Введение к работе
Актуальность темы. Одним из основных вопросов теории обобщенных решений ( о.р.) задачи Коши для квазилинейных уравнений первого порядка
щ + divx(p(u) — О, (1)
<р(и) = (<ри...,(рп), u = u(t,x), (t,z) Є П = М+ xRn, R+ = (0,-fco) с начальным условием
и(0,х) ~и0(х) (2)
является описание классов существования и единственности решений при различных предположениях о начальных данных и вектор-функции потока <р(и).
Построение нелокальной теории о.р. задачи (1), (2) для гладких функций потока было начато в 50-х годах нашего века в работах Э.Хопфа, П.Лакса, О.А.Олейник, А.Н.Тихонова, А.А.Самарского, И.М.Гельфанда, О.А.Ладыженской, А.С.Калашникова, С.К.Годунова, Б.Л.Рождественского и других, где в основном изучался случай п — 1. Вопросы разрешимости задачи Коши для многомер ных квазилинейных уравнений в классах BV исследовались позднее А.И.Вольпертом.
Общая теория этой задачи в классе измеримых ограниченных функций была построена С.Н.Кружковым в конце 60-х годов. В работах [1,2] введено понятие обобщенного энтропийного решения ( о.э.р. ) задачи Коши (1), (2) и, в гладком случае <^, Є С1 (К), установлены его существование, единственность, свойства непрерывной зависимости от начальных данных.
В последующих работах [3-5] было положено начало исследованию общего случая лишь непрерывных функций потока (рг, когда может наблюдаться нехарактерный для гиперболических уравнений эффект бесконечности области зависимости решения от начальных данных. Как было показано позднее (см. [6]), этот эффект в многомерном случае п > 1 может приводить к неединственности
[1] С.НКружков// ДАН СССР. 1969. Т. 187. № 1. С. 29-32.
[2] С.Н.Кружков// Мат.сборник. 1970. Т. 81. № 2. С. 228-255 [3] С.Н.Кружков, Ф.Хилъдебранд// Вестник Моск. ун-та. 1974. № 1. С. 93-100 [4] С.Н.Кружков, П.А.Андреянов// ДАН СССР. 1975. Т. 220. № 1. С. 23-26. [5] PhBemlan// These de Doctorat d'Etat. Centre d'Orsey. Universite de Paris-Sud 1972. [6] С.Н.Кружков, E.Ю.Панов// ЛАН СССР. 1990. Т. 314. № 1. С. 79-84.
о.э.р. задачи (1), (2). Поэтому, одной из главных проблем нело кальной теории задачи (1), (2) в рассматриваемом случае являето выявление достаточных ( и необходимых ) условий единственно сти о.э.р. Представляет интерес также исследование качественны? свойств о.э.р. Ряд нерешенных проблем сохранился и в "класси ческом" случае, когда п = 1 и функция потока
В течение 80-х годов сформировался ряд серьезных новых подхо дов к исследованию законов сохранения вида (1), в основном бла годаря усилиям Л.Тартара, Ф.Мюра, Р.ДиПерна ( [8-10] ) и др. развившим концепцию компенсированной компактности и опреде лившим ее применение в теории уравнений с частными производ ними. В этом направлении оказалась полезной идея дальнейше го расширения класса решений и рассмотрения ( см. [11] ) ме розничных решений (коротко - м.р.), являющихся отображениями (t,x) —* vt:X со значениями в пространстве вероятностных мер на прямой К ( мерозначными функциями ). М.р. включают в себ.я "обычные" о.э.р., а также пределы в слабой топологии пространства мерозначных функций ограниченных в L последовательностей, возникающих при разумной регуляризации исходной задачи - например, при использовании метода "исчезающей вязкости" Кроме того, эти решения допускают естественную вероятностную интерпретацию. Наибольший интерес представляет исследование задачи Коши для уравнения (1) с мерозначными, в общем случае начальными данными:
^о,х = vl (3)
В работе [12] дальнейшее развитие получили результаты, связанные с кинетической формулировкой о.э.р. задачи (1), (2). В этом направлении актуальны исследования по кинетической формулировке м.р., в том числе разработка на ее основе аппроксимационных методов.
[7] С.Н.Кружков и др.// УМН. 1989. Т. 44. № 4. С.191-202. [8] L.Tartar// Research notes in mathematics, nonlinear analysis, and mechanics. Heriot-Watt Symposium. 1979. V. 4. P. 136-212. [9] F.Murat// Ann. Scuola Norm. sup. Pisa. 1978. V. 5. P. 489-507. [10] R.J.DiPerna// Trans. Amer. Math. Soc. 1985. V. 292. P. 383-420. [11] R J.DiPerna// Arch. Rational Mech. Anal. 1985. V. 88. P,223-270. [12] P.L.Lions, B.Perthame, E.Tadmor// J. Amer. Math. Soc. 1994. V. 7. N 1. P. 169-191
Для консервативных гиперболических систем квазилинейных уравнений построение нелокальной теории обобщенных решений находится в стадии развития.
Начиная с 50-х годов ( P.D.Lax [13] ) наиболее интенсивно изучался случай строго гиперболических истинно нелинейных систем, для которых было определено понятие о.р. и доказано существование о.р. задачи Римана о распаде "малого" разрыва. На базе этого результата J.Glimm в [14] доказал существование о.р. в случае начальных данных из пространства BV, имеющих достаточно малую норму. До сих пор теорема Глимма является единственным сравнительно общим результатом о существовании о.р. Различные варианты схемы Глимма рассматривались позднее во многих работах ( A.Bressan, T.P.Liu и др. ). Единственность о.р. установлена лишь в некоторых частных случаях ( A.Bressan, R. M.Colombo, R.J.DiPerna, P.G.LeFloch, Z.-P.Xin ). В последнее десятилетие получен ряд результатов, связанных с построением о.р. методом компенсированной компактности ( G.-Q.Chen, R.J.DiPerna, P.L.Lions, B.Perthame, E.Tadmor, B.Rubino, D.Serre ), касающихся в основном случая систем двух уравнений. Большое число работ посвящено исследованиям м.р. для систем законов сохранения, а также более общих функциональных решений, содержательная теория которых разработана В.А.Галкиным (см. [15]).
Актуальной остается проблема построения удовлетворительной ( с существованием и единственностью ) теории обобщенных решений задачи Коши - по крайней мере для некоторых, нетривиальных классов, гиперболических систем законов сохранения.
Цель работы. 1) Исследование задачи Коши (1), (2) в классах ограниченных измеримых и мерозначных функций в общем случае лишь непрерывных функций потока.
-
Изучение топологических свойств множеств м.р.
-
Кинетическая формулировка м.р., разработка на ее базе ап-проксимационных методов.
-
Построение нелокальной теории задачи Коши для специальных классов гиперболических систем законов сохранения.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Укажем наиболее важные из них.
1) В случае одной пространственной переменной для квазилинейного уравнения первого порядка со строго выпуклой функцией
[13] P.D.Lax/1 Coram, on part, diff equat. 1957. V.10. P537-566 [14] J.Ghmm// Comrn. Pure Appl. Math 1965. V. 18. P 695-715. [15] B.A Галкин// ДАН СССР. 1990. Т. 310. № 4. С. 834-839.
потока дано положительное решение сформулированной в [7] проблемы единственности обобщенного решения задачи Коши, которое удовлетворяет одному энтропийному условию с некоторой фиксированной строго выпуклой энтропией.
-
Основные результаты нелокальной теории задачи Коши перенесены на случай квазилинейных уравнений на гладком многообразии (возможно - с краем).
-
В общем случае лишь непрерывных функций потока cpt доказано существование о.э.р. задачи (1), (2) и найдено новое достаточное условие его единственности. Показано, что найденное условие является при п — 2 точным для широкого класса уравнений.
-
Установлен результат о невозрастании с ростом "времени" //-норм по пространственным переменным (точнее - их мерознач-ных аналогов) для м.р. задачи (1), (3); выявлено новое достаточное условие регулярности м.р. задачи (1), (3) с регулярными начальными данными. Показано, что в случае нерегулярных начальных данных м.р. нерегулярно и неединственно.
-
Введено понятие сильного м.р. задачи (1), (3), доказаны теоремы существования и единственности сильного м.р., исследованы свойства множества сильных м.р.
-
Для невырожденного уравнения вида
divx(p(u) + ф^х^и), и = и(х), їЄЙ,
где Q - область в Kn , установлена сильная предкомпактность ограниченных множеств м.р.
-
В случае гладких функций потока дана кинетическая интерпретация м.р. и сильных м.р., на базе которой построена аппрокси-мационная схема и обоснована ее сходимость.
-
Построена нелокальная теория о.э.р. задачи Коши для специального класса гиперболических систем законов сохранения, определенных на вектор-функциях со значениями в пространствах симметричных (или эрмитовых) матриц. В случае матриц 2-го порядка введено понятие сильного о.э.р., доказано его существование и единственность. Установлено, что при достаточно общих ограничениях на начальные данные сильное о.э.р. может быть получено методом "исчезающей вязкости".
Методы исследования. При исследовании общего случая лишь непрерывных функций потока используется метод аппроксимации непрерывных нелинейностей гладкими, для обоснования сходимости получающейся последовательности применяется техника апри-
орных оценок. Разработаны методы, связанные со специальным выбором энтропии и пробных функций. Исследование квазилинейных уравнений первого порядка на многообразиях основывается на технике трубчатых окрестностей. В случае двух независимых переменных оказывается полезным метод перехода к потенциалам. Кроме того, в диссертации используются и развиваются такие методы нелинейного анализа как метод компенсированной компактности, метод ії-мер Тартара и др. В частности, предложенный автором метод Н-мер с "непрерывными" индексами перспективен для исследования нелинейных уравнений различной природы.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер, ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по нелокальной теории обобщенных решений квазилинейных уравнений первого порядка и гиперболических систем таких уравнений. Кроме того, полученные результаты могут быть полезны при решении ряда прикладных задач. Так, в 5-й главе рассмотрены приложения теории сильных обобщенных энтропийных решений к некоторым задачам магнитогидродинамики и хроматографии.
Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях, проводимых в МИРАН, Московском, Санкт-Петербургском, Новосибирском университетах, в МЭИ, ОИАЭ (Обнинск), а также в других университетах и математических институтах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах.
МГУ, механико-математический факультет: семинар под рук. академика О.А.Олейник (неоднократно), семинар под рук. проф. С.Н.Кружкова (неоднократно), семинар под рук. проф. А.В.Фурсикова; МИРАН им. В.А.Стеклова: семинар под рук. проф. В.П.Михайлова, проф. А.А.Дезина, проф. А.К.Гущина; МЭИ: семинар под рук. проф. Ю.А.Дубинского; С.-Петербургское отделение МИРАН им. В.А.Стеклова: семинар под рук. академика О.А.Ладыженской; институт SZTAKI Венгерской академии наук (Будапешт): семинар под рук. профессора Р.Керснера; Новгородский гос. университет: семинар под рук. проф. А.П.Солдатова (неоднократно).
Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях.
Международный математический конгресс (Цюрих, 1994 г.); совместные заседания семинара им. И.Г.Петровского и ММО (МГУ, 1994, 1995, 1998 гг.); 3-й международный конгресс по индустр. ипри-
клад, математике (Гамбург, 1995 г.); международная конференция и Чебышевские чтения, посвященные 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева (Москва, 1996 г.); международная конференция по нелинейным дифференциальным уравнениям (Киев, 1995 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 21 работе автора, список которых приведен в конце автореферата; среди них 2 работы написаны в соавторстве со С.Н.Кружковым.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на 254 страницах машинописного текста, состоит из введения и пяти глав, разбитых на 20 параграфов. Список литературы содержит 123 наименования.
