Введение к работе
Актуальность темы. Один из важнейших вопросов, поучаемых в теории нелинейных эллиптических уравнении второго порядка является вопрос о существовании или несуществовании положительных (неотрицательных) решений и об их асимптотических свойствах в областях различной структуры. Эти проблемы встречаются во многих задачах математической физики и рпмановой геометрии [lj,[2].
Такие вопросы являются содержательными и для обыкновенных дифференциальных уравнений. Линейные задачи исследовались еще в классических работах Штурма и Лиувилля. Наиболее полное изложение современного состояния теории обыкновенных дифференциальных уравнений имеется в монографии И.Т.Кигурадзе, Т.А.Чантурпя [3].
Уравнения с частными производными исследовались в работах С.И.Похожаева [4],[5], Бандл и Ессена [1], В.А.Кондратьева и О.А.О-
[1] C.Bandle, M.Essen. On positive solutional of Emdcn equations in conelike domains. Arch.Ratioual.Mech.Anal. 112 (1990), 319-338.
[2] Ni W-M. On the elliptic equation Au + Д-и(п+2)/(п-2), its generalizations and applications i» geometry. Indiana Univ.Math.J. 1982, v.31, №4, 493-529.
[3] И.Т.Кигурадзе, Т.А.Чантурпя. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.Наука, 1990.
[4] С.И.Похожаев. О собственных функциях уравнения Au + Х/(и) = 0, ДАН.СССР.1965, т. 165, №1, 36-39.
[5] С.И.Похожаев. Об эллиптических задачах с суперкритическим показателем нелинейности. Мат.сб.1991, т.182, №4, 467-489.
— 2 —
леґшнк [6], Гпдаса н Спрука [7].
Случай ограниченной области П Є Rn, n > 2, рассматривался С.И.Похожаевым [4]. Им установлено существование положительного решешія уравнения
Ди -f ao|ujp_17x = 0, a0 = const > 0, р = const > 1 (1)
в П, удовлетворяющего условию и — 0 на 9П при р < р, = ^|. Если р > р, и область П выпуклая, то таких решений не существует. Доказательство Похожаева основано на доказанном им тождестве, которое имеет много применений.
В важной работе [7] Гпдас и Спрук рассматривали уравнение (1) в Нл. Доказано, 'что при р < р. это уравнение не может иметь положительных решенпй. При р > р, С.П.Похожаев [5] рассматривал более общее уравнение
Ди + lu^u = /(х), р = const > 1 (2)
Похожасв установил условия существования неотрицательного решения и(х) уравнения (2), а также его асимптотику при х — со.
Наиболее близкой к нашей работе является работа Бандл и Ессена [G], в которой рассматривалось уравнение (1) в конической области. В
[6] V.A.Kondratiev, O.A.Oleinik. Boundary value problems for nonlinear elliptic equations in cylindrical domains. J. Partial Diff.Eqs. Vol.6, №1 (1993),10-16.
[7] B.Gidas, J.Spruck. Global and local behavior of positive solutions of nonlinear elliptic equations. Coinm.Puie.Appl.Math., 1981, v.34, №4, 525-593.
— З —
статье Бандя u Ессена изучается уравнение несколько более общего вида, чем (1), а именно
Ди + r'u' = 0 (3)
где а — const, р = const > 1, г = ( х]
Это уравнение называется обобщенным уравнением Эмдена. Его решения рассматриваются в конусе Л" — такое множество в ЇЇІ", что еслп х Є Л* н A = const > 0, то Arc Є Л". Обозначим через А*' пересечение Л" п единичной сферы. В работе [1) предполагается, что дК' — поверхность класса С2. Рассматриваются решения уравнения (3) в К, такие, что
и = 0 на ЗА'\{0} (4)
Бандд и Ессен рассматривают классические решения задачи (3) ,(4) такие, что и Є С2(Л") ЛС(Л"\{0}). Такие решения могут иметь особенности при 1 = 0. Известно, что при некоторых значениях р положительные классические решения существуют.
Цель работы. Исследование вопросов о положительных решениях нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в конических областях или в областях, которые являются внешностями компактов.
Научная новизна. В диссертации устаноолены условия существования положительных решенпй нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в конических областях плп в областях, которые являются внешностями компактов. Получены такие результаты для задачи Неймана для нелинейных эллштг- ^екпх уравнений второго порядка п
— 4 —
конических областях. Установленные оценки являются точными.
Методы исследования. В диссертации используются результаты теорпп линейных эллиптических уравнений в негладких областях [8], обобщенный пршщпп максимума (минимума) в неограниченных областях, а также результаты о фундаментальных решениях ллнеиных эллиптических уравнений с негладкими коэффициентами [9].
Приложения. Результаты диссертации могут найти применение в исследованиях нелинейных дифференциальных уравнений. Они могут быть также использоваться в задачах фпзпкп и дифференциальной геометрии.
Аппробация диссертадии. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре механико-математического факультета МГУ по уравнениям с частными производными под руководством проф. В.А.Кондратьева и проф. Е.М.Ландпса.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на G параграфов, и списка литературы, содержащего 26 наименований. Общий объем диссертации 102 страниц.
