Введение к работе
Актуальность темы. Признанные и эффективные методы и результаты теории квазиконформных отображений на плоскости, основи которое заложены в 20-х - 30-х год-х классическими работами Г.Гретла, У.А.Лаврентьева и Л.А ьфорса, нашли широкое применение как в самой математике, так и в гидродинамике, теории упругости, газовой динамике и других разделах механики.
К концу 30-х годов отмоется первые рассмотрения лростран-ствени"х квазиконіормних отображений ( М.А.Лаврентьев) в сзяоИ с поиском под'-одглего математического аппарата для описания к изучения некоторых явлений гидродинамики. .',LА.Лаврентьев с./Зр-аудировал такяе ряд задач, решение которых сыграло существенную роль в развити., теории псостранственных квазиконформных отображений.
Работы Б.В.ІІІабата и В.А.Зорлча положили начало примет...ия метода модулей к исследованию квазикс формных отображений а пространстве.
фундаментальный вклад з обаую метрическую теорію простр-Л-<_:венных отображений внесен Ю.Г.Рєїдетняко*' и его школой- Ю.Г.Ре-петняком развита теория пространетвенн. х отображений с ограниченным искажением ( неоднолистных квазиконформных отображений) и связанная с не" теория устойчивости в геометрии и анализе.
Систематическое изучение классов квазиконформных и боло об'лих от бргжен.л в ьросгран"Тве началось с 60-х годо;.. основная заслуга в развитии этой теории принадлежит советски., финским и америк некий иатематі—ам. Неотъемлемой ес^ествеи-юй
частью развивающейся общей метрической теории отображений являются исследования граничные свойств плоских и пространственных отображений.
изучение ряда связанных с отображением вопросов мегрическо-70 характера и некоторых вопросов, касающихся граничного поведения отображавшей ^ункцип -| , мокно вести при более слабых ограничениях на \ , чем., например, требования аналитичности или квагчкоигЬорл ости. Так в по е зрения математиков появились классы bL отображений с конечным лнтегралог Дирихле С или интегралов типа Дирихле; например, OL - отображения),
Класс B>L оформился как объект теории плоских отображений в работах й.ЛІелон-ієрран и Г.Д.Суворова в середине 50-х - начале 60-х годов, когда был^ замечено, что неравенство, известное в геор/ аналитических функций как " принцип длины и плошади",можно пепс ьзовать для изучения отображений более общих, чем кон-tp рынке.
Об актуальности изучения DL -отображений и их весовых аналогов свидетельствуют кг связи с классическими объектами математического анализа. Из отих связей отметим следующие: а) класс отображений bL представляет собой существенное расширение класса квазиконформных: отображений (как плоских, так и пространственных); деле множество топологических отображений (е DL \(х) на облить х) , имеющую конечный объем, не совпадает с классом
Q квазиконформных отображений области U- на а) , хотя QcpjL (Сг) » б) ус эе"с типа ограниченности интеграла Дирихле имеет вполне ясный ф"зический смысл; например, при решении вариационным метчдом кр-еь^х задач математической физики для уравнений 4- о по~чдка ы'пгическог типа естес^г'нс наложит., едгч-:вен..эе требование прШі4"лежности руления ^(х) с юл^-вскому
jomccv JL (Cr) * поскольку это означает, что интеграл энерги..
Ф/f) = \ JV/| dx конечен. Веговые интегральные ограниче-ні:я на градиент решения естественно возникают при постановке и исследовании краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа с вырождением на границе области ( работы Л.Д.Кудрявцева, С.М.Никольского и других авторов), а также вопросов о существовании квазиконформного отображения, соответствующего решениям системы уравнений эллиптического типа с вырождением на границе ( или на части её); в) при некоторых, естественных ограничениях функции класса C>L ( Я- I ,tb>Z , квазивсюду ( относительно соответствующей емкости) совпадают с потенциалами Рисса или потенциалами
Бссселя класса L [ /1 / ; г) функции класса ножно
р трактовать как потенциалы безвихревых векторных полей класса
L (Сг/ в односвязных областях Ссс ft .
В настоящее время имеется несколько эффективныу (частично взаимопроникавших) подходов к изучению граничных свойств функций и отображений в областях из /1 . Стараясь придерживатьс хронологического порядка, отметим среди основных следующие.
I) Направление, связанное с топологиями и границами в теории потенциала (введение тонкой топологии, М.Брело, Дк.Л.Дуб; обаая компактификация Константинеску-Корнеа).
3) Применение теории модулей семейств кривых и поверхноо -тей в Я (Б.В.Шабат, П.П.Белинский, В.А.Зорич, А.В.^ычёв,
А.П.Копылов, В.В.Асеев, З.Геринг, Ю.Вяйсяля, О.Мартио, С.Рик-ман, Р.НяккиДВуоринен).
-
Исследование граничных свойств непрерывных отображений класса uL ((г) на основе использования интегрального осцил-ляционного неравенства, установленного Ф.Герингом и независ г.о от него И.С.Овчинниковым и Г.Д.Суворовым, неравенства, которое ьіожно считать перЕым многомерным аналогом " принципа длины и площади" (<.Геринг, И.С.Овчинников и Г.Д.Суворов, Н.Лелон-Ферран, І.Д.Мостов, В.М.Миклюков).
-
Использование еі/.костной техники, сбойств решений диффе-{ нциальных уравнений эллиптического типа, интегральных представлений уточненных функций ( Ю.Г.Решетняіі, В.Г.Мазья.В.М.Ыик-люков, С.К.Водопьянов, В.іМ.Гольдштейн, Ж.Дени и М.Л.Лионе, Н.Г.Мейерс, Х.Уоллин, М.Оцука, В.Мизута).
-
Подход Е.П.Долженко и его общие результаты, относящиеся к граничным свойствам произвольных функций.
-
Предложенный недавно подход А.П.Копылова, основанный на понятии устойчивости в С- -норме классов отображений.
Направление, которое развивается в диссертации, имеет истоки преимущественно в подходе М.А.Лаврентьева, Г.Д.Суворова и Ж.Лелон-Ферран к изучению граничного, поведения отображений класса LjL ( vr) на плоскости, и указанном выше подходе 4) для /и
и предстанляет собоч дополнение и развитие отого подхода.В первоначальном варианте, когда И— Z он использовался для изучения вбросов о равностепенной непрерывности разных классов отображений, о гшдолжении по непрерывности и о граничном соответствии при конфорь...ыу квазиконформных и более обших отображениях произвольных одт чевязных плоских областей ( uL - гомеоморфизмах). Для ы отображений конечносЕязшх областей
произвольной конфигурации в /Ъ данный "одход до си* пор является едва ли не единственным подходом к изучению их граничного поведения ( в аспекте метрической теории отображений \
Из известных ранее результатов, относящихся .. данному нап
равлению, отметим оценку искажения относительных расстояний при
топологических отображениях класса L z плоских с"несвязных
областей, аналогичную оценку для /, - гомеоморфизмов шара на
область из Л, , теорему линделефа о совпадении при топологичес
ких отображениях класса L предельных множеств по некаса-
тельному пути в граничную точку шара и множест а главных то- ?к
соответствующего простого конца в образе иара ( результаты
Г.Д.Сунорова и И.С.Овчинникова ), теорему о совпадении предель
ных ыноксств по "трактам", хауедорфово отклонение которых в
ісзазигипєрбол-'ческоГ! метрике конечно ( А.И.Гольдямидт, Г.Д.Суво
ров), установленные в GO-x годах В.к.Зоричеч теоремы о гранич
ном соответствии и некасательных граничных значени,.: для к~ази-
конформных отображений шара, теорему Ю.Г. Решетняка о существо
вании пределов функции класса L вдоль липшицевых поле».
Р направлений, а тагосе принадлежащее В.М.Миклюкову усиление т о-
jeua Зату об угловых пределах для монотонных L - отображения и для отображений с ограниченны" искажением.
Замечания и работы ряда известных специалистов подтверждают целесообразность изучения и использования аналогов ПДп. Об этом свидетельствует, например, их место в hoe д., предложенных в ВО-х "одах В,М.Ми;..га:.эвыы, подходах к исследованию іс .мптэти-ческих свойств решения дифференциальных уравнений. Он тчгохе нашел для фукций класса Г А, в плоской оснасти Q интересную форму ПДП в римановой метрике в области Q- и испечь-. зовал этот вариант ЦЦП при исследо ании урав.-йний типа ыикиь,апь~ ной поверхности.
Б 70-х годчх ІЦП при р~ҐІ успешно использовался K.Jle-лон-і'Срран для решения вопроса о равностепенной равномерной непрерывности семейств отображений рпмановых многообразий. Поясним используемые нами обозначения JiCL и DL Пусть С , , Є - стандартний базис арифметического эвклидова пространства Гь , Cr^ ft - область. Через и обозначим ортогональную проекцию С- на гиперплоскость X. — 0 ,
Определение. Будем говорить,что дл почти всех 2etr. функция і Є С(Сг) локально абсолютно непрерывна по X. , если для . почти всех точек 2 6 (г. функция ^(X.&L-*-2) при фиксированном 2 абсолютно непрерывна (как функция от Л. ) на любой замкнутом конечном отрезке j cz ft , для которого X.&. + Z Є (jt при X.е J . Функция !"?G(0»-J называется jt С L (абсолютно непрерывной на линиях) в области ' , если при любом I = ±}..., П, для почти бсє...єСг. функция і локально абсолютно непрерывна по X. .
LjMeiHM- что непрерывная в области От функция f при-надлежит классу L (иг/ тогда и только тогда, когда -L является J. CL - функцией И Vf" Є /, ( (jrj .
При изучении плоских отображений мы, следуя Г.Д.Суворову,
обозначаем через подкласс непрерывных
в области От функций из L (Cr) , т.е. семейство JtCL -функций f , для которых Vf L [&j Заметим, что в теории потенциала через uL обозначается более широкий класс функций, которые не обязательно непрерывны в области мг .
Нескольк слов по поводу этого последнего общего определе
ния класса В специальном случае функции класса
впервые изучались '. .Леви, причем рассматривались только непре
рывнее функць.1. Обо. лачение uL ( функции Б.Леви ) введено
впоследствии О.Никодимом, который последовал функции / , аи-
солютно непрерывные внутри почти всгх сечений плоской области
Сг прямыми, параллельными осям координат, предполагал,что
і'/ Є /, [С] . Это определение класса DL завис/" от выбора
системы координат. Во многих случаях удобнее следующее более
жесткое определение класса , принятое в работе Б.Фугледе и
опирающееся на понятие р - модуля семейства кривых в 1Ь .При таком определении класс uL (&) становится более гибким объектом анализа.
Определение (Б.фугледе;. ііусть 1 ^ О -с со _ Однознач
ная функция ^ называется функцией Белпо Леви ( порядка р ),
или функцией класса в односвязной области Сг .если
она является первообразной по отношению к некоторой дифференци
альной форме О» первого порядка, причем де I (&),
Это значит, что вдоль р - почти всех С т.е. Г-"НОСИТЄЛЬНО
р - модуля ) кривых
о-
для произвольных точек й.,0^1 . При а-'-ш пишут: V^ - Q. . В
смысле функции класса суть потенциалы безвихревых
векторных полей Q класса L (С)
Диссертация посвящена исследованию некотор. х метрически^ свойств : грани-чого поведения отобра-кений класса PL и других классов в связи с изучением возможностей и расширением оо-ласти примете'тм новых аналс 'ов ДЦП С принцип длины и плошади) в обшей метрической теории плоских и пространственных отображений.
этом
Цель робо1,.;. Найти некоторые новие соотношения типа ДДІІ для отображений на плоскости и в пространстве IV . Развить под-код к исследованию граничного поведения, дифференцируемых в области С ' отображений, осыпанный на_надлсхаіяєм выборе ядев }\,[Х,2) (связанных с точками Z Є (г ) и соответствующих аналогах ІІДҐІ. Применить этот подход к изучению о коло граничної1 о поведения JtLL - отображений с градиентами из весовых классов. Изучить вопрос о граничном соответствии для frCL - гомеоморфизмов в связи с особенностями потенциалов градиента этих отоб-ра-к^иий.
Найти новые классы отображений и об:летен,для которых сохраняются теоремы о соответствии границ по Каратеодори, оценки модулей непрерывности в относительных метриках и некоторые другие свойства, имеющиеся в классическом случае конформных отображений.
Ксследов.:ъ Еопрос о сулествовании пределов ( более обших чем угловые) отображений с ограниченным искажением, монотонных DL - отображений и решений некоторых дифференциальных уравнений эллиптического типа.
Обшая методика исследования. Вопрос о том, как понимать раницу обл:.;тк, откосится для нас к исходным моментам. В диссертации, связанной с метрической теорией отображений, используются гЛсе классические метрические границы: эвклидова граница и граница до Каратеодори (с еэ її - мерным аналогом).
С эдует ответить, что задача о том, будет ли данная область и- образом " хорошей" области при топологическом отображении (из того или иного класса), иредставляс собоГ во многих случаям открытую ;зобяеі/'-. С другой стороны, многие "ее 'ественнк " метр; ации области U- порождают граничные элементы области U- . о пове-^.и которых дш.^ лр: кв 'икон^рмных дгтх]эеоморфиз--х С. пре'-"cceHKH Кі,лоИ. нфоры^ой экви. ле-тностк оСасте;.!
мало что можно сказать. Поэтому в метрической теории отображений при изучении их граничных свойств важ. >е значение /моет построение в области U <— 1и относительных расстояний, доста точно наглядных, согласованных с эвклидовой топологией внутри Gr и подходящих для изучения зображений из заданного класса. (Заметим, что относительные метрики в победнее время эффективно используются при релении вопросоь о продолжении функций за пределы области (я с /1 с сохранением дифференциальных свойств).
С удобной метризацией области появляется, например, возможность найти теоремы о модуях непрерывности в соответствующих (относ -тельных, неевклидовых) метриках, если не ясно, МОЖНО лК получить такі' з результаты с обычной ( эвклидовой ) метрикой.
Особый интерес представляют такие метризации области, кото
рые порождают метрические границы, идентичные тем или иным клас
сическим метрическим границам ( граница Каратеодори, граница
Мартина) или их аналогам. <
Идея согласованного выделения класса отображений и метрической границы в допустимых областях .сак начало метода исследования отображений с помощью обобщенного ДДП -ъфинирована Г.Д.Суворовым.
Основней метод, используемый в диссертации, представляет собой дополнение и развитие метода Г.Д.Суворова на базе ряд? установленных авторам неравенств, которые в двумерном случае модно отнести к налогам известного в теории аналитических функций " принципа длины и площади" (ПДП). Наш подход связан с і j-бором тел или и.шх подходят": ядер /Ъ1Х,в) , понятие л - предела функции ( при котором допускаются не только уГЛОЕЫС. но и определенного порядка касатьльные подходы к г>апчной пчке Z области* и с интегральными оценками колебанит функций ла.
множествах уровнях ядер ft(x,z) через потенциалы градиента рассматриваемых функций. Такой подход позволяет изучать вопрос о граничном поведении стобра-кений в связи с особенностями соответствующих потенциалов и, например, в случае отображений г.олу-
/'> rt-иространства /Ъ , дополнить известные и новые, получение в
диссертации, оценки искажения относительных расстояний при DjL -- гомеоморфизмах оценками искажения эвклидовых рас-сто~ний вбл: ;и граничных тс іек полупространства.
В общей задаче о граничне : соответствии при DL - гомеоморфизмах областей из lb ранее рассматривался только случай, Аогда прообраз является шаром и р = /г . Случай р< її не вызывал надежд и не привлекал внимания. В этом случае прямой аналог ПДП не эффективен.
Оценки искажения относительного расстояния ( типа оценок М.А.Лаврентьева - Г.Л.Суворова для плоского случая) в пространстве: юм случае были известны лишь для PL - гомеоморфизмов шара.
В диссертации используются также некоторые методы и результаты те рии меры, теории модулей семейств кривых, теории границы области, теории потенциале, теории функций и функциональных пространств, теории квазиконформных и более общих отображений.
Научная новизна. В диссертации обосновываются новые возможности и сасширяется сфера использования неравенств типа ПДП ("принципа длины и площади") в метрической теории отображений. Получа^г дальнейшее развитие сам метод ЦДЛ.
С помощью новых форм ПДП в работе установлены интересные результаты о граш; .юг соответствии и для p
Гри рассмотрении вопросов граничного соответствия отдастся предпочтение использованию границы Каратеодоры, поскольку расширение области по Каратеодори даег наиболее наглядное предст вле-ние о том, как формируются и выглядят следы на эвклидовой границе Эбг элементов " новой" границы О і области Cr .
Следующие полученные в дисссртаї'чи результаты ЯГ"ЯЮТСЯ основными и выносятся на зашиту.
1) Развитие нового подхода к изучению граничного поведения
- функций и отображений областей, основанного на новых,ус
тановленных в диссертации, плоских и пространст еннкх аналог с
ПДП, содержащих в мажорирующей части соответствующие потеїщиальї
"энергии" рассматриваемых функций ( отображений). Теоремы типа
Фату-Еёрлинга для монотонных по Лебегу фушгций.
-
Выявле: ле связи между нарушением граничного соответствия по Каратеодори при j[LL - гомеоморфизме / и особенностями некоторых потенциалов градиента отого отображения. Теорема ~ консерватизме граничного соответствия при L - гомеоморфизме вне счетного множества простых концов (в плоском случае).
-
Введение и использование понятий орисферической монс-'он-; . сти, орисферического предела и /V - предела, понятия уточнения функции с помощью "касательных" пр-дельных значений ез вдоль (r-і) _ мерных сфер, связанных в " Z -пучок" ( касательное уточнение, или К - уточнение функций), -яснение отношений между понятиями орисферической монотонности и монотонне 'іи по Лебегу функций "ласса OL Теорема о Л - уточнении бесселгік . потенциалов {б L , р>п.-і .
-
Выдел~ние новых под.'.пассов гомеоморфи мов (с обобщенными производным"), для которых сохраняются такие свойства, кмрюідиєся в классическом случае конформных от бражений, как теорема о соответствии границ Каратеодори, оценки искажения расстоьлій.теорема
об устранимой особенности. Аналоги теоремы Лнувилля для монотонных Lp- отображений, р>1г-.( . Теоремы о граничном соответствии для L - продолжаемых гомеоморфизмов областей
Эти р. зультаты являются овыми. Частично они отражены в монографии Г.Д.Суворова п Обобщенный " принцип длины и плошади в ' эории отображений **, 1905 г.
В диссертации развиваются некоторые методы теории функций, у таиовлены новые аналоги ПДП и найдены новые свойства uL -гомеоморфизмов, монотонных по Леоегу функций и отображений из весовы.. классов в связи с теорией границы Каратеодори и теорией . потенциала. Результаты работы могут найти применение в теории функций, в обшей метрической теории отображений и при изучении поведения решений некоторых дифференциальных уравнений, а также при изучении геометрии многообразий и свойств их отображений.
3 указанном нами «спекте вопросы граничного поведения отображений ранее не рассматривались. В работе развивается научное исправление " И^ледование метрических и граничных свойств JtCL--отображений с помощью новых аналогов " принципа длины и плошади?,
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на Донецких коллеквиумах по теории квазиконформных отображений и ее обобщениям в 1978, 1982, 1984 гг., на семинарах 10-й Воронежской зимней математической школы в 1976 г., 15-й летне,; математической школы АН УССР по современным вопросам теории функций и топологии в 1979 г. (Кацивели), Кубанской школы--к"нферен" ии по геометрической теории функций в 1975,1981,1987гг., (Краснодар), Всесоюзной школы по теории функций, посвяшенной 100--летию со дня рождения академика Н.Н.Лузиь.. в 198^- г.(Кемерово), Всесоюзной конф ренции по теории функций, посвяшенноГ. 80-летию акадеыш СМ.Никольского (Днепропетровск, 1985 г.), на семи"аре w теории функцг-ч .ногих "ействк елы * т немалых и прі' ожекиям
к задачам математической физики под руководством Л.Д.Кудряг'ева, СМ.Никольского, С.Л.Соболева (Математический институт им.В.А.Стек-лова АН СССР, Москва, 1985 г., 1988 г.), на семинаре отдела тс рии функций комплексного переменного и на семинаре отдела геометрии Института математики СО АН ШР (Новосибирск, 1986 г. и 1900 г.), Красноярской школе-семинаре по комплексному анализу и математической. ф"зике (1987 г.), Томской школе-семинаре "Алгебра и анализ" (1988 г.), Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск, IS68 г.), а также на семинаріх отдела математики НІФІ ГШ, кафедры математи ее ого анализа Томского государственного университета и семинаре по комплексному анализу в МГУ (Ыз8г.).
Цубликі-<ии. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [i]- [I6J, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырех разделов. Спис к литературы содержит 149 наименование работ советских и зарубежных авторов. Общи., объем диссертации - ;' - ЛІГ страниц.
