Введение к работе
Актуальность темы. Важными направлениями современной теории дифференциальных уравнений с частными производными являются исследования качественных свойств решений краевых задач и вопросов существования граничных значений решений. Качественная теория дифференциальных уравнений с частными производными и теория существования граничных значений решений этих уравнений в настоящее время интенсивно развивается. Возникающие здесь задачи относятся к неклассическим задачам математической физики. Эти задачи впервые были рассмотрены в фундаментальных работах В.П. Михайлова. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах А.С. Калашникова, А.К. Гущина, Ю.А.Михайлова, В.А. Кондратьева, О.А.Олейник, Ф.Х.Мукминова, И.М. Петрушко, В.Ю. Шелепова, С.Д. Эйдельмана, О.Р. Кершнера, С.Н. Кружкова.
Исследование граничных свойств решений эллиптических уравнений впервые было начато в работах В.П.Михайлова и А.К. Гущина. Затем ряд результатов для эллиптических уравнений были получены В.Ю. Шелеповым, И.М.Петрушко. В работах В.Ю. Шелепова был развит метод, примененный в работе Burkholder D.L., Gundy R.F. для изучения нетангенциальной максимальной функции и интеграла Лузина гармонической функции в полупространстве. В работах А.С. Калашникова дано общее направление качественного исследования дифференциальных уравнений с частными производными для областей с компактной границей.
Исследования линейных параболических уравнений второго порядка проводились в работах А.К.Гущина, Ф.Х. Мукминова, С.Д. Эйдельмана. В этих работах для начально-краевых задач Коши-Неймана и Коши-Дирихле получены оценки решений в равномерной метрике в зависимости от геометрии области. Дальнейшее развитие эта теория получила для некоторых нелинейных параболических уравнений в работах J.Manfredi, V.Vespri, E.D. Benedetto.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию граничных свойств решений эллиптических уравнений в областях с негладкой границей достаточно общего вида, а также доказательству оценок решений нелинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей. В диссертации разработаны новые методы доказательства оценок для решений нелинейных параболических уравнений.
В последние годы интерес к исследованию граничных свойств решений эллиптических и параболических уравнений значительно возрос в связи с интенсивным развитием математического моделирования процессов, определяемых эллиптическими и нелинейными параболическими
уравнениями, в частности, процессов диффузии в пористых средах и неньютоновской упругой фильтрации.
Цель работы и задачи исследования. Основными целями диссертационной работы являются решения следующих задач:
1. получение метрических соотношений, связывающих р- интеграл
Лузина с нетангенциальной максимальной функцией;
получение метрических соотношений с мерой, удовлетворяющей условию Макенхаупта-Феффермана (условие Ах);
доказательство существования некасательных граничных значений для решения эллиптического уравнения;
доказательство существования L - граничных значений для решения
эллиптического уравнения;
доказательство локальных и нелокальных оценок для решения задачи Копій нелинейного параболического уравнения пористой среды;
получение зависимости решения задачи Копій дифференциального уравнения неньютоновской упругой фильтрации от параметра;
доказательство оценки для решения задачи Коши-Дирихле параболического уравнения быстрой диффузии в областях типа октанта;
получение зависимости решения задачи Коши-Дирихле от начальной функции для уравнения быстрой диффузии.
Методы исследования. Метрические соотношения в главе I получены усовершенствованными методами гармонического анализа. Методы исследования в главе II основаны на итеративном методе Ладыженской-Уральцевой, а также на энергетическом методе Herrero-Benedetto. В работе широко применяются мультипликативные неравенства в неограниченных областях.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:
1. установлены метрические соотношения, связывающие р- интеграл
Лузина с нетангенциальной максимальной функцией;
установлены метрические соотношения с мерой, удовлетворяющей условию Макенхаупта-Феффермана;
доказано существование некасательных граничных значений для решения эллиптического уравнения;
доказано существование L - граничных значений для решения
эллиптического уравнения;
доказаны точные оценки для решения задачи Копій нелинейного параболического уравнения фильтрации;
доказано неравенство типа Гарнака для решения задачи Копій уравнения быстрой диффузии в областях типа октанта;
доказана оценка для решения задачи Коши-Дирихле уравнения быстрой диффузии в областях типа октанта;
установлена зависимость решения задачи Коши-Дирихле от начальной функции для уравнения быстрой диффузии.
Теоретическая и практическая значимость результатов.
Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты, полученные в диссертации, вносят вклад в развитие теории эллиптических и нелинейных параболических уравнений. Эти результаты могут быть использованы для исследования граничных свойств решений общих начально-краевых задач. Теоретическая и практическая ценность результатов диссертации состоит в том, что впервые исследованы граничные свойства решений эллиптических уравнений в областях с негладкой границей достаточно общего вида, а также впервые для решений начально-краевой задачи Дирихле для нелинейных параболических уравнений в областях с некомпактной границей получены точные оценки скорости стабилизации. В последние годы интерес к таким задачам возрос в связи с исследованием математических моделей диффузионных процессов в неоднородных анизотропных средах. Результаты, полученные в работе, могут найти широкое применение как для теоретического исследования граничных свойств решений краевых задач для уравнений в частных производных, так и для решения важных для практики задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на международной конференции «Понтрягинские чтения XX» (г. Воронеж, 2009 г.), на международной конференции «Понтрягинские чтения XXI» (г. Воронеж, 2010 г.), а также на научных семинарах кафедры математического анализа Воронежского государственного университета.
Основные публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[Ю], список которых приведен в автореферате. Из совместных публикаций [1], [2] и [7] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично автору диссертации. Работы [2], [6] и [7] соответствуют списку ВАК РФ.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 116 страниц. Список используемой литературы включает 75 наименований.
