Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методы построения областей притяжения 16
1. Устойчивость в целом 16
2. Методы построения областей притяжения 23
ГЛАВА 2. Устойчивость в целом нулевого решения автономной системы второго порядка 33
3. Неположительность обеих слагаемых h\{y) < О, h^{x) < 0 33
4. Положительность первого слагаемого h\{y) 46
5. Положительность второго слагаемого hA{x) 60
ГЛАВА 3. Построение области притяжения для системы автоматического регулирования 65
6. Постановка задачи 65
7. Построение области притяжения в первом случае 66
8. Построение области притяжения во втором случае 74
9. Общий случай 75
Заключение 89
Литература 91
- Методы построения областей притяжения
- Положительность первого слагаемого h\{y)
- Построение области притяжения в первом случае
- Построение области притяжения во втором случае
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию асимптотического поведения решении одной системы из двух дифференциальных уравнений
^ = hx{y)x + h2(x)y = P(xt у), ^ = fz{x) + h4{z)y. (1)
Всюду в работе предполагается, что функции, входящие в правую часть системы (1), непрерывны при всех значениях своих аргументов, /з(0) = 0, fi2(x) > 0 при всех ж, и выполнены обобщенные условия Рауза-Гурвнца:
h\(y) + hA(x) <0, Іц{у)ІІА(х) - Ь2(х)}ф) >0, хуфО, (2)
где 1ф) - ^, я ф 0.
Актуальность. В диссертационной работе рассматриваются вопросы устойчивости движения.
Проблемы устойчивости возникли впервые в механике при изучении состояния равновесия. Основы теории устойчивостп движения разработаны в конце XIX века А.М.Ляпуновым [67]. Впоследствии теория развивалась в трудах Е.А.Барбашпна [G]-[12], И.Г.Малкпна, Н.Г.Четаева и других.
Теория устойчивости движения занимается исследованием влияния возмущающих факторов на движение материальной системы. Под такими факторами понимаются силы, не учитываемые при описании движения, вследствие их малости, по сравнению с основными силами. Они обычно малы и действуют мгновенно, что сводится к малому изменению начального состояния системы, т.е. начальных координат движе--ний-и скоростей, называемых начальными возмущениями движений.
Для практики важно не только выяснить, является ли движение асимптотически устойчивым, но и определить область дополнительных начальных возмущении. Этим вопросом Ляпунов не занимался, но разработанные им методы дают возможность решать и эту задачу. Начиная с 50-х годов XX века, большое число работ было связано с оценкой области возмущения. Такие задачи рассматривались, например, в работах Н.П.Еругина [30]-[37], И.Г.Малкпна. [68], В.А.Плпсса [86] и других авторов.
В связи с новыми задачами об устойчивости нелинейных систем автоматического регулирования и в связи с проблемами стабилизации управляемых движений с 50-х годов прошлого века возрос интерес к реальным системам, в которых начальные возмущения могут оказаться большими, и их трудно или нецелесообразно заранее оценивать. Поэтому было введено определение асимптотической устойчивости в целом движении и [ні любых начальных возмущениях. Эту устойчивость иногда (чаще в зарубежной литературе) называют глобальной устойчивостью.
Современные методы исследования вопроса устойчивости в целом нулевого решения нелинейной системы второго порядка, основой которых является метод Ляпунова, были разработаны в работах Н.П.Еругина [30]-[37], И.Г.Малкпна [68], Н.Н.Красовского [54]-[57], Ю.Н.Бибикова [14], И.Г.Егорова [29], В.К.Поливенко [87] и других.
С помощью функций Ляпунова можно оценить область притяжения, т.е. многообразия всех начальных возмущений, не выходящих с течением времени за пределы заданной области. Построение этой области
является одной из центральных проблем в теории устойчивости. Особенно важное значение эта задача приобрела в связи с потребностями теории автоматического управления, которой и принадлежат наиболее важные результаты в этой области.
Ряд первых результатов, связанных с построением области асимптотической устойчивости, был получен при решении задачи об абсолютной устойчивости [1]. Первое фундаментальное исследование этой задачи для системы из двух уравнений было приведено Н.П.Ерупшым [30] в 1950 году. После того как Н.П.Еругин и Н.Н.Красовский дополнили исследование задачи об абсолютной устойчивости на плоскости, ученик Еругпна В.А.Плпсс [SG] рассмотрел оставшийся неизученным особый случаи этой задачи, когда область устойчивости оказывается ограниченной, и дал способ построения этой области; он же изучил случай трех уравнений.
Таким образом, в середине 50-х годов усилиями ряда исследователей была создана основная часть теоретического фундамента для решения задачи построения области притяжения. Были установлены: инвариантность множества всех точек границы области притяжения (Н.П.Еругин [32]), эквивалентность множества всех точек области притяжения некоторой выпрямляемой системе (Е.А.Барбашин [7]), существование во всей области асимптотической устойчивости функций Ляпунова (Е.А.Барбашин [7], Ж. Л. Масс ера [105], В.И.Зубов [42].
Наиболее полные исследования выполнил В.И.Зубов [42]-[44] при помощи созданного им метода, центральное место в котором занимает теорема о необходимых и достаточных условиях того, что заданное
открытое инвариантное множество динамической системы, расположенной в произвольном метрическом пространстве, является областью притяжения асимптотически устойчивого по Ляпунову замкнутого инвариантного множества этой системы.
Вопрос об устойчивости в целом нулевого решения системы из двух дифференциальных уравнений, исследованноп в диссертации, также был изучен И.Г.Егоровым [29] (1998). В частном случае, при hi (у) = = О, Г.С.Кречетовым [59] (1985) решен этот вопрос и описаны конфигурации областей устойчивости (когда устойчивости в целом нет), построены оценки границ этих областей. Эти же задачи были решены Г.С.Кречетовым [61, G2](1992), когда функция /^ зависит от х. Для такой системы, т.е. когда в системе (1) hi зависит от .г, Гу Чао-Хао [25] (1954) получил достаточные условия асимптотической устойчивости в целом нулевого решения.
Цель работы: исследование асимптотического поведения решений автономной системы второго порядка (1). В соответствии с выдвинутой целью решались следующие задачи исследования:
Исследование нулевого решения системы на устойчивость в целом.
Построение области притяжения состояния равновесия, когда устойчивости в целом нет.
Метод исследования. Основным методом исследования является синтез второго метода Ляпунова с методами качественной теории дифференциальных уравнений.
Научная новизна работы. Полностью решены задачи 1 и 2. rio-
лученные результаты задачи 1 усиливают результаты работы [29], что подтверждается приведенными в работе примерами.
Задача построения областей притяжения данной системы ранее не решались. Полученные результаты задачи 2 являются новым [і.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации могут найти применение в многочисленных проблемах фпзпкп и механики, связанных с устойчивостью движения, и в теории автоматического регулирования, которые, в свою очередь, имеют большую практическую ценность.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и неоднократно обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Института математики и информатики Якутского государственного университета, на научном семинаре '*Дифференциальные уравнения с частными производными" (руководитель профессор И.Е.Егоров) научно-исследовательского института математики при ЯГУ; докладывались на XL международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс1' (Новосибирск, апрель 2002), на республиканской научно-практической конференции "Математика. Информатика. Образование1', посвященный 25-летию математического факультета ЯГУ (Якутск, ноябрь 2002), на первых аспирантских чтениях (Якутск, февраль 2003), на Лаврен-тьевекпх чтениях Республики Саха (Якутск, апрель 2003), на семинаре ''Некласспческне уравнения математической физики" (руководитель профессор А.И.Кожанов) Института математики СО РАН (Новосибирск, октябрь 2003), на семинаре профессора Ю.Н.Бибикова (Санкт-
Петербург, апрель 2004).
Работа поддержана Федеральной целевой программой "Интеграция науки и высшего образования России за 2003 г." (№ з3404/200о) стажировкой в Институт математики СО РАН (Новосибирск), а таюке грантом для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов ВУЗ-ов МО РФ (№ А03-2.8-541), с помощью которого в 2004 г. осуществлена стажировка на математико-механпческом факультете СПбГУ (Санкт-Петербург).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в тезисах трех докладов [45, 46, 47] и четырех статьях [26, 27, 28, 48].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем работы составляет 103 страницы, в том числе 9 рисунков, список литературы включает ПО наименований.
Первая глава носит вводный характер. В 1 даются основные определения и теоремы. В 2 приведен краткий обзор литературы.
Возможны три случая:
hi(y) < 0 при всех у, Ji4(x) < 0 при всех х, (3)
d = sup ?ц(у) > 0, (4)
сл = sup —)-{ > 0. (5)
ІІ2[Х)
Для каждого из этих случаев во второй главе получены достаточные условия асимптотической устойчивости в целом нулевого решения системы (1). Указаны случаи, когда эти условия становятся необходимыми. Тем самым во второй главе получены условия, при выполне-
ніш которых областью притяжения состояния равновесия системы (1) является вся плоскость Ш . Приведем эти результаты.
В 3 для случая (3) доказаны следующие теоремы.
Теорема 1. Пусть выполнены условия Рауза-Гурвпца (2). Тогда в случае (3) для асимптотической устойчивости в целом решения х = = у = 0 системы (1) достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:
= +со; (6)
~dx
2) уравнение Р[х,у) — 0 определяет единственную кривую L, которая является графиком некоторой непрерывной функции, проходящим через начало координат, вдоль которой
sup у — +оо, inf у — —сю. (7)
Для доказательства применяются метод функции Ляпунова и некоторые геометрические рассуждения, связанные с доказательством устойчивости в целом множеств, на которых функция Ляпунова тождественно равна нулю.
Введем обозначения:
ф) = I j-dx, Hi(x) = ki(v(x)), х Є R. о
Теорема 2. Пусть выполнены условия Рауза-Гурвица (2) и существуют числа г > О, d > 0, такие, что
r{HxhA - hM > 2(/ц/ц - Ыз) (8)
при j.r| > d. Тогда в случае (3) для асимптотической устойчивости в целом решения х — у = 0 системы (1) необходимо, чтобы выполнялось одно из условий (6) и (7).
В 4 для случая (4) доказаны следующие теоремы. Теорема 3. Пусть выполнены условия (2) и
-ff-± + / -Idx > -Ш-1 + / -r±dx4 X2 > xu j/R. 9
M-t;]) J /12 «2(^2) 7 "2
Тогда в случае (4) для асимптотической устойчивости в целом решения :с — у — 0 системы (1) достаточно, чтобы хотя бы при \у\ > S > О выполнялось условие
lim sign х [ '-^ + і —dx\ = -00. (10)
Теорема 4. Пусть выполнены условия (2), (9) и существуют числа г > 0, d > 0 такие, что
при |;г| > сЛ Тогда в случае (4) для асимптотической устойчивости в целом решения х — у — 0 системы (1) достаточно, чтобы выполнялось условие
/ А»
Hih4-h2h3
г2 xdx = +оо. (12)
Теорема 5. Пусть выполнены условия (2), (9),
fhKi signx / —ах = —оо,
J «2
и существуют числа г > 0, d > О такие, что неравенство (11) имеет место при \у\ > d. Тогда в случае С\ > 0 для асимптотической устойчивости в целом решения х = у = 0 системы (1) достаточно, чтобы выполнялось условие (12).
Теорема 6. Пусть выполнены условия (2) и существуют числа г > О, (I > 0 такие, что при |:r| > d выполняется условие (8). Тогда в случае (4) для асимптотической устойчивости в целом решения х = = у = 0 системы (1) необходимо, чтобы выполнялось одно из условий (10) и (12).
В 5 доказаны следующие теоремы.
При С4 > 0 рассмотрен более частный случай
!ц(х) > 0. (13)
Теорема 7. Пусть выполнены условия (2) и (9). Тогда в случае (13) для асимптотической устойчивости в целом решения = 1/ = 0 системы (1) достаточно, чтобы хотя бы при \у\ > 6 > 0 выполнялось условие (10).
Теорема 8. Пусть выполнены условия (2), (9) и существуют числа г > 0, d > 0 такие, что при |х| > (/ выполняется условие (11). Тогда в случае (13) для асимптотической устойчивости в целом решения х = у — 0 системы (1) достаточно, чтобы выполнялось условие (12).
Теорема 9. Пусть выполнены условия (2) и существуют числа г > 0, d > 0 такие, что при |х'| > d выполняется условие (8). Тогда в случае (13) для асимптотической устойчивости в целом решения х = у = 0 системы (1) необходимо, чтобы выполнялось одно из условий (10) и (12).
Третья глава посвящена построению области притяжения состояния равновесия системы (1) в первом случае.
В 6 дается постановка задачи.
Предположим, что нарушаются оба условия (6) и (7) теоремы. Тогда асимптотической устойчивости в целом не будет, и возникает проблема построения области притяжения состояния равновесия системы (1). Конфигурация этой области существенно зависит от того, каким образом нарушаются условия (6) и (7). Возможны три случая нарушения этих условий:
I. Условия (6) и (7) выполняются при х < 0 и не выполняются при х > О, т.е.
+00 +СО
(14)
(15) (16)
h2(x)
— oa
= +oo,
x dx -f-
J wa(fc+ J і
sup у < +oo, X > 0,
inf у = —со, X < 0.
(17)
П. Условия (G) и (7) выполняются при x > 0 и не выполняются при х < 0, т.е.
+оо
/Ї
— со
/
}ц(х) h2{x)
h4[x)
14*) I
/
—oo
xdx +
= +oo,
(18)
(19) (20)
i{x)
/із(ж)|
xdx +
hz{x)
sup у = +CO, x > 0,
+CO
ті у < -оо, .г: <0. (21)
III. Условия (6) и (7) не выполняются как при х < 0, так и при х > 0, т.е.
±00 ±оо
J h2{x) J /і2(.г)
о о
\у\ < +оо, х Ш. (23)
Далее в каждом из случаев строится область притяжения состояния равновесия. Вид этих областей зависит от свойств функций, входящих в правую часть системы уравнений.
В 7 в случае I изучается поведение сепаратрисной кривой, ограничивающей область притяжения состояния равновесия, в I координатной четверти и кривой, обладающей некоторым свойством, в IV четверти. Справедлива следующая теорема:
Теорема 10. Предположим, что выполняются вес условия теоремы 2, за исключением (6), (7), которые нарушаются при х —> +оо. Тогда для дифференциального уравнения
dy _ Пф)х + hA(x)y dx hi(y)x + h2{x)y'
1) существует сепаратрнсное решение у ~ у*{х), лежащее в первой
четвертії выше графика функции
"2
и такое, что lim yt(x) = const > Л"і;
Х-Ї+ОО
2) существует решение у = г/7(ж), лежащее в четвертой четверти, и
такое, что lim г/7/(ж) = — 2А'з.
Далее из условия (15) следует, что возможны два подслучая
—оо
[ M^*fc = +оо; (26)
—оо
f J*5
J h2{x) v
Теорема 11. Если выполнены условия теоремы 10 и условие (26), а таюке траектория у = у\(х) не пересекает график функцгш (25), то решение (24) стремится при t —> +оо к (0,0) тогда и только тогда, когда {х0,уо} Є C?i - {(х,у) : -со < л; < +оо, у < уі{х)}.
Теорема 12. Если выполнены условия теоремы 10 и условие (26), а также траектория у — У]{х) пересекает график функции (25), то решение (24) стремится при t —> +оо к (0,0) тогда и только тогда, когда (.Г0.ї/о) Є Січ где ( ~ область, ограниченная траекторией
1/ = «Л<я)-
Теорема 13. Если выполнены условия теоремы 10, условие (27) и
|т/ю| < у/2К%, то решение (24) стремится при t —> +00 к (0,0) тогда и только тогда, когда (о>Уо) 6 Сз, где G3 - область, лежащая ниже траектории у = у\(х).
В 8 рассмотрен случаи II, когда выполняются условия (18) - (21). Относительно свойств траектории в левой полуплоскости (.і; < 0) справедливы утверждения, аналогичные теореме 10. Картина расположения областей устойчивости G\, G\, G3 отличается от Gi, G3, G3 соответственно лишь поворотом на 180 вокруг начала координат.
Справедливы утверждения, аналогичные теоремам 11-13, при замене переменных х — —х и у — —у.
В 9 рассмотрен случай III, когда выполняются условия (22), (23).
Теорема 14. Предположим, что выполняются все условия теоремы 2, за исключением (б), (7). Тогда для дифференциального уравнения (24) существуют
1) сепаратрнсное решение у = у/"(.г), Уі~(0) = ую > 0 :
Iim у?(х) = const > Л'і;
х—Я-оо
2) решение у = уї(х), уї(0) — J/20 > 0 : lim у(х) = 2Л'3;
г—>—оо
3) сепаратрнсное решение у = Уз{х), !/з"(0) — */зо < 0 :
lim yt(x) — const < ~Л'і;
.г—*+оо
4) решение г/ = уї{х), j/7 (0) = у40 < 0 : lim yf(x) = -2Л'3.
В зависимости от расположения точек ую, у-2о, ?/зо, 2/40 на оси ординат получаем различные конфигурации областей притяжения системы (1) для случая III.
Методы построения областей притяжения
Пусть дана система дифференциальных уравнении (1), имеющая асимптотически устойчивое по Ляпунову нулевое решение х 0 (х - вектор). Точки XQ, окружающие начало координат, и такие, что решения системы (1), проходящие через них в момент t = 0, притягиваются началом координат образуют область А асимптотической устойчивости или область притяжения нулевого решения системы (1). Построение этой области является одной из центральных проблем в теории устойчивости, основанной А.М.Ляпуновым [67]. Особенно важное значение эта задача приобрела в связи с потребностями теории автоматического управле нпя, которой и принадлежат наиболее важные приложения методов исследования этой проблемы [37]. Исторически первым и до настоящего времени основным способом оценки области А является метод, примененный А.М.Ляпуновым при доказательстве теоремы об устойчивости с помощью некоторых функции (функций Ляпунова). Как известно, в прямом, пли втором, методе Ляпунова для исследования свойств решений систем дифференциальных уравнений используются функции Ляпунова, поверхности уровней которых позволяют судить о характере этих решений. Обычно в качестве таких функций выбираются знакоопределенные непрерывные функции, имеющие знакопостоянные производные по f в силу заданных уравнений, причем знак производной противоположен знаку сапой функции. Геометрический смысл функций Ляпунова состоит в том, что все поверхности уровней этих функций в некоторой окрестности (не обязательно малой) начала координат в силу знакоопределенности и непрерывности будут замкнуты относительно начала координат, а траектории решений в этой окрестности будут пересекать эти поверхности с возрастанием t в одну сторону (внутрь) в силу знакопостоян-ства их производных.
Дадим краткий обзор результатов, связанных с задачей построения области асимптотической устойчивости. Нелокальные проблемы теории устойчивости не сразу стали объектом исследований последователей А.М.Ляпунова. Школа Н.Г.Четаева в Казани, возродившая идеи и методы А.М.Ляпунова в 30-х годах и впоследствии обобщившая к углубившая их [37, 90], вплотную не занималась вопросами построе ння области притяжения или ее оценками; тем не менее нужно отметить, что именно Н.Г.Четаевьш была указана возможность решения этих вопросов в рамках методов Ляпунова. Здесь мы имеем в виду известное замечание Четаева [98] о том, что метод доказательства теоремы Ляпунова об устойчивости уже содержит в себе возможность численной оценки области, из которой не выходят решения рассматриваемых дифференциальных уравнений. В дальнейшем это замечание оказало значительное влияние на формирование той точки зрения, что методы Ляпунова являются не только мощным теоретическим аппаратом, но и эффективным практическим инструментом, позволяющим получать численные результаты. Ряд первых результатов, связанных с построением области асимптотической устойчивости, был получен при решении задачи об абсолютной устойчивости [1]. Первое фундаментальное исследование этой задачи для системы из двух уравнений было приведено Н.П.Еругиньш в 1950 г. в статье [30]. По существу, теория устойчивости "в большом" в ее современном виде начинается с этой работы, а предложенные в ней методы исследования нелокальных проблем имели значение гораздо более широкое, чем задача, в которой они применялись. Таким образом, возникло "качественное" направление в прямом методе исследования устойчивости в целом нелинейных систем. В дальнейшем идеи п методы, изложенные в [30], были развиты в последующих работах Еругина [31]-[35] и его учеников по Ленинградскому университету [69]. Следует заметить, что в 50-е годы усилиями большой группы ленинградских математиков, объединенных в обще городской математический семинар, руководимый Н.П.Еругиным (который можно назвать ленинградской школой в теории устойчивости), были решены многие вопросы теории, в частности вопросы, связанные с оценкой н построением области притяжения [37, G9].
После того как Н.П.Еругпн и Н.Н.Красовскнп дополнили исследование задачи об абсолютной устойчивости на плоскости, выполненное в [30], ученик Еру-гина В.А.Плисе рассмотрел оставшийся неизученным особый случай этой задачи, когда область асимптотической устойчивости оказывается ограниченной, и дал способ построения этой области; он же изучил случай трех уравнений. Достаточно полные обзоры исследований по задаче абсолютной устойчивости имеются в [37, G9, 78]. Несколько иную постановку имеет задача об асимптотической устойчивости в целом. Подробный анализ свойств функции Ляпунова, позволяющий обнаруживать асимптотическую устойчивость в целом для системы из двух уравнений, проделал Н.П.Еругпн [33], необходимые и достаточные условия устойчивости в целом в общем случае дали Е.А.Барбашин. Н.Н.Красовский и независимо от них А.П.Тузов с помощью функций Ляпунова. Для качественного метода Еругнна характерно объединение метода функций Ляпунова и качественных методов теории дифференциальных уравнений, например использование дополнительной качественной информации того или иного типа. Этот метод получил широкое применение в работах и других авторов. Подробный обзор этих работ содержится в [9, 34, 35]. Здесь укажем некоторые работы [14, 38, 39, 54, 55, 56, 68, 107], имеющие непосредственное отношение к рассматриваемым
Положительность первого слагаемого h\{y)
Теорема 4.1. Пусть выполнены условия Рауза-Гурвица (2) и о 0 Тогда в случае су 0 для асимптотической устойчивости в целом решения х у — 0 системы (1) достаточно, чтобы выполнялось условие X с\х Г h4 о асимптотической устойчивости в целом решения х — у — 0 системы (1) необходимо, чтобы выполнялось условие Замечание. Теорема 4.1 остается справедливой и тогда, когда неравенство (29) будет нестрогим при некоторых дискретных значениях У Пример 4.1. Рассмотрим систему У этой системы hi(y) = 1/(1 + у2)1 h = 1, /13 = —1, Л4 — — 1 с1 — 1Э Cj = 0. ПОЭТОМУ C\fl4 — Л-2 3 = 0 с1 1 — -2 3 = 1» 4-ї/2 14-ї/2 Функция 7 при любом фиксированном у монотонно убывает по .г, ибо ее производная по л: равна нулю при у — 0 и отрицательна при у ф 0. Следовательно, условия (2), (29) и (31) выполнены, а условие (30) - нет. Отсюда следует, что теоремы 4.1 п 4.2 оставляют открытым вопрос о том, является ли решение х = у = 0 системы (32) асимптотически устойчивым в целом или нет. п. 4.2. В этом пункте получены новые достаточные условия асимптотической устойчивости в целом решения х — у = 0 системы (1), усиливающие в некоторых случаях теоремы 4.1 и 4.2. Теорема 4.3. Пусть выполнены условия (2), (29). Тогда в случае Сі 0 для асимптотической устойчивости в целом решения х = у = О системы (1) достаточно, чтобы хотя бы при \у\ 6 О выполнялось условие Доказательство. Введем в рассмотрение знакоположительную по всей плоскости IR2 функцию Производную ее в силу системы (4) можно представить в виде
Поэтому в четвертой (во второй) четверти любая положительная по-лутраекторпя f+{p,t) системы (4) не выходит из полосы вида где С - некоторая положительная (отрицательная) постоянная. Вследствие условия (29) функция убывает по х при любом фиксированном у и обращается в нуль при х = 0. оэтому (При у = 0 это выражение может обратиться в нуль (см. замечание)). Так как с\ 0, то существует г/о Ф 0 такое, что /іі (і/о) 0. Поэтому вследствие (33) Следовательно, вдоль полосы (36) в четвертой четверти ті у —со (во второй четверти sup у — +оо). Отсюда в силу условия (33) следует,что в четвертой (во второй) четверти внутри полосы вида (36) Из дуг линий уровня функции (34) и отрезков горизонтальных и вертикальных прямых можно построить связную кривую, которая раскручивается в виде спирали по часовой стрелке и в силу (35), (40) и (41) пересекается траекториями (4) в сторону начала координат. Допустим, что существует положительная полутраектория f+(p,t) системы (4), уходящая при t — -foo в бесконечность. Она может уходить в бесконечность также в виде спирали, раскручивающейся по часовой стрелке. Поэтому /+(р, t) пересекает положительную полуось ординат бесконечное число раз. Пусть рі(0, у і), Р2(0,ї/г) Две последовательные по времени точки пересечения этой полуоси полутраекторией f+(p,t). Допустим, что г/2 Ці- Вычислим криволинейный интеграл і где / - замкнутый контур р і шргРь образованный витком p\tnp2 положительной полутраскторпп f+(p,t) и отрезком р-їрі оси ординат, и проходимый против часовой стрелки. Так как -II Таким образом, получили, что / 0. Но это противоречит условию (43), т.е. предположение уч у\ приводит к противоречию. Следовательно, у-2 у\. При дальнейшем возрастании времени і полу-траекторпя f+{pj) не выходит из мешка Бендиксона. ограниченного контуром /. В самом деле, если бы f+{p, t) выходила пз мешка Бендиксона, то вдоль петли f+{p,t) криволинейный интеграл (42) равнялся бы нулю. С другой стороны, в силу условия (29) этот интеграл должен быть отрицательным. Значит, все положительные полутраектории (1) ограничены. Пока лесы, что все траектории (4) при неограниченном возрастании времснп примыкают к единственной особой точке системы - началу координат. Пусть р - произвольная точка фазовой плоскости 1R2, а f(p. t) - траектория, проходящая при t — 0 через эту точку.
Предположим сначала, что вдоль /+ (р, t) полярный угол неограниченно убывает. Обозначим через {рк}, к Є N, последовательность точек пересечения f+[v,t) с положительной полуосью ординат. Вследствие / полу траектория / (р, t), как показано выше, закручивается в виде спирали по часовой стрелке. Поэтому на положительной полуоси ординат точки pf. расположены сверху вниз монотонно и потому имеют предельную точку q. Ясно, что q является ш-предельной точкой траектории Пусть урк, yq - ординаты точек р и q соответственно. Тогда УРк Уц О» так как Уд = infyPfc, к N. Допустим, что yq 0, т.е. q не совпадает с началом координат. Известно [б], что среди траекторий, проходящих через (/, найдется траектория f(q,t), являющаяся w-предельной для f{p,t). Вследствие / 0 /+( 7, t) также закручивается в виде спирали по часовой стрелке. Поэтому если q\ - следующая после q точка пересечения f+(q,t) с положительной полуосью ординат, то у1{1 yq. Отсюда следует, что f+(p,t) также пересекает положительную полуось ординат в точке, лежащей ниже q. А это противоречит доказанному выше неравенству уРк j/g, к Є N. Полученное противоречие показывает, что q совпадает с началом координат. Пусть теперь полярный угол вдоль f+(p,t) ограничен. Т.к. полуось ординат пересекается траекториями (4) только в направлении по часовой стрелке, f+(p,t) при достаточно большом t попадает в одну из координатных полуплоскостей х 0 или х 0 и в дальнейшем остается там. Из свойств линий уровня функции и отрезков прямых х = const, у = const, заключенных в соответствующих секторах, следует, что и в этом случае f+{p,t) при t — +оо примыкает к началу координат. Покажем, что состояние равновесия х — у 0 системы (4) устой чи
Построение области притяжения в первом случае
В случае I изучается поведение сепаратрпеной кривой, ограничивающей область притяжения состояния равновесия, в I координатной четверти п кривой, обладающей некоторым свойством, в IV четверти. Справедлива следующая теорема: Теорема 7.1. Предположим, что выполняются все условия теоремы 3.2, за исключением (7), (8), которые нарушаются при х —t +со. Тогда для дифференциального уравнения (74) 1) существует сепаратрисное решение у = уJ1"(л;), лежащее в первой четверти выше графика функции и такое, что lim yt{x) = const Л і; 2) существует решение Ї/ = у7(х), лежащее в четвертой четверти, и такое, что lim у7(х) = -21(%. Доказательство 1). Из условий (G4) и (66) следует, что существуют положительные числа К\, К-2 п Л з такие, что выполнены условия (19), (20) Тогда существуют траектории, не примыкающие при t — +оо к началу координат. Покажем это. Введем в рассмотрение функцию (21) Рассмотрим линию уровня функции (21). Вследствие (23) она незамкнута и состоит из двух ветвей, дуга одной из которых содержится в і, где dV /dr 0. Поэтому в Di кривая (7G) пересекается траекториями (4) в сторону возрастания функции (21). Кроме того, в D\ в дальнейшем ее не покидают. Следовательно, решение .с = у = 0 системы (4) не является асимптотически устойчивым в целом. Так как преобразование (3) является допустимой заменой времени, то и решение х = у = 0 системы (1) не является асимптотически устойчивым в целом. Таким образом в первой четверти существуют положительные полутраектории уравнения (74), вдоль которых lim х = +оо. Пусть Е — {у} - множество точек (0,уо) Ita положительном оси ординат, через которые проходят эти положительные полутраекторнп. Состояние равновесия системы асимптотически устойчиво по Ляпунову, поэтому множество
Е ограничено снизу, а это означает, что оно имеет точную нижнюю грань Обозначим через у — yf{x) положительную полутраекторпю, выходящую из точки (0, ую) - Вдоль этой траектории Траектория у = yf{x) лежит выше графика функции (75). Покажем это. Имеем, что Поэтому как только траектория у = Уі(х) уравнения (74) пересечет график функции (75), то будет убывать по х, что против(%. Доказательство 1). Из условий (G4) и (66) следует, что существуют положительные числа К\, К-2 п Л з такие, что выполнены условия (19), (20) Тогда существуют траектории, не примыкающие при t — +оо к началу координат. Покажем это. Введем в рассмотрение функцию (21) Рассмотрим линию уровня функции (21). Вследствие (23) она незамкнута и состоит из двух ветвей, дуга одной из которых содержится в і, где dV /dr 0. Поэтому в Di кривая (7G) пересекается траекториями (4) в сторону возрастания функции (21). Кроме того, в D\ в дальнейшем ее не покидают. Следовательно, решение .с = у = 0 системы (4) не является асимптотически устойчивым в целом. Так как преобразование (3) является допустимой заменой времени, то и решение х = у = 0 системы (1) не является асимптотически устойчивым в целом. Таким образом в первой четверти существуют положительные полутраектории уравнения (74), вдоль которых lim х = +оо. Пусть Е — {у} - множество точек (0,уо) Ita положительном оси оречит свой н любое решение у = у(х) уравнения (74) с начальным значением J/(0), удовлет(%. Доказательство 1). Из условий (G4) и (66) следует, что существуют положительные числа К\, К-2 п Л з такие, что выполнены условия (19), (20) Тогда существуют траектории, не примыкающие при t — +оо к началу координат. Покажем это. Введем в рассмотрение функцию (21) Рассмотрим линию уровня функции (21). Вследствие (23) она незамкнута и состоит из двух ветвей, дуга одной из которых содержится в і, где dV /dr 0. Поэтому в Di кривая (7G) пересекается траекториями (4) в сторону возрастания функции (21). Кроме того, в D\ в дальнейшем ее не покидают. Следовательно, решение .с = у = 0 системы (4) не является асимптотически устойчивым в целом. Так как преобразование (3) является допустимой заменой времени, то и решение х = у = 0 системы (1) не является асимптотически устойчивым в целом. Таким образом в первой четверти существуют положительные полутраектории уравнения (74), вдоль которых lim х = +оо. Пусть Е — {у} - множество точек (0,уо) Ita положительном оси воряющее неравенствам 0 1/(0) t/ш, пересекает график функции (75), т.е. у — yf{x) является сепаратрнсноп. 2) Рассмотрим функцию (15)
Построение области притяжения во втором случае
Теорема 9.1. Предположим, что выполняются вес условия теоремы 3.2, за исключением (7), (8). Тогда для дифференциального уравнения (74) существуют 1) еспаратрпеное решение у = yf[x), ytity г/ю 0 : Hm yt{x) = const А і; с—н-со 2) решение 2/ = (ж), У2 (0) = у2о 0 : Urn т/7 (х) = 2Л"з; Ї- — со 3) еспаратрпеное решение у = у${х), yf(0) = узо 0 : Hm yt( ) = const — Л і Х-І- + ОС 3+( ) = 4) решение у = уГ(х), УЇІ) = Z/40 0 : lim y4 (.r) = -2Л 3. 1), 2) доказаны в теореме 7.1, 3) и 4) доказываются аналогично случаям 1), 2) при замене х = —х, у — —у. Логически возможны 9 случаев взаимного расположения точек ую, 2/20, У ЗО: У40 на осп ординат: 9-1) у10 = 7/20, Ї/30 = У40; 9-2) ую = у-20, 3/30 п.9.2. Рассмотрим случай 9.1). При данных условиях полутраек-торпн у = yf(x) и у = Ї/2 (.Ї) образуют траекторию у = yt{x)i л полу-траектории у = Уз (-і ) и У = У4ІХ) траекторию у = УІ(Х). Обозначим. через G$ область (рис. 4) Теорома 9.2. Если выполнены условия теоремы 9.1 и 9.1), то решение (74) стремится при t — +00 к (0,0) тогда и только тогда, когда Ы-Уо) Є G.i Доказательство. Так как область GA ограничена траекториями, обеими ветвями уходящими в бесконечность, то решение (x(t),y(t)) системы (1) не может стремиться к началу координат при t — -f-oo, если О :0ії/о) Є R3\G4. Если же (а?о,Уо) Є G , то используя рассуждения, приведенные в доказательстве теоремы 7.2, убеждаемся, что (x(t),y(t)) — -4 (0,0) при f — +00. Теорема доказана. п.9.3. В случае 9.2) из точки (0, узо) выпустим отрицательную полутраекторию у — у (х). При убывании t возникает альтернатива: а) отрицательная полутраектория у — у${х) при t — —00 уходит в бесконечность, так, что x(t) — +00, lim у (і) = сі, где у.] о С( 0; — —OQ б) отрицательная полутраекторпя у = т/ (.іг) при f —» —00 уходит в бесконечность, так, что x(t) —» +00, lim у (і) = С2, где 0 с2 К\\ в) полутраектория у = Уз (х) ПРИ описывает дугу, лежащую в правой полуплоскости [х 0), и пересекает положительную полуось ординат в некоторой точке. Полутраскторгш у — у і{х) и у У {х) образуют траекторию у = = уі(.т), а полутраекторпи у у$(х) и у = у {х) — траекторию у = В случае а) (б)) обозначим через G$ (Go) область (рис. 5, G) G5(G6) = {( У) : х + У АХ) У Уііх)} Область ?5 (@б) обладает темп же свойствами и конфигурацией, что и G 4, за исключением того, что для нее lim У2[х) = Сі, где у,\$ — +0О сі 0 ( lira y-i{x) — с2, где 0 с\ co обеими ветвями уходящими в бесконечность, то решение (x(t),y(t)) системы (1) не может стремиться к началу координат при t — -f-oo, если О :0ії/о) Є R3\G4. Если же (а?о,Уо) Є G , то используя рассуждения, приведенные в доказательстве теоремы 7.2, убеждаемся, что (x(t),y(t)) — -4 (0,0) при f — +00. Теорема доказана. п.9.3. В случае 9.2) из точки (0, узо) выпустим отрицательную полутраекторию у — у (х). При убывании t возникает альтернатива: а) отрицательная полутраектория у — у${х) при t — —00 уходит в бесконечность, так, что x(t) — +00, lim у (і) = сі, где у.] о С( 0; — —OQ б) отрицательная полутраекторпя у = т/ (.іг) при f —» —00 уходит в бесконечность, так, что x(t) —» +00, lim у (і) = С2, где 0 с2 К\\ в) полутраектория у = Уз (х) ПРИ описывает дугу, лежащую в правой полуплоскости [х 0), и пересекает положительную полуось ординат в некоторой точке.
Полутраскторгш у — у і{х) и у У {х) образуют траекторию у = = уі(.т), а полутраекторпи у у$(х) и у = у {х) — траекторию у = В случае а) (б)) обозначим через G$ (Go) область (рис. 5, G) G5(G6) = {( У) : х + У АХ) У Уііх)} Область ?5 (@б) обладает темп же свойствами и конфигурацией, что и G 4, за исключением того, что для нее lim У2[х) = Сі, где у,\$ — +0О сі 0 ( lira y-i{x) — с2, где 0 с\ const Л і), тогда как для G\ lim у-г[х) = — 2А"з. Поэтому аналогично показывается, что область Gr (Go) в случае 9.2 а) (б)) является областью притяжения состояния равновесия системы (1). Обращаясь к случаю в), заметим, что при дальнейшем убывании t снова возникают альтернативы а), б) и в), но в левой полуплоскости: либо x(t) —» —оо при t — —оо, a y(t) асимптотически стремится к прямой у = const 0, либо - к прямой у = const 0, либо полу-траекторпя у — у${х) опишет дугу, лежащую в левой полуплоскости, и пересечет отрицательную полуось ординат в точке (0,у ). Таким образом, у = Уз (х) опишет вокруг начала координат виток спирали. Функция (9) монотонно убывает вдоль любого решения системы (1), поэтому, рассматривая ее поведение вдоль траектории у = у (. ;), найдем, что у 2 IJIQ. Но это невозможно, nst Л і), тогда как для G\ lim у-г[х) = — 2А"з. Поэтому аналогично показывается, что область Gr (Go) в случае 9.2 а) (б)) является областью притяжения состояния равновесия системы (1). Обращаясь к случаю в), заметим, что при дальнейшем убывании t снова возникают альтернативы а), б) и в), но в левой полуплоскости: либо x(t) —» —оо при t — —оо, a y(t) асимптотически стремится к прямой у = const 0, либо - к прямой у = const 0, либо полу-траекторпя у — у${х) опишет дугу, лежащую в левой полуплоскости, и пересечет отрицательную полуось ординат в точке (0,у ). Таким образом, у = Уз (х) опишет вокруг начала координат виток спирали. Функция (9) монотонно убывает вдоль любого решения системы (1), поэтому, рассматривая ее поведение вдоль траектории у = у (. ;), найдем, что у 2 IJIQ. Но это невозможно, т.к. \у \ узо- Следовательно, третья альтернатива не имеет места, и, следовательно, реализуются первая и вторая. Пусть G-j (Gg) — область, содержащая начало координат и ограниченная траекторией у = У2(х). Gj — область, которая обладает темп лее свойствами и конфигурацией, что и область G\, Поэтому рассмотрим область G% (рис. 7). Нетрудно показать, что G$ в случае 9 .2 в) является областью притяжения состояния равновесия системы (1). л.9.4. Рассмотрим случай 9.3). Продолжаем полутраекторпю у = = у${х) в сторону убывания t. Тогда полутраекторпя у — у%(х) пройдет ниже полутраекторип у = :іД{х) и будет асимптотически стре-мится к прямой у = const — 2Л з. Полутраекторип у — Уі (х) и У — У (-т) образуют траекторию у = у\(х), а полутраекторип у — у${х) " У — УА(Х) —" траекторию у = У2{х). Рассмотрим область
