Содержание к диссертации
Введение
1. Канонические борелевские множества 28
2. Особые А-множества и их свойства 56
3. Гармонические отображения 68
4. О некоторых классах отображений метрических пространств 82
5. Об открытых отображениях борелевских множеств, гомеоморфизмах h-од-нородных пространств и характеристике Р х Q 96
6. Список литературы 115
- Канонические борелевские множества
- Гармонические отображения
- О некоторых классах отображений метрических пространств
- Об открытых отображениях борелевских множеств, гомеоморфизмах h-од-нородных пространств и характеристике Р х Q
Введение к работе
Актуальность темы. В дальнейшем, если не оговорено противное, все пространства предполагаются лежащими в канторовом множестве С или пространстве иррациональных чисел Р.
В диссертации рассматриваются взаимосвязанные вопросы, относящиеся к трем периодам.
Вопросы 1928-45 годов, касающиеся определения канонических борелевских множеств и поведения их при гомеоморфизмах и открытых отображениях.
Вопросы 70-х годов, об описании отображений, сохраняющих первые борелев-ские классы множеств и, в первую очередь, класс G^-множеств, совпадающий, как известно, с классом полнометризуемых пространств.
Сюда относятся вопросы о гомеоморфизмах и об индуктивной совершенности отображений (индуктивно совершенные отображения сохраняют борелевские классы).
3. Вопросы 90-х годов о сохранении борелевских классов различными видами стабильных и гармонических отображений и об их индуктивной совершенности.
Вопросы первой группы ставились классиками топологии и дескриптивной теории множеств. Они оставались актуальными до последнего времени.
Об актуальности последней группы вопросов говорит, например, только что объявленное положительное решение Ж. Сен Реймоном и Г. Дебсом вопроса о сохранении борелевских классов гармоническими (= компактно накрывающими) отображениями. Данное ими доказательство явилось важным событием последнего времени, так как ими же было установлено, что доказательство индуктивной совершенности таких отображений требует привлечения дополнительных аксиом теории множеств.
Вернемся к начальным вопросам и их истории.
Важнейший класс топологических пространств - класс компактных пространств - сохраняется при любых непрерывных отображениях. Изучение непрерывных образов второго по значимости класса пространств - пространств, метризуемых полной метрикой, привело, как известно, к развитию дескриптивной теории множеств (ДТМ), в которой борелевские множества играют ведущую роль. С точки зрения ДТМ метризуемые полной метрикой пространства образуют класс Gj (содержащий Р). Известно, что непрерывные взаимно-однозначные образы Gj-множеств суть все борелевские множества и только они.
При каких отображениях пространства иррациональных чисел Р его образы будут всегда борелевскими множествами того же класса Gj?
Этот вопрос интенсивно изучался как вопрос об отыскании наиболее широкого класса отображений, сохраняющего полнометризуемость.
Наряду с такими давно известными классами отображений как открытые и замкнутые, в 70-х годах вышли на сцену новые классы отображений1' индуктивно совершенные, s-накрывающие, компактно накрывающие, трифакторные2.
В случае, когда отображаемое пространство есть Gj-множество, образ его при всех этих отображениях будет также G&-множеством, и все четыре класса отображений совпадают. Исторически это было установлено в таком порядке: доказатель-
Ютображение / : X -> Y называется индуктивно совершенным, если на некотором замкнутом в X подпространстве Xq ограничение /\Xq есть совершенное отображение на Y. Если / индуктивно совершенно только для компактов К С Y, оно называется компактно накрывающим, а если рассматриваются только счетные такие компакты К, то отображение называется $-накрывающим. 2Трифакторные отображения появились как свойство s-накрывающих отображений при доказательстве сохранения ими полнометризуемости, однако впоследствии было установлено, что у s-накрывающих отображений имеется более сильное и интересное свойство: они точечно-гармоничны (см. главу 3), поэтому мы здесь опускаем их определение. ство сохранения класса Gf компактно накрывающими отображениями было дано Й. Христенсеном. Впоследствии Ж. Сен Реймон, диссертант и Е. Майкл установили, соответственно, что условие компактно накрываемости эквивалентно в этом случае индуктивной совершенности, s-накрываемости и трифакторности.
В поисках наиболее широкого класса отображений, сохраняющего полнометризу-емость (такой класс будет указан в диссертации - класс стабильных отображений) обнаружились два феномена, требовавших объяснения.
Первый из них заключался в том, что первоначально не удавалось доказать несовпадение указанных выше четырех классов отображений уже при отображениях на пространство рациональных чисел Q, если даже в качестве отображаемого пространства взять простейшее не полнометризуемое борелевское множество: ? х Q.
Нетривиальность ситуации видна уже потому, что соответствующие вопросы даже ставились (Е. Майклом) в виде двух отдельных вопросов: о совпадении классов трифакторных и s-накрывающих отображений; о совпадении классов индуктивно совершенных и s-накрывающих отображений.
Отрицательный ответ на первый вопрос был дан впервые автором (см. 3.4 Е), а положительный ответ на второй - автором, В. Юстом и Г. Викке (см. теорему 3.2.1, которая для частного случая счетных пространств была получена одновременно В. Юстом и Г. Викке).
Второй феномен состоял в отсутствии до конца 70-х годов топологических характеристик пространств Р х Q и Qw, что сделало актуальной старую проблематику о канонических борелевских множествах, которые Н. Лузин представлял себе как не имеющие лишних частей, не приводя точного определения этого понятия. Снова стали актуальными старые вопросы:
П.С. Александрова - П.С. Урысона, об описании неприводимых борелевских множеств и их перечислении;
Н. Лузина и Л.В. Келдыш, об определении канонических элементов и о представлении борелевских множеств с помощью их сумм,
Л.В. Келдыш, об универсальности борелевских множеств;
В. Гуревича, о существовании особых А-множеств;
Л. В. Келдыш, об описании борелевских множеств как образов друг друга при открытых отображениях.
Мы напомним кратко историю этого круга вопросов.
Имеются различные классификации борелевских множеств, и во всех из них первые классы представляют особый интерес. Например, среди подпространств гильбертова куба /w, в первые классы попадают все (сепарабельные) компактные и локально компактные пространства, полнометризуемые, ст-компактные и многие другие топологические пространства.
Основными представителями своих классов являются:
С - канторово совершенное множество; Q - пространство рациональных чисел и произведение Q х С;
Р - пространство иррациональных чисел;
Началом изучения топологической структуры борелевских множеств следует считать классические топологические характеристики этих пространств, данные Брауэ-ром (для С), В. Серпинским (для Q), Ф. Хаусдорфом и П.С. Александровым - П.С. Урысоном (для Р), П.С. Александровым - П.С. Урысоном (для С х Q):
С - единственное нульмерное компактное без изолированных точек пространство; Q - единственное нульмерное счетное без изолированных точек пространство;
Р - единственное нульмерное полнометризуемое пространство, не содержащее открытых компактных подмножеств;
С х Q - единственное нульмерное ст-компактное пространство, не содержащее открытых компактных или счетных подмножеств.
Из этих топологических характеристик легко следуют такие дескриптивные3: Q - единственное множество класса Fff, всюду счетное и всюду не дополнительного класса Gj;
Р - единственное множество класса G&, всюду не дополнительного класса Fa; 3под свойствами "всюду" понимаются свойства, которые наследуются всеми открыто-замкнутыми подмножествами. Иногда вместо "всюду" говорят "на каждой своей порции".
С x Q - единственное множество класса Fa, всюду несчетное и всюду не дополнительного класса Gj.
Указанные множества обладают рядом других однородных свойств. Так, очевидно, все эти множества всюду принадлежат борелевскому классу исходного и даже всюду гомеоморфны исходному (пространства с последним свойством называются /г-однородными).
Множества некоторого класса а, но не дополнительного класса, называются множествами строго класса а. Неприводимые множества класса а определяются как множества всюду строго этого класса В частности: Q - единственное счетное неприводимое множество класса Fy,
С х Q - единственное несчетное неприводимое множество класса Fa;
Р - единственное неприводимое множество класса G&.
Упомянутые множества имеют еще одно замечательное свойство, благодаря которому их выделили как канонические: любые борелевские множества этих классов получаются объединением счетного числа канонических.
Например, каждое несчетное компактное множество представимо в виде суммы канторова совершенного множества С и счетного числа точек, которые суть тривиальные канонические множества.
В связи с этим Н. Лузин выдвинул идею о возможности подобного представления для каждого борелевского множества. Однако в случае борелевсккх множеств высших классов ситуация резко усложнилась и попытки точного определения канонического множества привели к ряду вопросов.
Теперь, когда мы знаем, что характеристики типа /t-однородности связаны с вопросом о детерминированости борелевских множеств и что доказательство детерминированности даже в первых классах очень непросто, возникшие в те годы трудности легко объяснимы.
Н. Лузин склонялся к определению канонических множеств как однородных в смысле свойства неприводимсти, а П.С. Александров и П.С. Урысон сформулировали проблему с полной определенностью:
Сколько существует попарно негомеоморфных неприводимых множеств в дан- колі борелевском классе? Какова их топологическая характеристика?
Решающий вклад в понимании проблемы определения "каноничности" внесла Л В Келдыш, положив в основу своего определения канонического элемента свойство универсальности: мы скажем, что борелевское множество некоторого класса является универсальным, если любое борелевское множество этого класса гомеоморфно пересечению исходного с некоторым совершенным множеством (что равносильно тому, что исходное множество содержит замкнутую копию любого борелевского множества этого класса).
Из топологических характеристик С, Q х С и Р следует, что произведение каждого из этих пространств с произвольным борелевским множеством того же класса дает пространство, гомеоморфное исходному пространству.
Так как в произведении любых пространств каждый сомножитель является замкнутым подпространством, из сказанного следует:
С - единственный всюду универсальный представитель класса замкнутых множеств; ? - единственный всюду универсальный представитель класса Gs', Q - единственный счетный всюду универсальный представитель класса Fa для счетных множеств, Q х С - единственный всюду универсальный представитель класса F„.
Однако в классах Fct и Gsa появились уже по крайней мере по два равноправных претендента
Л.В. Келдыш, привлекая топологическое понятие категории 4, определила канонические элементы класса а как элементы этого класса, всюду универсальные и первой категории на себе. ^Напомним, что пространства первой категории суть пространства, представимые в виде объединения счетного числа нигде не плотных в них множеств, а все остальные пространства суть второй категории. Пространства первой категории являются таковыми всюду.
В диссертации показано, что канонический элемент класса а, определенный Келдыш, гомеоморфен Q х MQ-i (3 < а < и) или Q х Ма, где и < а < щ и множества Ма определяются с использованием только операций произведения и перехода к дополнению
При изучении гомеоморфных отображений канонических элементов Л.В. Келдыш рассматривала естественный более общий случай открытых отображений. Она доказала, что теорема В. Серпинского (обобщенная Ф, Хаусдорфом на случай несе-парабельных метрических пространств) о сохранении класса G& при открытых отображениях уже не имеет места для борелевских множеств высших классов первой категории на себе (как показано в диссертации, произведение Р xQ может быть отображено открыто на любое другое борелевское множество).
Так как всякое G& по теореме Бэра о категориях имеет всюду вторую категорию, Л.В. Келдыш поставила естественный вопрос.
Можно ли всякое борелевское множество всюду не FaC\G& и всюду второй категории на себе отобразить с помощью открытого отображения на произвольное аналитическое множество всюду второй категории на себе?
Исследования Л.В Келдыш о сохранении классов борелевских множеств при открытых отображениях послужили отправной точкой для поиска наиболее широкого класса непрерывных отображений, сохраняющих борелевские классы. Естественное ограничение к такому классу - содержать в себе все открытые и все замкнутые отображения.
Н. Бурбаки установили, что открытые отображения Сл-множеств обладают следующим свойством к-накрываемости: любой компакт в образе накрывается некоторым компактом из прообраза.
Христенсен усилил теорему В. Серпинского, доказав, что образ Gj-множества при к-накрывающем отображении будет также Ол-множеством.
По аналогии с уточненной теоремой Л.В. Келдыш, согласно которой любое борелевское множество есть открытый образ Р х Q, автор поставил такой же вопрос для к-накрывающих отображений сначала для Р х Q, а потом и в общей форме: сохраняют ли отображения со свойством к-накрываемости классы борелевских множеств?
В диссертации доказано, что в случае, когда У состоит из счетного числа компактов, всякое fc-накрывающее отображение / : X —> К является индуктивно совершенным на некотором подпространстве Х0 с X с тем же образом.
Следствием доказательства стало открытие автором классов компактно гармонических отображений и (одновременно с Юстом и Викке, которые нашли его в эквивалентной форме совершенно другим методом) точечно-гармонических отображений, а затем и более общего класса стабильных отображений5, замечательного тем, что он включает все открытые и все замкнутые отображения и даже их композиции. К тому же он наследует, в отличие от класса факторных отображений, лучшие общие свойства открытых и замкнутых отображений, а в случае компактных прообразов точек совпадает с точечно-гармоническими.
Параллельно изучается вопрос о сохранении борелевских классов при стабильных отображениях с компактными прообразами точек. Полученные здесь диссертантом результаты говорят об эффективности применения понятий гармонических и стабильных отображений: с их помощью можно получать ответы там, где традиционная техника индуктивно совершенных отображений не работает, что говорит об актуальности этого направления исследований.
Цель диссертации в общей постановке можно сформулировать как изучение условий существования между борелевскими множествами разных классов тех или иных гармонических отображений. ^Отображение называется стабильным, если в прообразе f~l{y) каждой точки у У найдется такое семейство єу, что каждое открытое множество, содержащее какое либо В еу, содержит также некоторое множество В' еу> для всех точек у1 из некоторой окрестности точки у. Если еу состоит из компактов, то отображение называется точечно-гармоническим. Заменяя в определении точечно-гармонического отображения "точка у" на "компакт Ю\ получаем определение компактно гармонического отображения.
С одной стороны этим достигается решение некоторых задач. Так, в частности, мы получаем: в случае гомеоморфизмов и неприводимых борелевских множеств - проблемы Н. Лузина и П.С. Александрова - П.С. Урысона; в случае открытых отображений - проблемы Л.В. Келдыш; в случае трифакторных и стабильных отображений - соответствующие задачи Е. Майкла и диссертанта.
С другой стороны, проясняется глобальный вопрос классификации, впрочем, весьма условной, какие пространства и отображения считать хорошими и плохими по принципу: отображение тем лучше, чем хуже может быть класс пространств, инвариантный для него.
Наоборот, пространство тем хуже, чем лучше должен быть класс отображений, сохраняющий его свойства.
Мы будем сравнивать пространства по высоте борелевских классов, к которым они принадлежат.
Например, замкнутые отображения сохраняют все борелевские классы и поэтому лучше открытых, которые сохраняют их только до второго, а точное место в этой классификации для в-накрывающих или стабильных отображений с компактными прообразами пока неизвестно.
Методы исследования.
Традиционные методы ДТМ (например, А-системы, проекции) в значительной мере были заменены топологическими (например, использованием тихоновских произведений, бикактных расширений, индуктивно совершенных и других классов отображений)
В диссертации применяются методы топологии (бикомпактные расширения, вложения, тихоновские произведения), дескриптивной теории множеств (борелевские множества, аналитические множества).
Из разработанных автором методов отметим главные: продолжения открытых отображений и гомеоморфизмов (метод изоморфных систем остаточных множеств); методы, основанные на свойствах стабильных отображений
Научная новизна. Новыми результатами, естественно, являются ответы на ряд вопросов ДТМ и топологии, на которые ранее ответ не был известен, в числе которых следующие: полные ответы на вопросы П.С. Александрова - П.С. Урысона об описании и перечислении неприводимых борелевских множеств; полный ответ на вопрос Л.В. Келдыш об условиях существования открытых отображений между различными борелевскими множествами; положительный ответ на вопрос Л.В. Келдыш о представлении элементов данного класса как объединения канонического элемента и множества меньшего класса; отрицательный ответ на вопрос Е. Майкла о совпадении классов s-накрывающих и трифакторных отображений и положительный ответ на его вопрос об индуктивной совершенности s-накрывающих отображений, если образ есть сумма счетного числа компактов, с помощью введения более широкого нового класса гармонических отображений, для которого этот вопрос оказывается более естественным.
Кроме того: впервые дана топологическая характеристика канонических элементов Л.В. Келдыш с помощью простейших операций произведения и перехода к дополнению. В частности, показано, что канонический элемент Л.В. Келдыш третьего класса го-меоморфен счетной степени рациональных чисел; приведено короткое доказательство гипотезы Н. Лузина о представлении борелевских множеств в виде суммы канонических (данное впервые Л.В. Келдыш с помощью А-систем) путем привлечения топологических методов; найден естественный новый класс отображений, названных стабильными, содержащий открытые, замкнутые и многие другие и сохраняющий полнометризуемость. Получены первые результаты пока о небольшом повышении такими отображениями с компактными прообразами точек классов борелевских множеств.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные результаты могут найти применение в дескриптивной теории множеств и функций, общей топологии, теории вероятностей, функциональном анализе, теоретической информатике.
Из результатов диссертации, относящихся к теории отображений топологических пространств, можно сделать вывод, что роль сепарабельных метрических пространств много важнее, чем считалось ранее.
Тенденция 60-х годов "изгнать паразита счетности" из топологии привела к общим классам отображений, которые оказываются зачастую недееспособными при решении конкретных задач уже для подпространств из Р.
Наоборот, рассмотрение сепарабельных метрических пространств позволяет найти удачные классы отображений для общих топологических пространств.
С точки зрения практики и теории, из исследований диссертации следует вывод, что существовавшая до последнего времени теория отображений общих топологических пространств оказывается слишком абстрактной и бедной в приложениях к конкретным вопросах для борелевеских подмножеств действительной прямой.
Поясним сказанное на истории возникновения стабильных и гармонических отображений.
1. Рассмотрим, например, вопрос о классе отображений, включающем открытые и замкнутые, который имел бы такое их общее "хорошее" свойство как сохранение полнометризуемости. Можно было бы начать решать его "в лоб", путем рассмотре ния класса всевозможных композиций открытых и замкнутых отображений. Такой подход рассматривался ранее, но приводит к громоздким конструкциям и мало что дает.
Другой путь предложен в диссертации: рассматривается для этих классов отображений общий класс стабильных отображений, инвариантный относительно композиций. Доказывается, что в классе сепарабельных метрических пространств он имеет свойство (трансфакторности), которое влечет сохранение полнометризуемости.
Класс стабильных отображений оказался наиболее широким классом отображений, сохраняющим полнометризуемость сепарабельных метрических простанств.
2. Рассмотрим вопрос Е. Майкла об индуктивной совершенности s-накрывающих отображений на счетные пространства.
В классе сепарабельных метрических пространств s-накрывающие отображения и только они точечно-гармоничны.
Отображения последнего класса на счетные пространства индуктивно совершенны, даже если отображаемое метрическое пространство не сепарабельно.
Подобно этому доказывается, что компактно накрывающие отображения эквивалентны гармоническим отображениям в классе метрических пространств, только если они сепарабельны.
Класс гармонических отображений оказался наиболее широким классом отображений, сохраняющим классы борелевских подмножеств из С8.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на: семинаре кафедры общей топологии и геометрии МГУ им. М В. Ломоносова;
Ленинградской международной топологической конференции (Ленинград, 1983); V Тираспольском симпозиуме по общей топологии и ее приложениям (Тирасполь, 1985); семинаре Г. Шоке по анализу (Париж, 1993); X летней конференции по общей топологии и ее приложениям (Амстердам, 1994);
31 и 33 зимней школе по функциональному анализу в Чехии (2003,2005); семинаре по функциональному анализу и ДТМ Карлова университета {Прага, 2004); конференции по анализу и ДТМ в институте Филдса (Торонто, 2002); семинарах Ленинградского университета (1976-1994); ежегодных конференциях памяти П.С. Александрова, проходящих в МГУ им. М.В. Ломоносова; конференции по вычислимости и сложности в анализе (Виттенберг, Германия, 2004); семинаре по ДТМ и функциональному анализу (Париж, 2006); ряде других конференций и симпозиумов. "При дополнительном предположении, что все пообразы точек компактны, таким классом скорее всего должен быть класс стабильных ото-юражений. На это указывет теорема 3.5.
Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работах автора, список которых приведен в конце.
Структура диссертация. Работа состоит из введения, 5 глаз и списка литературы. Главы разбиты на разделы, которые, в свою очередь, разбиты на пункты. Общий объем работы составляет 119 страниц, библиография содержит 55 наименований
КРАТКОЕ СОДЕРХ<АНИЕ РАБОТЫ
Первая глава посвящена изучению канонических борелевских множеств и решению связанных с ними вопросов Л.В. Келдыш, П.С. Александрова и П.С. Урысона
В начале изложения даются основные понятия о борелевских множествах и показывается топологический путь к доказательству Келдыш о единственности канонического элемента в ее определении. Подчеркивается приоритет Л.В. Келдыш в вопросе об универсальности борелевских множеств. Хотя этот вопрос и решается теоремами Уэджа, Д Мартина и, в конечном счете, Л. Харрингтона, мы указываем простое доказательство в одном важном частном случае с помощью теоремы 0.1.10.
Теорема 0.1.2 демонстрирует топологическую суть теоремы Л.В. Келдыш о единственности канонического элемента.
Следующие множества Ла,Ма использовались ранее для доказательства непустоты борелевских классов.
Обозначим через S сходящуюся к нулю последовательность вместе с предельной точкой {0}. При рассмотрении всех дополнений вида С \ X мы будем считать, что X всюду плотно вложено в С. Множества Ма и Аа определяются индуктивно: Ma = №A0 = S\{0}; Aa^S«\MQ;
Ма = А%, если а = 0 + 1,
Ма = ЇІр<аАр, если а предельный трансфинит.
Легко видеть, что Мі гомеоморфно Р и А\ гомеоморфно С х Q (по нашей конструкции, хотя при других способах вложения дополнение к Лі может быть гомеоморфно Q).
М2 гомеоморфно (С х Q)" яз Q"\
Теорема 1,1.1 характеризует борелевские множества в общих нульмерных топологических пространствах X как замкнутые подмножества произведения А' и соответствующего множества М0, В случае, когда X есть счетная степень рациональных чисел, X х М2 и Q" - канонический элемент Л.В. Келдыш третьего класса.
1.1.1. Теорема. Пусть X - совершенно нормальное пространство, IndX = О, В С X борелевское множество мультипликативного класса а. Тогда Ва и Х\Ва гомеоморфны замкнутым подмножествам соответственно в X х Ма и X х Аа.
Метрическое пространство X назовем u-однородным относительно пространства У , если У вкладывается замкнуто в любое непустое открыто-замкнутое в X подмножество О.
Следующая теорема является аналогом теоремы Л.В. Келдыш о единственности канонического элемента, однако универсальность здесь используется в смысле существования замкнутых вложений и позволяет совсем коротко передать суть теоремы Л.В. Келдыш о единственности канонических элементов.
1.2.2. Теорема. Пусть Х,Х' - нульмерные метрические пространства первой категории и и-однородные друг относительно друга. Тогда X гомеоморфно Xі.
Рассматривая наряду с множествами Ма и Аа, определенными выше, множества Ма х Q, Аа х Q и их дополнения при некотором всюду плотном вложении в С, мы определим множества Па, Tl'J, SQ, ", (а > 2) :
ГЦ = Q"' множество первой категории,
Щ1 = С \ Пд будет, разумеется, множеством второй категории на себе. Множество з = Sj; х Q принадлежит тому же классу, но уже первой категории на себе, а
Щ1 — С \ Sg множество второй категории.
При q > 3 мы можем рассмотреть аналогичные множества, однако стартовое множество Пд будет определяться в предельных случаях иначе:
Па = (S^)w, если а = /5 + 1, П^ = П^<а ^j, если а предельное.
Аналогично определяются:
2? = С\П, i = К' х Q, П? = С\Е.
Имеет место следующая теорема:
1.3.1. Теорема. Пусть X С С борелевское множество класса а > 2.
Для того чтобы X было гомеоморфно 2д (соответственно, Пд ), необходимо и достаточно, чтобы X было неприводимым Е-множеством (соответственно, неприводимым П-множеством) первой категории.
Аналогичная характеристика получается для множеств всюду второй категории (теорема 1 3.2)
Следующие результаты посвящены проблеме П.С, Александрова - П.С Урысона [1]: "Возникает проблема перечисления (или, по крайней мере, проблема определения мощности) всех топологических типов неприводимых нульмерных множеств заданного класса. Аналогичная проблема возникает и для так называемых А-множеств".
Вопрос об определении мощности решается следующей теоремой.
1.4.1. Теорема. В каждом классе (а > 2) Е, П, Д борелевских множеств найдется ровно континуум попарно негомеоморфных неприводимых множеств.
Теорема 1.4,3 решает проблему перечисления неприводимых множеств классов Е, П с помощью понятия склейки (Пд,В,П^), которая определяется так: множества Пц и П^ лежат в верхней и нижней полуплоскостях, они суть открытые подмножества склейки, а множество В лежит между ними на действительной оси и на границе обоих множеств
1.4.3. Теорема. Пусть X неприводимое -множество (неприводимое П - множество).
Тогда, если X не является пространством первой или всюду второй категории, то при некотором В Є Е (соответственно, В є П ) мы имеем X к (д,В, Е") (соответственно, X « {П, В, U'J).
Доказательство опирается на лемму 5.5,7 о продолжении гомеоморфизмов.
Следствие 1.6.5 отвечает на соответствующий вопрос Л.В. Келдыш: элементы строго данного класса а и только они представимы в виде объединения канонического элемента класса а (в смысле Л.В, Келдыш) и непересекающегося с ним одного множества Н класса < а {классификации Вал л е-Пуссена).
Отсюда вытекает внутренняя характеристика элементов строго данного класса (следствие 1 6.4), получить которую желала Л.В. Келдыш:
Каждый элемент строго класса а может быть представлен в виде суммы канонического элемента класса а и непересекающегося с ним одного множества Я класса <
Из этих утверждений легко следует теорема Л,В. Келдыш о представлении боре-левских множеств в виде суммы канонических элементов.
Во второй глаае изучаются пространства, обладающие свойством, что в них нет замкнутых подпространств первой категории на себе. Пространства с такими свойствами Ф. Хаусдорф назвал Рц-пространствами. Всякое полное метрическое пространство есть F/j-npocTpaHCTBo. В главе изучается, в частности, их поведение при произведениях и других операциях. Абсолютные А-мкожества, являющиеся одновременно Fu-пространствами (т.е. ^//-пространства), но не полнометризуемые, будем называть особыми. Проблема существования особых множеств была поставлена Гу-ревичем. Вопрос о ее решении связан с аксиомами теории множеств.
Мы уже обсуждали выше понятие стабильного отображения (см. определение в сноске раздела "актуальность темы"). Во второй главе доказывается ряд утверждений о них Одно из них - следствие 2.0.2, которое устанавливает сохранение свойства Fn при стабильных отображениях. Это используется в дальнейшем для доказательства сохранения свойства полнометризуемости при стабильных отображениях.
Следующая лемма выявляет главное свойство стабильных отображений: из любого открытого покрытия прообраза точки можно выделить конечное подпокрытие, на объединении элементов которого отображение будет стабильно в некоторой окрестности точки. Это свойство близко к предположению о компактности прообразов точек.
2.0.1.3. Лемма. Пусть / : X -> У стабильное отображение сепарабельных метрических пространств. Тогда каждая стабильная система (%)у^у, удовлетворяет следующему условию: (с) Если U Є щ и 7 = Wa)
В главе 3 изучается введенный диссертантом класс компактно гармонических отображений, эквивалентных в случае сепарабельных метрических пространств к- накрывающим отображениям, но оказавшихся более удобным инструментом в решении ряда вопросов. Появление этого класса отображений связано со следующей задачей Е Майкла: будет ли индуктивно совершенным всякое к-накрывающее отображение сепарабелыгого метрического пространства X на счетное метрическое пространство Y ?
Утвердительный ответ дает следующая теорема.
3.2.1. Теорема. Пусть / : X -» Y отображение сепарабельных метрических пространств и X или Y а-компактное пространство Тогда следующие условия эквивалентны: / компактно накрывающее отображение; / индуктивно совершенное отображение.
Поскольку композиция открытого и совершенного отображения есть трифактор-ное отображение, следующий пример дает отрицательный ответ на вопрос Е. Майкла* будет ли всякое трифакторное отображение сепарабельного метрического пространства X на счетное метрическое пространство Y индуктивно совершенным?
3.4. Пример. Существует открытое отображение / : X —t Y и совершенное отоб ражение д :Y -ь Z (где все пространства сепарабельные метрические и Z счетный компакт), такие что композиция gf : X ~» Z не компактно накрывающее отображе ние.
Наконец, доказывается следующая теорема, позволяющая находить новые условия сохранения борелевских классов там, где другие методы неприменимы.
3.5. Теорема. Пусть / : X —> Y s-накрывающее (=точечно-гармоническое) отображение и X, Y С С.
Тогда существует Z С X такое, что для любого открытого в Z подмножества W его образ f{W) есть F^-множество в Y.
Исследования главы 4 связаны с вопросом об индуктивной совершенности некоторых классов отображений при условии, что все прообразы точек полны в одной метрике на X. Этот вопрос в случае, когда пространство X есть полное сепарабельное метрическое, был решен в начале 70-х годов и привел к новому классу трифакторных отображений.
Центральным результатом этого раздела является теорема 4.1.3, которая позволяет усилить хорошо известные специалистам теоремы об индуктивной совершенности открытых отображений. Интересно отметить, что при доказательстве этой теоремы используются методы ( см. лемму 4.1.6.), примененные П.С. Новиковым для доказательства некоторых специальных утверждений дескриптивной теории множеств, но, как мы видим, эффективных и для общетопологических конструкций.
Следствие 4.1.7. примечательно тем, что дало первый случай положительного решения одного вопроса Майкла и в полной мере оно не перекрыто до настоящего времени. Отметим, что трнфакторные отображения в случае метрических пространств и компактных прообразов точек не отличаются от стабильных отображений, которые определяются проще, и поэтому мы не останавливаемся на определении трифактор-ных отображений.
4.1,3. Теорема. Пусть f : X -л Y трифакторное отображение метрического пространства X на метрическое пространство Y такое, что: (А) прообраз каждой точки есть полное метрическое пространство в метрике X и для каждого открытого в X множества его образ есть б^-множество в У.
Тогда / индуктивно совершенное отображение.
Так как индуктивно совершенные отображения сохраняют классы борелевских множеств, из этой теоремы вытекает, что трнфакторные отображения со свойством (А) тоже их сохраняют.
В главе 5 исследуется вопрос об открытых отображениях борелевских множеств и гомеоморфизмах /i-однородных пространств.
Основным результатом раздела 5.1 является решение следующей проблемы, поставленной Л.В. Келдыш в 1945 г.: можно ли всякое борелевское множество всюду не Fa П Gs и всюду второй категории на себе отобразить с помощью открытого отображения на произвольное аналитическое множество всюду второй категории на себе?
Напомним, что в 1934 году Ф. Хаусдорф доказал, что если есть открытое отображение полного метрического пространства X на метрическое пространство У, то пространство У будет полнометризуемым.
Таким образом, открытые отображения сохраняют класс Gs борелевских множеств. Отвечая на соответствующий вопрос Хаусдорфа, Л.В. Келдыш доказала, что этот результат не переносится на борелевские множества высших борелевских классов, а именно, что существует борелевское множество X первой категории на себе и такое, что для любого аналитического множества Y найдется открытое отображение /:Х->У.
Для ответа на вопрос Л.Б.Келдыш введем следующее понятие.
Назовем пару пространств X,Y исключительной, если: X пространство всюду второй категории, a Y нет Y пространство первой категории, а X нет.
5.1.1. Теорема. Пусть X С С - борелевское, а У С С - аналитическое множество и X всюду не Fff\JG&.
Тогда существует открытое отображение / : X -> Y, если и только если Х,У не исключительная пара
Эта теорема полностью отвечает на вопрос об условиях существования открытых отображений борелевских множеств друг па друга и, в частности, утвердительно отвечает на вопрос Л.В. Келдыш, а именно: если X борелевское множество всюду не Fa U Gs, a Y есть Л-множество и оба пространства всюду второй категории, то существует открытое отображение X на Y.
В конце главы обсуждаются вопросы продолжения гомеоморфизмов. На основании леммы 5.5.7 о продолжении гомеоморфизмов /j-однородных пространств доказывается теорема:
5.5.1. Теорема. Пусть метрическое пространство X = Ц #> гДе ^ СУТЬ замкнутые нульмерные нигде не плотные в X множества, каждое F, гомеоморфно некоторому пространству К и К есть /і-однородное пространство. Тогда X гомеоморфно произведению К х Q.
Доказательство теоремы 5.5.1 на английском (с некоторыми изменениями и указанием авторства диссертанта) приведено ван Энгеленом. Эта теорема также использовалась и обобщалась А, Выборновым, С. Медведевым в различных направлениях, например, с помощью нее С. Медведевым были получены аналоги пространств Р х Q для случая (несепарабельных) метрических пространств.
С помощью теоремы 5.5.1. и одного приема АД. Тайманова легко показать, что непрерывные образы /і-однородного пространства К являются открытыми образами К х Q Мы получаем, например, в случае, когда К = Р, уже упомянутый выше результат Л.В Келдыш и автора о представлении борелевских множеств как открытых образов произведения Р х Q и видим, что борелевские структуры здесь не столь уж и важны.
6. Утверждения, выносимые на защиту. На защиту выносятся утверждения из раздела "Научная новизна".
Теорема 1.4.3 решает проблему П.С. Александрова - П.С. Урысона о перечислении неприводимых борелевских множеств.
Теорема 5.1.1. дает ответ на вопрос Л.В. Келдыш об условиях существования открытых отображений между борелевскими множествами всюду второй категории. Более того, эта теорема указывает все условия существования открытого отображения одного борелевского множества на другое.
Теорема 4.3.3 показывает, что стабильные отображения, являющиеся обобщением открытых и замкнутых, представляют на сегодняшний день наиболее широкий класс непрерывных отображений, сохраняющих полнометризуемость.
В Теореме 3.2.1 доказана индуктивная совершенность компактно накрывающих отображений, если образ Y есть сумма счетного числа компактов Из этого утверждения следует ответ на соответствющий вопрос Е. Майкла, поставленного им для счетного У.
Следствие 1.5.3 указывает короткий путь доказательства гипотезы Н. Лузина о представлении борелевских множеств в виде суммы канонических (подтвержден- ное впервые Л.В. Келдыш с помощью А-систем) путем привлечения топологических методов. - В Теореме 3.5 выявлено важное свойство s-накрывающих отображений: они отображают (на некотором подпространстве) открытые множества в F„.
Используемая литература
1. Александров П.С., Урысон П.С // О нульмерных множествах.
В кн.: Александров П.С. Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств, М.: Наука (1978) 147-166.
Александров П.С, Ляпунов А.А. // Людмила Всеволодовна Келдыш, УМН, т. 10, (1955) 217-223
Келдыш Л.В. Структура В-множеств // Тр.МИАН, т. 17, (1945) 1-74.
Келдыш Л В. Об открытых отображениях А-множеств // ДАН СССР, т. 49, (1945) 646-648.
Келдыш Л В. Структура В-множеств // ДАН СССР, т. 31, (1941) 651-653.
Лузин Н.Н. Собр. соч.// т. 2. М.: Изд АН СССР (1958),
Медведев С. Нульмерные однородные борелевские множества // ДАН СССР, 283, (1985) 542-545.
8 Щегольков Е.А. Элементы теории В-множеств // УМН, 5, (1950) 14-85.
9. van Engelen A.J.M. Homogeneous zero-dimensional absolute Borel Sets // CWI Tracts, Vol. 27, Centrum voor Wiskunde en Informatica, Amsterdam (1986). Debs G., Saint Raymond J. Compact Covering and game determinacy // Topology and its Applications, 68, (1996) 153-185. Debs G., Saint Raymond J. Arbres distingues, bi-arbres et theoremes de rele-vement // Comptes Rendus Mathematiques, Paris. 36, (2003) 625-628. Just W., Wicke H. Some condition under which tri-quotient or compact-covering maps are inductively perfect // Topology and its Applications, 55, (1994) 289-305. Michael E. Inductively perfect maps and tri-quotient maps // PAMS, 82, (1981) 115-119.
Работы автора по теме диссертации
О s-накрывающих отображениях сепарабельных метрических пространств // ДАН СССР, 202, (1972) 1271-1273.
Произведение ^/-пространств и Л-множеств // Вестник Московского Университета, Математика, No. 30, (1975) 29-34.
О несепарабельных т - ^-множествах и их отображениях // ДАН СССР, 226, (1976) 269-272.
Об открытых отображениях нульмерных метрических пространств // ДАН СССР, 228, (1976) 34-36.
О к-накрыващих отображениях // ДАН СССР, 227, (1976) 1297-1300.
6 Непрерывные образы произведения С х Q канторова совершенного множества С и рациональных чисел Q // Семинар по общей топологии. М.: Изд-во МГУ, (1981) 78-85
К вопросу о структуре борелевских множеств // в сб.: Топология и теория множеств, Удм, Гос. Унив , Ижевск, (1982) 75-84,
Борелевские продолжения, селекторы и неизоморфные А-множества // Труды Ленинградской международной топологической конференции, Ленинград, Наука, (1983) 84-90.
К теореме Лузина-Янкова и общей теории о селекциях // УМН, 40, (1985) 191-192.
Бэровские пространства и А-множества // в сб.: Отображения и расширения топологических пространств, Уды. Гос. Унив , Ижевск, (1985) 33-41.
О факторных конечнократных отображениях // в сб.: Непрерывные отображения топологических пространств, Латв. Гос. Унив, Рига, (1986) 126-133. Triquotient and inductively perfect maps // Topology and its Application, 23, (1986) 25-28.
К вопросу Л.В. Келдыш о структуре борелевских множеств // Мат. сб., 131, (1986) 323-346.
Теорема Уэджа решает проблемы Лузина и Гуревича // в сб.: Кардинальные инварианты и расширения топологических пространств, изд. Удм. Гос. Унив.,
Ижевск, (1989) 91-94.
15. On compact-covering and open maps of Borel sets // Seminaire Initiation a Г Analyse, Paris, (1992/1993) 170Ы704.
О новом классе отображений, связанных с компактно накрывающими // Вестник Моек Унив., 46, (1994) 24-28. On Open maps of Borel sets // Fundamenta Mathematicae, 146, (1995) 203-213. Set-valued stable maps // Topology and its Applications, 104, (2000) 227-236. s-covering maps with complete fibers // Topology and its Applications, 102, (2000) 1-11. Stable Maps of Polish spaces // Proceedings of American Mathematical Society, 128, (2000) 3081-3089.
Отображения борелевских множеств // Тр. МИАН, 252, (2006) 237-260.
Канонические борелевские множества
Мы приведем сначала (в разделах, начинающихся с 0.) общие сведения, служащие введением к остальной части этой главы, 0.1. Основные ПОНЯТИЕ. Все множества, если не оговорено противное, предполагаются лежащими в канторовом множестве С. Напомним, что борелевскими называются множества, которые можно получить из открытых (или замкнутых) множеств путем применения операций счетного пересечения, счетного объединения и дополнения. Борелевские множества образуют иерархию, состоящую из классов П,,Д, определяемых для каждого ординала индукцией по а следующим образом: - совокупность всех открытых множеств; П - совокупность всех дополнений множеств из Е; - совокупность всех счетных объединений множеств класса Щ{0 а); Д - совокупность множеств, одновременно принадлежащих 5 И П, другими словами, Д =ПП К- Классы П называют мультипликативными, их элементы получаются пересечением множеств меньших классов. Классы Е„ называют аддитивными, их элементы получаются объединением множеств меньших классов. Классы Д называют двусторонними.
Согласно классификации борелевских множеств, принадлежащей Бэру, Хаусдор-фу и Лебегу, класс открытых множеств обозначается G, класс замкнутых множеств обозначается F и они образуют вместе нулевой класс борелевских множеств. Следующие классы с конечными индексами обозначаются так: Множества классов Fa и Gs называют множествами первого класса и тд Они соответствуют классам: Vа п V0 "21 Зт 1 4 " Мы не будем здесь рассматривать классификацию борелевских множеств Лузина-Валле Пуссена, которой пользовалась Л.В, Келдыш, а будем сразу приводить соответствующие утверждения в наших терминах: классы Валле-Пуссена Ка сопадают с классами Д+1. Элементами e la класса а классификации Валле-Пуссена называются пересечения множеств меньших классов (см, Щегольков), Другими словами, элементы класса а суть Пд-множества.г П-множество X называется неприводимым П-множеством (строго П-множе-ством), если для любого непустого открыто-замкнутого в X множества V (если для X) выполняется условие U . Е ( соответственно, X . Е). Множество X Є Пд называется универсальным П -множеством, если для любого П"-множества У С С найдется такое совершенное множество, чье пересечение с X гомеоморфію У. Как и для класса П, определяется универсальность для класса . Л.В. Келдыш назвала каноническими такие элементы класса а, которые (рассматриваемые как подпространства в С) имеют первую категорию на себе и всюду (или, что то же самое, в каждой порции) универсальны8. Ей принадлежит теорема о единственности канонического элемента в каждом классе Ка. Л.В. Келдыш первой поставила вопрос об универсальности произвольного элемента строго класса а (см. J14]). Ответ на этот вопрос дает теорема Харрингтона, формулировке которой предпошлем следующие ниже понятия. Для Л, В С С пишем: если существует вложение / : С — С такое, что А f l(B). Харрингтон доказал свою теорему для классов Г множеств, для которых все игры детерминированы, которые замкнуты относительно конечных булевых операций над множествами и замкнуты относительно обратных прообразов A = f l{B) (те. Г - pointclass) и, 7Множества классов П будем называть П -множествами (аналогично для других классов). ВЛ. Келдыш изначально определяла канонические элементы через определяющие их "А- струкуры", с помощью которых она и доказывала их гомеоморфность. Впоследствии она доказала универсальность канонических элементов и переопределила их через нее. наконец, содержат все -множества (т.е. Г - reasonably closed) . Все эти условия выполняются для борелевских множеств классов больших 2. В этих предположениях, обозначая через Г класс множеств, дополнительных к Г, он доказал теорему (см. [52J, Лемма 3): 0.1.0. Теорема (Харрингтон) Для любых А, В С С из условий А Є Г и В Є Г-Г следует А ХВ. Всякое строго П-множество по определению не является множеством дополнительного класса , поэтому получаем: Всякое строго Ц -множество (а 2) есть универсальное П -множество fa V- Отсюда моментально следует, что в определении канонического элемента Л.В. Келдыш условие "всюду универсальны" можно заменить на условие "всюду строго данного класса", т.е. "неприводимы". Итак, множества класса П неприводимы тогда и только тогда, когда они всюду универсальны. Очевидно, условие неприводимости выглядит естественнее, чем условие универсальности. Мы увидим ниже при решении вопроса Александрова-Урысона о числе негомео-морфных неприводимых множеств данного класса, что число их бесконечно Поэтому важным открытием Л.В. Келдыш было выделение свойства категорий-ности, в нашем случае первой категории, как решающего для доказательства единственности канонических элементов. Ее доказательство было основано на рассмотрении А-систем, построенных для борелевских множеств. Из следующей топологической теоремы 0.1.2 видно, что для доказательства единственности канонических элементов Л.В. Келдыш борелевские структуры не играют роли. В случае, когда г - 2, теорема дает канторово множество С и была доказана Сти-лом. Близкое по духу доказательство с использованием систем остаточных множеств было проведено независимо также автором в теореме о гомеоморфизме h-однородных пространств первой категории (см. пункт 5.5). 0.1.3. Универсальные борелевские множества можно определить с помощью понятия замкнутого вложения. Напомним, что элемент Е класса а называется универсальным, если каково бы не было множество е ela, найдется совершенное множество Р, пересечение которого с Е гомеоморфно е. В случае, когда е не содержит изолированных точек, его замыкание в С: [е]с « С есть совершенное множество. Поэтому в этом случае универсальность Е относительно е эквивалентна тому, что е может быть замкнуто вложено в Е. В случае элементов Е строго класса а 2 требование не содержать изолированных точек оказывается ненужным. Действительно, стандартным процессом выбрасывания открыто-замкнутых подмножеств меньшего класса можно выделить замкнутое неприводимое подмножество, которое мы без ограничения общности будем считать совпадающим с Е, Очевидно, [е]с может содержать не более счетного числа изолированных точек х,. Для каждой точки х, рассмотрим базу из открыто-замкнутых в С множеств и к, диаметры которых не превосходит 1/(г + к) и каждое Ulik содержит дизъюнктное с Е подмножество С,рь и С. Это возможно сделать по теореме Александрова-Хаусдорфа, если каждое множество t/, \ Е несчетно.
Гармонические отображения
Обычно теоремы о сохраненнии борелевских классов (например, открытыми отображениями с компактными прообразами точек) сводятся к этому факту. Однако появились и другие идеи. Сравним теорему Серпинского-Хаусдорфа о сохранении открытыми отображениями класса G& с теоремой Бурбаки, что такие отображения является компактно накрывающими. Возникает предположение о возможности заменить в первой теореме открытыми на компактно накрывающими. Справедливость этого установил Христенсен, а Сен Реймон показал, что компактно накрывающее отображение можно считать к тому же и индуктивно совершенным (см., например, [51]). Итак, всякое компактно накрывающее отображение всякого С?д индуктивно совершенно. Автор установил, что это же верно для более слабой формы компактно накрывающих отображений, а именно, можно ограничиться рассмотрением только счетных компактов в У. Такими отображениями, например, являются все открытые. Как показал Майкл, открытые отображения на -подмножества отрезка могут и не быть индуктивно совершенными. Поэтому оказался неожиданным доказываемый ниже факт, что компактно накрывающие отображения на такие подмножества являются индуктивно совершенными.
Это явилось не только ответом на вопрос Майкла в случае счетных пространств, но, главное, привело к открытию гармонических отображений, изучаемых ниже. Гармонические отображения представляют интерес и для сепарабельных метрических пространств и для общих топологических. Мы докажем в Теореме 3.2.1 индуктивную совершенность компактно накрывающих отображений для -множества Y. В той же заметке автор поставил вопрос о распространении полученных результатов на другие борелевские множества [19] и, в первую очередь, на множества типа Gg П Fa (= пересечение Gi-множества и -множества. Положительное решение в этом и других более общих случаях было получено Сен Реймоном и Г. Дебсом [27] и оказались приятным сюрпризом ввиду теоремы Л.В. Келдыш о тотальном несохранении множеств типа Gs П Fff при открытых отображениях. Мы перейдем к рассмотрению понятия гармонического отображения. Мы, однако, будем следовать работе [19], где гармонические отображения называются к-гармоническими (см. также (49]). можно сопоставить каждому компакту К С К непустое семейство ц открытых множеств из X, удовлетворяющих следующим условиям: (a) Если U Є /Xfe, то существует непустой компакт В С f l{K)f]U такой, что для каждого открытого V D В имеем V є fik, (b) Если U Є Цк существует открытое О(К) D К такое, что U Є Им для каждого компакта М с О(К). Нам понадобится также определение s-гармонического (соответственно точечно-гармонического) отображения, полученного заменой К в определении, сделанном выше, на счетное компактное подмножество К (соответственно, на одноточечный компакт К). Очевидно: / является гармоническим = f является 5-гармоническим = / является точечно-гармоническим. Действительно, пусть для 0{К) выполняется условие (Ь). Так как для каждого у Є 0{К) множество U Є цу, то по условию (а) существует непустой компакт В С f-l{y)f[U. Это влечет, что f{U) Э 0{К) иіГс Intf(U). 3.1.3. Замечание. Для компакта В из условия (о) имеем также f(B) — К. Очевидно, что f[B) С К. Предположим, что f{B) ф К, следовательно существует у є К\ f{B). Так как В является компактом, то можно выбрать открытое О Э f{B),y О. Следовательно, V = f l{0) является открытым множеством в X и V Э В.
Это подразумевает, что V ь и по вышеуказанному замечанию у Є К С Intf(V), что невозможно. Мы рассматривали выше компактно накрывающие отображения / : X - У метрических пространств со счетной базой. Ограничение на X иметь счетную базу очень существенно, так как любое метрическое пространство У можно представить как компактно накрывающий образ некоторого полнометри- зуемого пространства X. Для этого достаточно рассмотреть X как дискретное объединение всех компактных подмножеств из Y и в качестве / : X —У Y рассмотреть естественное вложение этих компактов в Y. Следующая лемма выявляет важнейшее свойство компактно накрывающих отображений, а именно свойство гармоничности, которое эквивалентно компактной на-крываемости в случае пространств со счетной базой, но даже в этом случае представляется удобнее и позволит доказать нам теорему 3.2.1 для общих метрических пространств. f : X - Y следующие условия эквивалентны: (г) f является компактно накрывающим отображением, (и) f является гармоническим отображением. Доказательство. Из замечания 3.1.3. следует, что (гг) = (г). Покажем, что (г) = (и). Пусть К С Y является компактом. Для открытого V С X зададим: U Є (ik тогда и только тогда, если для каждого компакта KiZ К существует компакт В1 С X такой, что Blr\f l(K) С U и /(В1) = К\. Очевидно, что X Є /. Пусть 8 счетная база в X, содержащая все конечные объединения своих элементов, то есть: если [/, Є S для і = 1,2,..., к. Очевидно, что для каждого компакта Ва С X, (а Є А) и открытого V D Ва существует Wt Є $ такие, что ( ) VDWtD Ва. Предположим, что (а) не выполняется, то есть: существует U fikt такое что для каждого компакта Ва С f l{K) П С/, (а Є А) существует открытое V Э Ва, такое что V $ \1ц. Очевидно, что если открытое V . /ІКІ т0 Для каждого W С V имеем W рк. Возьмем согласно ( ) для каждого компакта Ва С f l(K)nU некоторое W((ej Є 5 так что Wt[a) ЭВаи Wt(a) Р-к- Но если Wt{a) №к то по определению цк существует компакт К",(а) э К такой, что ( ) если f(T) = Кг{а) для некоторого компакта Т с X , то Т Л f x{K) W, и можно рассматривать в ( ) К\а- ВМеСТО Кг{а). Пусть К\ = \Jtfa\ K\Qy Очевидно, что Ki компакт. Так как U Є / , то существует компакт В1 СХ, для которого В1 П f \K) СІ/ и /(В1) = . Теперь для компакта Вао = В1П/ 1(К) с / 1(Я")ПЇ/возьмем VK((Q0), для которого Wi ) Э Вао. Пусть компакт Г = f l{Kl( w)) П В1. Легко видеть, что /(Т) = Jf,1(Qo) и TC)f l(K) С Б1 Г) f l(K) = Ваа с W,(a0), что не имеет место при условии ( ). Остается доказать (6). Допустим противное. Пусть (О,), где 0% Э [0,+i] Э Я" база в if и К, С 0, являются компактами, для которых / . цк,- По предположению f/ Є ь, следовательно, для компакта К\ = / U[J{A t:1: Л ,1 Э #, есть такой компакт в О,, что если для некоторого компакта В С X имеем f(B) — К}, то Bflf l(Kt) . /,ї Єш} существует компакт В1 С X такой, что /(В1) = ЛГг и В1 П/-1СЮ С в"і но /-1(-К,)n Я1 У- Следовательно, B1\U является компактом, который содержит замкнутое дискретное счетное семейство непустых множеств xt Є (/-1 (ТС,) П В1) \ U, (г Є w), что невозможно. Доказательство закончено. Применим предыдущие рассуждения к простейшему случаю, когда накрываются компактами не все компакты в образе, а только те из них, которые представляют собой сходящиеся последовательности с предельной точкой. Мы назовем такие отображения -накрывающими. Следующее следствие характеризует Si-накрывающие отображения и вытекает из способа доказательства предыдущей леммы. Мы приведем доказательство для удобства чтения.
О некоторых классах отображений метрических пространств
Заметим, что из с) следует, очевидно, Ь). Свойства а) - с) были выявлены автором в 1976 году как свойства s-накрывающих отображений [10J без употребления термина "трифакторные отображения", которое было введено чуть позже Майклом для обозначения других, но эквивалентных свойств s-накрывающих отображений. Основными результатами этого раздела являются следующие две теоремы [48]. 4.1.2. Теорема. Пусть / : X - У есть трифакторное отображение на пара- компакт У. Тогда, если существует совершенное продолжение f :X -Y отоб ражения f такое, что пространство X является Gs-множеством в X , то f ин дуктивно совершенное отображение. Так как s-накрывающие отображения обладают свойствами а)- с), а для полно-метризуемого пространства выполняются условия теоремы 4.1.2, получаем следующее следствие: . Если f : X - Y является s-накрывающим отображением полного метрического пространства (X, d) на метрическое пространство Y, то f индуктивно совершенное отображение. рического пространства (X, d) на метрическое пространство Y такое, что прооб раз f l{y) каждой точки есть полное метрическое пространство в метрике d и для каждого открытого в X множества U его образ f{U) является Gs-множеством в Y, тогда f индуктивно совершенное отображение. Доказательство теоремы 4.1.2. Пусть X = Піє п гДе открытые множества в X (г Є ш). Выберем для каждой точки у Є Y некоторое множество UQ 6 Ту и для каждой точки х Є UQ выберем окрестность U{x) С Щ такую, что clx U(x) С Оц. По определению существует конечное число множеств U(xt) таких, Очевидно, Ых Щ С 0о- Для У Є IntfiPl) пусть 0{у) такая окрестность точки у, что Щ Є Т для каждой точки у Є 0(у). Теперь рассмотрим покрытие {(Int ї(Ці))[)0(у)}уу множества Y, и пусть 7 = {Ua}aeA его локально конечное открытое измельчение. Для каждого а Л мы можем выбрать у (а) Є У так, чтобы U С 0(y{a))C\Intf{U?ia]). Далее рассмотрим семейство 5 множеств Wv = Uf П/ -1( Д и пусть Х0 = dx {\JaeAW% {Q)). Тогда, очевидно, Х0 = Ц с .И (а) С О0 и /0 = f \X0 является совершенным отображением. Так как для каждой точки у Є Y существует некоторое множество W% Q Є Ту, мы можем рассмотреть Оь-Хої/о вместо Оі,Х ,/ и повторить предыдущие рассуждения. Таким образом, мы получим последовательность множеств О, э Xt э Х,+ь і Є ш, где множество X, замкнуто в X и /,: Xt - Y совершенное отображение.
Пусть F = C\tUXt, Ясно, что F С X и F замкнуто в X , следовательно, f\F = f \F является совершенным отображением и /(F) = Y. Теорема доказана. ского пространства X на метрическое пространство У индуктивно совершенно.
В самом деле, полные метрические пространства можно характеризовать как мет-ризуемые полные в смысле Чеха пространства, а полные в смысле Чеха пространства являются Gs -множествами в любом своем бикомпактном расширении. Поэтому нам нужно рассмотреть продолжение /: 0Х - /ЗУ отображения / и положить X = /-1(К), f = j\X\ Заметим, что наше определение 4.1.1. трифакторного отображения эквивалентно определению Майкла и использовалось автором чуть раньше для доказательства теоремы о сохранении полнометризуемости s-накрывающими отображениями в два этапа: 1. s-накрывающие отображения удовлетворяют условиям а), Ь) с) определения 2. трифакторное отображение / : X У полного метрического пространства X на паракомпактное пространство У индуктивно совершенно. 4.1.5. Следствие. Пусть f : X -» У является трифакторным отображением между метрическими пространствами X и Y таким, что \Y\ = Но и прообраз f l(y) каждой точки у Є У - полнометризуемое пространство. Тогда / индуктив но совершенное отображение. Действительно, рассматрим, как и выше, совершенное продолжение / : X" - Y. Так как любое подмножество в У есть G$ мы видим, что / _1(У) является G&-множеством в X", и тогда / индуктивно совершенное отображение по теореме 4.1.2. Для доказательства теоремы 4.1.3 нам понадобиться следующая лемма, идея доказательства которой в случае сепарабельных метрических пространств принадлежит П.С. Новикову.
Об открытых отображениях борелевских множеств, гомеоморфизмах h-од-нородных пространств и характеристике Р х Q
В этом разделе изучается проблема, поставленная Л.В. Келдыш: можно ли каждое борелевское не G$ П Fa-множество X, лежащее в пространстве иррациональных чисел Р и являющееся пространством всюду второй категории на себе, отобразить с помощью непрерывного открытого отображения на произвольное аналитическое множество У С Р, являющееся также пространством всюду второй категории но себе? Мы будем следовать с минимальными сокращениями работе [44). Напомним, что под бэровским пространством В(т) веса г понимается декартово произведение счетного числа дискретных пространств мощности т На. Следуя Л.В. Келдыш, мы будем называть пространства всюду второй категории бэровскими пространствами. Как известно, каждое метризуемое пространство X с IndX = 0 и w(X) — т No можно вложить в В(т) (для г = Но, В(т) = Р), Множество У С Р называется аналитическим, или Л-множеством (соответственно, борелевским), если существует отображение / : Р - Y (соответственно, взаимнооднозначное отображение / : М -? К, где М есть -множество в Р) [36]. Обозначение X «- У подразумевает, что X содержит замкнутое подмножество, гомеоморфное У. Пусть f : X -ї У открытое отображение. Ясно, что если О С У открытое (непустое) множество первой категории, /-1(0) такое же множество.
Следовательно, открытые отображения сохраняют свойство быть бэровским пространством, и ответ на вопрос Л.В. Келдыш отрицательный, если X бэровское, а У нет. Легко видеть, что если У является пространством первой категории, то и X тоже. Поэтому ответ на вопрос Л.В. Келдыш также отрицательный, если У первой категории, а X нет. Выделим эти случаи в виде следующего понятия. Будем говорить, что пара пространств X,Y исключительная, если a) X бэровское, a Y не бэровское или b) Y является пространством первой категории, а X нет. Наконец, будем говорить, что множество X С С имеет тип F„ U Gs, если X является объединением Fa- и Cs-множеств. Так как всякое борелевское множество Y аналитическое, следующая теорема дает, в частности, необходимое и достаточное условие, при котором для борелевских множеств X, Y с Р существует открытое отображение д : X — Y. Она показывает, что ответ на вопрос Л.В. Келдыш является положительным23. 5.1.1. Теорема. Пусть X С С борелевское множество, Y с С аналитическое множество и X всюду не FgUGg. Открытое отображение2 f : X - Y существует тогда и только тогда, когда X,Y не является исключительной парой. Эта теорема вытекает из следующих ниже теорем 5.2.1, 5.2.6, 5.2.7 и теоремы Сен Реймона [50]: борелевское множество в X С С является объединением Fa и Gs, тогда и только тогда, когда X jt- х Q. В самом деле, для пространств X uY имеются только три возможности: быть пространством первой категории; быть пространством второй категории, но не бэровским; быть бэровским пространством. Первая возможность для пространства X и третья возможность для пространства Y суть условия теорем 5.2.1 и 5,2.6, а вторая возможность для обоих пространств X и Y есть условие теоремы 5.2.7. Простым перебором оставшихся возможностей получаем три комбинации: X бэровское, а У первой категории; X бэровское, a Y второй категории, но не бэровское; У первой категории, а X второй категории, но не бэровское. Наконец, очевидно, что первые две комбинации равносильны признаку а) исключительной пары, а первая и последняя равносильна признаку Ь). 5.1.2. Замечание. Если Х,У С С , X содержит открытое FaUGs (относительно С) и / : X - Y открытое отображение, то У также содержит открытое Fa U G& (относительно С). Действительно, пусть X содержит открытое U = Xi U Х2, где Xi есть Fa, а Х2 - G6. Ясно, что f{Xi) является Fa в С, Т = U \ /_1(/( i)) есть G6 и / \ Т открытое отображение, следовательно, по теореме Хаусдорфа f(T) есть G& в С и f(U) = f(T)Uf(X1) есть FaUGs.
Замечание. С вкладывается в Р и, если X С С С Р не есть Fa ПО5 в Р, тогда X не есть Fa П Gg в С. 5.2. Основные теоремы. Ниже будут даны основные теоремы. 5.2.1. Теорема. Пусть Y,X С Р являются аналитическими множествами, X пространство первой категории всюду не а-компактное. Тогда существует открытое отображение д: X — Y. 5.2.2. Замечание. Если X С Р является аналитическим множеством и X не о-компактно, тогда X Н Р и для каждого аналитического множества У С Р существует непрерывное отображение / : X Y [Uj [32}. Доказательство теоремы 5.2.1. Согласно сделанному выше замечанию, если U С X является открытым множеством, то U «- Р. Поскольку РХРЙРИ сомножитель нигде не плотен в произведении, можно предположить, что Р лежит нигде не плотно в U и X. Пусть X = \JF{, где каждое F, замкнутое нигде не плотное в X множество (і Є Ш). Очевидно, что для каждого F/ существует последовательность замкнутых нигде не плотных в X подмножеств PtJ « Р таких, что и каждое множество замкнуто и нигде не плотно в X. Легко проверить, что каждое множество F, является аналитическим множеством и каждое открытое подмножество в F, не ст-компактно. Учитывая замечание, сделанное выше, остается сослаться на лемму 5.16. странствами и всюду X - Р х Q. Тогда существует открытое отображение g:X Y. Доказательство теоремы 5.2.3. Как известно, каждое аналитическое множество X можно представить как XL U Х2, где Х2 есть бл-множество в Р, и Xi является множеством первой категории в X. Поскольку X есть множество всюду второй категории, то [Ха] = X и, если U = X \ [Хі] ф 0, тогда U С Х2 является ?г-множеством вРиї/ PxQ. Это влечет, что U - Q, что противоречит теореме Бэра. Следовательно [Xij = X. Аналогично, У = Y\ U Уа, где У2 есть Gj-множество в Р, У[ множество первой категории, и [Уа] = У. Можно предположить, что \Y\\ = У. В самом деле, очевидно, существует открытое отображение (проекция) тг: Р х У -» У, следовательно можно рассматривать Р х У вместо У. Взяв счетное плотное подмножество Q » Q в Р х У2, обозначим
