представленный работами К. Маттвса, Ю. Райта, Д. Фремлина и самого Р. Сикорскаго, был ййиершец решением вышеупомянутой проблемы Р. Сикорекого М.Райтом, который был воспринят как успех топологических методов исследования ( Терпе, Флаксмайер /3/).
Еще в середине 70-х годов била поставлена проблема Акило-ьа-Кутателадзе об описании стоуновского компакта /(-пространства всех регулярных операторов действующих между заданными к-пространствами /А/. Значительным шагом в решении этой задачи является теорема о разложении порядково-непрерывного оператора деиствуыцего на идеале измеримых функций стандартного измеримого пространства на три дизъюнктные составляющие. Эта теорема являющаяся продолжением большого цикла, включая статьи Л. Ду-опнса-Д. Фридмана /5/, А. Соурура /б/, Л. Вайса /7/, Н. Кэлтона /8/ и основанная на использовании техники - компактных метрн-
ческих пространств и сепарабельных измеримых пространств нашла
применение в исследовании самык различных вопросов теории ре
гулярных операторов.
Исходным пунктом этого этапа структурной теории регулярних операторов явилась теорема Соурура о так называемом ядерном представлении порядково-непрерывного оператора (посходит к понятию псевлоинтегрального оператора, введенного Р Арвесоном /9/), и теорема Дубинса-Фридмана об измеримости опера гора ра:з-лотрііич «pp. ~йт*ци~ііос rprr""»"»!io этих идей нашли II. Кэлтон, которыП обобщил теорему С. Кьаиеяя її iin,«CTa"T""W" ппнійіиМіі, дейстзующего из z. в ь . а также теорему Т. Старбнрда-И. Эифло
о о
о примарности l (если ь ** х 9 у, то х «і или y »i, ), а также Л. Banc, применивший теорему о разложении в теории линейных уравнений переноса и обобщил результат Д. Оосрлина о мерах, заданных на локально-компактных группах.
Исследования по теории решеточно-упорялоченных алгебр были начаты Б. 3. Вулнхом в 1940 г /11/. Дальнейшие исследования по теории решеточно-упорядочешшх алгебр, проведенные Бпркго-фои и Пирсом, также посвящены в основном коммутативному аспекту теории /12/.Ими был введен класс /-алгебр и доказана теорема о коммутативности этих алгебр. Абстрактные характеристики реализационного умножения в векторных решетках получил Л. И. Веке лор /13/.
Топологические методы позволяют развить достаючни сильный математический аппарат, с помощью которого удается обобщить структурную теорию регулярных операторов на случай любых пространств Канторовича, а также решить ряд задач теории операторов в функциональных пространствах. Поэтому данная работа, главной целью которой является разработка топологических мето дов теории регулярных операторов, представляется актуальной.
Цель работы. Предложить и изучить негоди, позволяющие исследовать порядково-алгебраическую структуру пространства регулярных операторов, действующих в упорядоченных ве.чторных реіяетках.
Основная методика исследования. В работе развивается топологический метод исследования структурних и порядково-алге-брапческпх свойств регулярных операторов действующих в пространствах Канторовича. При этом используются классические методы теории меры, векторных решеток, решеточно-упорядоченных алгебр, операторов, действующих в Функциональных пространствах.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты:
-
Построена структурная теория пространства регулярных операторов. При этом получено разложение на три дизыоиктные кошкшзнтк стоуновского компакта А'-пространства всех регулярных операторов, проблема описания которого была поставлена Г. П. Акиловим и С. С. Кутателадзв.
-
Дано разложение положительного оператора агонического тлпа в виде ряда суммы решеточных гомоморфизмов, являющееся' обобщением теоремы Кэлтона-Вапса.
-
Теорема Вайса об интегралыюсти произвольного оператора диффузионного типа на подходящей о-иодрешетке обощепа на случай произвольных измеримых пространств.
-
Построена теория представления решеточно- упорядоченных алгебр. Введены и изучены свойства абстрактных ортоморфизмов и гомоморфизмов решеточно-упорядоченных алгебр.
-
Доказана эквивалентность свойств Л. Ф. Егорова, счетного раслросгранения оператора и счетного распространения меры. По-
лучена топологическая . характеристика стоуиовского компакта к -пространств, обладающих этим свойством.
-
Решена "задача АгГ. Кусраевао -.-существовании оператора дизыснктного ncui.i интегральным операторам, гомоморфизмам и операторам Нагарам.
-
Получена оценка нормі.' оператора пзпешашыго сдвига, действующего из Lp в I,'\
|1 v
8. Получена оценка расстояния uevir/ операторами оОобщыг-
::crn f-nmiivi іі liWio.p^.iL": ""»гчтпп,иш. усиливающая и обобща
ющая оценку Халмоша-Сандера, р->' > .,..,.,^ ...c::.:;;v -"""".mau,, VN(-
ножения и интегральными операторами /1-ї/.
Все основные результати диссертации яплям-я новими и применяются в теории операторов в функциональных пространствах. Методы данной работы могут быть использованы при решении прикладних задач.
Агробацпя работы. Результаті-! диссертант! докладывались на семинарах Отдела функционального анализа ИМ СО АН СССР, в школе по теории операторов и функциональных пространствах 'Минск, 1982), в vii шк'-ле по теории операторов в фупкцниначьных пространствах (Минск, 1982), на л і і ико.т<- по vooir.i операторов в функциональных пространства:: (.Рига. 19;;.:'). пл сі-мпнаре по математической Фпзпкс унчропоитета им.Карла Маркса (Лейпциг. 198В}.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы п работах /26-42/.
_0бьом и структуруjjJiccepTainri. Лнсс^рыцпч пз;п<.'>;; на 2 ІД страницах и состоит из пгюдония, игостті глап и списка литературы па 247 напменонашш.
