Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Характеристика множества особых граничных точек произвольной функции 12
1. Основные понятия и определения 12
2. Особые граничные точки комплекснозначных функций 14
3. Некоторые свойства совершенных т-пористых множеств в R3 26
4. Особые точки пространственных отображений для различных функций подхода 45
Глава 2. Характеристика множества точек Гарнетт 66
Список литературы 75
- Основные понятия и определения
- Особые граничные точки комплекснозначных функций
- Некоторые свойства совершенных т-пористых множеств в R3
- Особые точки пространственных отображений для различных функций подхода
Введение к работе
В настоящее время теория граничных свойств функций весьма обширна и разветвлена. Различные ее разделы связаны с теорией потенциала, теорией тригонометрических рядов, теорией интегрирования, теорией распределения значений аналитических и мероморфных функций, теорией однолистных и конфорных отображений, теоретико-множественной топологией, функциональным анализом и теорией меры.
Основы теории граничных свойств аналитических функций были заложены работами П.Пенлеве ([48,49]) и П. Фату [42] в конце 19-го в начале 20-го века.
Общими и внутренними свойствами функций, определенных в некоторой области являются хорошо определенные граничные свойства. Плодотворным методом исследования многих граничных задач является теория предельных множеств. Основателем теории предельных множеств является П.Пенлеве, который в 1895 г. [48] первым дал название — область неопределенности и определение новому математическому понятию множества предельных точек функции в граничной точке ее области определения. Это множество теперь называется предельным множеством функции в рассматриваемой точке. Пенлеве ввел в рассмотрение предельные множества для наглядной характеристики поведения аналитической функции вблизи ее особой точки в терминах свойств множества всех ее предельных значений в этой точке, а также для классификации особенностей функции в терминах этих предельных множеств.
Существенное развитие эта теория получила в первую треть 20-го века, прежде всего благодаря работам Данжуа [40], Каратеодори [39], Лузина и Привалова [19], Ф. и М. Риссов [54], Голубева [7], Неванлинны [22], Гросса [44], Плеснера [50].
После некоторого затишья, длившегося примерно до 1950 г., теория
Введение
граничных свойств стала вновь развиваться, используя новые идеи и методы и распространилась на новые объекты. С этого времени появились сотни работ, посвященных разным аспектам теории.
Из крупных работ русских авторов, посвященных теории граничных свойств аналитических функций необходимо прежде всего упомянуть монографии И.М.Привалова "Интеграл Саиспу"и "Граничные свойства аналитических функций"([26],[27]).
Классические основы теории граничных свойств излагаются в книге Г.М. Голузина "Геометрическая теория функций комплексного переменного" (главы 9, 10 [8]).
Монографии К. Носиро "Предельные множества"[25] и Э. Коллингвуда и Л.Ловатера "Теория предельных множеств"[15] посвящены результатам, полученным после 1950 г. и в значительной мере дополняют друг друга.
Этой же тематике посвящена монография В.В.Голубева "Однозначные аналитические функции с совершенным множеством особых точек"[7], изданная в 1961 г. вместе с двумя другими его работами. В этой работе В.В. Голубев получил результаты, часть которых позже передоказывалась рядом автором — иногда даже в более слабой-форме. Им, в частности, было показано, что для любого континуума К комплексной плоскости и любой точки С окружности Г существует функция f(z), аналитическая и однолистная в круге D С С, множество всех предельных значений которой в точке С совпадает с К: C(D,(,f) = К. В работах Н.Н.Лузина [19] и И.И.Привалова ([27],[28]) (1918 г. и позже), посвященных граничным теоремам единственности для аналитических функций, были развиты методы, ставшие общепринятыми в теории граничных предельных множеств. С помощью этих методов в 1927 г. А.И.Плеснер [50] установил следующее замечательное утверждение: для мероморфной в D функции f(z) почти в каждой точке С Є Г или существует предел по любому углу V(_, образованному хордами круга D с концами в , или предельное множество функции f(z) в точке С по любому такому углу V является расширенной комплексной плоскостью. Отсюда следует, что для мероморфной функции /: D —> С множество Eyvif) всех VV-особых точек, т.е. таких точек, для которых
Введение
найдутся хотя бы два несовпадающих предельных множества по различным углам, имеет меру нуль. Для произвольных комплекснозначных функций f{z), z Є D, Э. Коллингвудом (1955 г.) [45] было показано, что множество Eyvif). имеет первую беровскую категорию на Г, т.е. представимо в виде конечной или счетной суммы множеств, нигде не плотных на Г. Граничные свойства функций на областях с углами и угловыми точками рассмотрены С.М.Никольским ([23],[24]). Е.П.Долженко для произвольных функций был получен существенно более сильный результат (1967 г.) ([10],[11]). Именно, для произвольного отображения / полупространства Ж в сепарабельное метрическое пространство множество Ew{f) представимо в виде счетного объединения пористых множеств типа G&, откуда следует, что Evvif) всегда имеет первую бэровскую категорию и (п — 1)-мерную лебегову меру нуль. С другой стороны, им доказано, что для всякого а—пористого множества Е С Г существует такая ограниченная аналитическая функция /(^), z Є D, что Е С Evvif)> и что Для всякого сг-пористого множества типа Fa существует ограниченная аналитическая функция /(^), z Є D, для которой Е = Evvif)- СВ. Колесников (1980 г.) ([13],[14]) показал, что необходимым и достаточным условием для совпадения множества Е С <9С+ с УК-особым множеством некоторой комплекснозначной функции fiz), определенной в С+ (а также УК-особым множеством некоторой ограниченной аналитической в С+ функции fiz)), является условие
E=\Jp(Fk), (1)
k=l
где каждое множество Fk С дС+ замкнуто, a p(Fk) — множество всех его нетривиальных точек пористости. Тем самым было дано полное дескриптивное описание УУ-особых множеств отбражений /: С+ —> С. Отметим, что методы последней работы существенно опираются на двумерность С+ и не обобщаются на n-мерный случай. Отметим также, что во всех рассмотренных работах множества максимальности подходят к границе некасательным способом.
Строение предельных множеств функций комплексного переменного,
Введение
определенных в круге, по криволинейным углам и путям изучали В.И.Гаврилов [3], S. Jamashita, Ж.С.Оганесян, D.С. Rung [55] и др.
В работе Е.П.Долженко [11] его результаты для аналитических функций были распространены на случай отображений n-мерных областей с гладкой границей в произвольное сепарабельное метрическое пространство.
Множества введенные СВ. Колесниковым, определенные условием (1), получили в дальнейшем название совершенных сг-пористых ([13],[14]).
Развитие этого направления изучения особых граничных точек функции имеет, таким образом, в настоящее время, три направления, которые могут между собой пересекаться. Это, во-первых, изучение строения предельных множеств функций по криволинейным углам, т.е. при касательном подходе к границе. Во-вторых, распространение результатов, полученных для аналитических функций на случай других классов функций и пространственных отображений топологических пространств. И, в-третьих, изучение связи совершенных сг-пористых множеств с различными множествами особых точек функций.
В первом направлении уже упоминались работы ([3],[55]), а также в работах ([4],[5],[20],[29]), где рассмотрены произвольные функции подхода.
Во втором направлении Ю.А. Шевченко изучал W-особые точки произвольных отображений полупространства R, (n ^ 2) в локально компактное хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой ([30],[31]). Им было доказано, что в этом случае множество Eyv(f) особых точек отображения является совершенным (j-пористым. В этом же направлении получены результаты в работах ([29],[55]), где рассматривались отображения R" в сферу Римана и случай произвольной функции подхода, работа [20], где изучен случай криволинейных углов, образованных степенными функциями ta при а ^ 1. Более общий случай рассмотрен в работах ([4],[5]). В них изучаются произвольные функции подхода и произвольные отображения пространства R" в регулярное топологическое пространство со счетной базой, при этом, в частности, доказано, что для некоторых семейств углов, задаваемых этими функциями подхода множество особых граничных точек рассматриваемых отображений является
Введение
ст-пористыми и в некоторых случаях имеют тип Ga.
К третьему направлению можно отнести работы ([36],[43]), а также работы ([30],[31]). Ю.А.Шевченко, в частности, было доказано, что для любого совершенного сг-пористого множества из сЖ" существует неотрицательная, ограниченная и непрерывная в М" функция, для которой это множество является множеством VV-особых точек. Также им получен более общий результат для случая произвольного локально компактного метрического пространства со счетной базой, содержащего хотя бы одно множество, гомеоморфное отрезку.
Результаты диссертации можно отнести одновременно к трем направлениям. Автором рассматривается прооизвольный, в том числе и касательный, подход к граничным точкам по различным семействам криволинейных углов. Изучаются также произвольные отображения R" в регулярное локально компактное пространство со счетной базой. Рассматриваются также свойства совершенных сг-пористых множеств, связанные со свойствами множества особых точек пространственных отображений.
Этим вопросам посвящена глава 1 диссертации. В первом параграфе этой главы приведены некоторые необходимые определения и вспомогательные результаты.
Во втором параграфе рассматривается случай комплекснозначиой функции /, определенной в С+. Изучается касательный подход по криволинейным углам, определяемым окружностями. Доказано, что в этом случае множество особых точек функции / является сг-пористым и является подмножеством совершенного сг-пористого множества. Тот же результат справедлив и в случае аналитической функции.
В третьем параграфе рассматриваются произвольные отображения Ж\ в локально компактное хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой. Предельные множества рассматриваются по областям U, являющимися внутренностью эллипсоида и областям V, являющимися криволинейными углами, образованными двумя эллипсоидами. Показано, что множество всех /УУ-особых точек является совершенным ст-пористым
Введение
(теорема 1.3.6). Доказана также следующая
Теорема 1.3.11. Пусть множество Е С (Ж+ является совершенным а—пористым. Тогда существует неотрицательная, ограниченная и непрерывная в Ш+ функция д(х), для которой Euv{g) = Е.
Данную теорему можно обобщить на произвольное локально компактное метрическое пространство со счетной базой, содержащее хотя бы одно множество, гомеоморфное отрезку.
Теорема 1.3.12. Для того, чтобы множество Е С дШ+ было С/У-особым множеством некоторого отображения (а также J/У-особым множеством некоторого непрерывного, ограниченного отображения) F положительного полупространства Ж\ в произвольное локально компактное метрическое пространство со счетной базой, содержащее хотя бы одно множество, гомеоморфное отрезку необходимо и достаточно, чтобы это множество Е являлось совершенным сг-пористым.
Полученные в этом параграфе результаты обобщают результаты Ю.А. Шевченко в пространстве Ш+ в том случае, когда области подхода функции касаются границы.
В четвертом параграфе диссертации изучаются произвольные функции подхода и предельные множества по различным задаваемым ими семействам.
Опишем эти семейства функций подхода. Пусть s = h(t) определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке [0,1], причем s = h(t) < t при 0 < t < 1, а также /г(0) = 0, h(l) = 1. Такая функция называется функцией подхода ([4],[5],[29],[55]). Для построения областей рассматривается обратная функция t — \i{s). Используемые в работе семейства функций получаются преобразованиями сжатия функции [i{s) относительно координатных осей. Полученные три семейства получаются с помощью трех типов сжатия. А именно, сжатие относительно оси t с параметром а, т.е. /ii(a, s) = afi(s), сжатие относительно оси s с параметром а, т.е. Д2(а, s) — /i(as) и сжатие относительно обеих осей с взаимнообратиыми параметрами, ^(a,s) = aji{sfa). Параметры предполагаются рациональными и положительными.
В пространстве W\. рассматриваются круговые и угловые области, т.е. такие, проекции которых на <Ж" лежат в соответствующем (п — 1)-мерном
Введение
шаре.
В.И. Гавриловым и другими авторами ([4],[5]) рассматривались семейства функций подхода первых двух типов. Доказано, что в случае отображения / полупространства R в локально компактное топологическое пространство со счетной базой окрестностей и предельным множеством по двум парам областей множества особых точек отображения /, соответствующие этим областям являются сг-пористыми типа Gsa-
Автором усилен этот результат для случая всех шести пар областей, образуемых тремя семействами функций подхода. А именно, доказано, что во всех шести случаях множество особых точек отображения / будет являтся не только сг-пористым типа Gsa, но и совершенным сг-пористым.
В этой же работе для случая предельных множеств для одного из видов областей, задаваемых функциями подхода второго типа множество особых точек такого же как и выше отображения / является сг-пористым типа Gsa при условии выпуклости вниз функции подхода и выполнении для нее определенного условия, не ограничивающего ее порядок малости в точке 0, а предполагающие определенную регулярность ее поведения.
В диссертации для четырех из шести возможных типов пар областей, задаваемых семействами функций подхода второго типа, доказано, что для упомянутого отображения / и выпуклой вниз функции подхода множества особых точек относительно этих четырех типов областей являются совешенными сг-пористыми.
Для случая областей, определенных семействами третьего типа получены результаты для некоторых частных случаев функций подхода.
В этом же параграфе дается полное дескриптивное описание шести классов множеств особых точек в случае отбражения R в R. А именно, доказано, что множество Е С 9R+ является совершенным сг-пористым в том и только том случае, когда существует неотрицательная, ограниченная и непрерывная в R функция д, для которой одно из шести типов множеств особых точек функции д и функции подхода первого типа совпадает с Е.
Данный результат обобщается для случая непрерывного отображения R в локально компактное банахово пространство.
Введение
С использованием теоремы 1.4.6 получен результат, обобщающий результат работы СВ. Колесникова о том, что множество W-особых точек функции /: С+ —ї С является совершенным сг-пористым. Как было указано выше прямое обобщение доказательства СВ. Колесникова позволило получить лишь одностороннее включение множества особых точек в случае подхода по криволинейным углам, образованным двумя окружностями. Поскольку функция, задающая параболу, является функцией подхода, удовлетворяющей условиям теоремы 1.4.6, то множество особых точек для функции /: С+ —> С при подходе по областям, заключенным между двумя параболами, является совершенным сг-пористым. Тем самым получено полное усиление упомянутого результата СВ. Колесникова (теорема 1.4.14).
Отмстим также результат, связанный с подходом по семействам областей, порожденных гладкими кривыми (следствие 1.4.13). Доказано, что если функция подхода h{t) имеет в точке 0 первый порядок касания с осью t, то множество особых точек отображения /: ]R —у У, где Y — регулярное локально компактное топологическое пространство со счетной базой относительно подхода по семействам областей любого из рассматриваемых типов является совершенным сг-пористым.
Во второй главе диссертации рассматриваются приложения результатов первой главы к изучению предельных множеств фуксовых групп.
Фуксова группа является дискретной группой голоморфных преобразований (открытого) круга К на сфере Римана, т.е. круга или полуплоскости на комплексной плоскости. Чаще всего в качестве К берут верхнюю полуплоскость или единичный круг.
В первом случае элементы фуксовой группы являются дробно-линейными преобразованиями с действительными коэффициентами, и фуксова группа представляет собой не что иное, как дискретную подгруппу группы PSL2. Во втором случае элементы фуксовой группы являются дробно-линейными с псевдоунитарными матрицами. Понятие фуксовой группы послужило основой для теории автоморфных функций, созданной А. Пуанкаре и Ф.Клейном ([51],[52]).
Фуксова группа, сохраняющая какую-либо точку в замыкании круга К
Введение
или прямую в смысле геометрии Лобачевского, называется элементарной. Если Г — неэлементарная фуксова группа, то множество Л(Г) предельных точек орбиты точки х Є К, лежащее на граничной окружности дК, не зависит от ж и называется предельным множеством группы Г.
Одной из центральных задач теории фуксовых групп является задача изучения предельных множеств таких групп.
При изучении эргодических свойств действия фуксовой группы на границе единичного круга выяснилось, что описание таких свойств удобно производить в терминах множеств орициклических предельных точек, точек Гариетт и других подмножеств предельного множества рассматриваемой группы. Эти подмножества оказалось естественным выделять в соответствии с тем, каким образом Г-орбиты точек единичного круга приближаются к точкам предельного множества группы Г.
СВ. Кравцевым в работах ([16],[17]) было доказано, что множество точек Гарнетт произвольной фуксовой группы преобразований на сфере Римана является сг-пористым.
В диссертации показано, что данный результат допускает усиление, а именно множество точек Гарнетт произвольной фуксовой группы является совершенным сг-пористым. Доказательство этого результата основано на теореме 1.4.6.
В диссертации также рассмотрены фуксовы группы в пространстве Кп. В этом случае фуксову группу можно определить как группу мебиусовых преобразований, для которой существует инвариантный шар, в котором эта группа действует разрывно, т.е. неподвижные точки фуксовой группы лежат на границе инвариантного шара. Автором доказано, что в этом случае множество точек Гарнетт произвольной фуксовой группы является совершенным ст-пористым.
Основные результаты автора опубликованы и докладывались на международных конференциях ([32] - [35]).
В заключении автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность своему научному руководителю профессору В.И. Гаврилову за постановку задачи, постоянное внимание к работе и поддержку.
Основные понятия и определения
К третьему направлению можно отнести работы ([36],[43]), а также работы ([30],[31]). Ю.А.Шевченко, в частности, было доказано, что для любого совершенного сг-пористого множества из сЖ" существует неотрицательная, ограниченная и непрерывная в М" функция, для которой это множество является множеством VV-особых точек. Также им получен более общий результат для случая произвольного локально компактного метрического пространства со счетной базой, содержащего хотя бы одно множество, гомеоморфное отрезку.
Результаты диссертации можно отнести одновременно к трем направлениям. Автором рассматривается прооизвольный, в том числе и касательный, подход к граничным точкам по различным семействам криволинейных углов. Изучаются также произвольные отображения R" в регулярное локально компактное пространство со счетной базой. Рассматриваются также свойства совершенных сг-пористых множеств, связанные со свойствами множества особых точек пространственных отображений.
Этим вопросам посвящена глава 1 диссертации. В первом параграфе этой главы приведены некоторые необходимые определения и вспомогательные результаты. Во втором параграфе рассматривается случай комплекснозначиой функции /, определенной в С+. Изучается касательный подход по криволинейным углам, определяемым окружностями. Доказано, что в этом случае множество особых точек функции / является сг-пористым и является подмножеством совершенного сг-пористого множества. Тот же результат справедлив и в случае аналитической функции. В третьем параграфе рассматриваются произвольные отображения Ж\ в локально компактное хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой. Предельные множества рассматриваются по областям U, являющимися внутренностью эллипсоида и областям V, являющимися криволинейными углами, образованными двумя эллипсоидами. Показано, что множество всех /УУ-особых точек является совершенным ст-пористым (теорема 1.3.6). Доказана также следующая Теорема 1.3.11. Пусть множество Е С (Ж+ является совершенным а—пористым. Тогда существует неотрицательная, ограниченная и непрерывная в Ш+ функция д(х), для которой Euv{g) = Е. Данную теорему можно обобщить на произвольное локально компактное метрическое пространство со счетной базой, содержащее хотя бы одно множество, гомеоморфное отрезку. Теорема 1.3.12. Для того, чтобы множество Е С дШ+ было С/У-особым множеством некоторого отображения (а также J/У-особым множеством некоторого непрерывного, ограниченного отображения) F положительного полупространства Ж\ в произвольное локально компактное метрическое пространство со счетной базой, содержащее хотя бы одно множество, гомеоморфное отрезку необходимо и достаточно, чтобы это множество Е являлось совершенным сг-пористым. Полученные в этом параграфе результаты обобщают результаты Ю.А. Шевченко в пространстве Ш+ в том случае, когда области подхода функции касаются границы. В четвертом параграфе диссертации изучаются произвольные функции подхода и предельные множества по различным задаваемым ими семействам. Опишем эти семейства функций подхода. Пусть s = h(t) определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке [0,1], причем s = h(t) t при 0 t 1, а также /г(0) = 0, h(l) = 1. Такая функция называется функцией подхода ([4],[5],[29],[55]). Для построения областей рассматривается обратная функция t — \i{s). Используемые в работе семейства функций получаются преобразованиями сжатия функции [i{s) относительно координатных осей. Полученные три семейства получаются с помощью трех типов сжатия. А именно, сжатие относительно оси t с параметром а, т.е. /ii(a, s) = afi(s), сжатие относительно оси s с параметром а, т.е. Д2(а, s) — /i(as) и сжатие относительно обеих осей с взаимнообратиыми параметрами, (a,s) = aji{sfa). Параметры предполагаются рациональными и положительными. В пространстве W\. рассматриваются круговые и угловые области, т.е. такие, проекции которых на Ж" лежат в соответствующем (п — 1)-мерном шаре. В.И. Гавриловым и другими авторами ([4],[5]) рассматривались семейства функций подхода первых двух типов. Доказано, что в случае отображения / полупространства R в локально компактное топологическое пространство со счетной базой окрестностей и предельным множеством по двум парам областей множества особых точек отображения /, соответствующие этим областям являются сг-пористыми типа Gsa Автором усилен этот результат для случая всех шести пар областей, образуемых тремя семействами функций подхода. А именно, доказано, что во всех шести случаях множество особых точек отображения / будет являтся не только сг-пористым типа Gsa, но и совершенным сг-пористым. В этой же работе для случая предельных множеств для одного из видов областей, задаваемых функциями подхода второго типа множество особых точек такого же как и выше отображения / является сг-пористым типа Gsa при условии выпуклости вниз функции подхода и выполнении для нее определенного условия, не ограничивающего ее порядок малости в точке 0, а предполагающие определенную регулярность ее поведения. В диссертации для четырех из шести возможных типов пар областей, задаваемых семействами функций подхода второго типа, доказано, что для упомянутого отображения / и выпуклой вниз функции подхода множества особых точек относительно этих четырех типов областей являются совешенными сг-пористыми. Для случая областей, определенных семействами третьего типа получены результаты для некоторых частных случаев функций подхода. В этом же параграфе дается полное дескриптивное описание шести классов множеств особых точек в случае отбражения R в R. А именно, доказано, что множество Е С 9R+ является совершенным сг-пористым в том и только том случае, когда существует неотрицательная, ограниченная и непрерывная в R функция д, для которой одно из шести типов множеств особых точек функции д и функции подхода первого типа совпадает с Е. Данный результат обобщается для случая непрерывного отображения R в локально компактное банахово пространство.
Особые граничные точки комплекснозначных функций
С другой стороны, так как в круге D(R:x) функция f(z) не принимает значений из круга Km(rm, zm), то у не может принадлежать C(D(R, х), /, х). Действительно, поскольку f{un) Е Km( rm,zm) и Кт замкнут, то у Е Кт а, следовательно, так как Кт С Кт, то у Е Кт и, более того, внутренней части Кт. Поэтому, если бы для какой-либо последовательности {шп} =1 было бы lim f(wn) = у, то f(wn) должны были бы принадлежать Кт, начиная с некоторого номера. Но этого не может быть, так как f(z) $ Km(rm, zm). Значит у C{D(R,x),f,x), т.е. C(D{R,x)J,x) ф C(D(R\x)J,x) и х Е E{f).
Докажем теперь обратное включение. Пусть х Е E(f), тогда существуют два круга D(R,x) и D(R ,x), R R такие, что C(D(R,x), f,x) ф C(D(R,x)Jtx). Пусть у Е C{D{R ,x), f,x) и у C{D{R,x), f,x). Тогда существует последовательность {un} Ll, ип —У х при п — со, ип Е D(R ,x) и f(un) — / при п — со. Поскольку f(un) —У у при го —» со, то существует такой круг с центром в точке у, который содержит все точки последовательности f(un). Следовательно, существует такой круг Km(rm, zm), который содержит все точки последовательности f(un) (zm либо совпадает с у, если координаты у рациональны, либо близка к у). Чтобы доказать, что х Е E(Ri,i,f) для некоторых R\ и і, достаточно найти такие
Характеристика множества особых граничных точек произвольной функции 19 круги D(Ri,x) и Ki(ri,Zi), для которых Ri R, zi = zm и f(z) Є (гг-, ) при z Є D(Ri, х). Рассмотрим множество кругов К{ с центрами в точке zm и радиусами гг-(г І — рациональное). Пусть для любого рационального г І найдется такая точка z Є D(R,x), что f(z) Є Ki{ri,Zi). Тогда, рассматривая монотонно убывающую последовательность {г } , Tj Vj+i, rj —у О при j —У со, получим соответствующую ей последовательность {f{wj)} jL1, f(wj) Є К, Wj Є D(R,x) и f(wj) —У у при j — со. Если бы Wj —У х при j — со, то, так как f(wj) — / при j — со, точка у принадлежала бы C(D(R,x), f,x). Поэтому Wj не стремится к х. Значит существует такая окрестность точки х, в которой нет точек Wj Є D(R,x). В пересечении этой окрестности с кругом D(R,x) можем выбрать круг, не содержащий точек Wj. Пусть R\ — максимальный возможный радиус этого круга, т.е. для любой точки z из D{Ri,x) имеем f(z) ф Kj при j — 1,2,..., но в любом круге D(p,x), р R\ найдется точка Wj, для которой f(wj) Є Kj. Подбирая соответствующим образом Kj, уменьшая при необходимости гт и отбрасывая часть последовательности {UJ}(J?=1, получим, что у Є E(Ri,m, f) для некоторого т. Лемма 1.2.8 доказана. Определение 1.2.9. Круговым углом V(r, s,x) называется каждая из двух областей, получающаяся путем выбрасывания из замкнутого круга D(r,x), г s, открытого круга D(s,x). Теорема 1.2.10. Пусть f(z) — произвольная комплекснозначная функция, определенная в С+, и EDD{I) множество ее особых точек, тогда EDD{I) является сг-пористым множеством и подмножеством совершенного сг-пористого множества. Определение 1.2.11. Обозначим E(R ,R,m, /) множество всех действительных х, для которых существует круг D(R,x) такой, что для любой точки z Є D(R,x) функция f(z) не принимает значений из круга Кт, но в круговом угле V(R ,R,x) найдется последовательность {zn(x)} :=l, стремящаяся к точке х, причем значения функции f(z) в точках этой последовательности принадлежат кругу Кт с центром в той же точке, что Характеристика множества особых граничных точек произвольной функции 20 и Кт, но вдвое меньшего радиуса. Без ограничения общности можно считать R , также как и R, рациональным. Очевидно, E{R,m,f) = \J E(R ,R,m,f). R eQ Поскольку число множеств E{R , R, т, /) при R , R Є Q, m Є N счетно, их можно пронумеровать в последовательность En(R\ R1 m, /). Тогда из леммы 1.2.8 следует, что EDD{f) = EDV{f) = U En{R ,R}mJ). (1.2.3) Пусть A = E(R , R,m, f) — замыкание E(R , R,m, f). Поскольку A замкнуто на действительной прямой, дополнение к нему открыто и, значит, представляет собой обьъединение не более, чем счетного числа попарно не сю пересекающихся интервалов. Т.е. д С+\А = [J (a,j,bj). 3=1 Пусть а Є Ш, z Є С и Re(z) ф а. Рассмотрим функцию Х(х, a, z) на действительной оси { ( р g —) , если а ф ±оо, 1 , если а = ±оо. Для точки z Є С, Re(z) Є (dj,bj) определим вспомогательную функцию gz{x), полагая Мы будем рассматривать функции gz(x) только для точек последовательности {zn}=l, упомянутых в определении множеств E(R ,R,m, /). Пусть z одна из точек какой-либо последовательности. Тогда z Є V(R ,R}x) для некоторого а; Є E(R , R,m, f). В этом случае, как отмечено выше, х является одним из концов интервала (a,j,bj). Будем считать для определенности, что х — a,j (случай х — bj рассматривается аналогично). Тогда либо точка bj Є E(R ,R,m, /), либо
Глава 1. Характеристика множества особых граничных точек произвольной функции 21 является предельной точкой множества E(R , R,m, f). Рассмотрим круг D(R,bj). Если bj Є E(R ,R,m, f), то z D(R,bj), поскольку f(z) Є Km , a Km С Km, но f(z) Є Km по определению E(R i R,m, f). Покажем, что в случае, когда bj — предельная точка, также f(D(R,bj))f)Km = 0. Рассмотрим точку w Є D(R,bj) и интервал (Re(iu) - /2Rlm(w) - (Im(w))2, Re(w) + у ДІт ) - (Іт(ги))2). Поскольку bj — предельная точка множества E(R ,R,m, /), то в этом интервале найдется точка и Є E(R , R,m, f). Тогда ги Є D(R,u) и, следовательно, /(ги) Кт.
Некоторые свойства совершенных т-пористых множеств в R3
Если же Є Е , то оно выполняется в силу того, что точки 9j(q) брались в круге радиуса min{l/4, d2(Kq, E\{q})}, а радиусы кругов Sj() соизмеримы с расстоянием от их центра до точки . Лемма 1.3.2 доказана.
Для любого множества Е С дМ.+ существует такое замкнутое множество В С дШ+, что: 2) ни одна из точек Є Е не является точкой пористости множества В. Таким образом р(В) = 0. Доказательство. Доказана в работе [30]. Для каждого і = 1,2,... обозначим через В[ С д№.+ некоторую конечную или счетную є-сеть окрестности 11(Е,2 г) множества Е при є = 10 г, причем потребуем, чтобы В{ не имело конечных предельных точек. Очевидно, что множество В = (J ! ВІ удовлетворяет условиям леммы. Лемма 1.3.2 доказана. Рассмотрим эллипсоиды с центром (0, 0,0) следующего вида: х\ + х\ + (сх3)2 = с2, где с 0, с Є Q. (1.3.4) Число с назовем параметром данного эллипсоида. Совершим перенос этого эллипсоида так, чтобы он касался плоскости сЖ+ в точке = (Сі? Сг5 0). Получим эллипсоид: ( і - Сі)2 + (я?2 - С2)2 + Ы - с)2 = с2. (1.3.5) Обозначим х — (яі,Ж2,0) проекцию точки х = (жі,Ж2,жз) на дШ+. Рассмотрим множества: ЩС, с) = {хеШІ\ dist(C, х) су/1 - (х3 - I)2}, (1.3.6) где с Є Q, С Є dR3+. Также для точки Є дШ+ и любых а, Ъ 0, а Ь, а, Ъ Є Q рассмотрим области следующего вида: V{C, а, 6) - {х Є R3 ay/1 - {х3 - І)2 dist(C, x) by/l - (x3 - 1)2}. Рассмотрим некоторую счетную базу пространства Р, и пусть {Yr, Wr}r(EN — счетный набор всевозможных пар окрестностей из этой базы, причем выполняется: Yr С Wr, для всех г Є N. В данном параграфе мы будем рассматривать один из видов множества особых граничных точек, упомянутой вначале произвольной функции /. Определение 1.3.4. Определим множество Е(/) особых граничных точек произвольной функции /, полагая а,Ь,сЄ 0 В дальнейшем нам понадобятся множества специального вида, построение которых проводится ниже. Возьмем любую точку Є Е(/). Тогда по определению 1.3.4 для этой точки существует такая тройка {а,Ъ,с), а, 6, с Є Q, что: С(/,С, (С,с))\С(ЛС, (С,а,6)) 0. Пусть у є C(fX,U((,c))\C(fX,V((,a,b)). Если у 0 С(/, С, У (С а. Ч), то тогда для некоторого І Є N: у 0 /(V (, а, 6)), где V() = 14(С, а, b) f]R\, aR? = {яг ЄК30 z3 }}. Так как т, Є С(/,С, tf(C,c)), то у Є /07 (С,с)) для любого І Є N, где Ul(,c) = С/(С,с) рМ. Это равносильно тому, что для любой окрестности О (у) точки у в пространстве Р и для любого І Є N справедливо: Отсюда, если С Є Е(/), то можно выбрать такую пару окрестностей (Yr,Wr), г Є N, что f(Ul{C,c))f]Yr ф 0 для всех / Є N, и f(Vl{(,a,b))f)Wr = 0. Обозначим: Для произвольной функции /: М _ — Р, где Р — топологическое локально компактное хаусдорфово пространство со счетной базой, имеет место разложение: Доказательство. Из вышесказанного следует, что для любой точки С Є Е(/) можно подобрать такие а,Ь,с Q, что С Є Е(а, 6, с, г, Z). Пусть теперь (" Є Е(а, 6, с, г, /) для некоторых фиксированных натуральных a,b,c,r,l. Значит, Є F(c, /, г) для всех І Є N, отсюда f (U1 ((, с)) ( ]Yr ф 0, для любого І Є N. Поэтому существует последовательность {хп} =1, такая что хп Є Ul((,c) для всех п Є N, и і„ 4 ( при п — со, а также /(жп) Є У -, где 3 . С Wr, причем Ут — компактно. В силу компактности Yr у последовательности {f{xn)} =1 найдется предельная точка g Є Уп и, следовательно q Є С(/, С, /((, с)). Так как С Є E(a,b,l,r), то /( ((, a, 6)) f И г = 0, то есть в У (,а,&) функция / не принимает значений из Wr. Поскольку Yr С Wr, то заключаем что точка q $. С(/, , С/ (С, с)). Итак, существует такая точка q Є У, что 9 Є С(/,С,С/(С,с)), и g (/,(,1/% а, &)), для всех і Є N. Отсюда С(/, С, U(С с)) \ С(/, , V(, а, &)) ф 0 для некоторых а, Ъ, с Є Q, и значит С Є Е(/). Теорема 1.3.5 доказана. Теорема 1.3.6. Для произвольной функции /: Ш+ — Р множество Е(/), является совершенным сг-пористым. Для доказательства теоремы 1.3.6 нам понадобятся некоторые леммы, которые приводятся ниже. Фиксируя некоторые натуральные а, 6, с Є Q, г, І Є N введем новое обоз Характеристика множества особых граничных точек произвольной функции 31 начение: М = E(a,b,c,r,l). Лемма 1.3.7. Любая точка Є Е(а, &, с, г, I) является точкой пористости множества Е(а, 6, с, г, I) при любых а, 6, с Є Q и г, / Є N. Доказательство. Из определений множеств [/(С, с), У(,а,6) и Е(а, 6, с, г, Z) следует, что /(С, с) ("") R „ ни для какого натурального I и ни для какой точки Є Е(а, 6, с, г, I) не покрывается объединением множеств Vі(( , а, Ъ) по всем точкам ( , принадлежащим Е(а, 6, с, г, Z), т.е. Действительно, если бы Ul(C,c) целиком накрывалось бы (J У;(С,о, 6), С єм то тогда было бы Поскольку f(Vl(C ,a,b))r[Wr = 0, то и /(У ІСо.ЧІП г = 0 при любой точке С є М = Е(а, 6, c,r,Z). Тогда и /([/ ((,с))ПЖ. = 0, а так как Yr С Wr, то f(Ul((, с)) П г = 0 чт0 противоречит тому, что С Є E(a,6,c,r,Z). Из условия (1.3.8) следует, что в /(, с) можно выбрать точку х — (жі,Ж2,Жз) сколь угодно близкую к С которая не попадет в одну из областей V(C ,a, 6) для всех точек Є М. Поскольку условие (1.3.8) выполняется при любом натуральном I, то можно выбрать и такую последовавтельность {жп}=ъ лежащую в [/(,с), что точка жп — ffi,Щ,1%) сколь угодно близка к точке С и не попадет ни в одну из областей V( , a, b) для любой точки ( еМ. Фиксируем п и точку жп = (жі,аЇ2,#з). Обозначим через Пп проекцию точки яГп на Ж+, т.е. Пп = (Щ,Щ, 0). Тогда, если хп принадлежит некоторому V(С а, 6), то из этого следует, что точка не принадлежит множеству М. Характеристика множества особых граничных точек произвольной функции 32 Так как хп Є V(\a,b), то выполнены неравенства ау/1 -(Щ- I)2 dist(nn, С ) Ьу/1 - (я - I)2. (1.3.9) Любая точка у из кольца (1.3.9) не принадлежит множеству М, т.е. в кольце (1.3.9) нет точек множества М. Выберем в этом кольце точку zn такую, что dist(iln,2rn) = s - /l — (Щ — I)2 и рассмотрим круги Кп Kn=Ue Ж3+ dist(e, zn) Ц \/1 -( з-1)2} (1-З.Ю) Как было указано круги Кп не содержат точек множества М. Поскольку последовательность {хп} стремится к С, а С Є дШ+, то Щ — 0 при п — сю. Значит radiifn = л/l — (5 — I)2 также стремится к 0.
Особые точки пространственных отображений для различных функций подхода
Множества А и В замкнуты в Ш+, Af]B = 0, поэтому в силу леммы Урысона [17] существует непрерывная функция д : Ш+ — [0,1] равная 1 на А и 0 на В. Покажем, что E(gk) — p(Fk).
Пусть Є dM?+\Fk. Множество сЖ Ді открыто, поскольку F замкнуто. Если точка х Є Ш?+ достаточно близка к , то существует некоторый эллипсоид, нижняя часть которого содержит х, то есть х Є В. Тогда ду\х) = 0. Поэтому для функции дк{х) предельные множества в точке для любых эллипсоидов будут совпадать, то есть 0 Е{дк). Пусть — изолированная точка Fk- Тогда часть шара с центром и радиусом min{d (), d()/2}, лежащая в R _ содержится в Б и в ней (ж) = 0. Значит, 0 Е(дк). Если Є Fjfc не является точкой пористости ДЛЯ Fk, то для последовательности граничных точек Z{ стремящихся к будет dist(zi,Fk) = o(dist(zj,)) и dist(zi,A) = 0(dist( -, і7/,;))- Таким образом, если имеется такая последовательность точек W( из множества Ш ДА, которая стремится к , то dist(гуг-, дШ\) — o(dist(w,)), где w — ортогональная проекция W{ на сЖ;_. Рассмотрим произвольный эллипсоид /(,&о). Каждая точка ж Є /(, Ьо), достаточно близкая к , лежит в Л. Поэтому C(U(t,boU,9k) = {l} ttE(gk). Рассмотрим теперь случай, когда является точкой пористости Fk, т.е. Є p(Fk)- Тогда существует последовательность кругов Kj(dj,rj) С dM2+\Fk, радиусы которых по порядку малости соизмеримы с расстояниями от центров этих кругов до . Рассмотрим эллипсоиды U(aj, ). Пусть {ZJ} такая последовательность, что пересечение эллипсоида U(cij, ) с плоскостью z = Zj является кругом, концентрическим с Kj радиуса г;-. Из построения последовательности {zf\ следует, что нижняя часть эллипсоида U(aj, ), отсекаемая плоскостью Zj, т.е. UZj(aj, ), содержится в В и, если х Є Uz (aj, j), то gk{x) 0 при любом j Є N. Пусть Щ — круг радиуса г7-, концентрический с кругом Kj ии- точка пересечения круга Kj с прямой, соединяющей и с -, причем ближайшая к точке . Рассмотрим последовательность точек uy = (U ;ZJ). Покажем, что эта последовательность сходится к точке при j — со. Будем обозначать Характеристика множества особых граничных точек произвольной функции 43 через a j точку, проекция которой на сЖ+ совпадает с точкой aj. Тогда dist(uj, ) dist(f, и ) + Zj + dist(uj, a j) = = dist(f, и]) + Zj + dist(u, aj) = Zj + dist(f, aj). (1.3.30) Поскольку Zj — 1 — л /l — АЙ и rj —» 0 при j — со, то Zj — 0 при j — со. Так как последовательность aj сходится к , то из неравенства (1.3.30) следует, что Uj - при j — со, причем gt{uj) = 0. Покажем, что существует такая область У(, а, 6), которая содержит последовательность откуда, учитывая неравенство (1.3.31), получаем dist(4K (1 + ) - (L3-32) Поскольку rj = \А — (1 — Zj)2, то из (1.3.32) следует 1 1-(1- = dtot(„$,fl « (1 + 1) /1-(1- Zj)2. (1.3.33) Из неравенства (1.3.33) вытекает, что последовательность точек {UJ} =1, Uj = {v?j\ Zj) содержится в области V(, , + - )- Следовательно, учитывая, что gk(uj) = 0, предельное множество C(V, , ) содержит 0. С другой стороны, С(/(, !),,#&) = {1}- Таким образом є E(gk). Теперь определим функцию д{х) для всякого х Є М+, полагая Характеристика множества особых граничных точек произвольной функции 44 Так как этот ряд сходится равномерно в М.+ , то функция д{х) непрерывна и ограничена в R+. Покажем, что Пусть ( Є Е(д). Тогда найдется такая тройка а, 6, с Є Q, что C(gX,U((,,c)) \ C(g,C, V(C, а, &)) Ф 0. Следовательно, найдется последовательность {ТІ} , ДЛЯ которой ТІ Є U(C, с), lim д(щ) — а при любом г— оо г и последовательность { } 1? для которой і; Є У (С, а, Ь), lim ?(г-) = 5, г- оо причем а 7 - И3 равномерной сходимости ряда (1.3.34) следует, что существует такой номер п() и такие две подпоследовательности {т;.} и {г-.}, что lim дп(о(.тч) = Vc) т &n(c) = lim Рп(0( »,) Выше было показано, что если С 0 p(Fn(Q), то функция рп() имеет один и тот же предел по любой касательной последовательности точек из R+, сходящейся к (". Значит оо и, следовательно, #(#) С (J Р№0 Докажем включение в другую сторону. Пусть (J p(-Fjt) и г А=1 такой номер множеств Fk, для которого Є p{Fk). Как было отмечено выше p(Fk) = #fe) значит С Є p(i ) = #(#)- Для любой последовательности точек j Є V((, ,), сходящейся к имеем ( j) = 1, j Є N. Выше в доказательстве было показано существование касательной последовательности точек Tj Є U((: со), сходящейся к , для которой &(TJ) = 0. Так как p(-Ffc) при 1 /г г — 1, то для каждого такого А; существует номер J (к) такой, что для всех j J(k) имеем gk(tj) = 9k{ j) 1, если С, — неизолированная точка Fk, и gk{tj) — Qkijj) — 0, если F/j, или С — изолированная точка Fk. Положим J = max J (к), тогда при всех j J, обозначая через Sn(x) сумму первых п членов ряда (1.3.34), имеем Si-i(tj) = SI-I(TJ) — A, Si(tj) = А + 101_г, S{(TJ) — А. Из определения функций gk и д следует, что при х Є Ш+ будет д(х) S{(x),
