Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. «Современное состояние проблемы» 13
1.1. Задачи управления показателями Ляпунова 14
1.2. Построение возмущений потенциала в уравнении Шредингера . 23
ГЛАВА 2. «Управление спектром постоянного оператора» 28
2.1. Конечномерная система 29
2.2. Связанные электрические колебательные контуры 37
2.3. Система с постоянным оператором 43
2.4. Вид возмущения в случае простого спектра 46
2.5. Оператор с кратным спектром 55
2.6. CLASS Построение возмущений 62
ГЛАВА 3 . «Управление спектром оператора монодромии» 69 CLASS
3.1. Неавтономная система 70
3.2. Конечномерная система с периодической матрицей 73
3.3. Ранг возмущения 78
3.4. Вид возмущения 84
3.5. Управление спектром оператора монодромии уравнения в частных производных 91
3.6. Управление спектром оператора монодромии уравнения теплопроводности 94
Список использованных источников
- Построение возмущений потенциала в уравнении Шредингера
- Связанные электрические колебательные контуры
- Вид возмущения в случае простого спектра
- Конечномерная система с периодической матрицей
Введение к работе
Классической задачей управления динамическим объектом является задача о нахождении для системы х = Ах + Вщ х ЄГ, и Є JRm, і Є R, где А и В — постоянные вещественные матрицы соответственно размерностей п х п и п х т, такого управления и — Ux, U Є Emxn, для которого спектр матрицы A + BU совпадает с заданным множеством. Эта задача назначения спектра называется задачей модального управления.
Здесь управление и = Ux строится на основе информации о текущем состоянии объекта и называется обратной связью.
Разрешимость задачи о назначении спектра исследовалась многими авторами. Обзор результатов, относящихся к этой области, дан, например, в [1].
В 1987-89 гг. Г. Г. Исламовым [2-5] была впервые поставлена и решена задача о минимальном ранге линейной обратной связи X ^ АХ Л Ж, rank К —> min, (1) o-(A-K)nn = 0, где П — заданное множество, о (А — К) — спектр матрицы А — К.
В работе [3] доказана следующая теорема, определяющая минимальный ранг матрицы К, задающей линейную обратную связь в задаче (1). Теорема 0.1. Минимальный ранг допустимого еозмугцения равен мак- симальной геометрической кратности чисел А Є 1 max dim kerf А.Е — A) = minrankiC, где минимум берется no всем допустимым возмущениям, К.
Впоследствии в работе [4] данный результат был обобщен на случай замкнутого оператора А. действующего в банаховом пространстве 33. Теорема 0.2. Пусть множество Q П а (А) пусто или конечно и состоит лишь из изолированных собственных значений оператора А конечной алгебраической кратности. Тогда minrankiC — maxdimker(A — АЛ, где минимум берется по всем конечномерным К таким, что выполнено
I — тождественный оператор в 9).
Г. Г. Исламовым построены конструкции минимальных по рангу возмущений и изучены их свойства [2]. Отметим результат статьи [5], где в случае нормального компактного оператора А с простым спектром, действующего в гильбертовом пространстве, дано описание всех одноранговых возмущений с требуемым свойством.
Теорема 0.3. Пусть Ах — ^2fJ>k{%,
Тогда найдутся такие две квадратично суммируемые последовательности комплексных чисел {суі} и {Pi}, что: а) и = У Oij
Обратно, если и и v заданы в виде рядов а), сходяіи,ихся в ?), и выполнены условия б) и в), то для оператора Кпх = u{x,v) выполнено соотношение (2), где К — Кп.
Позднее, в 2004г., М. А. Клочков [6] рассмотрел вопрос о виде обратной связи в задаче о назначении спектра для неограниченного самосопряженного оператора А rank К —5- min, вСа(А-К), где G — заданное множество, не пересекающееся с П.
В [6] получен вид минимальной по рангу обратной связи для задачи о назначении спектра. Приведен вид минимальной по рангу линейной обратной связи и для случая кратного спектра.
Теорема 0.4. Для того чтобы мооїсно было перевести заданное подмножество П = {Afc15..., Xkm} изолированных собственных значений опера- со ггц тора Аи ~ V,/,^(^^^,0^,^ г$е {фц} "~ полная система ортонорми-рованных собственных функций оператора А в $j, в произвольно заданное подмножество G = (...., Kim} (G П Г2 — 0) с помощью многорангового возмущения вида Ku = ^2 ^2 аЛи- &«)> mio = 0, asi Є із, bsi Є 5j, CO CO j=s j-s где {^sy}; {Дзі;}, 5 = 1)^/ * = l,^;s — тгг-і; J = s, oo — квадратично суммируемые последовательности комплексных чисел, необходимо и достаточно выполнения следующих условий: &) Vsijflsij = 0 для всех индексов j, не принадлеоісащих множеству Л = \1\- . . , IfTlJ) б) У~] Y2 Vnifisuj = —й j J = Ът, где Р(Х) - некото- *=' -1 П Л,-A, J к=1,кфз рый многочлен степени т со старшим коэффициентом, равным единице, корпи которого совпадают со значениями из О.
В работе [7] Д. А. Сивков уточняет и дополняет этот результат.
При обобщении приведенных выше результатов на нестационарные управляемые системы х = A(t)x + B(t)u (3) возникают вопросы об управлении асимптотическими характеристиками этих систем. В работах П. Бруновского, Е. Л. Тонкова, С. Н. Поповой и других авторов рассмотрены условия полной управляемости асимптотических характеристик данных систем. Подробный обзор полученных в этой области результатов сделан в диссертации С.Н.Поповой [8].
В том случае, когда оператор A(t) — w-периодический по времени t, си- стема (3) с помощью представления Флоке может быть приведена к стационарной системе. В 1999 г. Г. Г. Исламов [9] поставил и решил задачу об «удалении» собственных значений матрицы монодромии из заданного множества П для нестационарной динамической системы (3) с ш-периодической по времени і функциональной матрицей A(t) методом минимальной обратной связи.
Пусть для линейной управляемой системы x = A{t)x + u{t), (4) где A(t) есть ш-периодическая матрица с комплекснозначными локально суммируемыми элементами, управление u(t) формируется по методу обратной связи u(t) = -B(t)F{t)-lx(t), где F(t) = X(t) ехр(—IK), К = ~ lnX(w), X(t) — матрицант невозмущенной системы X ^^ j~x\T/)X^ a B(t) есть си-периодическая матрица с комплекснозначными локально суммируемыми элементами.
Тогда справедлива следующая Теорема 0.5. Пусть Q — произвольное собственное подмноо/сество С Тогда minrankS = maxdimker(X(w) — рЕ), где минимум берется по всем to-периодическим п х п-матрицам B(t) с комплекснозначными локально суммируемыми компонентами, для кото- рых система (4) не имеет мультипликаторов из Q.
В 2002 г. Д. А. Сивков [10] обобщил результаты работы [9] на случай и-периодического по времени t оператора A(t). компактного при каждом , действующего в бесконечномерном банаховом пространстве 03.
В 2005 г. [7,11] был найден вид линейной обратной связи минимального ранга для задачи (3) в сепарабельном гильбертовом пространстве f), изменяющей точечный спектр оператора монодромии заданным образом.
В том же году полученные результаты были обобщены на случай уравнений в частных производных (операторов с компактной резольвентой) вида PLu{t) + a(t)Du(t) = Q, где u(t) — для каждого і Є Ш является элементом Sjj Pt = afe+ /?|,а,/? Є С, a(t) — w-периодическая непрерывная функция, D — линейный оператор из S) в Sj) имеющий компактную резольвенту
Д(А) = {D- Л/)"1. * * ф
Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и приложения.
Во введении отмечено место данной диссертационной работы в современных исследованиях, кратко изложены результаты, полученные диссертантом и другими исследователями в этой области.
Глава 1 носит обзорный характер.
В первом параграфе главы 1 подробно рассмотрены результаты Е.Л.Тонкова и С.Н.Поповой, относящиеся к вопросам управляемости линейных систем.
Параграф 2 главы 1 посвящен управлению энергетическим спектром квантово механической системы (оператор Гамильтона) с помощью возмущения потенциала. Рассмотрены работы Абрагама, Мозеса [12], Захарьева, Сузько [13], Захарьева, Чабанова [14]. Построен численный пример возмущения потенциала, меняющего дискретный спектр заданным образом.
Построение возмущений потенциала в уравнении Шредингера
Важным примером линейного дифференциального оператора в бесконечномерном банаховом пространстве является оператор Гамильтона. Например, для одной частицы, находящейся во внешнем силовом поле, он имеет вид (см. [29]) Н = А + Щг), 2т где Н — постоянная Планка, т — масса частицы, U(r) — потенциал силового поля в точке г. Оператор Гамильтона в квантовой механике является оператором энергии. Он входит в волновое уравнение Шредингера, описывающее эволюцию физического состояния квантовомеханической системы
С точки зрения физики собственные значения оператора Гамильтона — это разрешенные уровни энергии квантовой системы и они представляют очень большой интерес.
Как правило, в квантовой механике решаются задачи двух типов: прямая и обратная. Прямая задача заключается в том, чтобы по известному потенциалу; описывающему внутреннее строение системы, определить набор ее возможных состояний S (в частном случае спектр энергий), которые могут быть доступны для внешнего наблюдателя. В обратной задаче требуется по известному набору возможных состояний системы S определить ее внутреннее строение, например по энергетическому спектру системы определить ее силовой потенциал U(r).
Задача управления спектром оператора Гамильтона является частным случаем обратной квантовомеханической задачи. Типичным случаем зада чи управления спектром оператора Гамильтона является задача удаления из спектра отдельных энергетических уровней.
На физическом уровне управлять спектром системы возможно, изменяя ее внутреннее строение. Математически это означает изменение функции U(г) оператора Гамильтона Н. Первыми, кто привел формулы для возмущений потенциала, удаляющих из спектра отдельные энергетические уровни, были Абрагам и Мозес [12]. В дальнейшем были разработаны особые методы решения обратных задач, их обзор сделан в работе 13].
Рассмотрим конкретный пример удаления уровня из энергетического спектра системы, представляющей собой одномерный гармонический осциллятор. Рассмотрим вариант осциллятора, потенциал которого U(x) конечен на полуоси [0, +оо): { х\ х О U(x) = { . I +оо, х О Оператор Гамильтона с потенциалом такого рода имеет чисто дискретный эквидистантный спектр, состоящий из собственных значений {ЕІ}, а система собственных функций {ф{\ полная и ортогональная. В квантовой механике принято нормировать собственные функции на единицу, то есть со ФІ(Х) dx. -со Уничтожение одного уровня в спектре, согласно работе Захарьева и Ча о банова [14] можно произвести, возмущая исходный потенциал 7, применив подход Гельфанда-Левитана. В результате возмущенный потенциал имеет вид U(x) = V + 2 -ах о -X Шх [І-І:ФКУ)СІУІ В последнем выражении ф — собственная функция невозмущенного оператора Гамильтона, соответствующая удаляемому собственному знач е 25 нию Ер.
При таком построении потенциала «удаление» собственного значения Efi означает следующее: физическое состояние, соответствовавшее этому значению, модифицируется таким образом, что его новая энергия оказывается равной энергии следующего по номеру состояния, соответствовавшего невозмущенному потенциалу. Вообще говоря, собственные значения 1 возмущенного оператора Гамильтона при к /І переходят в собственные зна о чения Ek-\-i невозмущенного оператора Гамильтона. Физические состояния идентифицируются и упорядочиваются в соответствии с числом нулей их волновых функций. Таким образом, собственное значение невозмущенного о оператора Гамильтона Е&, к \i. соответствующее собственной функции о Фк с числом нулей, равным к, становится равным собственному значению Ek-x возмущенного оператора Гамильтона, соответствующему собственной функции фи-і с числом нулей, равным к — 1 .
Связанные электрические колебательные контуры
В предыдущих разделах рассматривались системы вида х = A(t)x для случая, когда x{t) принадлежит конечномерному векторному пространству, a A(t) задается матрицей конечной размерности п х п. Этот подход применим для описания значительного класса задач. А именно, тех задач, в которых физический объект описывается конечным набором параметров, задающих его состояние. Но для описания состояния некоторых физических объектов недостаточно конечного набора параметров. В данном разделе рассматривается более общий, чем в предыдущих разделах, случай, когда x(t) для каждого і принадлежит некоторому банахову пространству. Излагаемые здесь результаты дополняют работу [4].
Определение 2.3.1. Ограниченный оператор К, действующий в банаховом пространстве 23, называется конечномерным, если он представим в виде п Кх У (ж, &І)ОІ, cii G$,&iG 93 , г = l,n, где 23 - сопряженное пространство, {Xybi} - значение функционала 6г- на элементе х.
Пусть замкнутый оператор А : 23 —» 93 с областью определения D(A) имеет собственные значения в некоторой «запрещенной» области О, комплексной плоскости С(ГЙ ф С), Выберем множество 0 с мощностью, не превосходящей числа точек спектра сг(А), лежащих в Q. Требуется указать такой конечномерный оператор К : 93 —» 93, при котором оператор V — А — К не будет иметь точек спектра o (V) в области П, и множество G лежит в спектре ff(V), то есть П С P(V). P{V) П 0 = 0, где Р("К) — резольвентное множество оператора V.
Переход от спектра сг(А) к спектру СГ(У1 — К) образно можно представить как «удаление» собственных значений оператора А из области fl, «перевод» их в заданное множество G и преобразование части спектра сг(А), лежащей вне Q. Конечномерными возмущениями можно «удалить» только изолированные точки спектра а(А). Более того, при определенных условиях такими точками могут быть лишь изолированные собственные значения конечной алгебраической кратности.
Среди всех конечномерных операторов К, «исправляющих» спектр оператора А описанным выше способом, выделим те, которые имеют минимальный ранг. Такие возмущения мы назовем экстремальными: они являются решениями экстремальной задачи rank К - min, ttcP(A-K), Р(А - К) П G - 0. (2.9) Величина минимального ранга в задаче (2.9) указывает на то, что оператором меньшего ранга уже нельзя исправить спектр требуемым образом.
Возмущение К : 25 — 93 назовем допустимым в задаче (2.9), если П с Р(А - К), Р(А - К) Г) G = 0 и rank if оо. Пусть К — произвольное допустимое возмущение, А Є П. Тогда уравнения Ах — Хх и х = -(V-\iylKx (V — А — К, I - тождественный оператор) эквивалентны. Отсюда rank М(Х]А) для любого А Є О, и произвольного допустимого возмущения К. Здесь М(Л; А) — геометрическая кратность числа А. Это означает, что целевая функция экстремальной задачи М(Х; А) - max, Л П, (2.10) мажорируется сверху целевой функцией задачи (2.9), Здесь максимум по пустому множеству полагается равным нулю. По аналогии с математическим программированием утверждение о совпадении экстремальных значений целевых функций задач (2.9) и (2.10) будем называть теоремой двойственности, а задачу (2.10) — двойственной к задаче (2.9).
По схеме работы [4] с учётом замечания к теореме 2.1 на с. 30 может быть доказана следующая теорема двойственности.
Теорема 2.2. Пусть мнооїсество О.П а(А) пусто или конечно и состоит лишь из изолированных собственных значений оператора А конечной алгебраической кратности. Тогда экстремальные значения целевых функций задач (2,9) и (2.10) совпадают.
Замечание. Данная теорема представляет собой важное дополнение к теореме 1 [4]. Здесь осуществляется целенаправленный «перевод» точек спектра ?(А) из области ft в заданное множество в, в то время как в [4] точки спектра с(А) Г) О переводятся в одну произвольную точку П. Теорема 2.3. ДЛЯ любого ограниченного К справедливо a(V -\- К) С Щ(а(У))? где 5 такое, что \\К\\ шіп ЩЕ\У)\\-1. (2.11) dU$(a(V)) — граница 5-окрестности множества cr(V) Данная теорема является применением замечаний 3.2. и 3.3. [31. с. 264] к задаче (2.9). Замечание. Для нахождения S такого, что окрестность сг(У) содержит спектр возмущенного оператора a(V-\- К) достаточно выбрать минимальное S такое, что выполняется (2.11).
Вид возмущения в случае простого спектра
Большой интерес представляет случай, когда некоторый произвольный оператор, действующий в гильбертовом пространстве $), имеет чисто точечный спектр, причем множество П содержит только простые удаляемые собственные значения. Такая ситуация имеет место в случае, например, если возмущаемый самосопряженный оператор А действует в сепарабель-ном гильбертовом пространстве Sj по закону п Au = "Yl k{u}i)k) k7 и Є S3, (2.12) к=і где { k}k=i ортонормированная система элементов из $) и {A/J -, — однократные собственные значения, образующие точечный спектр аР(А) оператора А, п — ранг оператора А, п = оо.
Согласно теореме 2.2(стр. 45) минимальный ранг возмущения, переводящего все изолированные собственные значения оператора А из заданного множества Q в точку О, оставляющего без изменения остальные точки дискретного спектра сг А), лежащие вне П, равен единице.
В работе [5] дано описание класса всех одноранговых возмущений, которые переводят собственные значения нормального компактного оператора А из П в точку существенного спектра — 0, что естественно для рассматриваемого класса операторов. По схеме работы [5] М. А. Клочков распространил эти результаты на случай неограниченных самосопряженных операторов с простым чисто точечным спектром, причем показано, что «нежелательные» собственные значения можно перевести в заданные точки.
Рассмотрим одноранговое возмущение К : $j — $) в виде Ки = {и,Ь)а, и Є f), (2.13) где п п І=1 j=l { зУз іі {ftj}j i квадратично суммируемые последовательности комплексных чисел. Возмущения (2.13) должны переводить собственные значения оператора А из Г2 в некоторое заданное множество 0 так, чтобы выполнялось равенство ар{А -K) = QU (ар(А) \ П). (2.15) Для возмущений вида (2.13) справедлива теорема. Теорема 2.4. Для того чтобы мооюпо было перевести заданное подмножество П — {А ,..., Xkm} изолированных собственных значений оператора (2.12) в произвольно заданное подмноо/сество 0 — {/-сі,...,/cm} (0 П П = 0) с помощью однорангового возмущения вида (2.13) необходимо и достаточно выполнение следующих условий: а) v$i 0 для индексов j, не принадлеоюащих мпоо/сеству Л — { К ].,.. . , Кт J- б) Vk-fh- — т" , і — 1-т, где Р(Х) — многочлен степени т П (4-V 3=1 фі со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого образуют подмножество множества QU(ap(A)\Q), причем мнооїсество Q\ap(A) целиком лежит в множестве корней Р{Х).
Замечание. Данная теорема обобщает теорему 1.1 [6, с. 22] на конечномерный случай и случай, когда оператор А не имеет полной системы собственных функций.
Доказательство. Рассмотрим полную ортонормированную систему функций {фі}і в 5} такую, что ч/л — ірі для всех г = 1,2,.... п, которая представляет собой пополнение системы {-фг}г в пространстве Sj. Далее рассуждения практически повторяют доказательство теоремы из работы [4]. Необходимость. Предположим, что выполняется (2.15). и покажем справедливость условий а) и б). В том случае, когда А ф 0, выполнено V{ — 0, что влечет справедливость условия а).
В противном случае когда А — 0, в силу того, что А ие зависит от г. для всех j ф і имеем jj = 0, следовательно, из (2.18) получаем A = /5 / = 0. Так как ср ф 0, то уі Ф 0, и / — 0, что опять влечет выполнение условия а). Таким образом, необходимость условия а) показана.
Покажем теперь справедливость условия б). Для этого выберем ц, такое, что fj, . {ЛІ} сГр(А). Из (2.17) выразим неизвестные yf Таким образом, при А ф 0 р должно быть корнем многочлена Р(р) В случае же А — 0, из (2.17) следует совпадение р и A-,, j — 1, 2,..., п, что Противоречит УСЛОВИЮ р . {Л,;} — (7р(А).
Пусть — корень многочлена Р(р), не принадлежащий (7Р(А). В этом случае справедливо уравнение (2.23), и из системы (2.17) возможно найти коэффициенты 7.7 отличного от нуля решения р спектральной задачи (2.16); являющегося собственной функцией оператора А — К. Следовательно, из предположения (2.15) получаем, что (Є0.
Заметим, что Л -. не может быть корнем Р(/і), так как в этом случае. VkjPkj = 0, что влечет, в силу равенств ик. = (а-/фк3) и / = {Фкг,Ь), для Ф = Фк-j, р — А справедливость рф = Аф - (ф,Ъ)а, (2.24) либо рф = А ф (ф,а)Ъ, (2.25) что противоречит предположению (2.15), Таким образом, корень многочлена Р(р) может принадлежать только множеству в U (рр{А) \ ft).
Допустим теперь, что существует / такое, что Р(кі) ф 0, / ст(А). Тогда из уравнения (2.23) получаем равенство А 0, что эквивалентно {(Pib) = 0. Следовательно, Kip — {ip1b)a = 0, и (А — К)ір Аїр, что противоречит равенству (2.15).
Конечномерная система с периодической матрицей
Ранее была рассмотрена задача минимизации ранга возмущения системы с постоянной матрицей. Для этого случая была доказана теорема двойственности. Более общим является случай системы с матрицей, зависящей от времени. При этом, в частности, если матрица является периодической по времени, то задача поиска возмущения минимального ранга может быть сведена к аналогичной задаче для случая системы с постоянной матрицей. Ниже приводится изложение результатов обобщения теоремы двойственности на случай периодических систем, полученное в работе [9].
Пусть в линейной системе x = A(t)x + u{t), (3.8) где A(t) есть ш-периодическая матрица с комплекснозначными локально суммируемыми элементами, управление u(t) формируется по методу обратной связи и(і) = -В(і)Р{іУгх(і), (3.9) где F(t) X(t) sx.p{—tK). К — і 1пХ(и), X(t) — матрицант невозмущенной системы x = A(t)x, (3.10) a Bit) есть ш-периодическая матрица с комплекснозначными локально суммируемыми элементами.
При подстановке (3.9) в (3.8) получим однородную систему x = [A(t)-B(t)F(t)-l]x (3.11) с ш-периодической матрицей. Свойства решений системы (3.11) будут определять свойства системы (3.8) с обратной связью. Пусть Е — единичная матрица порядка п. Сп - пространство п-мерных векторов с комплексными компонентами. Ранг функциональной матрицы B(t) определим как размерность образа отображения (Tz)(t) = B(t)z, z Є С\ t [0, w]. Обозначим кег(Х(ш)-рЕ) = {zen : X{u)z = px}. Матрица Х(ш) называется матрицей монодромии, а ее собственные значения — мультипликаторами системы (3.10). Совокупность мультипликаторов называется спектром уравнения (3.10).
Если возмущенная система (3.11) не имеет мультипликаторов из заданного множества Q комплексной плоскости С, то rank В maxdimker(X(w) - рЕ). (3.12) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р є П и z\,... ,zm — базис подпространства кег(Х(ш) — рЕ). Допустим, что для некоторых скаляров С\,...,ст т при почти всех і Є [0, и] линейная комбинация /0 (0 B(t)z — 0, 771 где = 2_, ck%k- Отсюда для x(t) — X(t)z F(t) exp(tK)z p F(t)z йме fc=i ем BitjFitj xit) = 0 и, значит, и(і) = [Л )- ) )"1] ). Кроме того, х(и) = X(u)z — pz = рх(0). По условию леммы 3.2.1 в множестве О, нет мультипликаторов системы (3.11). Следовательно, х(0) = = 0 и в силу линейной независимости z\,.,., zm все с 0, к — 1,т. Это означает, что матричный оператор В (t) переводит линейно независимую систему векторов ziz...,zm.m — dimker(X(cj) — рЕ), в линейно независимую на [О.ш] систему вектор-функций B(t)zi,..., B(t)zm. Отсюда следует (3.12). Лемма доказана. Лемма 3.2.2. Для любого комплексного X кет(К - ХЕ) = ker(X(w) - exp(Aw)S). (3.13) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ДА) = ехр(шА). Так как производная /(А) не равна нулю на спектре матрицы К, то в силу теоремы 9 [35, с. 158] при переходе от матрицы К к матрице f{K) — exp(wi-f) = Х(и) элементарные делители не «расщепляются», то есть, если матрица К имеет элементарный делитель (A —Aj)"\ то матрица монодромии Х{и) имеет элементарный делитель (А — exp(XjOj))nij и все элементарные делители этой матрицы могут быть получены подобным образом. Отсюда видно, что число а жордановых клеток в каноническом представлении матрицы К, отвечающих Xj. равно числу Р жордановых клеток в каноническом представлении матрицы X(UJ), отвечающих exp(Xjto) (при определении матрицы К = lnX(w) мы берем главное значение логарифма и, значит, А& — Xj ф 1 при А/,, ф Aj, где I целое). Так как а — dimkerfiT — XjE) и (5 — dimkerpT(w) — exp(Aw)-E), то подпространства в (3.13) имеют одинаковую размерность. Пусть Kz — Xz. Тогда X(OJ)Z — exp(u)K)z = exp(Xu )z. Следователь но, kei(K-XE) С kex(X(u) ехр(Хи)Е). Так как размерности подпространств совпадают, то имеет место (3.13).
