Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию спектральных свойств разностных операторов и разностных отпошеннй.
В последнее время значительно возросла роль теории разностных операторов и разностных отношений при исследовании линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами (в том числе и с неограниченными операторными коэффициентами).
Первые исследования, посвященные разностным операторам, появились еще в конце XIX - начале XX столетия.
Особое внимание к разностным операторам н уравнениям, их содержащим, обусловлено прежде всего применением аппарата разностных операторов в исследованиях разрешимости различных дифференциальных, функциональных и интегральных уравнений. При этом отметим, что, как правило, разностные операторы изучались в банаховых пространствах ограниченных последовательностей. Необходимость исследования разностных операторов в весовых пространствах возникает как при выяснении разрешимости разностных уравнений в пространствах растущих последовательностей, так и при разрешимости линейных дифференциальных уравнений с растущим свободным членом. Таким образом, тематика диссертации является актуальной.
Основные результаты диссертации получены с применением спектральной теории операторов и линейных отношений (многозначных линейных операторов). Отметим, что исследуемые разностные отношения возникают непосред-ственно при изучении дифференциальных операторов рассматриваемых в весовых пространствах функций, определенных на полуоси с начальным условием из подпространства. В диссертации получены приложения к описанию спектра таких дифференциальных операторов. Важно отметить, что на рассматриваемые весовые функции не делается каких-либо ограничений.
Цель работы. Целью диссертации является исследование спектральных свойств дифференциальных и разностных операторов, посредством использования спектральной теории линейных операторов и линейных отношепий. Описание спектра разностных операторов и отношений в весовых пространствах последовательностей. Получение приложений для изучения спектра линейных дифференциальных операторов, определенных в весовых пространствах измеримых функций.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке:
-
Описан спектр разностных операторов в весовых пространствах двусторонних векторных последовательностей . Снимаются все ограничения на рассматриваемые весовые функции.
-
Изучен спектр разностных линейных отношений в весовых пространствах односторонних векторных последовательностей. При этом на рассматриваемые весовые функции не делается никаких ограничений.
-
Получены приложения для исследования спектра дифференциальных операторов, действующих в весовых пространствах измеримых функций.
Методы исследования. В работе используется спектральная теория линейных операторов и линейных отношений, функциональное нечисленне операторов, методы дифференциальных уравнений. Основной метод получения результатов главы основан на преобразовании подобия исследуемого оператора в весовом пространстве к оператору, действующему в невесовом пространстве, но уже с переменными коэффициентами.
Теоретическая и практическая ценность. Данная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении спектральных свойств разностных и дифференциальных операторов в весовых пространствах, а также для рассмотрения вопросов разрешимости разностных уравнений и включений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2010 г.), "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2011 г.), "Воронежская весенняя математическая школа Понтрягин-ские чтения"(г. Воронеж, 2011 г.), "Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ-2011)" (г. Севастополь, 2011 г.) и семинаре профессора А. Г. Баскакова.
Публикации работы. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Из совместной публикации [4] в работу вошли результаты принадлежащие лично автору. Работы [4], [5] соответствуют списку ВАК РФ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на параграфы, и списка литературы, содержащего 61 источник. Общий объем диссертации - 82 страницы.
