Введение к работе
Актуальность темы. Качественные и асимптотические свойства решений полулинейных параболических уравнений рассматривались многими математиками, в частности им посвящены монографии Д.Хенри1 и А.А. Самарского, В.А Галактионова, СП. Курдюмова, АП. Михайлова2.
Изучение асимптотического поведения решений представляет значительный интерес как само по себе, так и с точки зрения приложений. При математическом моделировании процессов химической кинетики3, а также в других областях математической физики4 и популяционной генетики5 часто возникают вопросы об асимптотическом поведении при больших временах решения задачи Копій и решения краевой задачи в цилиндре.
Внимание многих .математиков привлекали вопросы, связанные с асимптотическим поведением в цилиндрической области решений полулинейных параболических уравнений.
Более двадцати лет назад в работе П. Баро и Л. Верона6 было охарактеризовано асимптотическое поведение при t —» оо решений уравнения
щ = Дн-/(к),
где /(и) — непрерывная вещественнозначная монотонно возрастающая функция, /(«) = о{и) при и -4 0, удовлетворяющих условию -^ = 0 на границе ограниченной области П в К", в теореме 2 этой работы показано, что для любого решения Ц^і*) и произвольного а > 0 существует равномерный по О предел ^jj =4 С прп t —> оо, где \(t,n) решение задачи Копій \+f(x) ~ 0, х(0) = а,
1 Хенри Д. Геометрическая теории полулинейных параболических уравнений, М,, Мир, 1В85
3 Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдкэмов С.П., Михаилов А.П, Режимы с обостренном н задачах для кваэи.шннйных параболических уравнений, М.: Наука, 1987
3 Гелілранд ИЛї. Некоторые задачи теории кваднлинейлих уравнений, // УМИ т. Х.Л (1959), в. 2(86), стр 87-158,
Рао C.V. Nonlinear parabolic and elliptic equations, Plenum New York, 1992 (MR 94c:35Q02)
Маррн -Зж. Нелинейные дифференциалыше уравнения в биологии. Лекции о моделях, М., Мир. 1083
'Вагаэ, F, ai>d Veron. L. Cotuportenient asymptotique de la solution (Tune equation devolution semi-lineaire de la tlial^ur // Commun. Part. Differ. Equat. 1979 vol, 4 pp. 795-807
t'UC НАЦИОНАЛЬНАЯ І
1 j БИБЛИОТЕКА І
причем С = const не зависит от а и принимает одно из значений {-1,0,1}.
В работе П. Баро и Л. Верон отмечают, что в случае /(и) = |м| и, <т = const > 0 существуют решения уравнения, удовлетворяющие однородному условию Неймана, убывающие по t степенным образом, а именно эквивалентные „t~ '" при * —> оо.
Если вместо однородного условия Неймана рассмотреть однородное условие Дирихле, то все решения стремятся к нулю экспоненциально. Для функций f(u), удовлетворяющих условию
< оо. это было получено в работе А. Гмира и Л. Верона. -і
До конца случай решений уравнения (1) с нелинейностью /(u) =
Щ'и, a = const > 0, удовлетворяющих условию Неймана, был исследован в работе В.Н. Арефьева и ВА. Кондратьева , при этом наряду с оператором Лапласа в старшей части уравнения рассмотрен равномерно эллиптический оператор в дивергентной форме с переменными коэффициентами. В их работе установлено, что любое решение уравнения (1), /(«) = ао^а^и, an = const > О, удовлетворяющее условию Неймана, имеет вид
ufoO^Ctt + rJ-^' + ofe-01) при Moo, (2)
где либо С — 0. либо \С\ — (aao)"1^, т = const зависит от и, а a = const > 0 от и не зависит. Более того в работе показано, что С = 0 тогда и только тогда, когда решение обращается в ноль при сколь угодно больших t.
На случай стремящихся к нулю решений слабонелинейных эллиптических и параболических систем дивергентного вида с более общей нелинейностью зависящей от u, t эти результаты обобщены в работе Ю.В. Егорова, В.А Кондратьева, ОА. Олешшк9. В частности в этой работе показано, что если и(х, t) стремящееся к нулю при t -» оо решение уравнения вида (1) с нелинейностью
TGmira, Л. aud Veron, Ij. Asymptotic Behaviour of the Solutions of 2 Semilinear Parabolic Equation // Monalibellte fiir MaUieniatik, Bd, 94 (1982), JN, pp. 299-311.
11 Арефьев B.H., Кондратьев В.А. Асимптотическое поведение решений атирон краевой задачи для нелинейных параболических уравнений. // Дифференциальные уравнения т. 29, №12 О093}, 2104-2116
'Егоров IO.R., Кондратьев Н.А., Ояейник О.А. Асимптотическое поведение решений нелинейных э&лилтическях н параболических систем в цилиндрических областях. // Матем. сб., т. 189, ,*3 (1998), стр. 45-В8
--...: 2
/("і 0» /(0, <) = 0, измеримой по t > 0, дифференцируемой ПО U,
и имеющей равномерный по t Є (0,оо) предел lim„_»o jfc*' = О,
то найдётся такое решение x(t) уравнения \' + /(,Y,0 = О,
«(х, () = Л'(0 + o{exp(-at)) f -+ оо равномерно по х 6 П.
Более сложным оказывается случай нелинейного члена, зависящего от решения и(х, t) и переменной х Є fi. Случай уравнения
«і — ^ у-(ау(а:)—) —of^lwl'u, ff = const > О
с измеримыми a;j(x) удовлетворяющими условию равномерной эл
липтичности, и о(ї) _ неотрицательной ограниченной функции
такой, что и его слабых решении, удовлетворя-
ющих условию Неймана
Ои г—*
t.j=i
был рассмотрен в работе В.А. Кондратьева и Л. Верона10. В этой работе показано, что все решения этого уравнения, удовлетворяющие условию (3), стремятся к нулю при t —> оо равномерно в ІІ и найден первый член асимптотики решения при * —* - А именно доказано, что для любого решения существует равномерный по П предел при t —> оо:
^'«(г,0=їЛ Є {-со. О, с0}, где г0 = (a^
Функция \() = Со^~ является решением обыкновенного диф
ференциального уравнения X+~*V]jj~' М'Х = 0- Однако в случае
а[х) ф const доказать, что и{х, t) = \{t + т) + о(ехр(—at)) невоз
можно. Рассматривая уравнение как линейное, заменив (ufx.i)!''
на \Х\ч\ достаточно легко понять, что если а(х) т- const, то
разность u(x,t) — \(t) есть функция существенным образом зави
сящая от х уже в членах ^Ч* ) при * —* -
В связи с этим представляется актуальным найти следующие члены асимптотики положительного решения.
ioKondratiev, V,A. and Veron, L. Asymptotic Behaviour of Solutions of Some Nonlinear Parabolic or Elliptic Equations, Asymptotic Analysis 1907 И №2 pp. 11Т-Ш
Цель работы. Цель настоящей работы охарактеризовать асимптотическое поведение при t —> оо
решений слабо-нелинейных параболических задач (решений полулинейного уравнения, удовлетворяющих условию Неймана, и решений линейного уравнения, удовлетворяющих нелинейному краевому условию), определенных в полубесконечном цилиндре
решений задачи Коши для полулинейного параболического уравнения в случае критического показателя
Во всех задачах вхождение неизвестной функции в нелинейный член предполагается степенным.
Методы исследования. В работе используются методы качественной теории уравнений с частными производными. Используя принцип максимума, построение суб- и суперрешений, неравенство Харнака, получается информация об асимптотическом поведении решения, достаточная для того, чтобы свести задачу к линейной. При исследовании линейных задач используются теоремы Л.А. Багнрова и В.А. Кондратьева о существовании решений, удовлетворяющих однородному условию Неймана на границе цилиндрической области, убывающих по t степенным образом, и теоремы С. Агмона и Л. Ниренберга об асимптотическом поведении решений линейных уравнений с независящими от t коэффициентами.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:
1. Для обобщенных положительных решений полулинейного параболического уравнения с коэффициентами зависящими только от х, удовлетворяющих условию Неймана на границе цилиндра, найден асимптотический ряд при t —> оо и доказана асимптотическая единственность положительного решения с точностью до сдвига в классе экспоненциально убывающих функций.
Доказана асимптотическая единственность положительного решения краевой задачи в цилиндрической области для линейного параболического уравнения ( без младших членов и с коэффициентами зависящими только от х), с нелинейным краевым условием, с точностью до сдвига в классе экспоненциально убывающих функций.
Показано, что положительное решение полулинейного параболического уравнения, с коэффициентами зависящими от х, t и с сублинейным источником зависящим только от и, удовлетворяющее условию Неймана на границе цилиндра, отличается от некоторого решения соответствующего обыкновенного уравнения на экспоненциально убывающую функцию.
Доказано, что решение задачи Коши для полулинейного уравнения теплопроводности без младшпхчленов со стоком |и|м, в случае критического показателя а — 2/га и финитного суммируемого начального условия будет V- " ) ПРИ t -* оо.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть применены при исследованиях в области качественной теории эллиптических и параболических уравнений.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:
Семинар кафедры дифференциальных уравнений "Уравнения с частными производными" под руководством проф. Рад-кевича Е.В., проф. Кондратьева ВА в сентябре 2002 года;
XXIX Международная молодежная научная конференция 'Та-гаринские чтения" (Москва, 8-11 апреля 2003 г.);
Семинар отдела математической физики в Математическом институте им. ВА Стеклова РАН под руководством Гущина А.К., Михайлова В.П, в апреле 2003 года;
- Семинар по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством проф. Каменского ГА и проф. Скубачевского А.Л. в Московском авиационном институте в марте 2004 года.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка цитированной литературы. Главы 1-3 разбиты на параграфы. Общий объём текста - 82 страницы. Список литературы содержит 32 наименования.
