Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Асимптотические свойства систем Лаппо-Данилевского 18
1.1. Общие сведения о системах Лаппо-Данилевского 18
1.2. Показатели систем с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов 22
1.3. Показатели систем Лаппо-Данилевского с консервативной матрицей коэффициентов 33
1.4. Приводимость правильных систем Лаппо-Данилевского к блочно-диагональному виду 38
1.5. Правильные системы Лаппо-Данилевского 77
Глава 2. Возмущения линейных дифференциальных систем 85
2.1. Неустойчивость показателей правильных линейных систем при возмущениях 85
2.2. Асимптотические инварианты систем Лаппо-Данилевского при f -возмущениях 88
2.3. Влияние замены времени на показатели Ляпунова линейных дифференциальных систем 102
2.4. Построение Y -возмущений, сохраняющих правильность линейных дифференциальных систем 105
Литература
- Показатели систем с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов
- Приводимость правильных систем Лаппо-Данилевского к блочно-диагональному виду
- Асимптотические инварианты систем Лаппо-Данилевского при f -возмущениях
- Построение Y -возмущений, сохраняющих правильность линейных дифференциальных систем
Введение к работе
Многие задачи автоматики и телемеханики, теории колебаний и небесной механики приводят к исследованию систем дифференциальных уравнений с ведущей линейной частью. Одной из основных целей исследования таких систем является изучение асимптотического поведения их решений.
В основе современной асимптотической теории линейных дифференциальных систем лежат исследования A.M.Ляпунова, изложенные в его монографии "Общая задача об устойчивости движения". В этой работе А.М.Ляпуновым разработаны два метода исследования систем дифференциальных уравнений: первый или асимптотический метод Ляпунова и второй или прямой метод Ляпунова.
В основе первого метода Ляпунова лежит понятие характерис тического числа. Характеристические числа ( в последнее время чаще привлекаются показатели Ляпунова, которые равны характе ристическим числам, взятым с противоположным знаком) использу ются для выявления асимптотического поведения решений линейных дифференциальных систем. Линейная система не может иметь болеегь ненулевых решений с попарно различными показателями [51, с.34] . Фундаментальная система решений линейной системы назы вается нормальной [_51, с.34J , если сумма показателей ее ре шений минимальна во множестве всех фундаментальных систем. По казатели нормальной упорядоченной системы называют показателями Ляпунова линейной системы или спектром системы. Спектром системы полностью определяется асим птотический характер семейства решений данной системы в смысле установления экспоненциальной устойчивости.
Особый интерес представляет задача нахождения и изучения поведения показателей Ляпунова непосредственно по коэффициентам системы (без построения ее решений). Если исходная линейная система стационарна, то показатели системы равны действительным частям собственных значений матрицы коэффициентов. Если же система не стационарна, то такой связи между показателями Ляпунова и собственными значениями матрицы коэффициентов, вообще говоря, не существует и задача вычисления показателей намного усложняется. В работах \_6, &"] получены формулы, позволяющие выражать показатели линейной системы через ее коэффициенты и указаны возмущения системы, не меняющие ее показателей, но практическое применение этих формул затруднено их сложностью и наличием многих предельных переходов.
Основные сведения по теории показателей Ляпунова содержатся в монографии ^23*1 , в обзоре Q47] , а также в циклах работ В.М.Миллионщикова, Б.Ф.Былова, Н.А.Изобова и др. (см. напр., [18, 24-25, 48, 56-58] ).
Ю.С.Богдановым описан способ распространения метода характеристических чисел Ляпунова на системы с ведущей нелинейной частью [Ю-П, 13-15] .
Показатели Ляпунова, а также другие асимптотические характеристики линейных систем являются инвариантами преобразования Ляпунова [ 51, с.42^ , т.е. преобразования вида х~ L j , где матрица [_. ("-) удовлетворяет условиям *upllUt)H < + с>о , ^up ||L,"Yt)(| ^оо,
Существование таких преобразований позволяет, хотя бы в принципе, свести задачу вычисления показателей у исходной системы к аналогичной задаче для упрощенной, в том или ином смысле, системы. Систематическое развитие такого подхода приводит к теории асимптотической эквивалентности систем. Две линейные системы будем называть асимптотически эквивалентными [.12, 9, 16 J , если существует преобразование Ляпунова, переводящее одну из них в другую. Иногда еще такие системы называют "кинематически подобными" [85, с.9зЗ (см. также [39, 88, 94-95] ). В то же время встречаются определения асимптотической эквивалентности, отличные от приведенного (ср. [23, с.12; 38, с.159; 89-90, 92, 98]).
Основной задачей теории асимптотической эквивалентности является разбиение всего множества систем на классы эквивалентных и изучение этих классов.
Простейшим классом являются приводимые системы, т.е. системы, приводимые с помощью преобразования Ляпунова к постоянным [51, с.43 J . А.М.Ляпуновым выделен один важный класс таких систем, а именно системы с периодическими коэффициентами [ 5I,c.I95j . Дальнейшее развитие теория приводимых систем нашла в работах Н.П.Еругина [40-44] (см. также [47, 2, 5, 69 ] ).
В 1954 г. Б.Ф.Быловым введено понятие почти приводимости [ 18], Линейная система ЛЬ (0,1) называется почти приводимой к системе І-ВШ у если для любого "S" > О существует ляпуновсное преобразование и - Li
Первая журнальная публикация по почти приводимым системам, названным аппроксимативно подобными, принадлежит Лилло [ 93 J . Понятие почти приводимости рефлексивно и транзитивно ^18, 93] . В.М.Миллионщиковым [57][ установлена несимметричность отношения почти приводимости.
Следующий, более широкий класс, составляют правильные системы. Система называется правильной по Ляпунову [51, C.38J, если для нее выполнено равенство п -ь где X; (L = 1, и J - показатели Ляпунова, АШ- матрица коэффициентов этой системы, СГ л - коэффициент неправильности Ляпунова.
Приведем некоторые критерии 'правильности. Критерий Ляпунова [51, с.39] . Для правильности треугольной системы необходимо и достаточно существование у ее диагональных коэффициентов точных интегральных средних значений. Критерий Перрона [^ 9б] . Для правильности линейной системы необходимо и достаточно,чтобы показатели сопряженной системы были равны по абсолютной величине и противоположны по знаку показателям исходной.
Критерий Басова [4], Богданова [б] , Гробмана [Зб]. Линейная система является правильной тогда и только тогда, когда она обобщенно приводима, т.е. об общенным преобразованием Ляпунова ч ^ кусочно- дифференцируема и преобразуется в систему
Критерий Винограда [зо]. Для правильности линейной системы необходимо и достаточно существование точных показателей у решений некоторой нормальной системы Х("Ь)-[зСл№1 ... Хл(-Ц| и точных нулевых показателей у синусов углов между решением Хк("Ь)и линейным пространством к-1 предыдущих решений Х1} .. . , Хм
Из приведенных критериев видно, что для определения правильности системы необходимо знать фундаментальную матрицу решений, за исключением случая треугольной системы.
В последнее время выделены новые классы систем, как, например, в работах В.М.Миллионшикова [56, 60] , Н.А.Изобова Г 29J , Б.Ф.Былова \_21\, Б.П.Демидовича [з?].
Основу классификации Ляпунова составляют особенности поведения показателей систем разных классов под действием возмущений. Показатели линейной системы называют устойчивыми, если для любого > 0 найдется такое "5* > О » что всякий показатель X и. любой возмущенной системы Іі = мг)3 utojj ,t«[V*-b (0.8)
Ц&Ш || <*b » удовлетворяет неравенству тЯп. | \ . - \ и( <:..
Это понятие возникло из работы Перрона [96*] , впервые установившего, что показатели могут быть неустойчивыми. Известно (К.П.Персидский [бб] ), что для устойчивости показателей линейных систем с коэффициентами-функциями слабой вариации по Персидскому достаточна интегральная разделенность характеристических чисел, т.е. показатели приводимых систем устойчивы.
Показатели правильных систем, как показано в работах [28, 29, 31J , в общем случае неустойчивы.
Для оценки реакции неправильных систем на изменение матрицы коэффициентов привлекаются такие характеристики, как коэффициенты неправильности. Коэффициент неправильности Од был введен ранее. Коэффициент неправильности Перрона [9б] линейной системы есть величина б'п = ^«-x.|X-u+/'Lj » где X., ... X*, показатели исходной системы, а а/1 >, . .. >, лл^ показатели сопряженной системы ^l-_-ATUb.d-fc Коэффициент неправильности Гробмана L 36J линейной системы есть величина >г = in{ m.cixJXi. +Ъ'Л » где \i и *Ь^ суть показатели соответственно I -го столбца фундаментальной матрицы Х(."Ь)и I -ой строки обратной ей матрицы )("* (т). Реализуется ІП.І на матрице Ул"Ь) , столбцы которой образуют нормальную систему решений [_36 \ . Коэффициенты неправильности строились также Р.А.Прохоровой [70]. В.М.Миллионщиковым введено в рассмотрение асимптотическое число Все коэффициенты неправильности являются неотрицательными величинами, для них справедливы следующие достижимые неравенства [23, - 9 -с. 284] и для правильности линейной системы достаточно обращения в нуль хотя бы одного из них. Показатели системы (0.2) с возмущениями ПійМІІе^Лг < оо (о.з) совпадают с показателями системы (0.1) при (^ > О г L36J >следовательно, и при о > СОл [б, 8] . Н.А.Изобов показал [ 46] , что при (^ > On У исходной и возмущенной двумерных систем совпадают старшие показатели. Критерий устойчивости показателей линейных систем был получен В.М.Миллионщиковым [58j , Б.Ф.Быловым и Н.А.Йзобовым [24,25] Для устойчивости показателей линейной системы необходимо и достаточно, чтобы она некоторым ляпуновским преобразованием приводилась к блочно-треугольному виду 77 = Р^ (к.= 4im ; и* - вектор размерности П-к. , ^kl*u - ю. ), причем I) блоки интегрально разделены, т.е. существуют константы & а>о такие, что lC (М 1Ґ > d *а{*~*\ Ut(t,t)|| _ і гХ , к* v*m, где ИДЫ матрица Коши системы 2) для каждого блока верхний *. и нижний u) к центральные показатели совпадают. Целью настоящей работы является получение формул, позволяющих находить показатели Ляпунова линейных систем Лаппо-Данилев-ского, отличных, от стационарных, по матрице- коэффициентов, т.е. не прибегая к построению решений, изучение правильных систем этого класса, их реакций на специальные возмущения, а также изучение влияния специальных возмущений на показатели Ляпунова линейных дифференциальных систем. Работы в указанном направлении включены в программу "Дифференциал" Академии Наук BCGP на I98I-I985 г.г. х х к Диссертация состоит из двух глав, которые разбиты на параграфы. В первой главе "Асимптотические свойства систем Лаппо-Дани-левского" рассмотрена система - РН0 X , ie[-te,*-[ , cj-fc " r^J *- » ucLto-T""L' (0.4) X j^ , p (-t) - кусочно-непрерывная, ограниченная матрица Лаппо-Данилевского, т.е. Р (-Ь) 1 * Р(ъ) J г = Ptrl ck P(t) . (0.5) Для систем (0.4) с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов получены формулы, по которым можно найти показатели Ляпунова этих систем: - II - где - собственные значения блоков блочно- треугольной матрицы С - некоторая постоянная невырожденная матрица. Показано, что аналогичная формула справедлива и для систем с консервативной матрицей Лаппо-Данилевского (в этом случае хТ ш собственные значения блоков блочно-диагональной матрицы Q«U)>. Доказаны критерии правильности систем с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов и систем с консервативной матрицей Q.(с) , а именно: система (I.I) с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов (консервативной матрицей Q.(t) ) правильна тогда и только тогда, когда существуют ^ -r-feXcW собственные значения матрицы Qt("b) и показатели этой системы можно найти по формуле: (теоремы 1.6 и 1.10). Рассмотрен вопрос о канонической структуре матрицы Рvt\ правильной системы Лаппо-Данилевского. Показано, что если система (0.4) правильная, то существует I ^- Х-о такое, что матрица Pit) ПРИ "Ь >Т постоянным преобразованием приводима к блочно-диагональному виду, где размерность диагональных блоков равна кратности показателей системы (0.4) (теорема I.II). Приведен пример, подтверждающий существенность требования в условии теоремы правильности системы (0.4). Получены формулы, по которым можно находить показатели правильной системы Лаппо-Данилевского, не прибегая к построению фундаментальной матрицы решений \ где A"Lvw - собственные значения матрицы Q.(-h). Доказан критерий правильности систем Лаппо-Данилевского: для правильности системы (0.4) необходимо и достаточно, чтобы существовали и постоянное преобразование С , приводящее матрицу при "Ь "fc. Т к блочно-диагональному виду Р, ш такому, что будет справедливо равенство к*. *г Я* Xі? IV) - «iw, A- Re ' (tl, t^> ос * -^- ОСЭ "t (J где - любые собственные значения одного и того же блока матрицы 0-Д"Й ~ і to ^ ^ ^^ (теорема I.I5). Совместно с системой (0.4) рассмотрена система ^1 = К Pit) ^, К.Є& (0.6) и доказано, что если система (0.4) правильная, то система (0.6) тоже правильная и ее показатели можно найти по формуле \\ - ^ \ L ( l = V^ , где X і (/i-Vt) - показатели системы (0.4). Во второй главе " ^Р - возмущения линейных дифференциальных систем" совместно с системой ^f =P(t) X,-be[ie,*oo[ , XeR"" (0.7) рассматривается система где ^(t)- непрерывная скалярная функция такая, что Показано, что показатели правильных систем - ІЗ - (0.7), вообще говоря, неустойчивы при Y -возмущениях, а показатели правильных систем с матрицей Р("Ь) Лаппо-Данилевского устойчивы при Ц^ -возмущениях. Приведены условия, которым должна удовлетворять матрица и функция чтобы системы (0.4) и (0.8) с функционально - коммутативными матрицами были асимптотически эквивалентны. Рассмотрены некоторые классы систем, показатели которых устойчивы при т -возмущениях, а именно: а) системы, матрица коэффициентов которых удовлетворяет условию где -гч"Ь)- строго возрастающая, дифференцируемая функция; б) системы с матрицей Р (t) , удовлетворяющей условию #РШ) -- wupw где (т.) строго возрастающая, дифференцируемая функция такая, что L.Lwu j — А . Приведены условия, которым должна удовлетворять функция M\tV что(^ы показатели вполне правильных систем (0.7) и (0.8) совпадали. х х к На защиту выносятся следующие результаты: I. Теорема о приводимости правильных систем Лаппо-Данилевского постоянным преобразованием к блочно-диагональному виду, где размерность диагональных блоков равна кратности показателей Лі (л - С*Л. Метод вычисления показателей Ляпунова систем с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов, с консервативной матрицей Лаппо-Данилевского, а также правильных систем Лаппо-Дани-левского по матрице коэффициентов. Критерий правильности систем Лаппо-Данилевского, Способ построения у - возмущений, сохраняющих показатели линейных дифференциальных систем. Теоремы об асимптотических инвариантах систем Лаппо-Данилевского при Y - возмущениях. Результаты диссертации неоднократно докладывались на республиканском семинаре по обыкновешшм дифференциальным уравнениям, на конференциях молодых ученых Белорусского государственного университета имени В.И.Ленина. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [іОІ - 105] . Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю профессору Ю.С.Богданову за постоянную поддержку при выполнении данной работы. Многие задачи автоматики и телемеханики, теории колебаний и небесной механики приводят к исследованию систем дифференциальных уравнений с ведущей линейной частью. Одной из основных целей исследования таких систем является изучение асимптотического поведения их решений. В основе современной асимптотической теории линейных дифференциальных систем лежат исследования A.M.Ляпунова, изложенные в его монографии "Общая задача об устойчивости движения". В этой работе А.М.Ляпуновым разработаны два метода исследования систем дифференциальных уравнений: первый или асимптотический метод Ляпунова и второй или прямой метод Ляпунова. В основе первого метода Ляпунова лежит понятие характерис тического числа. Характеристические числа ( в последнее время чаще привлекаются показатели Ляпунова, которые равны характе ристическим числам, взятым с противоположным знаком) использу ются для выявления асимптотического поведения решений линейных дифференциальных систем. Линейная система не может иметь более гь ненулевых решений с попарно различными показателями [51, с.34] . Фундаментальная система решений линейной системы назы вается нормальной [_51, с.34J , если сумма показателей ее ре шений минимальна во множестве всех фундаментальных систем. По казатели нормальной упорядоченной системы называют показателями Ляпунова линейной системы или спектром системы. Спектром системы полностью определяется асим птотический характер семейства решений данной системы в смысле установления экспоненциальной устойчивости. Особый интерес представляет задача нахождения и изучения поведения показателей Ляпунова непосредственно по коэффициентам системы (без построения ее решений). Если исходная линейная система стационарна, то показатели системы равны действительным частям собственных значений матрицы коэффициентов. Если же система не стационарна, то такой связи между показателями Ляпунова и собственными значениями матрицы коэффициентов, вообще говоря, не существует и задача вычисления показателей намного усложняется. В работах \_6, &"] получены формулы, позволяющие выражать показатели линейной системы через ее коэффициенты и указаны возмущения системы, не меняющие ее показателей, но практическое применение этих формул затруднено их сложностью и наличием многих предельных переходов. Основные сведения по теории показателей Ляпунова содержатся в монографии 23 1 , в обзоре Q47] , а также в циклах работ В.М.Миллионщикова, Б.Ф.Былова, Н.А.Изобова и др. (см. напр., [18, 24-25, 48, 56-58] ). Ю.С.Богдановым описан способ распространения метода характеристических чисел Ляпунова на системы с ведущей нелинейной частью [Ю-П, 13-15] . Показатели Ляпунова, а также другие асимптотические характеристики линейных систем являются инвариантами преобразования Ляпунова [ 51, с.42 , т.е. преобразования вида х L j , где матрица [_. ("-) удовлетворяет условиям Существование таких преобразований позволяет, хотя бы в принципе, свести задачу вычисления показателей у исходной системы к аналогичной задаче для упрощенной, в том или ином смысле, системы. Систематическое развитие такого подхода приводит к теории асимптотической эквивалентности систем. Две линейные системы будем называть асимптотически эквивалентными [.12, 9, 16 J , если существует преобразование Ляпунова, переводящее одну из них в другую. Иногда еще такие системы называют "кинематически подобными" [85, с.9зЗ (см. также [39, 88, 94-95] ). В то же время встречаются определения асимптотической эквивалентности, отличные от приведенного (ср. [23, с.12; 38, с.159; 89-90, 92, 98]). Так как постоянное преобразование не изменяет показателей системы, то \l (Л-1» ) - показатели Ляпунова системы (1,18) и e cbf J Рл[х) dtj- нормальная упорядоченная фундаментальная матрица системы (I.I8), В дальнейшем будем предполагать, что уже исходная система приведена к виду (1,18) и, следовательно, Put6 РМ dt] ее нормальная упорядоченная фундаментальная матрица решений. Совместно с системой (1,1) рассмотрим систему где Ч ("t ) - вектор-строка. Лемма 1,2, Если система Лаппо-Данилевского правильная, то система (1;20) тоже правильная и показатели систем (1,1) и (1.20) совпадают. Доказательство. Так как система (I.I) правильная, то существует обобщенная матрица Ляпунова 5(t) , приводящая (1,1) Так как система (1.22) правильная и выполнено условие (1.24), то, как показано в работах [б, 8, 361 , система (1.26) тоже правильная и ее показатели равны 0 . Построим унитарное преобразование Ш"Ь), приводящее (1.26) к нижне-треугольному виду. Как показано в [26], квазитреугольная и блочно-диагональная системы приводимы к треугольному виду одним и тем же блочно-диагональным преобразованием, если диагональные блоки у них совпадают. Значит, унитарная матрица может быть взята блочно-диагональной с размерностью блоков равной кратности показателей Л і \ і — 1, К») . Система (1,27) треугольная, правильная и ее показатели Ляпунова равны 0 Известно, что у треугольных систем существуют треугольные нормальные фундаментальные матрицы [23, с.87 J . Диагональные элементы этой матрицы имеют вид СІ L " некоторая произвольная постоянная. Так как показатели координат некоторого решения не больше показателя самого решения, то д я)" (і)] 0 и Так как система (1.40) треугольная, элементы матрицы A {Vl ограничены и выполнено (1.41),то по критерию Ляпунова [51,с.39J система (1,40) правильная и ее показатели равны \.Постоянное преобразование, а также преобразование Ляпунова не меняют асимптотических свойств системы, следовательно, система (1.34) тоже правильная и ее показатели. Учитывая, что возмущение Сг("к) » удовлетворяющее неравенству (1.32) не меняет показателей системы _б, 8, Зб], получаем, что показатели системы (1.20) равны \ (1=.у и система (1.20) правильная. Лемма доказана. Аналогично, как при доказательстве леммы 1.2 совместно с системой (1.44) рассмотрим систему (І.І). Снова запишем Р (t в виде (I.3I) где матрицы удовлетворяют неравенствам (1.33) и (1.32) соответственно. Рассмотрим систему Поскольку выполнено (1.32) и система (I.I) правильная, то, как показано в I б, 8, 36 J система (1.45) тоже правильная и ее показатели равны \-L (1-1, 0. Матрица А. п(тО + В Ш верхняя квазитреугольная. Рассуждая аналогично, как при доказательстве леммы 1.2, можно показать, что существует блочно-диагональное унитарное преобразование Ляпунова U (t) , приводящее систему (1.45) к треугольному виду преобразование Ляпунова, следовательно, треугольная система (1.46) правильная, поскольку правильная система (1.45), и ее показатели равны \ (і,-=ід). По критерию Ляпунова I 51, С.39І существуют точные средние значения диагональных элементов матрицы Предположение, что хотя бы для одного іеі? ,.- C-vwJ справедливо приводит к противоречию с тем, что поскольку Аналогично, предположение, что хотя бы для одного приводит к противоречию с равенством (1.47 ). Система (1.51) треугольная, матрица A("bj удовлетворяет неравенству (1.25), а для диагональных элементов справедливо равенство (1.52). Рассуждая аналогично, как при доказательстве леммы 1.2, легко показать, что система (I.5I) правильная и ее показатели равны Ч.\- t I - V - Поскольку постоянное преобразование, а также преобразование Ляпунова не меняют асимптотических свойств системы, то система (1.49) тоже правильная и ее показатели равны 2. X I , t-1,it . Матрица В-, (т) удовлетворяет условию (1.24), значит, как показано в работах [б, 8, 36 система (1.44) правильная и ее показатели 2. \ , i-\Yi . S (t) - обобщенное преобразование Ляпунова не меняющее правильности системы, следовательно, и исходная система (1.43) правильная и ее показатели д. 2 Al » t-1,п. # Лемма для К.-1?, справедлива. Доказательство. По теореме I.II существует Т "to такое, что система (1.89) постоянным. преобразованием приводима при ЬУ/\ к блочно-диагональному виду ia = над у. «.дм Поскольку собственные значения блоков матрицы К. О-ДУ равны К» X-U(i) , то по теореме I.I4 система (1.90), а, следовательно, и система (1.89) правильные и показатели этой системы. Следствие доказано Теорема I.I5. Для правильности системы (I.I) необходимо и достаточно, чтобы существовали и постоянное преобразование С » приводящее матрицу P("t) при "Ь Х к блочно диагональному виду P. ("t) такому, что будет справедливо равенство где - любые собственные значения одного и того же блока матрицы Доказательство, Необходимость. Если система (I.I) правильная, то по теореме I.II она приводима при Ь Т постоянным преобразованием к блочно-диагональному виду. По теореме 1,14 для каждого блока будем выполняться равенство (I.9I). Необходимость доказана. Достаточность. Пусть выполнено условие (I.9I) и Q ("fc ) при -fc Т имеет блочно-диагональный вид. Тогда по теореме I.I4 система (1,1) правильная. Теорема доказана. Обозначим через (= 1, ft-) собственные значения матрицы не обязательно блочно-диаго to нальная матрица. Следствие. Если система (1,1) правильная, то показатели этой системы можно найти по формуле Рассмотрим линейную дифференциальную систему (O.I) и возмущенную систему (0,2). Предположим, что Как указывалось во введении, показатели приводимых систем устойчивы при таких Q. - возмущениях. В общем же случае, показатели систем (0,1) при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности , неустойчивы даже в предположении правильности системы (0.1) (см. напр. [28-29, Зі] ). Для того, чтобы показатели систем (0.1) и (0.2) совпадали, достаточно, чтобы выполнялось неравенство (0.3).Если же система (0.1) правильная, то для совпадения показателей достаточно, что-бы X [u()] 0 [б, 8, Зб] . Настоящая глава посвящена изучению влияния т -возмущений на показатели Ляпунова, а также на другие асимптотические характеристики систем (0.1). Неустойчивость показателей правильных систем при - возмущениях Рассмотрим линейную дифференциальную систему матрица размерности п х. іг , элементами которой служат кусочно-непрерывные, ограниченные функции, ОС - вектор-столбец, а также систему где т\Ь)- кусочно-непрерывная скалярная функция, удовлетворяющая условию Устойчивы ли показатели правильной системы (2.1) при т возмущениях, если t e w Оказывается, что ответ на этот вопрос, вообще говоря, отрицателен. В \_23,с.І89] показано, что \д = 1 , Хг = 1 , где /Vv (і- 1Д) показатели системы (2.2 ). Следовательно, показатели систем (2.1) при Y - возмущениях неустойчивы. Возникает задача выделения таких классов систем (2.1), отличных от приводимых, показатели которых были бы устойчивы при f-возмущениях. Этому и посвящены 2.2 и 2.3. В общем же случае, стоит задача нахождения таких оценок для роста функции ("Ь) » которые были бы точнее оценки (0.3) и в то же время показатели системы (2.1) были бы устойчивы. Эти вопросы рассматриваются в 2.4. Асимптотические инварианты систем Лашто-Данилевского при т - возмущениях Совместно с системой (2.1) рассмотрим систему (2.2) в предположении, что матрица Pvt) функционально-коммутативная,т.е. По теореме I.I матрица Р С"Ь) представима в виде где линейно-независимые функции,a P-L (i = ) - линейно-независимые, попарно-коммутативные постоянные матрицы. По теореме 1.2 эта матрица постоянным преобразованием приводима к блочно-треугольному виду Рп \ Ь) , где каждый блок имеет единственное собственное значение. Из теоремы 1.4 следует, что нормальная фундаментальная матрица приведенной системы (1.7) и показатели системы (2.1) можно найти по формуле собственные значения блоков матрицы Первая журнальная публикация по почти приводимым системам, названным аппроксимативно подобными, принадлежит Лилло [ 93 J . Понятие почти приводимости рефлексивно и транзитивно 18, 93] . В.М.Миллионщиковым [57][ установлена несимметричность отношения почти приводимости. Следующий, более широкий класс, составляют правильные системы. Система называется правильной по Ляпунову [51, C.38J, если для нее выполнено равенство где X; (L = 1, и J - показатели Ляпунова, АШ- матрица коэффициентов этой системы, СГ л - коэффициент неправильности Ляпунова. Приведем некоторые критерии правильности. Критерий Ляпунова [51, с.39] . Для правильности треугольной системы необходимо и достаточно существование у ее диагональных коэффициентов точных интегральных средних значений. Критерий Перрона [ 9б] . Для правильности линейной системы необходимо и достаточно,чтобы показатели сопряженной системы были равны по абсолютной величине и противоположны по знаку показателям исходной. Критерий Басова [4], Богданова [б] , Гробмана [Зб]. Линейная система является правильной тогда и только тогда, когда она обобщенно приводима, т.е. об общенным преобразованием Ляпунова ч кусочно дифференцируема и преобразуется в систему Критерий Винограда [зо]. Для правильности линейной системы необходимо и достаточно существование точных показателей у решений некоторой нормальной системы Х("Ь)-[зСл№1 ... Хл(-Ц и точных нулевых показателей у синусов углов между решением Хк("Ь)и линейным пространством к-1 предыдущих решений Из приведенных критериев видно, что для определения правильности системы необходимо знать фундаментальную матрицу решений, за исключением случая треугольной системы. В последнее время выделены новые классы систем, как, например, в работах В.М.Миллионшикова [56, 60] , Н.А.Изобова Г 29J , Б.Ф.Былова \_21\, Б.П.Демидовича [з?]. Основу классификации Ляпунова составляют особенности поведения показателей систем разных классов под действием возмущений. Показатели линейной системы называют устойчивыми, если для любого 0 найдется такое "5 О » что всякий показатель X и. любой возмущенной системы удовлетворяет неравенству тЯп. Это понятие возникло из работы Перрона [96 ] , впервые установившего, что показатели могут быть неустойчивыми. Известно (К.П.Персидский [бб] ), что для устойчивости показателей линейных систем с коэффициентами-функциями слабой вариации по Персидскому достаточна интегральная разделенность характеристических чисел, т.е. показатели приводимых систем устойчивы. Показатели правильных систем, как показано в работах [28, 29, 31J , в общем случае неустойчивы. Для оценки реакции неправильных систем на изменение матрицы коэффициентов привлекаются такие характеристики, как коэффициенты неправильности. Коэффициент неправильности Од был введен ранее. Коэффициент неправильности Перрона [9б] линейной системы есть величина б п = «-x.X-u+/ Lj » где X., ... X , показатели исходной системы, а а/1 показатели сопряженной системы Коэффициент неправильности Гробмана L 36J линейной системы есть суть показатели соответственно I -го столбца фундаментальной матрицы Х(."Ь)и I -ой строки обратной ей матрицы Реализуется ІП.І на матрице Ул"Ь) , столбцы которой образуют нормальную систему решений Коэффициенты неправильности строились также Р.А.Прохоровой [70]. В.М.Миллионщиковым введено в рассмотрение асимптотическое число Все коэффициенты неправильности являются неотрицательными величинами, для них справедливы следующие достижимые неравенства [23, с. 284] и для правильности линейной системы достаточно обращения в нуль хотя бы одного из них. Показатели системы (0.2) с возмущениями совпадают с показателями системы (0.1) при ( О г L36J следовательно, и при о СОл [б, 8] . Н.А.Изобов показал [ 46] , что при ( On У исходной и возмущенной двумерных систем совпадают старшие показатели. Критерий устойчивости показателей линейных систем был получен В.М.Миллионщиковым [58j , Б.Ф.Быловым и Н.А.Йзобовым [24,25] Для устойчивости показателей линейной системы необходимо и достаточно, чтобы она некоторым ляпуновским преобразованием приводилась к блочно-треугольному видуПоказатели систем с функционально-коммутативной матрицей коэффициентов
Приводимость правильных систем Лаппо-Данилевского к блочно-диагональному виду
Асимптотические инварианты систем Лаппо-Данилевского при f -возмущениях
Построение Y -возмущений, сохраняющих правильность линейных дифференциальных систем
Похожие диссертации на Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных систем при специальных возмущениях
