Спектральный анализ некоторых классов дифференциальных операторов Долгих Ирина Николаевна

(k = 0,1,..., m; \z\ > 2 > 0),

Pk(z) := z

(Ik '

где a_m Ф 0, a v > 0 - целое число.

Условие (I) позволяет определить выражение /„ порядка п — 2т формулой

ктУ - Ро(х)У + -^ \ Pl(x)y' + — \р2(х)у" + ...

⁺ Тх (р>"-Му^{п~¹⁾ + Тх^{{рЛх)у[т))}) -]} '

а из условия (II) следует, что выражение І2,_п при х > хц имеет вид

_{кт[у) = ыф}^(&)₎⁽_"⁰_{- (}³₎

fc=0

При этих предположениях справедлива следующая теорема, принадлежащая С.А. Орлову (см. [17]). Здесь и далее эту теорему будем называть теоремой Орлова.

Теорема Орлова. Если функции Po(x),pi(x),... ,р_т{^х) удовлетворяют условиям (I) и (II), то максимальное число линейно - независимых решений уравнения (1), принадлежащих 2[0,-{-oo), равно:

1) при v > 0 числу корней полинома

V + l

т Jfc-1

+ a₀,

+j

k=\ j=0

леоісащих в области Шг < 0, и не зависит от А;

2) при v = 0 числу корней полинома 3^(^,0) — Л_; леоісащих в области
Uz < 0, и при невещественном А равно т.

При этом в случае и > 0 спектр любого самосопряженного расширения оператора Lq дискретный.

В работе [18] С.А. Орлов исследовал одномерную регулярную краевую задачу в конечном интервале [0; Ь] (Ь < 4-со) , порожденную линейным самосопряженным квазидифференциальным выражением 1_2т. В работе [19] с помощью предельного перехода от конечного интервала [0; Ь] к і юл у бесконечному [0; со) даётся описание всех самосопряженных граничных условий при любом заданном индексе дефекта (п, п), (га < п < 2га) оператора Lq и устанавливаются формулы для резольвент и спектральных матриц-функций, определенных этими граничными условиями.

В работе Ф.А. Неймарк [1G] предполагается, что коэффициенты Po,Pi,... ,р_т выражения І2_т представляются в виде

_2m+f

p_k{x) = x^2k+v{a_k 4- r_k(x)) (fc = 0,1,..., m-1), p_m(x) = — --,

где v - неотрицательное (необязательно целое) число, ад, аь .. , а_т вещественные числа, а_т ф 0, а го, п,..., т_т вещественные функции па [О, Н-со). Пусть далее выполняются условия:

a) при некотором xq(> 0)

+ 00

Г (їх

/ \г_к(х)\— < +оо (Л = 0,1,...,т);

b) все корпи полинома $2m(z,v) при ^ > 0 и полинома $2m{z,0) — Л при
и — 0 различны.

При этих предположениях в [16] найдены асимптотические формулы для фундаментальной системы решений уравнения (1). В частности, в этой работе доказано, что утверждения 1) и 2) теоремы Орлова остаются справедливыми, если в ней условие (77) заменить условиями а) и Ь).

Отмстим, что в книге М.А. Наймарка [15] в общих чертах изложены содержания работ [17] и [16] (см. [15, гл.У, 17, с.207]). Работа [17] включена также в библиографию книги Н. Данфорда и Дж.Т. Шварца [5, с.1006]. Однако в гл.XIII книги [5], посвященной обыкновенным дифференциальным операторам, нет ссылки на [17]. В работе R.B. Paris и A.D. Wood [29], вошедшей позже в книгу [30], заново открыта теорема Орлова для частного случая рк{х) = ai;X^2k+,/ (к = 0,1,... ,т) и подробно изучен полином #2m(z, и). Таким образом, по-видимому, работы [17] и [16] так и остались незамеченными авторами книги [30]. В книге [30] рассматриваются также и некоторые дифференциальные выражения нечетного порядка частного вида и исследуются соответствующие им полипомы.

В работе К.А. Мирзоева [14] исследуются задачи об индексе дефекта и характере спектра оператора Lq, порожденного квазидифференциальным

выражением /„ произвольного (чётного или нечётного) порядка с комплекс-позначными коэффициентами на множестве / := [0; +оо). Полученные результаты аналогичны утвеждепиям теоремы Орлова, при этом условия, налагаемые на коэффициенты выражения /„ того же характера, что и (/), а условие а) видоизменено так, что выполнение условия 6) не требуется.

Отметим, что в области задач об определении индекса дефекта минимального замкнутого симметрического дифференциального оператора Lq интересную историю имеют операторы, порожденные дифференциальными выражениями вида

на / := [а; со), а Є R с коэффициентами р_т Є С^т(1),р_т > 0, р_к Є С^к(1),р_к>0 (к = 0,1,...,т-1).

В частности, в 1961 году W.N. Everitt высказал гипотезу, что в этом случае возможен только случай п₊ = п_ = т. Эту гипотезу в 1976 году опроверг R.M. Kauffman [28]. Он показал, что для выражений вида

Щ = -(*V³⁾)⁽³⁾ + Кх"-⁶у (4)

существуют положительные числа а и К такие, что п₊ = п_ > 3.

После публикации работы Кауффмана появилась новая гипотеза. В 1976 году J.B. McLeod сформулировал предположение о том, что дефектные числа оператора Lq, порожденного дифференциальным выражением І2т, могут принимать любые натуральные значения только из отрезка [m;2m — 1].

В 1981 году R.B. Paris и A.D. Wood показали, что индекс дефекта примера Кауффмана (KaufFman) есть (5,5) и, таким образом, максимальные

значения гипотезы Маклеода (McLeod) уже получены в данном случае. Они также вычислили границы постоянных в этом примере: а > 25 и для а = 25 примерный интервал для К - это 1,6-10⁶ < К < 1,77 10.

Более подробно о дифференциальных выражениях этого типа можно посмотреть, например, в работе В. Schultze [31] и в литературе, на которую там имеются ссылки.

Покажем, что этот нашумевший пример Кауффмана (Kauffmaii) является примером применения теоремы Орлова.

В выражении (4) произведём замену а — 6-\-и, полученное выражение

feM = -(^⁺V^3,)⁽³⁾ + ^"y, (5)

является выражением 6 порядка вида (3) с коэффициентами/^ = x^6+I/, Pi — Pi ~ 0) Ръ — Kx^v. Составим полином $q(z, v) для уравнения 1[у\ = Ху:

и\²

V-f-1

+ 3

Таким образом, задача о нахождении индекса дефекта преобразовалась в задачу о нахождении количества решений уравнения $g{z,i>) = 0, для которых 5Rz < 0 в зависимости от значений параметров К и и.

В первой главе данной работы исследуется задача о структуре решений уравнения (1) произвольного порядка (чётного или нечётного) с комплекснозначными коэффициентами в правосторонней окрестности нуля, т.е. мы рассматриваем случай / := (0; 1], и полученные результаты применяются к задаче об определении индекса дефекта соответствующих минимальных симметрических дифференциальных операторов и к задаче о характере спектра самосопряженных расширений этих операторов. При этом предполагается, что коэффициенты квазидифференциалыюго выра-

жения l_n и, следовательно, элементы матрицы F, удовлетворяют условиям, аналогичным либо (/) и (77), либо (/), а) в правосторонней окрестности нуля.

В параграфе 1.1 приводятся основные определения и факты, которые используются в дальнейшем, в частности, даётся традиционное определение симметрического (формально самосопряженного) дифференциального выражения, вводится понятие квазипроизводной и симметрического ква-зидифференциалыюго выражения, минимального и максимального операторов, рассматриваются некоторые вопросы, связанные с понятиями регулярных и иррегулярных точек линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений.

Параграф 1.2 данной работы носит в основном вспомогательный характер. Он посвящен вопросу задания дифференциального выражения 1_п в дивергентной форме посредством матрицы F в чётном и нечётном случаях и преобразованию системы (2) к системе дифференциальных уравнений с единственной регулярной особой точкой при х = 0.

Рассмотрим случай п = 2т. Пусть выполняется условие

(Л) Po,Pi,...,p_m,qQ,qu---,q_m-i (rn = 2,3,...) - вещественные функции на I и все функции

а_т := (-I)"?"¹, q_tb_i := (-l)^m+1(p_m-i + <#,_iPm ), ** ^:= (-l)^m+1p*. A„_! := -q_m-W~rn, / := (-l)^m+1ft, (A; = 0,1,..., m - 2) принадлежат C\_0C{I).

Определим матрицу i<2_W := F следующим образом:

І2т-к,к+1 — ^ак'і (& = 0, 1, . . . , m); J2m-k,k = І2т+1-к,к+1 ⁼ ^-1

(fc = 1,2,..., m); /fc^+i = 1 (fc = 1,2,..., m- l,m + 1,..., 2m- 1) и

fij — 0 при всех остальных значениях і и j.

Предположим также, что выполнено соотношение (23) функции po,pi,... ,р_т, до, qi,..., g_m-i имеют вид

p_k(x):=x^2k+l/{a_k + r_k{x));

q_k(x) := x^2k^⁺¹(b_k + s_k(x)) (k = 0,1,..., m - 1);

Jlm\v

^Pm{x):_{" ї^'}

при есеж x Є I, где v < 0, ао, ai,..., a_m, Ьо> 6i, ..., 6_m-i - действительные числа, a_m Ф 0, a ro, П,..., 7'_m, so, si, , s_m-i - вещественные функции на I

В случае п — 2га + 1 матрица 7^,,,+1 и коэффициенты соответствующего квазидифференциального выражения определяются аналогично предыдущему с некоторыми изменениями.

Отметим, что квазидифференциалыюе выражение „, порожденное матрицей F_n, где п - любое (чётное или нечётное) натуральное число, обладает тем свойством, что если

_Рк Є СМ{1) (к = 0,1,..., [n/2]), q_k Є C<*⁺¹>(J) (к = 0,1,...,[(п- 1)/2])

(С) и коэффициент при старшей производной отличен от нуля для всех X Є I,

то оно совпадает с классическим дифференциальным выражением

[п/2] [(н-1)/2]

U = E(M^(t))^w + ' {to^(fc+1))^w + to^w)^(fc+1)},

где [а] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее числа а.

Основным результатом данного параграфа является преобразование системы (2) с заданной матрицей F к системе дифференциальных уравнений

_х— = (А + В(х))У, ах

с единственной регулярной особой точкой при X = 0.

В параграфах 1.3 и 1.4 мы более точно формулируем условия на поведение коэффициентов дифференциального выражения 1_п в окрестности нуля, а именно, в параграфе 1.3 предполагаем, что выполняется

+00

(С) функции 7'k(z) и Sk(z) из соотношения (Ъ) представляются в виде сходящихся при \z\ < Хц(< 1) степенных рядов

,[к)

^rk{^z) '== Yl ^а? ^zJ {к = 0,1,..., т, если п = 2т или п = 2т + 1);

3=1

^+оа (к) ^sk{z) '— Y1 Щ ^z3 (к = 0,1,... ,т— 1, если п — 2т и к = 0,1,... ,т,

3=1

если п = 2т 4- 1).

Определим многочлен $_n(z,v) :

m к-1

+

v\> {v+1 ²⁺2J - "Г^{+ J}

Jfc=l j=o

7П-1 fc-1

_{+я(г+9к+Е^П (*+D - V}^+J_'

fc=l j=0

, если n = 2m и

7П-1

&,(z, ^) := $2m,{z, v) + 2г f z + -J Ь_т Д

Z/\ ²

²⁺2,

3=0 L

если n = 2m -f-1.

Справедлива следующая Теорема 1.3.1 Пусть элементы матрицы F_n удовлетворяют условиям (Л) и (С) и пусть 1_п - квазидифференциальное выражение, порождённое матрицей F_n. Тогда максимальное число линейно - независимых решений уравнений (1.3), принадлсоїсащих пространству 2(1), равно:

1. при v < 0 числу корней полинома $_n(z, и), лежащих в области ffiz > О, и не зависит от А;

2. при v = 0 числу корней полинома $_n(z, 0) — А, лежащих в области

Шг > О, и если п — 2т, то п₊ — п_ = т, если Dice п = 2m 4- I, то п+ = ш,п_ = т + 1.

Яри этом б случае v < О спектр любого самосопряженного расширения оператора Lq дискретный.

В параграфе 1.4 мы отказываемся от аналитичности функций го, Гі,..., r_m, so, si,..., s_m и предполагаем лишь, что выполняется условие

(2)) если n = 2т, то

f \\пх\^г

/ Ы^Н ^L^<+oo (fc = 0,l,...m)

Г \\пх\^Г

/ \s_k{x)\- -dx < +оо (А; = 0,1,... m - 1);

о если п = 2т + 1, то функции го, п,... r_m, so, Si,... s_TO_i такие же, как и

в случае п = 2т, а для функции s_m

Л / м1М^?' і

/ \s_m(x)\ dx < +00.

Справедливы следующие теоремы. Теорема 1.4.1 Пусть и < 0 и элементы матрицы F_n удовлетворяют

условиям (Л) и (D) в этом случае. Предположим, 4mozi,Z2, , z_q, z_q+\,...

z_q+j - все различные характеристические корни матрицы А, причём z\,Z2,.

Zq - однократные корни, при 1 < р < j кратность корня z_q+p равна г_р и

"Yj ^гр + Я. — ⁿ> ^{max r}v — ^r + 1> тогда уравнение (1.3) имеет фундамен-
p=l \

тальную систему решений Ук{х) такую, что при х —» +0

y_k{x) = cx^Zk^{l + o{l)), А;=1,2,...,д;

у_ш{х) = сх^г«>-ъЫ х{\ + о(\)), А; = д + гі + ... + Гр_і; г = 0,1,... ,т>-1.

Теорема 1.4.2 Пусть выполняются условия теоремы 1.4-1, тогда справедливы все утвероісдепия теоремы 1.3.1.

В заключительном параграфе 1.5 главы 1 рассматривается пример применения полученных результатов к одночленному симметрическому дифференциальному выражению четного порядка. Пусть

1ъп[у] = (*ЧФ^(т))^И,

где р Є |1;2т), а(х) - вещественная функция на отрезке [0; 1] и \а(х)\ > 0 для всех х Є [0; 1].

Справедливы следующие утверждения. Утверждение 1.5.1 1) если р не целое число и функция а(х) удовлетворяет условию

[ \а(х) — а\

dx < со,

J ^х

где а - некоторое ненулевое число, то уравнение

ктУ = Ау (7)

имеет фундаментальную систему решений у^(х) такую, что при х-> +0

(^-^1 + 0(1)), *=1,2,...,т; Ук= {

х^к"^р'¹{1 + о(1)), к = т + 1, т + 2,..., 2т.

2) если о/ее р целое число, а функция а(х) удовлетворяет условию

f \а{х) — а\

1п(а:)| dx < со,

J ^х

где а - некоторое ненулевое число, то уравнение (7) имеет фундаментальную систему решений уk(x) такую, что при р Є [l,m] и х —> +0

2^(1 + 0(1)), к = 1,2,...,т;

Ук= {

x*"^p_1lna;(l + o(l)), Л; = m+ l,m +2,..., m + p; a:*-p-i(l + o(l)), A; = m + p + 1, m + p + 2,..., 2m; а при p Є [m + 1,2m — 1] w x —> +0

^-41 + 0(1)), к =1,2,..., m;

2/fc = \

a?^fc"^p_1(l+ o(l)), fc = m + l,m +2,..., p; дА-Р-і іпя;(1 + o(l)), fc = p + l,p + 2,..., 2m.

Утверждение 1.5.2 Дефектное число n₊{= nJ) оператора Lq, nopooic-денного дифференциальным выраэ/сением І2_т, определяется по формуле

п+

2m,

еслир Є [l,m + }>);

3m-[p+4], еслир Є [m+ |,2m).

До сих пор мы рассматривали дифференциальные выражения /_ш старшие коэффициенты которых (т.е. функция р_т при п — 2т, или функция q_m при n = 2т + 1) не обращаются в нуль в точках множества /.

Предположим теперь, что коэффициенты выражения /„ удовлетворяют условию (6), но старший коэффициент этого выражения обращается в нуль в некоторых точках внутри множества / :— (а; Ь), (—оо < а < Ь < +оо). И в этом случае, так же, как было сделано выше, можно построить матрицу F и определить квазипроизводные заданной функции. Однако при этом для матрицы F нарушается условие суммируемости коэффициентов на каждом

замкнутом конечном интервале (Д_;- Є С\_ос{1)). Тем не менее, множество бесконечно дифференцируемых финитных функций является всюду плотным линейным многообразием в пространстве 2(-0 и І_пу Є 2(-0> ^если У ~ из этого множества. Далее, исходя из этого, известным образом определяется минимальный замкнутый симметрический оператор Lq в гильбертовом пространстве 2(1)1 порожденный выражением 1_п [5, гл.XIII, 2].

В данной работе, следуя книге Н. Даифорда и Дж. Т. Шварца [5, гл.ХШ, 1, с. 447], будем называть дифференциальное выражение 1_п иррегулярным дифференциальным выражением, если коэффициенты этого выражения удовлетворяют условию (6) и его старший коэффициент обращается в нуль в некоторых точках множества /.

Дифференциальные операторы, порожденные иррегулярными дифференциальными выражениями, возникают во многих областях современного анализа; таковыми являются, например, обобщенные операторы Лежандра (см. [24, гл.7]) из теории квазиклассических ортогональных многочленов. Однако вопросы спектрального анализа этих операторов изучены удивительно мало. В частности, лишь сравнительно недавно стали появляться работы, посвященные определению дефектных чисел операторов, порожденных одночленными иррегулярными дифференциальными выражениями с вещественными коэффициентами (см. [20] и работы, на которые там имеются ссылки).

В работе [22] Ю.Б. Орочко рассматривает иррегулярное дифференциальное выражение s_pq[f}(x), х Є / := [—h, h], которое строится путём склеивания в точке х = 0 дифференциальных выражений

^{s;[f\{x) = (-mx4{x)}_y^{^m\x),}

*"[/](*) = {-1У'{хЧ{х)уЩ^т\х)

произвольного чётного порядка2m > 2, гдеа(х) Є C[0,h], b(x) Є С[—/і, 0], h > 0, - действительные функции, не имеющие нулей па рассматриваемых отрезках, р > 0, q > 0.

Пусть Lq' и Lq'~ симметрические минимальные операторы, порожденные выражениями s+[/] и s~[f] соответственно в гильбертовых пространствах ₂(0;Д) и г(^—h;0).

При определенных ограничениях пар и g дифференциальное выражение s_vq{f] порождает симметрический минимальный оператор Iff, действующий в C<2(—h;h) и являющийся симметрическим расширением ортогональной суммы операторов L|J'⁺ $Lq~.

Основной результат работы [22] заключается в следующей теореме. Теорема. Для любой пары значений параметров р, q > 2п — | мооюно найти комплексное число z, ^sz ф 0, такое, что дефектные пространства Л/Г', Up , M_pq симметрических операторов Ц{⁺, Lq~ и Iff обладают свойствами

dimj\f~ — dimMp = m,

dimj\f_pq = dimj\f~ + dimj\f_p⁺ -- 2m.

В работе [20] рассматривается минимальный симметрический дифференциальный оператор Iff порожденный иррегулярным дифференциальным выражением вида

1_2т[у](х) := (-іНФОуМ^М, х Є (-Л, h\ (8)

а именно, предполагается, что с(х) = х^ра(х), а(х) - бесконечно дифференцируемая действительная функция и а(х) ф 0 для любого х Є [—h,h], h > 0, р Є {1,2,.. .,2m — 1}. В ней доказано, что для верхнего дефектного числа п+(= п_) оператора L^V_Q справедлива формула п₊ = 2т + р, если р {1,2,...,т}. Кроме того, в этой работе Ю.Б. Орочко сформулировал гипотезу о справедливости равенства п₊ = Am — р в случае р {m+ 1,т+ 2, ...,2т- 1}.

Во второй главе і)ассматриваются дифференциальные выражения вида (8). Исследуется структура решений дифференциального уравнения hm,+[y] ~ Ау, ^х Є (0,1], и определяются дефектные числа минимального симметрического оператора, порожденного иррегулярным дифференциальным выражением вида (8).

В параграфе 2.1 приводятся основные определения и факты, которые используются в дальнейшем, в частности, вводятся понятия иррегулярного дифференциального выражения и минимального замкнутого симметрического оператора, порожденного таким выражением.

В параграфе 2.2 мы уточняем формулы для решений уравнения кт+[у] — Аї/, х Є (0,1], полученные в параграфе 1.5 для более общего случая, а именно, мы предполагаем, что функция a(z) - аналитическая функция при \z\ < Xq < 1,

+оо

a(z) := (Jo + У2 ^aj^z^ ^ao Ф 0

\\p Є {m-fl, m4-2,... 2m—1}. Поэтому в данном случае применимы методы аналитической теории дифференциальных уравнений (см. [1, гл. XVI], [13, гл. IV, 8]).

Обозначим п_р := n_+iP(n__jP) - дефектное число минимального симмет-

рического оператора Lq, порожденного дифференциальным выражением (8), в верхней (нижней) открытой комплексной полуплоскости и [f,g](x) - билинейную форму, возникающую в известном тождестве Лаграпжа для дифференциального выражения І2,_п.

Важным промежуточным результатом является Теорема 2.2.1 При р Є {га + 1, т -f 2,..., 2га — 1} уравнение (2.3) имеет фундаментальную систему решений у к, к = 1,2,..., 2т; Зт — р элементов уі,ї/2, , у_т, Ур+1,Ур+2, і Уъп, которой припадлсоїсат пространству 2(0? 1) ^и д^ля которых значения [/, |/а_:](+0) вычисляются по формулам

І а*/^12т-*^](0), если к = р + 1, р + 2,..., 2т;

[/.у*](+о) = <

I 0, во всех остальных случаях,

где ( — числа, отличные от нуля.

Основным результатом этого параграфа является теорема, доказывающая гипотезу, сформулированную в работе [20], а именно, справедлива следующая

Теорема 2.2.4 При р = т + 1, т f 2,..., 2m — 1 справедлива формула п_р = Am — р.

В параграфе 2.3 мы рассматриваем дифференциальные выражения вида (8), где вещественная функция с(х) представляется в виде

^{

х^ра(х), если х Є [0; 1]; (9) \х\^чЬ(х), если х є [-1;0],

где \а(х)\ > 0 для всех х Є [0; 1], \Ь{х)\ > 0 для всех х Є [—1; 0]. Знак с{х) при х Є [—1;0) иже (0; 1] может быть любым.

Пусть p,q Є {1,2,... ,2m — 1}, функции a(z) и b(z) - аналитические функции при \z\ < xq < 1. Предположим далее, что при \z\ < Xq < 1

+00 _i +00

a(z) := а₀ 4- я^', ^ао 7^ О ^и К²) ^:= ^о + Ь_;-^', >о т^ 0.

Для дефектных чисел минимального замкнутого симметрического дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением вида (8) со сделанными выше предположениями относительно коэффициента с(х), справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.3.2 При p,q є {m + l,m + 2,... ,2m — 1} справедлива формула п_п = \т — maxjp, q].

Теорема 2.3.3 При p,q Є {1,2,..., m} справедлива формула n_vq = 2т + mirijp, q].

Теорема 2.3.4 При р є {1,2,..., т], q Є {т 4- 1, т + 2,..., 2т - 1} справедлива формула n_pq — Зт + р — q.

В заключении, в параграфе 2.4, мы рассматриваем возможность обобщения результатов, полученных в параграфах 2.2 и 2.3, на случай, когда функции а(х) и Ь(х) в определении коэффициента с(х) не являются аналитическими на соответствующих множествах, а принадлежат классу достаточное число раз непрерывно дифференцируемых функций.

Квазипроизводные и симметрические квазидифференциальные выражения

При этих предположениях в [16] найдены асимптотические формулы для фундаментальной системы решений уравнения (1). В частности, в этой работе доказано, что утверждения 1) и 2) теоремы Орлова остаются справедливыми, если в ней условие (77) заменить условиями а) и Ь).

Отмстим, что в книге М.А. Наймарка [15] в общих чертах изложены содержания работ [17] и [16] (см. [15, гл.У, 17, с.207]). Работа [17] включена также в библиографию книги Н. Данфорда и Дж.Т. Шварца [5, с.1006]. Однако в гл.XIII книги [5], посвященной обыкновенным дифференциальным операторам, нет ссылки на [17]. В работе R.B. Paris и A.D. Wood [29], вошедшей позже в книгу [30], заново открыта теорема Орлова для частного случая рк{х) = ai;X2k+,/ (к = 0,1,... ,т) и подробно изучен полином #2m(z, и). Таким образом, по-видимому, работы [17] и [16] так и остались незамеченными авторами книги [30]. В книге [30] рассматриваются также и некоторые дифференциальные выражения нечетного порядка частного вида и исследуются соответствующие им полипомы.

В работе К.А. Мирзоева [14] исследуются задачи об индексе дефекта и характере спектра оператора LQ, порожденного квазидифференциальным выражением /„ произвольного (чётного или нечётного) порядка с комплекс-позначными коэффициентами на множестве / := [0; +оо). Полученные результаты аналогичны утвеждепиям теоремы Орлова, при этом условия, налагаемые на коэффициенты выражения /„ того же характера, что и (/), а условие а) видоизменено так, что выполнение условия 6) не требуется.

Отметим, что в области задач об определении индекса дефекта минимального замкнутого симметрического дифференциального оператора LQ интересную историю имеют операторы, порожденные дифференциальными выражениями вида

В частности, в 1961 году W.N. Everitt высказал гипотезу, что в этом случае возможен только случай п+ = п_ = т. Эту гипотезу в 1976 году опроверг R.M. Kauffman [28]. Он показал, что для выражений вида существуют положительные числа а и К такие, что п+ = п_ 3. После публикации работы Кауффмана появилась новая гипотеза. В 1976 году J.B. McLeod сформулировал предположение о том, что дефектные числа оператора LQ, порожденного дифференциальным выражением І2т, могут принимать любые натуральные значения только из отрезка [m;2m — 1]. В 1981 году R.B. Paris и A.D. Wood показали, что индекс дефекта примера Кауффмана (KaufFman) есть (5,5) и, таким образом, максимальные значения гипотезы Маклеода (McLeod) уже получены в данном случае. Они также вычислили границы постоянных в этом примере: а 25 и для а = 25 примерный интервал для К - это 1,6-106 К 1,77 10. Более подробно о дифференциальных выражениях этого типа можно посмотреть, например, в работе В. Schultze [31] и в литературе, на которую там имеются ссылки. Покажем, что этот нашумевший пример Кауффмана (Kauffmaii) является примером применения теоремы Орлова. В выражении (4) произведём замену а — 6-\-и, полученное выражение Таким образом, задача о нахождении индекса дефекта преобразовалась в задачу о нахождении количества решений уравнения $G{Z,I ) = 0, для которых 5Rz 0 в зависимости от значений параметров К и и. В первой главе данной работы исследуется задача о структуре решений уравнения (1) произвольного порядка (чётного или нечётного) с комплекснозначными коэффициентами в правосторонней окрестности нуля, т.е. мы рассматриваем случай / := (0; 1], и полученные результаты применяются к задаче об определении индекса дефекта соответствующих минимальных симметрических дифференциальных операторов и к задаче о характере спектра самосопряженных расширений этих операторов. При этом предполагается, что коэффициенты квазидифференциалыюго выра жения ln и, следовательно, элементы матрицы F, удовлетворяют условиям, аналогичным либо (/) и (77), либо (/), а) в правосторонней окрестности нуля. В параграфе 1.1 приводятся основные определения и факты, которые используются в дальнейшем, в частности, даётся традиционное определение симметрического (формально самосопряженного) дифференциального выражения, вводится понятие квазипроизводной и симметрического ква-зидифференциалыюго выражения, минимального и максимального операторов, рассматриваются некоторые вопросы, связанные с понятиями регулярных и иррегулярных точек линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений. Параграф 1.2 данной работы носит в основном вспомогательный характер. Он посвящен вопросу задания дифференциального выражения 1п в дивергентной форме посредством матрицы F в чётном и нечётном случаях и преобразованию системы (2) к системе дифференциальных уравнений с единственной регулярной особой точкой при х = 0.

Регулярные и иррегулярные точки линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений

В этой главе, состоящей из пяти параграфов, рассматриваются вопросы, связанные с дифференциальными выражениями произвольного порядка с комплекснозначными коэффициентами.

В параграфе 1.1 вводятся основные понятия и обозначения, используемые в дальнейшем. Параграф 1.2 в основном посвящен преобразованию основного уравнения к системе дифференциальных уравнений с регулярной особой точкой, удобной для дальнейших исследований. В параграфах 1.3 и 1.4 исследуется задача о структуре решений уравнения lny = Ху произвольного порядка (чётного или нечётного) с комплекснозначными коэффициентами (аналитическими - в параграфе 1.3 и неаналитическими - в параграфе 1.4) в правосторонней окрестности нуля, и полученные результаты применяются к задаче об определении индекса дефекта соответствующих минимальных симметрических дифференциальных операторов и к задаче о характере спектра самосопряженных расширений этих операторов. Параграф 1.5 посвящен исследованию асимптотики решений дифференциального уравнения 1пу = \у в правосторонней окрестности нуля, где /„ - одночленное симметрическое дифференциальное выражение четного порядка, п — 2т, и определению индекса дефекта минимального замкнутого оператора, порождённого этим дифференциальным выражением. В п. 1.1.1 рассматривается традиционное определение симметрического (формально самосопряженного) дифференциального выражения. В п. 1.1.2 вводятся понятия квазипроизводной и симметрического квазидиффереици-ального выражения, приводятся обобщенное тождество Лагранжа, формула Грина и формулируется теорема существования и единственности решений системы линейных дифференциальных уравнений. В п. 1.1.3 приводятся основные факты, связанные с дифференциальными операторами, вводятся понятия дефектных чисел и индекса дефекта таких операторов. П. 1.1.4 посвящен рассмотрению регулярных и иррегулярных точек линейных дифференциальных уравнений и систем линейных дифференциальных уравнений. Цу] = РпУ{п) + Рп-1У{п 1] + + РаУ на интервале / := (а;Ь) (—со а b +00), где pj (j = 0,1,...,п) - комплекснозначные функции, принадлежащие пространству С (1), т.е. пространству j раз непрерывно дифференцируемых функций на интервале /, и рп ф 0 при х Є I. Дифференциальное выражение на /, где р обозначает функцию, комплексно сопряженную к функции р, называется сопряэ/сенпым к дифференциальному выражению 1[у]. Дифференциальное выражение 1п называется симметрическим (формально самосопряженным), если для любого у Є С п\і) выполняется равенство 1+[у] = Цу]. Известно, что для п 1 всякое симметрическое дифференциальное выражение может быть представлено в виде достаточное число раз дифференцируемые, действительные функции, г - мнимая единица (г = у/—Т) и [х] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее х. В дальнейшем мы будем рассматривать симметрические дифференциальные выражения, не предполагая дифференцируемости коэффициентов, и называть такие выражения квазидифференциальными. Перейдём теперь к более точным и строгим определениям. Квазиироизводные и симметрические квазидифференциальные выражения Пусть комплскснозначныс функции /у- (г, j = 1,2..., щ п 1) - элементы матрицы - функции F :— (fij), определены на интервале / и удовлетворяют следующим условиям: a) f = 0 почти всюду на / при 2 г + 1 j Щ Р) f Є 1(а,(3) для любых a, ft Є I и 1 z,j п , т.е. /у локально абсолютно интегрируемы (/у- є ос(/)) ; 7) Ді+і 7 0 почти всюду на / при 1 і п — 1. Определим квазипроизводные у W заданной функции у посредством матрицы F, полагая У[0] := У, при условии, что у[г_11 уже определены и являются абсолютно непрерывными функциями на каждом компакте [а,0\ С I, г = 1,2,... ,п — 1, и квазидифференциальное выражение Отметим, что условия а) и 7) нужны для того, чтобы можно было определить скалярное квазидифференциалыюе выражение, порожденное матрицей F, а условие (3) - для обеспечения справедливости теоремы существования и единственности решений соответствующих систем дифференциальных уравнений первого порядка. Формулировка этой теоремы будет приведена в конце пункта. В дальнейшем мы будем рассматривать только симметрические квази-дифферепциальные выражения, порождённые матрицей F, удовлетворяющей условиям а),Р),7) и условию симметричности : 5) F=-J lF J, где F - сопряжённая матрица к матрице/ " , т.е F = (fji), и J := ((—iy5i,n+i-j) (1 i,j п), Sij - символ Кронекера.

Случай аналитического коэффициента с одинаковым порядком нуля

В этой главе, состоящей из четырёх параграфов, рассматриваются вопросы, связанные с определением индекса дефекта класса дифференциальных операторов чётного порядка, порожденных иррегулярным дифференциальным выражением. В параграфе 2.1 вводятся основные понятия и обозначения, используемые в дальнейшем.

Параграф 2.2 посвящен рассмотрению иррегулярных дифференциальных выражений с аналитическими коэффициентами и одинаковым порядком нуля, а именно, используя метод Фробениуса из аналитической теории дифференциальных уравнений, мы определяем фундаментальную систему решений дифференциальных уравнений ,+[у] = Ау и І2т,-[у] = Ml и на основе полученных результатов доказываем основную теорему о дефектных числах.

В параграфе 2.3 исследуются дифференциальные операторы, порожденные иррегулярным дифференциальным выражением, старший коэффициент которого имеет разные порядки нуля, и определяются дефектные числа некоторых классов таких операторов. В параграфе 2.4 рассматривается возможность обобщения результатов, полученных в параграфах 2.2 и 2.3, на случай, когда старший коэффициент рассматриваемого иррегулярного дифференциального выражения принадлежит классу достаточное число раз непрерывно дифференцируемых функций. В пп. 1.1.1 - 1.1.3 главы 1 были введены квазипроизводные и квазидифференциальные выражения 1п посредством матрицы-функции F, удовлетворяющей условиям а) — 5), и дифференциальные операторы, порожденные такими выражениями. При этом мы предполагали, что коэффициент при старшей производной нигде не обращается в пуль на рассматриваемом множестве / := (а; Ь). Если же старший коэффициент дифференциального выражения обращается в пуль в некоторых точках внутри множества /, то и в этом случае можно построить матрицу F и определить квазипроизводные заданной функции. Однако при этом для матрицы F условие /?) нарушается. Тем не менее, множество бесконечно дифференцируемых финитных функций является всюду плотным линейным многобразием в пространстве г(Л и 1п[у] Є 2(/), если У из этого множества. Далее, исходя из этого, определяется минимальный замкнутый симметрический оператор в гильбертовом пространстве г(-0» порожденный выражением 1п (см. [5, гл. XIII, 2]). Следуя книге Н. Данфорда и Дж. Т. Шварца [5, гл. XIII, 2], дифференциальное выражение 1п с достаточное число раз дифференцируемыми коэффициентами и старшим коэффициентом, обращающимся в нуль на множестве /, будем называть иррегулярным дифференциальным выражением. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное выражение произвольного порядка 2т, т— 1,2,... где функция с(х) - вещественная, достаточное число раз дифференцируемая при х Є І, I := {a;b), —со а b +оо и обращающаяся в нуль в некоторых точках из этого множества. Пусть LQ - минимальный замкнутый симметрический оператор, порожденный дифференциальным выражением /2m в гильбертовом пространстве 2 (-0- Так как LQ вещественный оператор, то его дефектные числа в верхней и нижней открытых комплексных полуплоскостях совпадают. Обозначим их общее значение символом п. Хорошо известно, что если с(х) 0 или с(х) 0 на интервале (а;Ь), то п 2т. В работе Ю.Б. Орочко [23] приведены примеры, показывающие, что если интервал (а; Ь) содержит конечное или счётное множество нулей коэффициента с(х), то может выполняться противоположное неравенство. Введём расширенное понятие порядка нуля коэффициентас(х). Точка XQ Є (a; b) называется правосторонним нулем коэффициента с(х) порядка р 0 (соответственно левосторонним нулем порядка q 0), если с(х) — (х — хо)ра(х), где функция а(х), положительная или отрицательная на некотором отрезке [X0;XQ + /і], при х Є (X0;XQ + h] (соответственно В работах Ю.Б. Орочко (см., например, [20], [21], [22]) рассматриваются дифференциальные выражения вида ( 2.1) при различных предположениях относительно функции с(х) и порядков нуля р, q и исследуются некоторые характеристики оператора Lo при этих предположениях. Предположим, что коэффициент с(х) выражения І2т, определенный на множестве / := [—1; 1], имеет на этом множестве единственный нульх0 = 0 правостороннего порядка р и левостороннего порядка q, тогда для него справедливо представление Так как свойства оператора L0, порожденного дифференциальным выражением l2im существенно зависят от значений показателей р и q, то, для определённости, обозначим Щ1 - минимальный замкнутый симметрический оператор в С,2(—1; 1), порожденный дифференциальным выражением І2т с таким коэффициентом с(х) и пп - общее значение дефектных чисел этого оператора.

Случай аналитического коэффициента с разными порядками нуля

Таким образом, для вычисления этих пределов можно воспользоваться формулой общего решения уравнения (2.3) при Л = 0. При этом, при определении системы линейно-независимых решений Уі,У2,- ,У2т в качестве произвольных постоянных Cfc, к = 1,2,..., 2т достаточно взять базис пространства R2m. Далее, упорядочив систему yi,уг Vim, которая получается из общего решения /, в соответствии с утверждением 1.5.1, заключаем, что справедлива следующая

Теорема 2.2.2 При р {гп + 1, т + 2,..., 2т — 1} для Зт — р решений УиУ2,---,Ут,Ур+1,УР+2,---,У2т дифференциального уравнения (2.3) при А = 0; прииадлеоісащих гилъбертовому пространству г(0; 1), односторонние пределы [/, г/&](+0) существуют для любой функции f(x) 0, во всех остальных случаях. Кроме того, учитывая свойства решений дифференциального уравнения (2.4), получаем, что аналогичная теорема справедлива и для этого уравнения, а именно, справедлива Теорема 2.2.3 При дифференциального уравнения (2.4) при А = 0, принадлео/еащих гилъбертовому пространству 2(- - ,0), односторонние пределы [/,Ук](—0) существуют для любой (функции f(x) Є С(—1,1), и их значения вычисляются по формулам во всех остальных случаях. В этом пункте доказывается основная теорема об индексе дефекта дифференциального оператора Ljj, порожденного дифференциальным выражением (2.6) с аналитической функцией а(х) и р є {m + 1, m + 2,... 2m — 1}. Упорядочим фундаментальные системы решений дифференциальных уравнений (2.3) и (2.4) в соответствии с утверждением 1.5.1, тогда полученное В Теореме 2.2.1 МНОЖеСТВО реиЮНИЙ ф\, ф2, ... , фт, фр+1,фр+2, . . . , 02т дифференциального уравнения (2.3) является линейно-независимой системой в подпространствеЛ/ +, а множество решений щ, щ,..., цт, т/р+1, 7/р+2,..., цчт дифференциального уравнения (2.4) является линейно-независимой системой в подпространстве Мр Символами у+(х) и у-(х) обозначим сужение функции у(х), заданной при х Є [—1,1] на [0,1] и соответственно. Справедлива следующая лемма ( см. [20]) Лемма 2.2.3 При любом натуральном р дефектное подпространство J\fv оператора LVQ совпадает с линейным многообразием, состоящим из функций у(х) Є 2(-1,1) обладающих тремя свойствами: 2). для любой (функции f(x) Є Су0 (—1,1) существуют односторонние пределы [/,у](-0) и У,у]{+0); 3). в точке х — 0 для любой f(x) Є CQ(—1,1) выполняется условие сопряжения [/,у](-0) = [/,у](+0). Сформулируем и докажем основную теорему об индексе дефекта. Теорема 2.2.4 При р = m + 1, m -f 2,...,2m — 1 справедлива формула Доказательство. Схема доказательства этой теоремы одинакова как для случая р = 1, 2,..., т, так и для случая р = m + 1, m + 2,..., 2т — 1, и повторяет рассуждения, приведенные в работе [20], для первого случая. Итак, пусть р = m+l,m + 2,... ,2m —1. Множество функций из 2(-1,1), обладающих свойством 1 леммы 2.2.3, есть совокупность функций у(х), заданных на интервале (—1,1), для которых справедливы представления

Похожие диссертации на Спектральный анализ некоторых классов дифференциальных операторов

Метод подобных операторов в спектральном анализе некоторых классов линейных операторовГаркавенко Галина Валериевна

Спектральный анализ некоторых классов линейных операторовПальчиков, Александр Николаевич

Гармонический анализ некоторых классов линейных операторовСинтяева Ксения Андреевна

Метод подобных операторов в спектральном анализе возмущенных линейных операторов и некоторых классов дифференциальных операторовПыркова Мария Сергеевна

Конструкции операторов класса Sm и их аппроксимационные свойстваСидоров, Сергей Петрович

Операторы классов S2m и их аппроксимативные свойстваЕршова Елена Михайловна

Модельное представление и функциональное исчисление некоторых классов операторов в пространствах с идефинитной метрикой Штраус Владимир Абрамович

Коэрцитивные оценки и разделимость дифференциальных операторов класса ТрибеляГаибов Давронбег Сафарович

Аппроксимативные свойства некоторых операторов класса S_m и их двумерных аналогов Шестакова Ольга Николаевна

Характеристические свойства некоторых классов интегральных операторовУшакова, Елена Павловна