Введение к работе
Актуальность темы. Теория конформного отображения многосвязней области d Ш2 на нормальные (илі, иначе говоря, минимальные по Кебе, нормальные по Грзтяу) области, подученные удалением из плоскости (или круга, кольца, прямоугольника и т.д.) дуг кривых, прикэдленаг-их к соответствующим простым семействам кривых, восходит к работам Д.Гильберта, П.Кабе, Р.Куранта. Эта теория возникла как результат обобщения известной теоремі Римана о кокфорягач отобраконки односаязноіі области на круг и первоначально базировалась но принципа Дирихле (см. Курант Р. Принцип Дярыхло, канфортхыо атобракония и минимальные поверхности. -М. :ИЛ.-1953.-ЗЮс.). Новый подход к теории нормальных областей, основстшй на изучении экстремальных свойств конфорлшх отобрзнэпки, предложили X.Грета и Р.Поссель. Их подход в данном вопросе усповзю ПрНМЄІІЧЛЯ Е.Ренгель, X.Рентли, Е.Рейх я С.Варшавский, Д.Дкенккио, Д.Марден и Е.Родин, К.ШтроСвль и другие авторы. И.П.Миткк распространил ряд известных экстремальных свойств упомянутых отображений на случай квазиконфордшх отобрааепяЯ круга я кольца с круговими разрезами.
П.Кебе, по-видимому, бил первый, кто обратил внимание на тот факт, что при конформном отображении многосвязней эбласти заданной нормировки, например, на плоскость с горизонтальными разрезами , ото отображение, вооб<дэ говоря, ка здинствонно. В связи с отмеченным обстоятельством ВОЗІШК воп-юс о гоонетрии компактов, пороздагасіх нормальные области [проблема Кебе). ПЛІ.Темразов, используя разработанную им юрму метода экстремальных метрик, установил ряд результатов о ірироде отобрагдаїшй на нормальные области.
Многие факта по теория указанпих отобрвжэний были систэмэ-изирсвакы в монографии К.Ойкавы и Л.Сарно (см. Oikawa К., ario L., Capacity functions. - Berlin: Springer. - 1969.-61р.). Авторы этой кішги не только подволи итоги предыдущим селедованиям, но и поставили вопросы касательно втік отобра-ений. Среди них отметим задачу о дроблении и синтезе нормаль-ых областей и задачу об инвариантности компактов, пэрожд^тецг*. казатшн" области, при подтлдящем квазиконформном отображении.
В 1950 году Л.Альфорс и А.Бейрлинг полокили начало систематическому изучения нуль-множеств в теории функций. В частности, ими были исследованы NED-множасгва, устранимые для регулярных функций с ограниченным интегралом Дирихле, и NSB-множества, непрерывно устранимые для однолистных регулярных функций. Отметим, что теория NSB-множеств восходит к работам Гретша и получила недавно свое развитие на случай пространственных квазиконформных отображений в исследованиях О.Ыартио и Р.Някки.
Установленный Л.Альфорсом и А.Бейрлингом критерий NED-mho-жеств в термшшх нормальных областей послужил отправной точкой для изысканий по теории устранимых множеств в работах И.Н.Песн-на , Б.В.ШаОата, А.П.Копылова, В.М.Миклюкова, Ю.Вяйсяля, В.В. Асеева и А.В.Сычева. На этом пути Л.Хедберг, С.К.Водопьянов и В.М.Гольдштейн выявили связи меаску этой теорией и проблемами аппроксимации, изоморфизма соболавских пространств.
Сказанное диктует необходимость построения общей теории пространственных нуль-множеств, которая с одной стороны, наследует известные свойства компактов, порождающих плоские нормальные области, и NED-множеств, а с другой стороны, объясняет новые факты и позволяет дать решения известных задач этой теории.
Цель работы. Установить аналитические, метрические, геометрические характеристики нуль-множеств; исследовать пространственные NSB-мнокества и описать ситуации, в которых справедливы утверждения типа классической теоремы Ррдо; изучить экст-ремплыше свойства отображений с ограничеішим искажением в нормальных кольцевых областях.
Общая методика исследований. В диссертации широко используются общие свойства емкости конденсатора, модулей семейств кривых и поверхностей, топологии континуумов и отделяющих компактов, тьории соболевских пространств, геометрической теории меры и теории контингенции.
Большую роль в диссертации играет метод сопряженных семейств, метод Оилипаицевых продолжений.
Научная новизна и теоретическая значимость. Основными результатами, полученными в диссертации, являются следующие:
- рассмотрены свойства р^емкости конденсатора, q-модуля семейства составных отделяиадх поверхностей, р-модуля семейства составных соединяющих кривых, установлены
соотношения между ними и, в частности, дано решение задач Л.Хедбврга и М.Отцуки;
установлены точныз локальные аналитические, модульные характеристики нуль-мнокоств, порождающих р-нормаль-ные области, и устранимых особенностей для соболов-ских классов Ь1(С), iT1(G), для класса Родина-Саряо-Хедберга И>"(С)Р;
дано геометрически-модульное решение проблемы Кебе, исследована задача Сарио-Ойкави об инвариантности компактов, порозденцих нормальные области;
доказана устранимость нуль-мнохоств второго ряда в проблеме р-модуля для семейств простых составляющих кривых;
даны огшсаш.л .устранимых особеїшостей в терминах теории контингенцил и билипшицевых компактов;
для плоских KED-MK0S8CTB получено описание в терминах є-обхвата;
построена теория непрерывно устранимых пространственных HSB-множеств для квазиконформных отображений, установлены аналоги теорем Радо для отображений с ограниченным искажением;
получен аналог теоремы Шиффэра-Вяйсяля-Мартко-Рикмзна об изменении емкости конденсатора при отображении с ограниченным искажением, установлены экстремальные свойства этих отображений в нормальных кольцевых областях.
Все перечисленные результаты являются новыми. Разработан- ае в диссертации новые подходы к исследованию функциокально-этрических свойств нуль-мнояеств в lRn, п»2, могут быть приме-эны к более общим топологическим пространством. Представляет зтерос возможность непосредственного обобщения полученных эзультатов из тооріш потенциала и экстремалыпис метрик пп ^учвй весовых емкостей и модулей.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, жладыпплись апторсм на русско-японском семинаре (рук.-В.Н.Лупиш, М.Отцуки; Владивосток 19Э2 г.), а также на заседаниях в 7-1991 гг. ноучтшх сочичпров в Математическом институте им.
В.Л.Стеклова АН РАН (рук.-Л.А.Гончар), Московском госуниверситете фук.-В.А.Зорич), Институте математики СО АН РАН (рук.-Ю.Г.Решотняк, А.В.Сычэв), Санкт-Петерб/рском отделении Математического института РАН (рук.-Г.В.Кузьмипа), Институте математики АН УССР (рук.-П.М.Тамразов, Ю.В.Трохкмчук), Институте прикладной математики и механики АН УССР (рук.-В.И.Белый), Волгоградском университете (рук.-В.Ы.Миклпков) и др.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах Ш-ГІ8), список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, раздела "Предварительные обозначешя", пяти глав, списка литературы из 105 наименований и составляет 240 страниц.
