Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод подобных операторов в спектральном анализе некоторых классов возмущенных линейных операторов 24
1 Метод подобных операторов. Теорема о расщеплении 24
2 Блочная диагонализация. Построение допустимой тройки 33
3 Блочная диагонализация возмущенных операторов 41
4 Спектральные свойства возмущенных операторов 48
5 К теореме о расщеплении возмущенных операторов; построение трансформатора Г в частном случае 55
О сопряженных операторах и отношениях 59
Глава 2. Приложения к спектральному анализу некоторых классов дифференциальных операторов 63
1 Спектральные свойства одного класса интегро-дифференциальных операторов ,63
2 Спектральные свойства одного класса операторов 78
3 Дифференциальный оператор в пространстве вектор-функций.96
4 Применение модификации метода Галеркина к вычислению собственных значений одного класса возмущенных линейных операторов 101
Литература 104
- Блочная диагонализация. Построение допустимой тройки
- К теореме о расщеплении возмущенных операторов; построение трансформатора Г в частном случае
- Спектральные свойства одного класса операторов
- Применение модификации метода Галеркина к вычислению собственных значений одного класса возмущенных линейных операторов
Введение к работе
В диссертационной работе рассматриваются задачи дальнейшего развития метода подобных операторов и его применения к исследованию спектральных свойств некоторых классов дифференциальных операторов.
Такого рода операторы возникают, например, при изучении процессов диффузии в химической кинетике [58]. Интерес к исследованию дифференциальных операторов с нелокальными краевыми условиями был проявлен давно (см. статьи А.Л.Скубачевского [47], В.В. Власова [17], Л.С.Пулькиной [43], Ю.Т.Сильченко [48]). Одним из самых распространенных методов исследования в теории возмущений линейных операторов является резольвентный метод, основанный на представлении проекторов Рисса возмущеных операторов с помощью интегральной формулы Коши (см. [25]). Однако изучаемые операторы не всегда удовлетворяют условиям, необходимым для применения этого метода.
В качестве метода исследования выбран метод подобных операторов, который берет свое начало с метода Пуанкаре нормальных форм для обыкновенных дифференциальных уравнений [1] и тесно связан с методом Ляпунова кинематического подобия дифференциальных операторов [24] , абстрактным вариантом замены Крылова-Боголюбова [5],[8].
Основная идея метода подобных операторов состоит в преобразовании исследуемого оператора А — В к другому, подобному ему оператору А—Во, где Во имеет несложную по отношению к А структуру.
Впервые метод подобных операторов был изложен Фридрихсом К.О. [54] для возмущенных самосопряженных операторов с абсолютно непрерывным спектром. Р. Тернером [60] для возмущенных нормальных вполне непрерывных операторов была получена теорема о возможности их преобразования к диагональному оператору в базисе невозмущенного оператора. Дальнейшее свое развитие метод подобных операторов получил в работах А.Г. Баскакова [8] и его учеников, который стал использовать технику абстрактного гармо нического анализа линейных операторов.
Прежде чем перейти к изложению основных результатов, отметим, что в диссертационной работе используется двойная нумерация теорем, лемм, следствий, замечаний, определений, формул. Причем первая цифра означает номер главы, вторая - порядковый номер теоремы, леммы и т.д. в данной главе.
Блочная диагонализация. Построение допустимой тройки
Доказанные в 1.3 теоремы позволяют получать ряд спектральных характеристик возмущенного оператора А — В.
Вначале рассмотрим асимптотику спектра оператора А — В, считая, что оператор В удовлетворяет условиям теоремы 1.5.
Теорема 1.6. Пусть A = A : D(A) С Н -4 Н - самосопряженный оператор, спектр которого допускает представление вида (1.21) и выполнено условие (1.22) разделенности спектральных компонент aki к 1, из спектра сг(А) оператора А. Если для опера- -тора В Є Я выполнено условие (1.19), то спектр оператора А — В представим в виде объединения взаимно непересекающихся мнооїсеств Зъ, к Z, обладающих свойствами разбиения (1.21) спектра оператора А, а такоісе свойством Доказательство. Поскольку выполнены условия теоремы 1.5, то оператор А — В подобен оператору вида где X - решение нелинейного уравнения из теоремы 1.1. Все подпространства Нк = RanPfak Є TL являются инвариантными для оператора А, причем сужение оператора А на Нк имеет вид где оператор РкХРк рассматривается как оператор, действующий в Нк. Из представления (1.27 гильбертова пространства Я следует, что спектр о(А) оператора А содержит спектр каждого оператора Ак РкХРк EndHk)k =Z, и поэтому в силу замкнутости множества &{А) имеет место включение Это включение будет служить основой для исследования спектра а(А — В) возмущенного оператора А — В, так как из леммы 1.1 следует равенство а(А — В) = (т(А) и поэтому из (1.43) получаем включение По этим же причинам верны включения для всех частей спектра оператора А — В Если Ао Vd{A — В), то есть Ао - собственное значение оператора А — В, то оно в силу леммы 1.1 является собственным значением оператора А. Пусть XQ Н - собственный вектор оператора А и тогда хк — РкХо ф 0 для некоторого & N. Следовательно, хк -собственный вектор оператора Ак — РкХРк, отвечающий тому же собственному значению Ао, то есть А0 Є с(Ак - РкХРк). Таким образом, в действительности верно равенство= [J ad(Ak - РкХРк). (1.47) Если оператор А имеет компактную резольвенту, то А—В - также оператор с компактной резольвентой [8] и, следовательно, а(А — В) = Jd{A — В). Поэтому из (1.47) получаем равенство В этом случае операторы Ак — РкХРк,к Є Z, конечномерны, и поэтому каждое из множеств а(Ак — РкХРк), к Є Ъ конечно. В общем случае для получения представления (1.40) с оценками (1.41) введем в рассмотрение замкнутые множества Докажем, что множество &(А) = а{А — В) содержится в множестве л = иГ=-» Если АоЄЛ, то АобЛ при любом к Є Z и \0а(Ак - РкХРк). Действительно, ввиду свойства А( Єсг&, из представления Ак - PkXQPk - Ао/ = (Ак - V )(/ - (Ль - WlPkXPk), где Ik - тождественный оператор в Нк, и оценки (Ак - Xoh)-lPkXPk —і т РкХдРк \\ \ следует, что оператор Ак — РкХРк — Хо1к, являясь произведением двух обратимых операторов, также обратимый оператор. Тем самым доказано включение о{А-В) С А={]Ак. (1.49) Поскольку Х Є it, то верно свойство Y ki II - - Ль 12 - ле" дователыю, из доказанного следует, что множества и к = и{А — В) Л Аь,к Z, обладают свойством (1.41), а спектр а(А — В) оператора А — В допускает представление вида (1.40). Теорема доказана. Непосредственно из доказательства теоремы 1.6 следует (используются обозначения теоремы 1.6) Теорема 1.7. Пустъ в дополнение к условиям теоремы 1.6 оператор А имеет компактную резольвенту. Тогда для спектра оператора А — В имеет место представление вида (140), где 3 = cr(Afc — Pf.XP};),k Є Z являются конечными множествами и для них выполняется свойство (1-41) Фактически следствием теоремы 1.6 является также Теорема 1.8. Пусть A = A : D(A) С Н - Н - самосопря-о/сеный оператор со спектром о{А) = {АьАг,...}, удовлетворяющим условию (1.16), с компактной резольвентой и все собственные значения Аі, Аг)— оператора А просты (то есть dimHk = \.) Тогда для любого оператора В Є EndH, удовлетворяющего условию (1.19) оператор А — В имеет спектр вида а(А — В) = { І,/І2,...}, для которого выполнено свойство При этом все собственные значения [її, }i2,... оператора А —В просты. Доказательство. Доказательству подлежит только свойство простоты собственных значений оператора А —В. Однако, это свойство следует из равенства (1.48) и одномерности операторов РкХРь, к Є Z, то есть они имеют вид PkX Pf. = cxkPki где (otk) - числовая последовательность из fa, а оператор Ак = кРк- Таким образом, №к — Ад, — ак, к Є Ъ. Теорема доказана.
К теореме о расщеплении возмущенных операторов; построение трансформатора Г в частном случае
Обычно для численного вычисления собственных значений линейного замкнутого оператора используют так называемые проекционные методы, заключающиеся в том, что вместо исходного оператора рассматривается последовательность конечномерных операторов, собственные значения которых приближенно считаются. В данном параграфе рассмотрим другой способ построения конечномерных операторов, основанный на методе подобных операторов. Такой подход дает улучшение скорости сходимости последовательности собственных значений.
Пусть A : D(A) С Н - Н - самосопряженный оператор с дискретным спектром, действующий в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Пусть Аі, Л2) - - простые собственные значения оператора А и Єї, ег,... - соответствующие собственные функции. Спектр оператора А представим в виде т(А) = ап U ап, где ап — {Аь..., An}, ап = а(А)\ап. Далее все операторы считаются заданными своими матрицами в базисе еі,Є2,... Пусть Pt - проектор Рисса, построенный по одноточечному спектральному множеству {А,} оператора А и Qn = Р\ + ... + Рп. Возмутим оператор А оператором В Є EndH.
Рассмотрим метод Галеркина с точки зрения метода подобных операторов. Из теоремы 1.9 следует, что оператор А — В подобен оператору А - JXQ, где JX = QnXQn + п+1 ріхрі- Но нам известен не оператор Х, а последовательные приближения к нему, первым из которых является оператор В. Отметим, что оператор А — JB = А — QnBQn {I — Qn)B(I — Qn) представим в виде A-JB = {A- QnBQn) І #і ф {А - {I - Qn)B(I - Qn)) Н2 = Ліі $ Ап2 Н\ = Ro.nQn,H2 = Ran(I - Qn), то есть это прямая сумма операторов, первый из которых и есть конечномерный оператор, используемый в проекционных методах. Вычислив спектр АП1 любым из методов решения проблемы собственных значений для матриц, получим приближение к собственным значениям Лі,...,А„ исходного оператора.
Из приведенных выше рассуждений вытекает, что для ускорения сходимости последовательности собственных значений, получаемой в проекционных методах, следует подправить последовательность конечномерных операторов, причем для построения таких операторов используется метод подобных операторов. А именно, для приближенного вычисления собственных значений оператора А — В будем использовать операторы А — J В — J(BFB) = (А — QnBQn — Qn(BTB)Qn) I HMA-{I Qn)B{I-Qn) {I-Qn){BTB)(I-Qn)) #2, а точнее операторы AnZ = {A - QnBQn Qn(BYB)Qn) \ H\ (модификация метода Галеркииа). В отличии от оператора Ani, где вместо решения Xа нелинейного уравнения из теоремы 1.1 взято первое приближение к решению, для построения оператора Апз взято второе приближение к решению Х по методу последовательных приближений. Приближения более высокого порядка к решению Х нелинейного операторного уравнения из теоремы 1.1 также можно выписать и использовать для построения модификаций последовательностей конечномерных операторов, используемых в проекционных методах, но из-за громоздкости этих приближений их использование и получение оценок скорости сходимости последовательности приближенных собственных значений затруднительно. Рассмотренный метод применен для нахождения собственных значений следующего оператора
Спектральные свойства одного класса операторов
Теперь вернемся к лемме 2.2 и докажем, что оператор F является сопряженным оператором к изучаемому оператору Т. Лемма 2.6. Оператор F является сопряженным к оператору Т.
Доказательство. Из леммы 2.5 следует непустота множества p(F). Пусть А Є p(F) и тогда из леммы 2.2 получаем равенства причем оператор F\ = F — XI обратим, а оператор Т\ = X—XI плотно определен и замкнут в силу леммы 2.1. Тогда из этих равенств следует, что F\ С Тд, то есть D(Fx) С D(T) и они совпадают на D(FX) = D(F) = D{A). Поскольку НапЦ D RanFx = Z2j то RanTx — hi. Из теоремы 1.12 следует, что тогда замкнутым будет и образ RanT\ оператора Т\. Из свойства 2 этой же теоремы следует, что RanTx = {КегЦ)1 D KerFx = {0}. Поскольку FA С ГА , то ТА = (Тд) С Fy Так как (ТА) плотно в L2 и F- обратимый оператор (как сопряженный к обратимому), то RanT\ = RanFx = L% Следовательно, RanT\ = L2, то есть Т\ - сюръективный оператор. Допустим, что F\ ф Ту Тогда существует ненулевой вектор у Є D(T)\D(Fx) и (Т\х, у) = {х,Цу)Ух D{T\). Из сюръективно-сти F\ следует, что найдется такой у F {F\) такой, что F\y = Ту, то есть (Т\х,у) = (х,Тху). В итоге получаем (при вычитании полученных равенств)
Из доказанного равенства RanTx = 2 следует, что у — у = 0, то есть у = у Є D{Fx) Получено противоречие. Лемма доказана.
Доказанная лемма позволяет во многом свести изучение спектральных свойств оператора Т к изучению соответствующих свойств оператора F = А — В. В частности, имеет место равенство
В свою очередь, из леммы 2.3 при условии (2.14) изучение оператора А — В сводится к изучению оператора А — Bi, где оператор принадлежит допустимому пространству возмущений it из 1.2. Следовательно, появляется возможность использования результатов этого параграфа (2), что и делается далее.
Отметим, что при вычислениях, проводимых при доказательстве леммы 2.2, можно заметить, что операторы Г\В, JB, В\ принадлежат подпространству UQ операторов X из допустимого пространства возмущений it, введенного в 1.2, блоки РтХРп,т,п 1, которых представимы в виде гдеїт7г єС,п,т 1, причем X)m,„ i I %mn 2 bm{&) \\l 00, то есть матрица ( xmn bm{a) Ц2) является матрицей Гильберта-Шмидта. Здесь bm,m 1 - коэффициенты Фурье функции &о (относительно ортонормировашюго базиса (ет(сг)) из Ь [-тг, 0]). При этом ясно, что если наряду с X подпространству ilo принадлежит вектор Y, то их произведение Z = XY также принадлежит пространству Но-Действительно, это вытекает из равенств где матрица ([ bm Ц2 2mn) является матрицей Гильберта-Шмидта как произведение матриц Гильберта-Шмидта вида
Доказательство. Из оценок (2.14),(2.24) следует, что для оператора В\ выполнено условие (1.6) теоремы 1.1. Поэтому утверждение теоремы 2.1 следует из равенства J \\= 1, оценки J Г 1 и леммы 2.4. Теорема доказана. Оператор А — JX0 из условий теоремы 2.1 (которому подобен оператор Т = А — В) обладает тем свойством, что собственные подпространства Нп = {/(о")еп(),/ Є г[ тг,0]},п 1 являются инвариантными для Т и его сужение Т на Нп имеет вид
Применение модификации метода Галеркина к вычислению собственных значений одного класса возмущенных линейных операторов
Пусть выполнены условия теоремы 2.1. Тогда система проекторов Рисса Рп,п 1, построенных по двухточечным мпооюествам {Ап,//„} — 2fn,n 1, из спектра оператора Т = А — В образует систему проекторов Бари, причем 2 Спектральные свойства одного класса операторов В гильбертовом пространстве L% = (0,1) рассмотрим дифференциальный оператор A : D(А) С L i -л L 2,порожденный дифференциальным выражением Будем изучать асимптотику собственных значений оператора А- В = - - q : (Л) С2-) І2, где q С[0,1], то есть Вх = qx, х Є 2 - ограниченное возмущение оператора Л. Ю.Т. Сильченко в статье [48] показал, что спектр сг(А) оператора А состоит из собственных значений вида причем соответствующие собственные функции определяются равенствами en(t) = sin2wnt,n L Найдем присоединенную функцию еп к собственной функции еп оператора Л, то есть (А — Art/)eR = еп. Решим дифференциальное уравнение —х — Атт2п2х = sin2-nnt. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью. Известно, что решение такого уравнения ищется в виде х = х\ + %2, где я і - решение однородного уравнения, Х2 - частное решение неоднородного. Итак, решим сначала однородное Получим характеристическое уравнение Так как /ІП - комплексные числа, то x\(t) = Сі cos27mt-\-C2sin2imt. Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения. Из вида правой части получаем, что X2(t) = (acos27rn -f- bsin2nnt), где а и b - многочлены нулевой степени. Найдем их методом неопределенных коэффициентов. Первая и вторая производные от Х2 имеют вид x2(t) = acos27rni + fesin 2тгггі + 27rnt(—asm2nnt + Ьсоз27пгі), x2{t) — 4тт(—a sin 2imt + b cos 27rnt) — 4к2п t(a cos 2imt + b sin 2ТТПІ) . Подставим полученные выражения в исходное уравнение —47гтг(—a sin 2-кпі + b cos 2nnt) + 4я n (a cos 2imt + 6 sin 2ятгі) -47Г2тг2г(а cos 2itnt + 6sin 2imt) = sin 27тп, 47гпа sin 27rnt — 47rn&cos27rni = sin27rn. Откуда получаем, что 6 = 0, a = . Таким образом, x(t) = С\ cos 2nnt + Сі sin 2тті + - t cos 2imt. Найдем константы Ci,C2 из краевых условий Итак, ж() = Csm27rnt + - tcos2Tmt. Возьмем С = 0. Получим Найдем Сі и Сг из краевых условий ж(0) = 0 =$ С\ = 0. Но условие /0 x{t)dt — 0 не выполняется. Таким образом, получили, что оператор А имеет одну присоединенную функцию еп к собственной функции еп. Итак, имеет место Лемма 2.7. Спектр оператора А имеет вид о{А) = {\п 47г2п2, п 1}, собственными функциями являются функции en(t) = sin27mt,n 1, причем Аеп = Хпеп, а функции еп tcos27Tnt являются присоединенными к ним, то есть (А — Хп1)еп = еп,п 1, Присоединенных функций более высокого порядка пет. Найдем проекторы Рп,п 1 на собственные и присоединенные функции, отвечающие собственному значению Хп,п 1. Для этого найдем сопряженное отношение Л к Л и найдем его собственные и присоединенные функции. Особенностью рассматриваемой задачи является тот факт, что область определения D(A) оператора А не плотна в Н = 2(0,1)- Это объясняется наличием краевого условия /0 x(t)dt = 0, которое ведет к равенствам (х,ео) = 0, а; D(A), где eo(t) = 1 и, значит, (х,е0) = OVz Є D(A). Таким образом, е0 Є Щ)1 = D(A)1.
