Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Аппроксимативные свойства некоторых операторов класса Sm 18
1.1. Вводные замечания 18
1.2. Операторы класса Sy 24
1.3. Приближение классов//1 и WXHX операторами класса^. Непериодический случай 27
1.4. Классе 33
1.5. Классы ,%т. Оценка скорости приближения по порядку 39
1.6. Приближение функций классов Я1 и W[H] операторами класса S2 в периодическом случае 44
1.7. Тригонометрические операторы Баскакова 50
Глава 2. Двумерные аналоги некоторых операторов класса Sm 56
2.1. Общие замечания 56
2.2. Двумерные аналоги операторов класса Si 58
2.3. Случай положительности одного из ядер. Общие соображения
2.4. Двумерные аналоги операторов классов S2 и S4. Случай положительности одного из ядер 66
2.5. Двумерные аналоги операторов класса ^. Случай, когда оба ядра меняют знак 72
2.6. Двумерные аналоги операторов класса і% в периодическом случае
2.7. Двумерный вариант операторов Баскакова 88
Заключение 89
Литература 91
- Приближение классов//1 и WXHX операторами класса^. Непериодический случай
- Приближение функций классов Я1 и W[H] операторами класса S2 в периодическом случае
- Случай положительности одного из ядер. Общие соображения
- Двумерные аналоги операторов класса і% в периодическом случае
Введение к работе
Актуальность проблемы (работы). Теория приближения функций является классической проблемой математического анализа еще с XVIII-ХГХ вв., она решалась в различных направлениях в трудах Тейлора, Фурье, Вейерштрасса, П. Л. Чебышева, А. А. Маркова и др. В XX в. ей посвятили свои работы М. В. Келдыш, М. А. Лаврентьев, С. Н. Бернштейн, А. Н. Колмогоров, С. М. Никольский, Дж. Джексон, Дж. Л. Уолш и др.
Диссертационная работа относится к теории приближения, одной из задач которой является получение оценок вида
|я(/(0,*)-/(ф«яСЛ-»о,
гдеДх) - приближаемая функция, L„ - приближающая последовательность линейных операторов. В 60-70 гг. П. ft. Коровкиным, а впоследствии Ю. Г. Абакумовым и их учениками были проведены исследования операторов L„ класса Sm.
Цель работы - развитие и модификация методов исследования аппроксимативных свойств приближающих последовательностей линейных операторов, которые ранее успешно применялись к случаю положительных операторов по схеме П. П. Коровкинас применением метода интерполяции и распространения его на двумерный случай.
Научная новизна и практическая значимость работы. В работе впервые опытом применен метод интерполяции к исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов, относящихся к классам . и 54. Получены также некоторые новые результаты, относящиеся к более общим ьшассам Sim- Существенно новым является рассмотрение двумерных
аналогов операторов класса .%, т. к. и і і ntiir-, -— ранее
С НАЦИОНАЛЬНАЯ I
«НвЛНОТЕКА I
не проводились.
Все основные результаты диссертации являются новыми и относятся к следующим направлениям: 1) исследование аппроксимативных свойств операторов класса S2m, 2) исследование аппроксимативных войств двумерных аналогов операторов класса S^, 3) исследование аппроксимативных свойств двумерных операторов, ядра которых образованы положительным ядром и ядром, меняющим знак т раз, 4) применение общих оценок к три-гонометрическим операторам В. А. Баскакова.
Главный итог полученных результатов:
Операторы классов Si и 1 при естественных о них предположениях дают на классах Н1 и РГ'Я1 порядок приближения не хуже, чем положительные операторы. Имеющиеся примеры показывают, что на классах более гладких функций операторы этих классов могут давать порядок приближения лучший, чем положительные операторы.
Некоторые из результатов диссертации уже использованы в работах других авторов в дальнейшем изучении теории аппроксимативных свойств операторов.
Методы исследования. В диссертации применяются современные методы функционального анализа, теория аппроксимации, а также упомянутый ранее метод интерполяции, который базируется на единой схеме вывода оценок, кратко описываемой следующим образом:
по исследуемой функции строится вспомогательная; выводятся оценки относительно этой функции и полиномов (или других конструкций), аппроксимативные свойства которых считаются известными;
неравенства относительно функций преобразуются в неравенства относительно операторов.
Апробоация работы. Результаты диссертации докладывались:
1) на научных семинарах:
кафедры математического анализа Забайкальского государственного педагогического университета под руководством проф. С. Е. Холодовского (г. Чита, 1999-2001 гг.);
кафедры высшей математики Хабаровского государственного технического университета под руководством проф. А. Г. Зарубина (г. Хабаровск, 2001 г.);
Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской Академии наук под руководством чл.-корр. РАН, проф. Н. В. Кузнецова (г. Хабаровск, 2000-2002 гг.);
2) на ежегодных научных конференциях Читинского государственного
технического университета (Чита, 1994-2000 гг.);
систематически на семинаре кафедры прикладной математики ЧитГТУ по руководством доц. Н. В. Розовой;
на международной конференции по теории приближений (Калуга, 1996 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-15], из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 95 страницах компьютерного текста и состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы, включающего 52 наименования.
Приближение классов//1 и WXHX операторами класса^. Непериодический случай
В этом параграфе мы рассматриваем последовательности аппроксимирующих операторов L„\C\a,h]-C[a,b} класса Sj , такие, что знаковыми функциями для L„ и точке .V отрезка [ct.b] являются где h„iO. В. П. Фортуна [34] рассмотрела случай L„{ 1 ,.v) = I, L„{t,x) = x, L„{r ,x) — .v. При выполнении этих условий дляf{t) &Црм\ В данном параграфе приводится усиление этих результатов в следующих направлениях: 1) условие точного равенства L„(i ,x)=x , / = 0,1,2 заменяется соответствующим условием сх Докакітельстно. Пусть/(/) є / д, І. її промежуточных выкладках вместо/?,, используется її. Зафиксируем произвольным образом хе[а,Ь] и положим Таким образом, для оценки Ln(f(t),x)-f(x) достаточно оценить следующие величины: ( Нормы берутся от функции аргументам ). Далее приводятся оценки этих величин в перечисленном порядке. Имеем, Из определения (p{t) не трудно заметить, что/(/)=&(/)+ / (/) где git) - интерполяционный полином Лагранжа (для/(О) первой степени по узлам .v-A, .V + A Прнмеляя интерполяционную формулу Ньютона, получим где /(/;Л-Л;Л+А) - разделенная разность. (x„,fl„ имеют тот же см мел, что и и теореме 1.2. Доказательство. Соглашение оП обозначении А вместо Л„, принятое в доказательстве теоремы 1.2, сохраняется. Зафиксируем произвольным образом xe[a,b] . Так же, как и в случае теоремы 1.2, основой доказательства является равенство in 2 и равенство (1.5). Функция (p{t) определяется так же, как и в доказательстве теоремы 1.2. Суммируя полученные оценки, имеем В этом параграфе будут даны оценки приближения операторами L„: C[a,b] C[a,b], которые для каждого хє[а,Ь] удовлетворяют условию где //„-І0- некоторая последовательность действительных чисел. Если 4h„ b-a, ToL„eSj. Теорема 1.4. Пусти L„:C[a.h]- С[а, b] -линейные операторы, удовлетворяющие приведенным выше условиям. Пусть, кроме того, L„( 1 ,х) = 1, тогда для ДО = LipM I Доказательство. Как и ранее, в промежуточных выкладках пишется // вместо //„. Если в доказательстве фигурирует выражение вида_Дс), где с[а,Ь], то полагаем Зафиксируем хе[а,Ь\. В дальнейшем обозначено X\-x-2h, X2=x-h, xy x + h. Л 4=Л + 2Л. Пусть / ( )-/(/)- (0, ivieg(/)- интерполяционный полином Лаграп-жа функции/{/) поучлам .V. .ЇЇ, .Ї.І, - 4 где - /(-V,;л 2),./(A-,;.v2;.Vi).,/{.v, ;„v2;л 3;х4) - разделенные разности. По определению одимости [ю норме С[а,Ь] , 2) уточняются константы (показано, что константы 3 и 2,5 можно заменить двойкой). Теорема 1.2. Пусть //„!(), /„„: С[а,b]—»С[«,А] - операторы класса 5: со знаковой функцией, определенной равенством (1.4), L„{ 1 ,х)= 1 . Тогда для-/(/)єЛ//;Д/1 Докакітельстно. Пусть/(/) є / д, І. її промежуточных выкладках вместо/?,, используется її. Зафиксируем произвольным образом хе[а,Ь] и положим Таким образом, для оценки Ln(f(t),x)-f(x) достаточно оценить следующие величины: ( Нормы берутся от функции аргументам ).
Далее приводятся оценки этих величин в перечисленном порядке. Имеем, Из определения (p{t) не трудно заметить, что/(/)=&(/)+ / (/) где git) - интерполяционный полином Лагранжа (для/(О) первой степени по узлам .v-A, .V + A Прнмеляя интерполяционную формулу Ньютона, получим где /(/;Л-Л;Л+А) - разделенная разность. (x„,fl„ имеют тот же см мел, что и и теореме 1.2. Доказательство. Соглашение оП обозначении А вместо Л„, принятое в доказательстве теоремы 1.2, сохраняется. Зафиксируем произвольным образом xe[a,b] . Так же, как и в случае теоремы 1.2, основой доказательства является равенство in 2 и равенство (1.5). Функция (p{t) определяется так же, как и в доказательстве теоремы 1.2. Суммируя полученные оценки, имеем В этом параграфе будут даны оценки приближения операторами L„: C[a,b] C[a,b], которые для каждого хє[а,Ь] удовлетворяют условию где //„-І0- некоторая последовательность действительных чисел. Если 4h„ b-a, ToL„eSj. Теорема 1.4. Пусти L„:C[a.h]- С[а, b] -линейные операторы, удовлетворяющие приведенным выше условиям. Пусть, кроме того, L„( 1 ,х) = 1, тогда для ДО = LipM I Доказательство. Как и ранее, в промежуточных выкладках пишется // вместо //„. Если в доказательстве фигурирует выражение вида_Дс), где с[а,Ь], то полагаем Зафиксируем хе[а,Ь\. В дальнейшем обозначено X\-x-2h, X2=x-h, xy x + h. Л 4=Л + 2Л. Пусть / ( )-/(/)- (0, ivieg(/)- интерполяционный полином Лаграп-жа функции/{/) поучлам .V. .ЇЇ, .Ї.І, - 4 где - /(-V,;л 2),./(A-,;.v2;.Vi).,/{.v, ;„v2;л 3;х4) - разделенные разности. По определению (р{() имеем равенство Отсюда Заметим Здесь используется интерполяционная (формула Ньютона . Переходим к неравенству Норма и последнем слагаемом берется от функции аргумента t. Правомерность оценки этим последним слагаемым величины \L„( p(t),x)\ вытекает из леммы 1.1.
Приближение функций классов Я1 и W[H] операторами класса S2 в периодическом случае
В этом параграфе рассматриваются последовательности операторов А.„:СТ2.Т С2,т» которые удовлетворяют условию Заметим, что для исследования аппроксимативных свойств таких операторов можно использовать теоремы 1.2 и 1.3, если под обозначением 1-х и (/-Л)" понимать 2л"-периодические функции, которые в промежутке [л -л"Д +л[ равны, соответственно, t x n(t-x)2. Однако, задача нахождения значений L„({t-x) ,x) для конкретных операторов оказывается, как правило, весьма сложной (если L,- операторы с четным ядром, о которых подробнее поговорим ниже, то, очевидно A„((/-.v).-v) = 0). Ввиду выше сказанного ясно, что имеет смысл рассмотреть оценки приближения, содержащие величины Как обычно, фиксируем /(() = LipAtl, л є]-со,ао[ и определяем вспомогательную функцию (обозначая Л вместо ft,,). І) №Опри/є[-Л„,Л„І, 2)ВД 0при/є[-;г,,7І\[Л,Л,], ИЇ теоремы 1.7 ві ітек ает п качестве следствия приводимая пиже теорема. Теоремп 1.8. Пусть /.„:С:,т— Сгя- линейные операторы вида (1.15), где »(0 - удовлетворяет приве Действительно, учитывая четность ядра W„{t) L„(s m(t-x),x)-0. Kate нетрудно видеть, оценка в (формулировке теоремы 1.8 получается, если в оценке, приведенной в формулировке теоремы 1.7, положить /.„(sin(/-.v)..v) = 0. Теореми 1.9. Пусть L„ - операторы вида (1.15), причем L„( 1 ,.v)= I. То гда для /(/) W IIu выполняется (Как обычно вместо //„ пишем /і). Это уравнение имеет едпнстиенпое решение па интервале ]0, тг[, если 2(1 + cos //) I. Последнее неравенство гарантированно выполняется, ес ,7" - ІГ ли {) h V/T2 - 4 к 2.42. Итак, при достаточно малых // функция р(Х) положительна, затем убывает, меняя знак в Л (при достаточно малых Л Л« Л), в точке Ло имеет минимум, затем возрастает, становясь при Х—тт равной нулю. Неравенство (1.16) доказано (при достаточно малых її). В работе [12] В. Л. Баскаков привел следующий пример аппроксимирующей последовательности операторов М: СУ-г- С; класса &. п Таким образом, здесь представлен частный случаи операторов, рассмотренных в предыдущем параграфе. Далее приводятся опенки приближения этими операторами функций классов #{., и И7 //J, . Заметим, что используя индивидуальные свойства операторов М„ можно получить более тонкие оценки, чем те, которые составляют содержание данного параграфа. Ограничимся (в целях иллюстрации) лишь непосредственным применением теорем 1.8 и 1.9, а затем, для сравнения, теорем 1.2 и 1.3. Как известно (см, [12]. [0]), Л/,,{1д)=1, Л-/,, sin2 —-,.г =0. Для М„ ве 2/Т лнчмнп /;„=—. Следовательно, из теорем 1.8 и 1.9 вытекает следующее ут-// верждение. Теорема 1.10. Пусть М„: С2,т — Сіт -операторы, определенные согласно (1.17).
Тогда дляД /) є Lірм 1 выполняется /(/)є И7 //].,, выполняется (Заметим, в первой из приведенных оценок величина 2лМЛ(п)п 1 фигурирует как 0{п )). Для того, чтобы применить теоремы 1.2 и 1.3, надо знать точно или но крайней мерс иметь оценку величин A/„((/-v)„v) и Л-/„((/-л )2д") (под t-x и (/-.v)" понимаем 2л нериодические функции, определенные этими выражениями денным выше условиям, L„{ 1 ,Л )= 1. Тогда для j {t)&Lip\t 1 выполняется Действительно, учитывая четность ядра W„{t) L„(s m(t-x),x)-0. Kate нетрудно видеть, оценка в (формулировке теоремы 1.8 получается, если в оценке, приведенной в формулировке теоремы 1.7, положить /.„(sin(/-.v)..v) = 0. Теореми 1.9. Пусть L„ - операторы вида (1.15), причем L„( 1 ,.v)= I. То гда для /(/) W IIu выполняется (Как обычно вместо //„ пишем /і). Это уравнение имеет едпнстиенпое решение па интервале ]0, тг[, если 2(1 + cos //) I. Последнее неравенство гарантированно выполняется, ес ,7" - ІГ ли {) h V/T2 - 4 к 2.42. Итак, при достаточно малых // функция р(Х) положительна, затем убывает, меняя знак в Л (при достаточно малых Л Л« Л), в точке Ло имеет минимум, затем возрастает, становясь при Х—тт равной нулю. Неравенство (1.16) доказано (при достаточно малых її). В работе [12] В. Л. Баскаков привел следующий пример аппроксимирующей последовательности операторов М: СУ-г- С; класса &. п Таким образом, здесь представлен частный случаи операторов, рассмотренных в предыдущем параграфе. Далее приводятся опенки приближения этими операторами функций классов #{., и И7 //J, . Заметим, что используя индивидуальные свойства операторов М„ можно получить более тонкие оценки, чем те, которые составляют содержание данного параграфа. Ограничимся (в целях иллюстрации) лишь непосредственным применением теорем 1.8 и 1.9, а затем, для сравнения, теорем 1.2 и 1.3. Как известно (см, [12]. [0]), Л/,,{1д)=1, Л-/,, sin2 —-,.г =0. Для М„ ве 2/Т лнчмнп /;„=—. Следовательно, из теорем 1.8 и 1.9 вытекает следующее ут-// верждение. Теорема 1.10. Пусть М„: С2,т — Сіт -операторы, определенные согласно (1.17). Тогда дляД /) є Lірм 1 выполняется /(/)є И7 //].,, выполняется (Заметим, в первой из приведенных оценок величина 2лМЛ(п)п 1 фигурирует как 0{п )). Для того, чтобы применить теоремы 1.2 и 1.3, надо знать точно или но крайней мерс иметь оценку величин A/„((/-v)„v) и Л-/„((/-л )2д") (под t-x и (/-.v)" понимаем 2л нериодические функции, определенные этими выражениями на интервале [х-я к+лі). Очевидно, и силу четности ядра Мт ДУ„(/-л г1 )=(). Точное -значение Л/„((/-.\ ) д ) не известно (для четных /). Приведем оценку данной величины по порядку. При выводе этой оценки будем использовать равенство (ем. [о ], стр. 34). Вернее используется Георема 1.11. Mlt((t-x)\x)=0(n\ ЛШ-г)\т)=0(//"3). Доказательство. 1 Непосредственной подстановкой в (1.17) легко устанавливается, что поэтому нам достаточно показать, что Обозначим S„(t) 2 -периодическую функцию, для которой ПОЧТИ для не ex I. Далее, для всех іе\-л;л\ Следовательно, почти для ucex t Mo тогда, применяя лемму l.l (с учетом того, что операторы М„ - интегральные), получаем Если обозначить
Случай положительности одного из ядер. Общие соображения
Вначале исследуются аппроксимативные свойства операторов вида (2.12), при условиях: Ф„(и,у) 0, F„(x,x) 0, F„(t,x) при каждом д: меняет знак два раза: при i=x-h„. t x+hu, //,,-1-0. Л также используются соображения, изложенные в предыдущем параграфе, однако, представление интерполяционного многочлена записано в форме, как в 1.3. Обозначаем в выкладках (но не в формулировках теорем) h вместо //„. Пусть имеется /(/,//) є С[«,/)]",/(/,«) є/л рл/1 и точка (х,у)є[а,Ь] . Определим вспомогательную функцию Последнее неравенство следует из того, что норма Ln на множестве функций, зависящих только от н, равна единице. Таким образом, МЛ ."). -v У) - Я У)\ M[2h + Iі ,С - -Y- ) + Л" МС - Л )2 х У)\)+ + №„(/(х%и),хчу) - f(x,y)l Так как операторы Л„ положительные на множестве функций, -зависящих только от і/, последнее слагаемое оценивается следующим образом: О)ормулируем результат. Теорема 2,3. Пусті, L„ - последовательность линейных операторов вида (2.12), при этом ядра Ф„{и,у)неотрицательны, F„(t x) при каждом х меняют знак в точках f=x±h„ (и только в них). Тогда для f(t,u)GLipit\ выполняется аппроксимативные свойства операторов вида (2.12), при условиях: Ф„(и,у) 0, F„(x,x) 0, F„(t,x) при каждом д: меняет знак два раза: при i=x-h„. t x+hu, //,,-1-0. Л также используются соображения, изложенные в предыдущем параграфе, однако, представление интерполяционного многочлена записано в форме, как в 1.3. Обозначаем в выкладках (но не в формулировках теорем) h вместо //„. Пусть имеется /(/,//) є С[«,/)]",/(/,«) є/л рл/1 и точка (х,у)є[а,Ь] . Определим вспомогательную функцию Последнее неравенство следует из того, что норма Ln на множестве функций, зависящих только от н, равна единице. Таким образом, МЛ ."). -v У) - Я У)\ M[2h + Iі ,С - -Y- ) + Л" МС - Л )2 х У)\)+ + №„(/(х%и),хчу) - f(x,y)l Так как операторы Л„ положительные на множестве функций, -зависящих только от і/, последнее слагаемое оценивается следующим образом: О)ормулируем результат. Теорема 2,3. Пусті, L„ - последовательность линейных операторов вида (2.12), при этом ядра Ф„{и,у)неотрицательны, F„(t x) при каждом х меняют знак в точках f=x±h„ (и только в них). Тогда для f(t,u)GLipit\ выполняется + Перейдем к рассмотрению следующего случая. Пусть /(/,/0 лиффереїщируема, ff (t,tt)eL ip M1, /„ (t, и) L ip M1, L„ удовлетворяет тем же условиям, что и выше. Определим функцию р(ім) с помощью равенства (2.14). Совершенно аналогично предыдущему получим Используя опенки, полученные при доказательстве теоремы L3, имеем: Последнее слагаемое оцепим из того, что L„ неотрицательны на множестве функций аргумента и и того, что / ,((, и) є Lip At I .Из последнего факта вытекает, что Итак, переходим к следующему результату.
Тсорслііі 2.4. Пусть Л„ - последовательность линейных операторов, удовлетворяющих условиям теоремы 2.3. Тогда для /(/,») такой, что .// и /» существуют и принадлежат классу Lipsti , выполняется: Теперь рассмотрим операторы вида (2.12), такие, что при каждом ядро F„(t,x) имеет тот же знак, что и ((/ - л:) - //„ )(/ - х) - 4hn ), кроме точек , где / "„(/,л )(как функция аргумента /) имеет двойные нули. Ядро Ф„(и,у) по-прежнему, предполагается неотрицательным. Считаем, что зафиксированы и О, (х, у) є [aJA и /(/,») є L/ /?/Y 1 -Обозначим (так же, как и в $ 1.4) где g(t,it) при каждом //- интерполяционный многочлен Лагранжа функции /(/,/ ) (как функции аргумента/) по узлам др д2, д_ч, д4. Далее Здесь /{д,, д2; tt), /(.v,, д2, ху; г/), /(д,, д2 , лтд, д4; и)- разделенные разности для функции f((,ti) при данном ;/. Используя принятые обозначения, приходим к равенству относительно операторов: Для примера дадим оценку некоторых слагаемых, входящих в оценку величины Л(1 (/"(/,//), д, у) - f(x,y)\, применяя результаты 1.4: Используется монотонность L„ на функциях, + Перейдем к рассмотрению следующего случая. Пусть /(/,/0 лиффереїщируема, ff (t,tt)eL ip M1, /„ (t, и) L ip M1, L„ удовлетворяет тем же условиям, что и выше. Определим функцию р(ім) с помощью равенства (2.14). Совершенно аналогично предыдущему получим Используя опенки, полученные при доказательстве теоремы L3, имеем: Последнее слагаемое оцепим из того, что L„ неотрицательны на множестве функций аргумента и и того, что / ,((, и) є Lip At I .Из последнего факта вытекает, что Итак, переходим к следующему результату. Тсорслііі 2.4. Пусть Л„ - последовательность линейных операторов, удовлетворяющих условиям теоремы 2.3. Тогда для /(/,») такой, что .// и /» существуют и принадлежат классу Lipsti , выполняется: Теперь рассмотрим операторы вида (2.12), такие, что при каждом ядро F„(t,x) имеет тот же знак, что и ((/ - л:) - //„ )(/ - х) - 4hn ), кроме точек , где / "„(/,л )(как функция аргумента /) имеет двойные нули. Ядро Ф„(и,у) по-прежнему, предполагается неотрицательным. Считаем, что зафиксированы и О, (х, у) є [aJA и /(/,») є L/ /?/Y 1 -Обозначим (так же, как и в $ 1.4) где g(t,it) при каждом //- интерполяционный многочлен Лагранжа функции /(/,/ ) (как функции аргумента/) по узлам др д2, д_ч, д4. Далее Здесь /{д,, д2; tt), /(.v,, д2, ху; г/), /(д,, д2 , лтд, д4; и)- разделенные разности для функции f((,ti) при данном ;/. Используя принятые обозначения, приходим к равенству относительно операторов: Для примера дадим оценку некоторых слагаемых, входящих в оценку величины Л(1 (/"(/,//), д, у) - f(x,y)\, применяя результаты 1.4: Используется монотонность L„ на функциях, зависящих только от и.
Двумерные аналоги операторов класса і% в периодическом случае
Мы ограничимся рассмотрением операторов вида которые с помощью подстановки / —W + л\ н - і/ + г приводятся к виду -л Ядра Fn{i) и Ф„(и)определены на [-;г, #], четны, меняют знак в точках / = ±hn, и = ±hn, и только в этих точках Fn(0) 0, f/J;,(0) 0 (hn -І 0). Операторы!,, действуют на функции/(/,(/) є С,т2/Г. В дальнейшем и этом параграфе на функции/(/, и) налагаем те же требования, что и предыдущем параграфе: Полагаем также По многом исследование величины ][/,„(/(/,//),л\ у) - /(- , у) использует результаты 5; 2.5. Для фиксированной точки (л ,.г) функции //(/,//) и tp (/, // ) имеют тот же пид. Верна и оценка (2.15). Получим опенку \Ln(o(t, и), х, у) - /(.v, у). В предлагаемой диссертации проведено исследование аппроксимативных возможностей некоторых классов линейных операторов. В первой главе рассматривались операторы класса Л „„ удовлетворяющие определенным условиям, во второй главе - их двумерные аналоги. Вывод оценок производился по единой схеме, которую условно можно назвать методом интерполяции. Подобного рода схемы являются развитием схемы, использованной еще П. П. Коровкиным. В статье [46] две схемы такого типа описаны в терминах линейных нормированных пространств. Их конкретизация дает два метода получения оценок, которые условно можно назвать-методами "интерполяции" и "разрывной мажоранты". В диссертации использовался только первый из этих методов. (Заметим, "метод разрывной мажоранты" использовался 10. Г Абакумовым [3 j, 11. Л. Забелиной [21]). Название "метод интерполяции" возникло в связи с тем, что вспомогательная функция имеет вид: где #(/) » одномерном случае интерполяционный полипом Лаграпжа для/(/). Перенести эту методику на двумерный случай удается ценой внесения ограничений на вид оператором. К преимуществам "метода интерполяции" относится то, что в получаемых опенках не используется норма операторов. Однако применение его свя-чапо с техническими трудностями, которые возрастают с увеличением размерности и индекса ш класса S,„. Метод "разрывной мажоранты" более универсален, но использует нормы операторов и дает более грубые оценки. Абакумов 10. Г. Аналог теоремы П. П.
Коровника для одного класса линейных операторов // Применение функционального анализа в теории приближений. - Калинин: КГУ, 1975, вып. 6. С. 3-4. Абакумов 10. Г. О возможностях одного подхода к исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов // Мат. анализ и его приложения. Вып. 3. - Чита: ЗабГПУ, 1998. С. 5-Ю. Абакумов 10. Г. Об операторах класса S2,Mh,) U Мат. анализ и его приложения. Вып. 4. - Чита: ЗабГПУ, 2000. С. 3-7. Абакумов Ю. Г., Бамин В. Г. Модификации теорем Климова, Красносельского и Лифшнца и исследование аппроксимативных свойств линейных операторов.Часть 3. - Чита, 1991. - 17 с, Дсп. в ВИМИТИ, №3348-391. Абакумов 10. Г., Баїпш В. Г. Об одном подходе к исследованию аппроксимативных свойств линейных операторов // Изв. ВУЗов. Математика., 1991, № 1 I. С. 3-6. Абакумов 10. Г., Банин В. Г. Аппроксимативные свойства некоторых классов линейных операторов. - Чита: СО РАИ, ЧГПИ, 1993. - 62 с. Абакумов 10. Г., Баиин В. Г. Линейные функционалы и условия аппроксимации. Учебн. пособие.- Чита: ЧГПИ, 1993.-42 с. Абакумов 10. Г., Банин В. Г., Норбоев Б. Р. Об одной последовательности операторов В.А. Баскакова, принадлежащих классу 6У - Чита, 1988. - 5 с. Деп. в ВИНИТИ 18.02.88. N 1316. Абакумов Ю. Г., Забелина И. А. Приближение функций класса W2H" тригонометрическими операторами Баскакова // Дифференциальные уравнения и аналитическая теория. - Чита: ЗабИЖТ, 1999. С. 81-85. 10.Абакумов 10. Г., Шестакоиа О. II. Операторы, определенные па функциях двух переменных, аналогичные операторам класса Si // Вестник ЧитГТУ, вып. 9. - Чита: ЧитГТУ, 1998. С. 170-174. И.Баскаков В. А. Линейные методы суммирования рядов Фурье и приближение непрерывных функций. - Калинин: КГУ, 1980. - 80 с. 12.Баскаков В. А. Об одном методе построения операторов класса S; m. // Теория функций и приближений. Интерполирование по Лагранжу. Саратов, 1984.-С. 19-25. 13.Бахвалов 1-І. С. Численные методы. - М.: Паука, 1975. - 632 с. 14.Бушев Д. И. Приближение классов периодических функций многих переменных линейными положительными операторами // Гармонический анализ и развитие аппроксимационных методов. — Киев: ИМ АН УССР, 1989. С. 23-31. 15.Васильев Р. К. Порядок приближения функций на множестве положительной меры полиномиальными операторами класса Sm. // Тезисы и программа международной конференции по теории приближения функций. Калуга, 24-28.07. 1975. - С. 23-24. 16.Васильев Р. К. Порядок приближения функций на множествах полиномиальными операторами класса Sm. // Матем. заметки.-1976. T.20.N3.-S.409-416. І7.Видеііский B.C. Линейные положительные операторы конечного ранга. Л.:ЛГПИ, 1985.-68 с. 18.Волков А. В. Об одном операторе типа Фсйера-Коровкина // Применение фу и к. анализа в тсор. прнбл. - Тверь: ТвГУ. С. 26-30. !9.Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. - М.: Наука, 1967. 376 с.
