Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Полулинейное эллиптическое уравнение в цилиндрической области 9
1. Вспомогательные утверждения 9
2. Асимптотика положительных решений 22
3. Знакопеременные решения 32
4. Условие Дирихле 33
5, Уравнение вида ии + Ди + и — иъ = 0 34
ГЛАВА 2. Полулинейное уравнение в цилиндрической области с растущим коэффициентом 41
ГЛАВА 3. Полулинейное эллиптическое уравнение во внешности компакта 64
Список литературы
- Вспомогательные утверждения
- Асимптотика положительных решений
- Знакопеременные решения
- Полулинейное эллиптическое уравнение во внешности компакта
Введение к работе
Проблема исследования поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными при больших значениях независимой переменной является весьма важной и интересной как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения приложений в математической физике.
Работа посвящена изучению решений уравнения (Щі W ^ь?) + 2>{х) 1й? - »М1»МГМ*) = С-1) в разного рода неограниченных областях 2, где а^(х), а^(х), а(х) — ограниченные измеримые функции в Q, о" = const > 1, Ai|*|2 < 5>,-(*)6fc < Л2|Є|2,
И", ||2 = E"=i ?> Ai = const > О, Л2 = const > 0, а(х) > 0, х П.
Уравнения вида (0.1) встречаются в различных задачах математической физики и им посвящено много работ например Brezis [18, 19], Keller [25], Osserman [30], Veron [33-35]. Наиболее полно исследован случай a,ij(x) = S^, то есть старшая часть — оператор Лапласа, а* (ж) = 0, а(х) = const.
Одним из важнейших вопросов теории дифференциальных уравнений является вопрос об асимптотическом поведении их решений в окрестности бесконечно удаленной точки областей различной структуры. В частности, много внимания уделяется изучению поведения решений в цилиндрических областях с разного рода граничными условиями (например, Кондратьев, Олей-ник [27]; Berestycki, Nirenberg [17]; Kondratiev, Veron [28]). Такие задачи возникают в химической физике, в теории горения [5].
Заметим, что свойства решений уравнения (0.1) существенно отличаются от свойств решений линейных уравнений. Например, если и(х) — решение (0.1) в Q = {х : \х\ < 1}, то (it(0)| < С, где С от и не зависит. Это невозможно в линейном случае (<т — 1). Доказательство такого неравенства имеется в работах [25] (при Qij{x) = <5у, щ(х) = 0), [10] (при щ{х) = 0) при йі(х) ф 0 в настоящей работе.
Исследование уравнения (0.1) является содержательным и в случае п = 1. Такие уравнения известны как уравнения Эмдена-Фаулера. Уравнение у ± ta\y\~ly = 0 возникло в связи с астрофизическими исследованиями Эмдена [20,21] и исследовалось затем многими авторами [22-24]. Оно так же встречается в ядерной физике при изучении поведения электронов в тяжелом атоме. Наиболее полное изложение современного состояния теории обыкновенных уравнений типа Эмдена-Фаулера имеется в работе Сансоне Дж. [31], в монографиях Беллмана Р. [2] и Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А. [6].
Работа состоит из трех глав. В главе 1 рассматриваются решения уравнения *« + т (%* № |^) + Ё а' <х) ^ - а^ІиГ'и = 0 (0.2) !,J=1 ^ ^' 1 = 1 в области Q = G х 1R+ (G С Ия - ограниченная область, 0G = Г - Липшицев ая поверхность, 1R+ = (0,+оо)), удовлетворяющие условию
Я " г) я" ~ ^(^я- COS(n'^) = j х Є ОД * е ^+» С0'3) l,J=l ' где п - единичный вектор внешней нормали к dG х IR+. Везде в дальнейшем, если не оговорено иное, предполагается, что все коэффициенты уравнения (0.2) Щу{х), щ(х), а(х) — измеримые, ограниченные функции в G, Ч? = ajii а{х) ^ 0) /с?(х) dx > 0, и — const > 1, vfi\\if < ^2 aij(x)&i ^ т2І^|2, х Є G, f Є IRn, mi, m2 = const > 0.
В качестве решения уравнения (0.2), удовлетворяющего условию (0.3) понимается обобщенное решение. Приведем его определение.
Будем обозначать Па)Ь = С?х (а, 6), Па)00 = Па, Га>6 = dGx (а, Ь), Г0]ОО = Га. Функция u(x,t) называется обобщенным решением уравнения (0,2), удовлетворяющим условию (0.3), если u(x,t) Є И^1 (П0)ь) П L^ (Па,ь) при любых 0 < a, b < 00 и имеет место равенство:
I тт . t,J—1
Пв,* Па,ь t,J- /J<3i{z)a—ipdtdx + I a(x)\u\a~luipdtdx — 0 для любой функции ф(х,і) Є W% (П0]ь) такой, что -ф{х,а) — ф{х,Ь) — 0.
Из классических результатов о гладкости обобщенных решений линейных эллиптических уравнений следует, что и(х, t) непрерывна в Пй, при всех а > 0 и в каждой замкнутой области Tlafi удовлетворяет условию Гельдера [3,13]. Кроме того, Щ Є И^1 (ПВ]ь), 1 < а < Ь < оо [3].
Исследованию асимптотических свойств решений уравнения (0.2) при —)-оо, удовлетворяющих условию (0.3), посвящены работы [4, 26-28] и другие.
В работах [4, 26, 27] изучен случай а(х) = const, > 0 и показано, что для любого решения уравнения (0.2), удовлетворяющего условию (0.3), существу-ет Т = const такое, что u(x,t) — со( + Т)^ + o(e~at), где a = const > О от и(х,) не зависит, |со| = ( п-^д) " или со — 0. Причем cq = 0 тогда и только тогда, когда решение меняет знак в каждой области Пя, а > 0.
В работе [28] получен первый член асимптотического разложения решения уравнения (0.2), удовлетворяющего условию (0.3), в случае а[х) > 0, jGа(х) dx ф 0 и а* (ж) = 0.
А именно, доказано, что всякое положительное, стремящееся к нулю решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3), таково что и ~ ( (i-g)2a ) " 1 ^13% гДе й — meliG) Ig а(х) ^х > 0- В этой же работе приведен пример функции а(х) > 0, а(х) ф 0 для которой существует положительное решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3), не стремящееся к нулю на бесконечности. Кроме того в [28] получены достаточные условия на а (ж) при которых всякое решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3) стремится к нулю.
В настоящей работе получено асимптотическое разложение решения уравнения (0.2), удовлетворяющего условию (0.3), а именно, доказана
Теорема 1.5 Пусть u(x,t) > 0 решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3), такое, что Ит^-к» и(х, ) = 0.
Существует т} зависящее от u{x,t), такое, что каково бы ни было т и(ж,) = co{t + т)& + Y, Ф)(* + r)^~2i + o(i^-2m), (0.4) где Co = ((і-^а)" ' С1(ж)» * ' m{x)' непрерывные функции, которые не зависят от u(x,t).
Здесь a = j cl(x)uq(x) dx, функция щ(х) является решением задачи G
Ші (aii (х) Э - S i"(«)«) = о, х є о, = ^ai(a;)ticos(n,iCi), х Є dG, (0.5) 9t/ - і удовлетворяющим условиям (х) > 0, ж Є G, I uq(x) dx = 1.
Известно, что такое щ(х) существует и единственно [8,9].
Для знакопеременных, стремящихся к нулю при t -> +оо, решений уравнения (0.2), удовлетворяющих условию (0.3), доказано экспоненциальное убывание.
Теорема 1.7 Пусть u(x,t) - стремящееся к нулю при t —* +оо решение уравнения (0.2), удовлетворяющее условию (0.3), которое меняет знак в каждой области Па, а > 0. Тогда u(x,t) = о(е~7'), 7 — ! ImAij — є, є > 0 — склад угодно мало, А і — ненулевое собственное значение задачи
Й(ви(х)ё) + <ч(")ё"АЧ' = 0, IG' — = 0 па dG, ov такое, что в полосе 0 < ImA < ImAi нет собственных значений этой задачи.
Утверждение теоремы 1.7 верно для стремящихся к нулю решений уравнения (0.2), удовлетворяющих однородному условию Дирихле на dG х IR+. Только в этом случае А і — собственное значение задачи . - ди . 9 „ _ (х) У« = 0, а: G, к = 0 на dG.
В главе 2 изучаются решения уравнения
Ед ( , ч ди \ х^ , . ди і,7 = 1 Х J ' (=1 + k~-- tp\u\a~lu = 0, (0.6) удовлетворяющие условию — = 0, x(=G, t > 1, (0.7) где J^ — дифференцирование по направлению конормали. Предполагается, что все коэффициенты в (0.6) — ограниченные измеримые функции, с — const > I, к и р — произвольные постоянные. Уравнение (0.6) рассматривается в цилиндрической области Щ = {(x,t) : х Є G, 1 < t < со}, где G — ограниченная область с липшицевой границей. Предполагается выполненным условие эллиптичности: тъ m2 = const, mx > 0, ||2 = ^ $.
В качестве решения уравнения (0.6), удовлетворяющего условию (0.7) понимается обобщенное решение в стандартном определении. Основным результатом главы 2 является
Теорема 2.1 Для любого "решения уравнения (0.6), удовлетворяющего условию (0.7) найдется решение уравнения х + ^х = ^|хГ_1х, *>1, (0.8) такое, что и{х, t) = xW + 0(e~at), t -> +oo. (0.9)
Ш Существенную роль при изучении поведения решений уравнения (0.6), удовлетворяющих условию (0.7), играет обыкновенное уравнение у" + ку'-х?\у\а-ху^Ъ, (0.10) которое подробно исследовано в настоящей работе.
Важную роль здесь играет лемма 1.4 об ограниченности всей совокупности решений полулинейного эллиптического уравнения во внутренней точке компакта.
Рассмотрим в шаре В = {х : \х\ < 1} эллиптическое уравнение: + а0(х)и(х) -а(х) \и\а~ги = О, (0.11) где и ~ const > 1. Будем предполагать, что коэффициенты а^-(ж) удовлетворяют условию эллиптичности в В. Функции аі(я;), а{х) являются измеримыми и ограниченными, а(х) > A = const > 0.
Равенство (0.11) понимается в обобщенном смысле. Функция и(х) W~2 (В?) П-^оо (#i) называется решением уравнения (0.11), если / ^ / *ди(х) дФ . f v^ . х ди , , -/ У^аи(х) а я rfx+ / > о» (ж ) —Ф<*с + + \ а0(х)и(х)Ф dx - / а(х)|гі|(Т_1иФсіх = 0, при любой Ф Є Wl (Bj).
Лемма 1.4 Пусть и(х) — решение уравнения (0.11) е шаре В. Коэффици-ентыац{х), щ(х), а(х) являются ограниченными измеримыми функциями, а(х) > Л — const > 0, ац удовлетворяют условию эллиптичности в В^} a = const > 1. Тогда |я*(0)| < С, постоянная С зависит от а, п, констант эллиптичности, максимума модуля коэффициентов а^{х), сц{х), а(х) и от Л.
В главе 3 рассматривается поведение решений уравнений вида (0.1) в случае когда 1 — внешность компакта.
Теорема 3.1 Пусть и{х) — решение уравнения f^ix~{aii{x) йО +^)^^)^-^)1^^ = ^ xeQ> (Л2) і, 3=1 г i=l
С1 = Щ" \К, К — компактное подмножество Н, ау(а;), аДж), а(х) — ограниченные, измеримые функции, а(х) > а — const > 0. Тогда и(х) стремится к нулю при \х\ -> +оо.
Теорема 3.2 Пусть и(х) — решение уравнения п Q cfuщ {х) - \u\-lu = 0, х Є П, (0.13)
,=1 дхі Q — JRn\K, К — компактное подмнооюестео JRn, <ц(х) = 0(\х\). Тогда и(х) стремится к нулю при \х\ ~+ +оо.
В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физико - математических наук, профессору В,А. Кондратьеву за постановку интересных задач и постоянное внимание к работе.
Вспомогательные утверждения
В этом параграфе приводятся вспомогательные результаты, которые будут использоваться при доказательстве основных теорем этой главы. Введем некоторые обозначения и пространства, которые будут использоваться в дальнейшем. здесь G С ЬЯП - ограниченная область, 0G = Г - липшицевая поверхность, коэффициенты (ц, q — измеримые и ограниченные функции, ац удовлетворяют УСЛОВИЮ равномерной ЭЛЛИПТИЧНОСТИ В G И СИММетрИЧНОСТИ Oij — Ctji, Ф — производная по конормали. Свойства решений уравнения (1.1), удовлетворяющих условию (1.2) зависят от свойств линейной спектральной задачи. Хорошо известны и во многих работах использовались следующие теоре мы. Теорема 1.1. Предположим, что q(x,t) = 0. Функция f{x,t) удовлетворяет условию Пусть константа h такова, что задача (1.3) не имеет собственных значений А таких, что ImA = h. Тогда существует единственное решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию (1.2), такое что Эта теорема доказывается методом преобразования Фурье, как это делается у Agmon, Nirenberg [16]. Теорема 1.2. Предположим, что функция f{x,t) удовлетворяет условию Пусть константа h такова, что задача (1.3) не имеет собственных значений А таких, что ImA = h. Найдется постоянная є 0 такая, что если \q(x,t)\ є в G x IR, mo существует единственное решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию (1.2), такое что Теорема 1.2 является следствием теоремы 1.1 и теоремы об обратимости особственных значений А таких, что ImA = h. Тогда существует единственное решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию (1.2), такое что Эта теорема доказывается методом преобразования Фурье, как это делается у Agmon, Nirenberg [16]. Теорема 1.2. Предположим, что функция f{x,t) удовлетворяет условию Пусть константа h такова, что задача (1.3) не имеет собственных значений А таких, что ImA = h. Найдется постоянная є 0 такая, что если \q(x,t)\ є в G x IR, mo существует единственное решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию (1.2), такое что Теорема 1.2 является следствием теоремы 1.1 и теоремы об обратимости оператора близкого к обратимому. Теорема 1.3. Пусть 1. u(x,t) — решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию (1.2) такое, что Th2{u) оо. 2. Jhl(f) оо, 42(/) оо. 3. В полосе h\ ImA hi есть только одно собственное значение XQ задачи (1.3), hi ImAo /. где Ї О;,фк цепочка собственных и присоединенных функций задачи (1-3), соответствующих собственному значению XQ.
Рассмотрим краевую задачу a(x) — измеримая, ограниченная функция. Пусть (ра — собственная функция задачи (1.4), а фо — собственная функция сопряженной задачи отвечающие собственному значению А = 0. Рассмотрим уравнение Теорема 1.4. Пусть а(х) О, B(x,t) = 0(t 2) и (B(x}t) po, o) — bt 2 + bi(t), где b = const 0, a bi(t) — o(t 2). Тогда для произвольного a OQ = 2 " существует to(a) такое, что какова бы ни была функция F(x,t)) такая, что найдется решение уравнения (1.5), удовлетворяющее условию При доказательство теоремы 1.4 используются методы работы [1]. Сначала установим несколько вспомогательных фактов. Пусть А = 0 собственное значение задачи (1.4), которому соответствует единственная присоединенная функция. Пусть соответствующая ему собственная функция if о и собственная функция фо сопряженной задачи выбраны так, что выполняются соотношения Q p\dx — 1, 0 рофо$х = 1. Тогда в некоторой проколотой окрестности точки А = О решение и(х) задачи представимо в виде где Г (А) — аналитическая функция А в этой окрестности. Лемма 1.1. Если то существует решение уравнения удовлетворяющее условию где с от у не зависит. Доказательство. Так как а , то из (1.9) и неравенства Гельдера следует, что интеграл Jt /{T)J dr, t 0 сходится. Таким образом, существует / Таким образом, если выполнено условие (1.9), то можно определить оператор Q : f - /( dr f f(s) ds. Он действует из гильбертова пространства с нормой (J0 j2(t)t2a dt)2 в гильбертово пространство с нормой (J aPtyt dt) . При этом выполнено (1.15). Будем искать решение уравнения (1.10) в виде у = Qg. Для функции д имеем уравнение По теореме об обратимости оператора близкого к обратимому имеем, что если q 2Q 1, то оператор / — qt 2Q обратим. В силу (1.15) При а сто = -+ 2+ Я выполнено неравенство Ч{z 2d\{i 2a) І и следова тельно, оператор / — qt 2Q обратимператора близкого к обратимому. Теорема 1.3. Пусть 1. u(x,t) — решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию (1.2) такое, что Th2{u) оо. 2. Jhl(f) оо, 42(/) оо. 3. В полосе h\ ImA hi есть только одно собственное значение XQ задачи (1.3), hi ImAo /. где Ї О; Фі,- ,фк цепочка собственных и присоединенных функций задачи (1-3), соответствующих собственному значению XQ. Рассмотрим краевую задачу a(x) — измеримая, ограниченная функция. Пусть (ра — собственная функция задачи (1.4), а фо — собственная функция сопряженной задачи отвечающие собственному значению А = 0. Рассмотрим уравнение Теорема 1.4. Пусть а(х) О, B(x,t) = 0(t 2) и (B(x}t) po, o) — bt 2 + bi(t), где b = const 0, a bi(t) — o(t 2). Тогда для произвольного a OQ = 2 " существует to(a) такое, что какова бы ни была функция F(x,t)) такая, что найдется решение уравнения (1.5), удовлетворяющее условию При доказательство теоремы 1.4 используются методы работы [1]. Сначала установим несколько вспомогательных фактов. Пусть А = 0 собственное значение задачи (1.4), которому соответствует единственная присоединенная функция. Пусть соответствующая ему собственная функция if о и собственная функция фо сопряженной задачи выбраны так, что выполняются соотношения Q p\dx — 1, 0 рофо$х = 1. Тогда в некоторой проколотой окрестности точки А = О решение и(х) задачи представимо в виде где Г (А) — аналитическая функция А в этой окрестности. Лемма 1.1. Если то существует решение уравнения удовлетворяющее условию где с от у не зависит. Доказательство. Так как а , то из (1.9) и неравенства Гельдера следует, что интеграл Jt /{T)J dr, t 0 сходится. Таким образом, существует / Таким образом, если выполнено условие (1.9), то можно определить оператор Q : f - /( dr f f(s) ds. Он действует из гильбертова пространства с нормой (J0 j2(t)t2a dt)2 в гильбертово пространство с нормой (J aPtyt dt) . При этом выполнено (1.15). Будем искать решение уравнения (1.10) в виде у = Qg. Для функции д имеем уравнение По теореме об обратимости оператора близкого к обратимому имеем, что если q 2Q 1, то оператор / — qt 2Q обратим. В силу (1.15) При а сто = -+ 2+ Я выполнено неравенство Ч{z 2d\{i 2a) І и следова тельно, оператор / — qt 2Q обратим. П Лемма 1.2. Если F Є К0 и (F, 0) = 0 при любом t IRj то существует единственное решение уравнения vtt + Lv = F{x, t), x Є G, t В мз VQ1; которое удовлетворяет условиям Доказательство, Эта теорема доказывается с помощью преобразования Фу рье и равенства Парсеваля с использованием представления (1.8). Лемма 1.3. При любых а Є 1R и F Є V , (F, /) = 0 уравнение имеет решение v Є V 1 такое, что (v,ipa) = 0. /Три этом выполняется неравенство
Асимптотика положительных решений
В этом параграфе рассматриваются решения уравнения в области О, = G х IR+ (G С К" - ограниченная область, dG = Г - Липшице вая поверхность, Ж+ = (0, +оо)), удовлетворяющие условию где n - единичный вектор внешней нормали к dG X IR+. Предполагается, что все коэффициенты уравнения (1-49) - измеримые, ограниченные функции в G, а(х) 0, Jc а(х) dx 0, т = const 1, а — a-ji, п В качестве решения уравнения (1.49), удовлетворяющего условию (1.50) понимается обобщенное решение. Приведем его определение. Будем обозначать Па,ь = G х (а, 6), ПОі0О = Па, Га,ь = 9G х (а, 6), Га 00 = Га, Функция u(x,t) называется обобщенным решением уравнения (1.49), удовлетворяющим условию (1.50), если u{x,i) W (Пад) П 1/«, (П0)ь) при любых О а, Ъ сю и имеет место равенство: для любой функции ift(x,t) Є И 1 (Пй{,) такой, что ф(х,а) = ф(х,Ь) — 0. Из классических результатов о гладкости обобщенных решений эллиптических уравнений следует, что u(x,t) непрерывна в Па, при всех а 0 и в каждой замкнутой области Пй)ь удовлетворяет условию Гельдера [3]. Основным результатом этого параграфа является получение существует и единственна. Она непрерывна в G и не обращается в нуль в G [8,9]. Можно считать, что щ{х) 0 и Доказательство Теоремы 1.5. Рассмотрим функцию Постоянная со и функции ci(x),..,, с (х) можно однозначно определить из условия Действительно, выпишем выражения для /itt(rc,i), Lh(x,t), h i x t) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой частях равенства (1.53) и учитывая (1.54) - (1.56), получим следующие уравнения для СІ(Х) с нулевыми граничными условиями Неймана: Lci(x) — a{x)cl - со г г, х G, Ьф) = a(x) "1ci_i(x) -( - 2(г - 1)) ( - 2(г - 1)) с {х) + гф), xeG, г = 2,..., JV+ 1, ісдг+2(я;) = a ycg- w+ifc) -( - 2(JV + 1)) ( - 2(JV + 1)) c +i(a;) --1 + VN+2{X), xeG, здесь за Vk{x), к — 2, ...,JV + 2 обозначены линейные комбинации произведений а(х) и Сі(ж), г fc — 1. Из условия разрешимости задачи Неймана для первого уравнения системы находим со = I п_а\2й J В таком случае функция Ci(x) определена с точностью до адитивной постоянной, которую можно подобрать так, чтобы было выполнено условие разрешимости задачи Неймана для второго уравнения системы, Так будет определена с точностью до адитивной постоянной функция С2(х). Пусть определены все функции сі(х),С2(а:), .. ,с -.2(ж)] а сі-і{х) определена с точностью до адитивной постоянной, то есть Сі-і(х) — Ci-iflfy+Ci-i,!, где Ci-ifl(x) = 0, ас ід = const, тогда условие разрешимости задачи Неймана для С{(х) примет вид: (4-+( ГТ + 2)- -1)(.-2)) ,_,,,= = - ( /і _ \2- / a{x)ci hoix)uo{x) dx + / Vi(x)u0(x)dx\ , где правая часть определена в силу гипотезы, что определены функции сі(я),С2(я) і СІ-2{Х).
Так как коэффициент при Cj-ід отличен от нуля, то условие разрешимости выполнено. Так построенная функция h(x,t) будет суперрешением уравнения (1.49) при t TQ . Можно показать теперь что u(x,t) = с 1 + О lt « ]. Действительно, рассмотрим функцию h(x,t) при N = 0. Аналогично тому как строилась функция h(x,t), построим функцию l(x,t), которая удовлетворяет равенству lu{x,t) + Ll(x,t) — a(x)la = 4 + 0(ії 6) и имеет вид l(x, t) = cottt-bei(x)tj:r 2-i-C2(x)tT: i. Таким образом, функция 1{х і) является субрешением при t Ті. Выберем ті так, чтобы /(аг,7\ + ТЇ) и(х,Т{). Это можно сделать, так как l(x,t) - 0 при t —У ос. Так как u(x,t) тоже стремиться к нулю при і — оо, то из принципа максимума получаем l(x,t + Ti) асимптотического разложение решения уравнения (1.49), удовлетворяющего условию (1.50), а именно Теорема 1.5. Пустьи(х,і) 0решение уравнения (1.49), удовлетворяющее условию (1.50), такое, что Ііт -к -и і) = 0. Существует т, завилщее от u(x,t), такое, что каково бы ни было т где CQ = ( Туї. ЩІ I " ci(x) )Cm( )- непрерывные функции, которые не зависят от u(x,t). Здесь и далее a = f а(х)щ(х) dx, щ(х) — решение задачи G Такая функция ио(ж) существует и единственна. Она непрерывна в G и не обращается в нуль в G [8,9]. Можно считать, что щ{х) 0 и Доказательство Теоремы 1.5. Рассмотрим функцию Постоянная со и функции ci(x),..,, с (х) можно однозначно определить из условия Действительно, выпишем выражения для /itt(rc,i), Lh(x,t), h i x t) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t в левой и правой частях равенства (1.53) и учитывая (1.54) - (1.56), получим следующие уравнения для СІ(Х) с нулевыми граничными условиями Неймана: Lci(x) — a{x)cl - со г г, х G, Ьф) = a(x) "1ci_i(x) -( - 2(г - 1)) ( - 2(г - 1)) с {х) + гф), xeG, г = 2,..., JV+ 1, ісдг+2(я;) = a ycg- w+ifc) -( - 2(JV + 1)) ( - 2(JV + 1)) c +i(a;) --1 + VN+2{X), xeG, здесь за Vk{x), к — 2, ...,JV + 2 обозначены линейные комбинации произведений а(х) и Сі(ж), г fc — 1. Из условия разрешимости задачи Неймана для первого уравнения системы находим со = I п_а\2й J В таком случае функция Ci(x) определена с точностью до адитивной постоянной, которую можно подобрать так, чтобы было выполнено условие разрешимости задачи Неймана для второго уравнения системы, Так будет определена с точностью до адитивной постоянной функция С2(х). Пусть определены все функции сі(х),С2(а:), .. ,с -.2(ж)] а сі-і{х) определена с точностью до адитивной постоянной, то есть Сі-і(х) — Ci-iflfy+Ci-i,!, где Ci-ifl(x) = 0, ас ід = const, тогда условие разрешимости задачи Неймана для С{(х) примет вид: (4-+( ГТ + 2)- -1)(.-2)) ,_,,,= = - ( /і _ \2- / a{x)ci hoix)uo{x) dx + / Vi(x)u0(x)dx\ , где правая часть определена в силу гипотезы, что определены функции сі(я),С2(я) і СІ-2{Х). Так как коэффициент при Cj-ід отличен от нуля, то условие разрешимости выполнено. Так построенная функция h(x,t) будет суперрешением уравнения (1.49) при t TQ . Можно показать теперь что u(x,t) = с 1 + О lt « ]. Действительно, рассмотрим функцию h(x,t) при N = 0. Аналогично тому как строилась функция h(x,t), построим функцию l(x,t), которая удовлетворяет равенству lu{x,t) + Ll(x,t) — a(x)la = 4 + 0(ії 6) и имеет вид l(x, t) = cottt-bei(x)tj:r 2-i-C2(x)tT: i. Таким образом, функция 1{х і) является субрешением при t Ті. Выберем ті так, чтобы /(аг,7\ + ТЇ) и(х,Т{). Это можно сделать, так как l(x,t) - 0 при t —У ос. Так как u(x,t) тоже стремиться к нулю при і — оо, то из принципа максимума получаем l(x,t + Ti) u(x,t) при t Ті или ,і±. Аналогично, так как u(x,t) — О при t — оо, можно выбрать т так, чтобы и(х, Г0+Т2) h(x, TQ). Так как обе функции и(х, і) и h(x, t) стремятся к нулю, то из принципа максимума получаем u(x, t) h(x, t — Т2) при t TQ + т или
Знакопеременные решения
В этом параграфе рассматриваются знакопеременные решения уравнения (1.49), удовлетворяющие условию (1.50). Теорема 1.7. Пусть u(x,t) - стремящееся % нулю при t — +оо решение уравнения (1.49), удовлетворяющее условию (1.50), которое меняет знак в каждой области Па, а 0. Тогда u(x,t) = о(е 7І), 7 = frnAi — є, є 0 — сколь угодно мало, \\ — собственное значение задачи (1.3)} такое, что в полосе 0 ImA ImAi нет собственных значений задачи (1.3). Доказательство. Точно так же, как в теореме 1.5 для положительных решений, можно показать, что Цх,) с 1 + 0( - ) и следовательно Так как u(x,t) —» 0 при і - со, то существует о такое, что af )] 0"-1 є при t t0. Пусть 6{t) =\1 ПРИ t - to + , $(t) Є С00(И), 0 ОД І. Поло I 0, при t 0) жим г (#,) — 9(t)u(xyt). Функция v(x,t) удовлетворяет линейному уравнению и граничному условию (1.70). Здесь F(x,t) — финитная функция, 0 ШЇ l{x,t) Я. а(ж) fuf 7"1 при t to + 1, q = 0 при t t . Точно также, как в доказательстве теоремы 1.5, можно показать, что существует vi(x,t) — решение уравнения (1.81) удовлетворяющее условию (1.70) вида a = const, 6 = const. Функция w(x,t) = v\ — v удовлетворяет уравнению и условию (1-70), w{x,t) — 0 при t — +oo и w — at-\-b-\-0{eht) при t — —oo. Если мы докажем, что w = 0 то из этого будет следовать утверждение теоремы. Покажем, что а b = 0. Предположим, что а 0. Значит w(x,t) О при t i, где t\- достаточно большое по модулю отрицательное число. Из принципа максимума следует, что w О при t t\. Функция ш — t при достаточно большом по модулю отрицательном /3 будет субрешением уравнения (1.82). Действительно, в силу (1.80) имеем Пусть І2 — достаточно велико. Выберем А столь малым положительным числом, что АЦ w(x,t2). По принципу максимума At& w(x,t) при t t%. Рассмотрим множество точек, где v = и 0, для них мы имеем Это противоречие доказывает, что а не может быть отрицательным. Анало гично показывается, что а не может быть положительной и, что b 0. Итак w — 0 при t -+ ±оо и следовательно w = О D В этом параграфе рассматриваются решения уравнения (1.49), удовлетворяющие однородному условию Дирихле на боковой поверхности цилиндра. Теорема 1.8. Пусть u(x,t) стремящееся к нулю решение уравнения (1.49), удовлетворяющее условию Доказательство. Пусть G С Вл, где Вц = {х : \х\ Я}. Пусть v — положительная собственная функция, соответствующая положительному собственному значению Ai краевой задачи Рассмотрим функцию w(x,t) = Ае yXl 2tv(x).
Легко видеть, что Неравенство (1.83) понимается в обобщенном смысле. Выберем постоянную А столь большой чтобы Из (1.84), (1.85) и принципа максимума следует, что \и\ w Ce vXl 2t. D в области Q, — G X Н+ (G С Н71 - ограниченная область, 0G = Г - липши-цевая поверхность, IR+ = (0,+оо)), удовлетворяющие условию = 0, (1.87) ди дп где п - единичный вектор внешней нормали к 0G х К+. Теорема 1.9. Пусть А = 0 является собственным значением задачи U(fo{x) — соответствующая собственная функция, удовлетворяющая условию уравнение (1.86) имеет решение вида Функции РІ{Х) являются решениями некоторых эллиптических задач. Доказательство. Обозначим ux(x,t) — Х о Кя) "1"2 - Будем искать решение уравнения (1.86), удовлетворяющее условию (1.87), в виде где функции UJV, VN удовлетворяют условию (1.87). Для функции VN получим уравнение где fN(x, t) = uNtt + LuN - u3N. (1.94) Покажем, что можно определить функции pi{x) так, чтобы было справедливо соотношение fN(x, t) = 0(t 3-2N) при t -» +оо. (1.95) Приравнивая к нулю коэффициенты при t k, й = 3,...,2ЛГ + 1, в выражении ujv« + LUN — u}y, получим следующие уравнения для (fii(x) с нулевыми граничными условиями Неймана CiLipi + 2со ро - clvl = О, х Є G, ctLipi + 12сцрі - Ъ р\с\(р1 = 0, х Є G, CjL(pj + 2j(2j - l)cj-i(pj-i -3cjJCj_iVJj_i + Vj(a:) = 0, j = 3,..., ЛГ x Є G, (1.96) здесь за Vj(x) обозначены линейные комбинации pi(x) при і j — 2. Из усло вия разрешимости задачи Неймана для первого уравнения системы находим, что со fGif4(x)dx В таком случае функция рх(х) определена с точностью до слагаемого вида (рх — ф\ + diifQy где функция Фі{х) фиксирована так, что fG pitpodx — О, а постоянная d\ подобрана так, что выполнено условие разрешимости задачи Неймана для второго уравнения системы (1.96). Так будет определена с точностью до слагаемого вида c ot ) функция {х). Пусть определены все функции p\{x)i -p2{x)i і 1-2( )) a, (fi-i(x) определена с точностью до слагаемого вида di i pQ, то есть (pi-i(x) — ip _1(x) + di-i pi i, где JG p _i po dx = О, тогда условие разрешимости задачи Неймана для (pi{x) примет вид: СІ_І( 2% {2% -1)-6 )dj_i = 3 / Cg fl й„і (р\_г dx — I и,- щ dx. JG JG Так как коэффициент при & \ отличен от нуля, то можно подобрать постоянную di-i так, что будет выполнено условие разрешимости задачи Неймана для функции ipi(x). Рассмотрим уравнение
Полулинейное эллиптическое уравнение во внешности компакта
В частности ги(0) Si. Поэтому г (0) OQW(Q) a0Si — 8%. Отсюда v(0) = 1 — и(0) 8%. Таким образом получаем и(0) 1-52 5, 8 1. Что и требовалось доказать. Лемма 3.1 доказана при п 2. Если п = 2, то следует продолжить коэффициенты уравнения и его реше ние в трехмерное пространство, считая их не зависящими от гз и применить полученное утверждение при п 2. Теорема 3.1. Пусть и{х) — решение уравнения Q — JRn \ К, К — компактное подмножество TRn, Щу(х), аДх), а(:г) — ограниченные, измеримые, функции, а{х) QQ = const 0. Тогда и(х) стремится к нулю при \х\ —ї +оо. Доказательство. Предположим, что и(х) не стремится к нулю. Пусть lim и(х) = 7- Можно считать -у 0 (иначе рассмотрим — и(х) вместо :rj-»+oo u(x)). Из Леммы об ограниченности решензамену Для v получим уравнение и условия Функция fc(t) = (ж 2 + р(#)х-1) и, следовательно, ограниченна. Рассмотрим поведение v(t) при і Ц. Так как v(t$) — 0, a v(io) — i 0, то і) (to) 0, следовательно г) 0 в некоторой окрестности точки t а значит функция v(t) возрастает и становится положительной. Это означает, что функция v(t) возрастает. Производная v(t) не может стать отрицательной так как это означало бы наличие положительного максимума у функции v(t), что не возможно. Пусть \k(t)\ К. Функция v(i) удовлетворяет дифференциальному неравенству v + Kb - -vff 0. t Рассмотрим функцию z(t) — решение уравнения z + Kz - jz = 0 с условиями z{t0) = v(t0), ( ,) = 0. Тогда z(t) v(t) там, где обе функции существуют. Точно так же как это было сделано для v(t) показывается, что z(t) — положительная возрастающая функция. Предположим, что у функции z(t) нет вертикальной асимптоты при і to. Функция z(t) удовлетворяет неравенству Следовательно при достаточно, больших t функция z(t) с In t то есть z() — +оо, t — +00. Будем рассматривать уравнение для #(t) как линейное уравнение вида здесь Q(t) = za l и следовательно Q{t) у +оо. Про решения таких t-H-oo уравнений известно, что z{t) cta каково бы ни было а. Фиксируем є так, чтобы гі = а — 1 и возьмем a = , тогда функция v будет удовлетворять неравенству и, следовательно ограниченна. Полученное противоречие доказывает существование у у (ее) вертикальной асимптоты при х х$. Докажем теперь существование у у(х) асимптоты при Ь х XQ, Не ограничивая общности можно считать Ь = \
Предположим, что решение у(х) уравнения (3.10), удовлетворяющее условиям (3.11), не имеет асимптоты в интервале х XQ. Рассмотрим интервал х А, 2 А XQ, В этом интервале все коэффициенты уравнения (3.10) ограничены и значит, по лемме о том, что все решения уравнения во внутренней точке компакта не превосходят единой постоянной, у(2) с. Покажем, что выбрав XQ достаточно большим, можно добиться чтобы у(2) было сколь угодно велико. Это противоречие и будет доказывать наличие вертикальной асимптоты в интервале х х$. Пусть р(х) Рий уравнения (3,8) единой постоянной следует, что и(х) — ограниченная функция и, значит, 7 +оо. Пусть последовательность {хт} такая, что \хт\ - сю, и(хт) —f у. В силу Гельдеровости решения У(:Е) существует последовательность шаров одинакового радиуса с центрами в точках хт такая, что в этих шарах. Функция и(х) является решением линейного уравнения где q(x) — a{x)\u\a l. В силу (3.9) функция q(x) ограничена и q(x) а0(7 — є)"-1 = бо- По лемме 3.1 и{хт) 8("у + є), 5 1 или пе реходя к пределу по m 7 (7 + є)- Полученное противоречие доказывает теорему. Лемма 3.2. Пусть Ь 1, р(х) = 0(х). Найдется Л — const 1 такая, что для любого х& А если у(х) — решение уравнения и то существуют х\, xi такие, что Ь х\ XQ, X I XQ, у(х) 0 на (жі, х2), lim у(х) — +оо, lim у(х) = +оо. Доказательство. Сделаем в уравнении (ЗЛО) замену Для v получим уравнение и условия Функция fc(t) = (ж 2 + р(#)х-1) и, следовательно, ограниченна. Рассмотрим поведение v(t) при і Ц. Так как v(t$) — 0, a v(io) — i 0, то і) (to) 0, следовательно г) 0 в некоторой окрестности точки t а значит функция v(t) возрастает и становится положительной. Это означает, что функция v(t) возрастает. Производная v(t) не может стать отрицательной так как это означало бы наличие положительного максимума у функции v(t), что не возможно. Пусть \k(t)\ К. Функция v(i) удовлетворяет дифференциальному неравенству v + Kb - -vff 0. t Рассмотрим функцию z(t) — решение уравнения z + Kz - jz = 0 с условиями z{t0) = v(t0), ( ,) = 0. Тогда z(t) v(t) там, где обе функции существуют. Точно так же как это было сделано для v(t) показывается, что z(t) — положительная возрастающая функция. Предположим, что у функции z(t) нет вертикальной асимптоты при і to. Функция z(t) удовлетворяет неравенству Следовательно при достаточно, больших t функция z(t) с In t то есть z() — +оо, t — +00. Будем рассматривать уравнение для #(t) как линейное уравнение вида здесь Q(t) = za l и следовательно Q{t) у +оо. Про решения таких t-H-oo уравнений известно, что z{t) cta каково бы ни было а. Фиксируем є так, чтобы гі = а — 1 и возьмем a = , тогда функция v будет удовлетворять неравенству и, следовательно ограниченна. Полученное противоречие доказывает существование у у (ее) вертикальной асимптоты при х х$. Докажем теперь существование у у(х) асимптоты при Ь х XQ, Не ограничивая общности можно считать Ь = \ Предположим, что решение у(х) уравнения (3.10), удовлетворяющее условиям (3.11), не имеет асимптоты в интервале х XQ. Рассмотрим интервал х А, 2 А XQ, В этом интервале все коэффициенты уравнения (3.10) ограничены и значит, по лемме о том, что все решения уравнения во внутренней точке компакта не превосходят единой постоянной, у(2) с. Покажем, что выбрав XQ достаточно большим, можно добиться чтобы у(2) было сколь угодно велико. Это противоречие и будет доказывать наличие вертикальной асимптоты в интервале х х$. Пусть р(х) Р\х\, тогда у(х) удовлетворяет неравенству
