Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Исследования глобального поведения решений нелинейных задач математической физики составляют один из наиболее важных разделов качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Актуальность тематики обусловлена многочисленными приложениями в механике сплошной среды и физике, а также новизной математических постановок задач и необходимостью разработки методов исследования.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель работы состоит в том, чтобы исследовать наиболее широкие классы эволюционных задач математической физики с точки зрения наличия коллапсов или, напротив, их глобальной устойчивости; исследовать поведение решений Граниных задач на бесконечности (по пространственным'переменным) для нелинейных эллиптических и параболических уравнений механики сплошной среды.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации установлены следующие новые научные результаты:
решения задачи Коши для нелинейных дифференциально-операторных уравнений второго порядка с диссипацией с градиентными нелинейностями, удовлетворяющими некоторым условиям структурного характера, разрушаются за конечное время для начальных данных из определенного класса;
начально-краевые задачи для нелинейных параболических
и гиперболических уравнений и составных систем таких уравне-нийс нелинейными краевыми условиями, систем нелинейных уравнений типа термовязкоупругости, параболико-гиперболических систем нелинейных уравнений разрушаются за конечное время для начальных данных из некоторого класса, когда нелинейности удовлетворяют определенным условиям структурного характера;
разработан метод доказательства ограниченной диссипатив-ности для градиентных нелинейных дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядков, с помощью которого доказана ограниченная диссипативность начально-краевых задач для широкого класса нелинейных уравнений классического и неклассического типов;
найдены и исследованы минимальные глобальные J> - аттракторы начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса-Фойгта, нелинейного псепдопараболического уравнения, нелинейного волнового уравнения с сильной диссипацией, систем нелинейных уравнений типа термовязкоупругости, систем нелинейных уравнений параболико-гиперболического типа, уравнения теплопроводности с нелинейным краевым условием, уравнения Хана- Хилларда и уравнения Курамото-Сивашинского;
доказаны теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем, в том числе для уравнений Кармана и уравнения упруго-пластического изгиба жестко закрепленной пластинки.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В диссертации развиты новые методы обнаружения коллапсов, ограниченных поглощающих множеств и минимальных компактных аттракторов для различных классов нелинейных задач математической физики. Выявлены ноьые эффекты поведения решений граничных задач в областях с некомпактными границами. Эти результаты могут быть использованы как для анализа математических моделей различных нелинейных процессов механики сплошной среды и физики, так и при их численных реализациях.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Результаты о разрушении решений и ограниченная диссипативность получены на базе построения специальных функционалов и исследования их эболюции под действием заданной динамики. Существование и исследование аттракторов основаны на качественном анализе и получении различных априорных оценок для решений исследуемых задач. Исследования решений в областях с некомпактной границей проводят-
ся комбинированием энергетических оценок и анализа специальных дифференциальных неравенств.
АПРОБАЦИЯ РАБОТУ. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по нелинейным задачам математической физики (Донецк 1979 г.), на Всесоюзном семинаре по нелинейным задачам математической физики (Ленинград 1981 г.), на совместных заседаниях Семинара им.И.Г.Петровского и Московского математического общества (Москва 1982 г., 1983 г., 1986 г.), на Всесоюзном семинаре-совещании по нелинейным задачам математической физики (Кировобад 1985 г.), на международной конференции по топологии (Баку 1987 г.), на общеинститутском семинаре Института математики и механики АН Азерб. ССР, на семинаре по нелинейным задачам математической физики Лаборатории математической физики ЛОМИ АН СССР, на семинаре по нелинейным задачам математической физики Института математики АН ГДР (Берлин) и на семинаре по нелинейному функциональному анализу Лейпцигского Университета им.Карла Маркса.
ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах flj- [12] .
СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, разбитых на 22 параграфа, и списка литературы.
