Введение к работе
Актуальность работы. В диссертации рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторого класса дифференциальных операторов.
Спектральный анализ дифференциальных операторов является одним из ведущих направлений современного анализа и математической физики. Получение асимптотики спектра, оценок сходимости спектральных разложений, формулы регуляризованного следа дифференциальных операторов, а также асимптотики генерируемой оператором полугруппы является важной задачей как в абстрактной теории, так и в приложениях, диктуемых нуждами механики и физики.
В настоящей диссертации исследуются спектральные свойства двух дифференциальных операторов: одномерного несамосопряженного оператора Дирака с негладким комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0,7г] периодическими и антипериодическими краевыми условиями; несамосопряженного оператора Штурма-Лиувилля с сингулярным комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0, о;] квазипериодическими краевыми условиями.
Метод подобных операторов можно использовать для исследования спектральных свойств широкого класса дифференциальных операторов. Приводимая в диссертации адаптация метода позволяет не только изучить спектральные свойства исследуемых операторов Дирака и Штурма-Лиувилля, но и открывает возможность его применения для других операторов, близких к рассматриваемым.
При попытке исследования операторов общими методами теории возмущений возникает несколько затруднений, связанных с наличием следую-
щих свойств: расстояние между собственными значениями невозмущенного оператора не уходит в бесконечность; возмущение не является ограниченным оператором. Метод подобных операторов позволяет успешно преодолеть трудности, возникающие при использовании классических методов.
Оператор Дирака важен в квантовой механике. Изучение оператора Дирака проводилось рядом авторов. Случай непрерывного потенциала рассмотрен в известной монографии Б.М. Левитана, И.С. Саргсяна. Особенно отметим статью П. Джакова, Б.С, Митягина 1.
Оператор Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом также возникает во многих физических задачах. Особенно востребованными в приложениях являются потенциалы, являющиеся (^-функциями. Изучению оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами -типа посвящено множество работ, начиная с шестидесятых годов прошлого века. Большой вклад внесла статья А.А. Шкаликова и A.M. Савчука 2, в которой был разработан подход корректного определения оператора Штурма-Лиувилля с любым сингулярным потенциалом в терминах квазипроизводной. С тех пор стала активно развиваться спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями. В частности, заслуживают внимания исследования следующих авторов: А.А. Шкаликова, A.M. Савчука, П. Джакова, Б. Митягина, P.O. Гринива, Я.В. Микитюка, И.В. Садовничей, Т. Кап-пелера, С. Мора, В. Михайльца, В. Молибога.
Таким образом, тема диссертации является вполне актуальной.
Цель работы.
1. Дальнейшее развитие метода подобных операторов. В частности, по-
^^Митягин Б. С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шрёдингера и Дирака
/ П. Джаков, Б. С. Митягин // Успехи математических наук. — 2006. — Т. 61. — № 4. — С. 77-182. 2Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами / A.M. Савчук,
А. А. Шкаликов // Мат. заметки. - 1999. - Т. 66. - № 6. - С. 897-912.
строение абстрактной схемы применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемым операторам.
-
Спектральный анализ несамосопряженного оператора Дирака с негладким комплекснозначным потенциалом, задаваемого на [0,7г] периодическими и антипериодическими краевыми условиями.
-
Спектральный анализ несамосопряженного оператора Штурма-Лиу-вилля с сингулярным комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0, о;] квазипериодическими краевыми условиями.
Методы исследования. Для исследования спектральных свойств рассматриваемых операторов используется метод подобных операторов, спектральная теория дифференциальных операторов, теория полугрупп.
Научная новизна. Основные результаты диссертационной работы являются новыми. Из них выделим следующие:
-
Дальнейшее развитие метода подобных операторов. В частности, разработаны абстрактные схемы применения метода подобных операторов для операторов, близких к рассматриваемому оператору Дирака и оператору Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом.
-
Спектральный анализ несамосопряженного оператора Дирака с негладким комплекснозначным потенциалом, задаваемого на [0,7г] периодическими и антипериодическими краевыми условиями:
асимптотика спектра (оценки собственных значений);
обобщенная спектральность, т.е. безусловная сходимость ряда из спектральных проекторов на любом векторе х Є L2 ([0,7г],С2);
оценки отклонений спектральных проекторов возмущенного оператора от соответствующих спектральных проекторов невозму-
щенного (в частности, оценки безусловной равносходимости спектральных разложений);
формула регуляризованного следа как в общем случае, так и при наложении условий гладкости на потенциал;
конкретные оценки длин зон неустойчивости (спектральных лакун) оператора Дирака, определенного на К, в зависимости от гладкости потенциала.
3. Спектральный анализ несамосопряженного оператора Штурма-Лиу-вилля с сингулярным комплекснозначным потенциалом, задаваемого на промежутке [0, о;] квазипериодическими граничными условиями:
асимптотика спектра (оценки собственных значений);
оценки отклонений спектральных проекторов возмущенного оператора от соответствующих спектральных проекторов невозмущенного (в частности, оценки безусловной равносходимости спектральных разложений);
секториальность оператора (взятого со знаком минус) и асимптотика аналитической полугруппы операторов, генератором которой он является.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и может быть использована при дальнейшем развитии спектральной теории операторов и метода подобных операторов, а также применении метода подобных операторов для исследования спектральных свойств широкого круга дифференциальных операторов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2010, 2013, на весенней математической школе «Понтрягинские чтения XXI» 2010, на Крым-
ских осенних математических школах 2009, 2010, 2011, 2012, на Крымской международной математической конференции 2013, на математическом интернет-семинаре ISEM-2011 (Германия, Блаубойрен), на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-13]. Габоты [1],[6],[11] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнау-ки ГФ. Из совместной публикации [6] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на параграфы, и библиографии, содержащей 80 наименований. Общий объем диссертации - 145 страниц.
Похожие диссертации на Метод подобных операторов в спектральном анализе операторов Дирака и Штурма-Лиувилля
