Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Двухпараметрические Т-системы функций 20
1. Определение и свойства двухпараметрических Т-систем функций на фиксированном промежутке 20
2. Некоторые обобщения понятий и утверждений из 1 39
3. Функции сг(-), & () и их свойства 51
Глава 2. Линейные нестационарные управляемые системы 60
4. Линейная нестационарная управляемая система. Определения и обозначения 60
5. Оптимальное программное управление и структура множества управляемости линейной докритической системы 82
6. Примеры 93
Список литературы
- Некоторые обобщения понятий и утверждений из 1
- Функции сг(-), & () и их свойства
- Линейная нестационарная управляемая система. Определения и обозначения
- Оптимальное программное управление и структура множества управляемости линейной докритической системы
Некоторые обобщения понятий и утверждений из 1
На протяжении настоящего параграфа предполагаются фиксированными промежуток / и двухпараметрическое семейство определенных на промежутке / непрерывных функций { : / —М " , где n, г — фиксированные натуральные числа. Под промежутком мы будем понимать связное подмножество вещественных чисел с непустой внутренностью (то есть не вырождающееся в точку).
Определение 1.1. Будем говорить, что двухпараметрическое семейство непрерывных функций {Я )К-і " п образует двухпараметрическую Т-систему (или короче ТА-систему) на промежутке /, если для любого ненулевого вектора с = (сі,...,сп) Є Ш.п общее количество геометрически различных (то есть без учета кратностей) нулей на / всех линейных комбинаций J(t; с) = Ci{(t) + ... + cn Jn(t)} j = 1,... , г не больше п — 1.
Определение 1.1 обобщает известное определение Т-системы для одно-параметрического семейства непрерывных функций {«()}= і ([15, с. 50]) (последнее получается из определения 1.1 при г = 1). Примеры семейств функций, образующих ТА-систему при г 1, приведены в конце этого параграфа. В дальнейшем для краткости будем использовать обозначение ( ; с) = сій W + + СпСШ), где с = (сі,..., сп) є R».
Таким образом, допустимая на промежутке / система точек — это множество точек, принадлежащих промежутку / и явно разделенных на г групп попарно различных точек. При этом не исключается случай, когда некоторые группы (возможно, все) могут быть пустыми. Общее количество точек в системе г мы будем обозначать символом \т\ = п\ + ... + пг.
Следующие утверждения для ТА-систем аналогичны соответствующим утверждениям для Т-систем ([15, с. 51-54]).
Утверждение 1.1. Семейство функций { ( )}j-i " n образует ТА-систему на промежутке I тогда и только тогда, когда для любой допу стимой на I системы точек г = {т/}і_1 матрицы
Утверждение 1.2. Если семейство функций {st( )}j-i " n образует ТА-систему на промежутке I, то для любой заданной допустимой на промежутке I системы точек г = {т/} " , где г = п — 1, суще ствует такой ненулевой вектор с Є что каждая линейная комбина ция функций t;J(t; с) (j = 1,..., г) имеет нули в точках rf,... ,т . и не имеет других нулей на промежутке I. Этот вектор с определяется с точностью до постоянного множителя, то есть с= кс} к ф О, где
Утверждение 1.3. Если семейство функций {st( )}j-i " n образует ТА-систему на промежутке I, то для любой заданной допустимой на промежутке I системы точек т = {ri}i-i " n. ) г е \т\ = п- существует и при том единственный такой вектор с Є Мп, что каждая линейная комбинация функций J(t]c) (j = 1,...,г) принимает в точках rf,..., т3п. наперед заданные значения [,..., ?.. Вектор с определяется равенством с = S_1(T) , где матрица (т) определена равенством (1.1), а вектор = (Й,..., ,...,,..., J єМП Доказательства утверждений 1.1-1.3 полностью аналогичны доказательствам соответствующих утверждений для однопараметрических Т-си-стем ([15, с. 51-53]), поэтому мы их не приводим.
Изолированный нуль непрерывной функции (), лежащий во внутрен ности промежутка /, называется узлом ([15, с. 53]), если при переходе через этот нуль функция (t) меняет знак, и пучностью ([15, с. 53]), если эта функция знака не меняет. В случае если нулем функции (t) является граничная точка промежутка /, принадлежащая этому промежутку, то такой нуль считается узлом.
Теорема 1.1. Пусть семейство непрерывных функций { ( )}j-i п образует ТА-систему на промежутке /, с Є W1 — произвольный ненулевой вектор, к — общее количество пучностей на I всех линейных комбинаций t;J(t;c)} j = 1,... , г, a I — их общее количество узлов на I. Тогда 2k + l n-l.
По условию теоремы семейство функций {;?()}._, " образует ТА-си-стему на промежутке /, поэтому к-\-1 п — 1. Согласно утверждению 1.3 существует такой ненулевой вектор с2 Є Мп, что каждая линейная комбинация J(t; с ) (j = 1,... , г) принимает значение +/і в пучностях линейной комбинации ? (; с1), в окрестности которых ?(, с1) 0, и значение —/і в пучностях линейной комбинации ?(; с ), в окрестности которых (t] с1) О, и кроме того обращается в нуль во всех узлах линейной комбинации i(t; с1).
Вектор с3 ненулевой, так как ( ( с3)! = \р\ + рС1($\] С2)\ р\ — р 0. Нетрудно убедиться, что общее число нулей всех линейных комбинаций J(t] с ), j = 1,... ,г не меньше 2к + /. Действительно, если точка т Є I является узлом некоторой линейной комбинации J{t)C ), то она является нулем (вообще говоря, не обязательно узлом) и линейной комбинации (t;c3), а если точка т- Є int / является пучностью линейной комбинации ?(; с ), в окрестности которой, например, i(t; с1) 0, то и так как ? (г/; с3) = — р/і 0, то &(t; с3) имеет нуль как в (j}j, г/), так и в (т/, іі)- Следовательно, каждой пучности каждой линейной комбинации J(t; с ) соответствуют два нуля линейной комбинации J (t; с ). Итак, имеет место неравенство 2А; + / п
Функции сг(-), & () и их свойства
Согласно теоремам 1.3 и 2.2 имеем 1) Ф 2), 2) Ф 3) соответственно, откуда и следует утверждение теоремы. Учитывая утверждение доказанной теоремы 2.3, мы не будем в дальнейшем указывать верхний индекс у отображения положим Л = Л- = Л+.
Мы дали определение ТА-системы функций на произвольном невырожденном промежутке /, но до сих пор рассматривали их свойства только на интервале. Было бы интересно проверить, какие из этих свойств сохраняют силу на произвольном промежутке. Но прежде необходимо уточнить определение 1.3 и пояснить как мы будем понимать координату 5J вектора знаков 5 в случае, если левый конец замкнутого слева промежутка / является нулем соответствующей линейной комбинации J(t;c).
Определение 2.3. Пусть с Є Шп — произвольный ненулевой вектор, невырожденный промежуток / замкнут слева, to — левый конец промежутка /. Вектором знаков семейства линейных комбинаций №(t]c)\ . , мы будем называть вектор 5 = (5\,... ,5Г) Є {-1,1}г, координаты которого определяются следующим образом:
Теорема 1.1 была доказана для произвольного промежутка /. Утверждения леммы 1.1 и следствия 1.2 легко переносятся на случай произвольного промежутка /, а утверждения леммы 1.3, теоремы 1.3 и утверждения 1.4 в случае произвольного промежутка / могут оказаться неверными даже для случая г = 1, что иллюстрируют примеры ниже.
Пример 2.1. Рассмотрим систему, состоящую из двух функций i() = sin, (t) = cost. Любая нетривиальная линейная комбинация этих функ ций имеет вид (; с) = С\ sint + С і cost = Vcf + c?2 sin(t + ф), где ф — некоторая константа. При любом ненулевом векторе с Є Ж функция (; с) имеет ровно один узел на любом полуинтервале 1а = [а, а + 7г), где а — произвольная вещественная константа, и по определению 1.1 эта система функций образует ТА-систему на любом полуинтервале 1а. Между тем не существует ни одного ненулевого вектора с, при котором линейная комбинация (; с) не имела бы ни одного нуля на полуинтервале 1а, то есть А7а(0) = 0.
Пример 2.2. Рассмотрим семейство функций { (t)}. , из примера 1.1. Там мы установили, что оно образует ТА-систему на любом интервале (а, а + 7г/2), а Є Ш. Это семейство функций образует ТА-систему также на любом полуинтервале 1а = [а, а + тг/2). Однако не существует ни одного ненулевого вектора с, при котором обе линейные комбинации (;с), (; с) не имели бы ни одного нуля на полуинтервале 1а. 3. Функции т(), о" () и их свойства
Всюду в этом параграфе мы предполагаем, что {;? Є (7(М, М)} семейство непрерывных функций, определенных всюду на 1, п и г — некоторые константы. Теперь мы не фиксируем промежуток / и рассматриваем эти функции на произвольном промежутке /СМ. Если семейство функций образует на нем ТА-систему, то можно определить функцию д и отображение Л (см. 1-2), которые будут зависеть от промежутка /. Мы будем подчеркивать это, указывая рассматриваемый промежуток в качестве нижнего индекса для отображения Л/, для отображения dti очевидно, достаточно указать только левый конец интервала t = inf I. Из сформулированного ниже утверждения 3.1 следует, что в действительности и для отображения Л/ достаточно указывать только левый конец интервала Л , что мы и будем делать в дальнейшем.
Утверждение 3.1. Пусть семейство непрерывных всюду на К. функций { ( )}j-i " n образует ТА-систему на интервалах 1\ и І2, причем h П І і 0. Тогда для любого вектора индексов і Є 3 имеет место равенство Ад (і) = Л/2(і).
Доказательство. Пусть h Г\ І2 = h = 0- Для любо го вектора индексов і Є 3, s(i) = п — 1 имеем очевидное включение ATj (І) С ATJ (І). Применив следствие 1.2, получим Aj (і) = Aj (і). Ана логично Aj (і) = Aj (і) и поэтому Aj (і) = Aj (і). Для всех остальных значений і Є 3 равенство A j (і) = A j (і) легко доказывается с использо ванием теоремы 1.3. Для завершения доказательства осталось воспользо ваться теоремой 2.3.
Линейная нестационарная управляемая система. Определения и обозначения
Из этих равенств следует, что при достаточно малом є 0 функция (; сє) будет иметь по крайней мере два нуля на сколь угодно малом интервале (—є , є ), а функция (; сє) будет иметь нуль в точке = 0. Поэтому семейство функций (4.7) не образует ТА-систему ни на каком интервале (—є , є ) и следовательно в силу стационарности системы ни на каком интервале положительной меры.
Таким образом, система (4.23) не докритическая, хотя каждое семейство векторов jV, AW, A2bi} (j = 1,2,3) представляет собой некоторую перестановку столбцов единичной матрицы и является линейно независимым (по отдельности).
Теперь для стационарных систем выясним связь между докритичностью и полной управляемостью. Определение 4.2 ([16, стр. 91]). Стационарная линейная система (4.19) называется вполне управляемой, если для любой пары точек XQ X\ Є W1 существует ограниченное измеримое управление u{t) на некотором конечном отрезке to t ti, переводящее точку Хо в точку Х\.
Ниже приведен критерий полной управляемости стационарных систем. Теорема 4.3 ([16, стр.91]). Стационарная линейная система (4.19) будет вполне управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы (Б, ЛВ,...,Ап 1В) є М(п,ш) равен п. Из теорем 4.2 и 4.3 непосредственно следует следующее утверждение. Утверждение 4.2. Стационарная докритическая линейная система вполне управляема. Обратное утверждение верно только для стационарных систем со скалярным управлением. Ниже приведен пример вполне управляемой, но не докритической стационарной системы с векторным управлением. Пример 4.3. Рассмотрим стационарную линейную систему (4.24) В качестве фундаментальной системы решений сопряженной системы (4.5) возьмем вектор-функции ipi{t) = (0, 1), i 2(t) = (1, —t) и в соответствии с равенством (4.7) определим функции
Семейство функций ,j(t), очевидно, не образует ТА-систему ни на каком интервале положительной меры, но система (4.24) вполне управляема. Множество точек to, в которых система (4.1) является докритической, обозначим Е = Е(Д В) = {t Є R : cr(t; Л, Б) 0}.
Для любого момента времени to Є Ж. и любого неотрицательного # определим множество управляемости D(to,9) на отрезке [to, to+0] (для простоты знак минуса перед интегралом опущен в силу центральной симметричности множества D(to,9)):
Если в = cr(to), то множество D(to, cr(to)) мы будем называть докритиче-ским множеством управляемости. В дальнейшем нам также понадобится множество управляемости D(to) = [J D(to,9).
На расширенном фазовом пространстве М1+п системы (4.1) определим функцию быстродействия в нуль (to, хо) S(t0, хо) = min {Т 0 : x(t0 + Г; t0, ж0, «()) = 0}. (4.25) Если для точки ( о,Жо) расширенного фазового пространства Ш1+п имеет место включение Хо Є D(to), то существует допустимое управление м(-) в задаче (4.1)-(4.2), переводящее точку Хо в нуль за конечное время. Тогда согласно [31, гл.З, теорема 16] существует оптимальное решение задачи (4.1)-(4.2), на котором достигается минимум в равенстве (4.25). Если для точки (to,Xo) имеет место Хо D(to), то положим Q(to,Xo) = +оо. Проекцию функции быстродействия х н- O(to,x) при фиксированном параметре to для простоты мы также будем называть функцией быстродействия, если это не вызывает недоразумений.
Ниже перечислены простейшие свойства множества D(to,9). Этими свойствами мы будем часто пользоваться в дальнейшем. Утверждение 4.3. Для любых to Є К, в О, $ О множество управляемости D(to,9) обладает следуюищми свойствами:
Доказательство. Доказательство свойства 1) можно найти, например, в [31, гл.З]. Утверждения пунктов 2)-4) непосредственно следуют из соответствующих определений.
Для доказательства утверждений, сформулированных в пунктах 5) и 6), воспользуемся результатами работы [32] и проверим, что система (4.1) дифференциально управляема на интервале / = (to, to + с (to)) в предположении, что эта система является докритической в точке to- Согласно определению 1 из [32] для этого нужно установить, что для системы (4.1) выполнено условие (в обозначениях, принятых в настоящей работе):
Располагая зафиксированные ранее векторы (4.6) построчно, составим матричную функцию t н-Ф(), которая является фундаментальной мат рицей сопряженной системы (4.5). Тогда матричная функция будет фундаментальной матрицей однородной системы (4.3) и следовательно X(t,s) = ty l(t)ty(s). Обозначив щ = f] l(t) и подставив выражение для X(t,s) в равенство (4.27), будем иметь
Вектор r]t ненулевой при любом ї] Є Sn , а совокупность функций (4.7) образует ТА-систему на непустом интервале Г = І П (t, t + є), поэтому из равенства (4.28) следует с (77, D(t,e) 0. В силу непрерывности опорной функции и компактности Sn l имеем min с(тт, D(t,e)) = є 0, следо-вательно 0(О) С D{t e) и тем самым показано включение (4.26). Тогда по лемме 1 из [32] функция быстродействия х н- O(to,x) непрерывна на множестве int D(to, cr(to))- Свойство 6) доказано.
Из приведенных выше рассуждений следует, что если 0 $ в сг( о)5 то неравенство с (ту, D(to, #)) с(тт, _D(o,#)) будет выполнено при любом ту Є Sn l} поэтому )(о,#) С int.D(o,#), откуда легко следует утвержде ние пункта 5). Утверждение доказано. Для каждого вектора n = (ni,...,nr) Є 3 (множество 3 определено ранее равенством (1.3) в 1) и любого положительного в определим многообразия без края An, An(#) и многообразие с краем An(#), вложенные в пространство I]ni+---+Tv+1:
Оптимальное программное управление и структура множества управляемости линейной докритической системы
В заключительном параграфе мы рассмотрим конкретные линейные оптимальные по быстродействию управляемые системы. На примере этих систем мы продемонстрируем применение основных результатов диссертации. Сначала кратко опишем общий план исследования таких систем.
Пусть в задаче быстродействия (4.1)-(4.2) задана конкретная линейная нестационарная система (4.1). Параметры начального состояния to и х$ фиксированы и могут быть либо известны заранее, либо рассматриваться как параметры задачи. Сначала мы решаем вопрос о докритичности системы в точке to и нахождении функции cr(to) (или хотя бы ее оценки снизу). В общем случае этот вопрос представляет собой отдельную задачу и требует дополнительных исследований. В частных случаях этот вопрос иногда можно решить, используя специфику заданной системы, например в случае достаточной гладкости функций t н- A(t) и t н- B(t) для установления факта докритичности системы (4.1) можно воспользоваться теоремой 4.1. Одновременно с выяснением вопроса докритичности системы (4.1) в заданной точке to нужно найти или хотя бы оценить снизу функцию cr(to , А, В), которая определяет длину интервала докритичности / = (to, to + cr(to)) исходной системы.
Теперь можно построить конечное множество 3 и многозначное отображение Л 0, пользуясь результатами, изложенными в первом параграфе. В нем приведен простой способ нахождения конечного множества Л 0 (п) при каждом n G 3. Пусть 0 в cr(to) — некоторая константа (это может быть полученная оценка снизу для значения функции a(to)). Далее для каждой пары (п, 6), п Є 3, 5 Є Ліо(п) построим многообразия N (to,9) и dN (to, 0) в соответствии с изложенным в 4-5. По теореме 5.2 все много образия N (to,6) попарно не пересекаются, а их объединение составляет выпуклое компактное множество управляемости D(to,9) системы (4.1) на отрезке [to, to + в]. Гладкие многообразия dN"(to, 0) также попарно не пересекаются, а их объединение представляет собой кусочно-гладкую границу множества управляемости dD(to,9) системы (4.1) на отрезке [to, to+9]. Ниже рассмотрены два примера, иллюстрирующие применение вышеописанной схемы. Задача быстродействия (4.1)-(4.2) для линейной управляемой системы (6.1) подробно изучена в [31, 5, прим.З], где для нее построена синтезирующая функция на всем фазовом пространстве. Рассмотрение этой же системы в примере 6.1 не добавляет ничего нового к тем результатам, но имеет целью продемонстрировать применение результатов настоящей работы для синтеза оптимального управления. Пример 6.2 более содержателен: в нем рассматривается нестационарная система. Для этой системы представлена структура множества управляемости и структура границы множества управляемости на любом отрезке времени.
В качестве фундаментальной системы решений сопряженной системы (4.5) возьмем вектор-функции Va() = (sint, cost), (t) = (cost, — sint). Теперь в соответствии с равенством (4.7) определим семейство функций
Так как система (6.1) является стационарной, то согласно утверждению 4.1 функция t н- cr(t), построенная для семейства (6.2), является постоянной. В примере 1.1 (см. 1) мы уже рассматривали семейство функций (6.2) и установили, что оно образует ТА-систему на любом интервале (а, а + 7г/2), а Є Ш. Ясно также, что это семейство функций не образует ТА-систему ни на каком интервале (а, а + 7г/2 + є), если є 0. Таким образом, по определению cr(t) = 7г/2 для всех і б R, а система (6.1) является докритической в любой точке вещественной оси.
Согласно утверждению 4.1 отображение Л , построенное для семейства (6.2), не зависит от t, то есть Л = Л: 3 — {-1,1} . Значения отображения Л (і) при каждом і Є З = {(0,0), (1,0), (0,1)} нами уже были найдены в примере 1.1 (равенства (1.12)—(1.13)). Теперь для любого момента времени to Є Ш, любого в 0, каждого элемента множества 3 и каждого вектора (61,62) Є {- 1, 4—1} определим многообразия
