Содержание к диссертации
Стр.
Введение 4
Глава I. Вспомогательные и вводные положения I. Основные понятия и определения, обзор
литературы 14
2. Расщепляемые дифференциально- cj, -разностные
уравнения с сингулярностью 24
3. Приведение граничной задачи для системы
волновых уравнений к дифференциально- а-
разностному уравнению . . 31
Глава П. Представление в окрестности критических
точек решений линейных дифференциально- а-разностных уравнений с сингулярностью 4. Теорема о представлении общего решения уравнения
t*flcfetVt^8ft)xrtV cflOxCatV
5. Асимптотика решений уравнения
ty±(at)+ tHLt)±(i\ oft)x(ab)+ dftWtt-o
Л, j*> > Л при t -* oo 79
Глава Ш. Исследование асимптотики решений квазилинейных дифференциально- о,-разностных уравнений с сингулярностью б. Построение общего решения вырожденной начальной задачи для уравнения
ty±(ai\t^UtMt\^oJC))±m - f (fc,x(t\x(aU
(КЭ^<И 82
- з - 7. Асимптотика решений уравнения
iVat> і^Ж оса), x(at))x(t) = f ft,ccttXxfcfc)), Л,л,<1 , удовлетворяющих условию
ltm xft) =0 121
Глава ІУ. Исследование асимптотики решений линейных дифференциально- а -разностных уравнений с сингулярностью 8. Асимптотические оценки решений уравнения
9i,yu.^ 1 в окрестности точки t-0 124
9. Оценки роста решений систем уравнений и уравнений с несколькими преобразованиями
аргумента 137
10. Асимптотические оценки решений уравнения РхШ+Ь^ШШ* c(ib(atVd(t)ocCt) = о,
o<-0i,juu<.1 при Ь-*-о 143
II. Сводка результатов исследования линейных дифференциально- а. -разностных уравнений
с сингулярностью 145
Список основной использованной литературы 153
_ 4 -
Введение к работе
Дифференциально-функциональные уравнения (ДФУ) все чаще используются в различных областях естествознания и техники для описания динамики реальных систем с учетом их предыстории» Источником таких уравнений являются также многие математические задачи, непосредственно сводящиеся к исследованию ДФУ, в том числе некоторые классы краевых задач для уравнений с частными производными. Поэтому развитие методов исследования ДФУ, изучение свойств их решений, в частности, поиск эффектов, обусловленных наличием отклонения аргумента, имеют большое теоретическое значение и представляют значительный практический интерес.
Одним из важных направлений теории ДФУ является изучение их с позиции функциональных уравнений. Такой подход оказался весьма плодотворным при исследовании свойств решений в окрестности критических точек. Под критическими понимаются точки, в которых отклонение аргумента обращается в нуль. В окрестности критических точек обычно не применим метод пошагового интегрирования, решения могут иметь различные особенности.
С помощью указанного подхода при условии, что коэффициенты при производных не обращаются в критической точке в нуль (регулярный случай) исследованы асимптотические свойства решений линейных уравнений запаздывающего типа [99, 106, 107] , получено представление общего решения линейных и квазилинейных уравнений нейтрального типа [44-47, 49-60, 62, 69, 70] .
В сингулярном случае, когда хотя бы один из коэффициентов при производных обращается в нуль в критической точке, ДФУ - 5 -изучены недостаточно. Имеется сравнительно небольшое число работ, посвященных ДФУ с сингулярностью, в том числе [5-9, 13, 14, 19, 27, 31, 71, 78, 85, ІОІ-ІОб] . Исследованы главным образом вопросы существования и единственности решений, пред-ставимых в окрестности критических точек степенными и обобщенными степенными рядами. В то же время вопрос построения общего решения или по крайней мере получения асимптотики всех решений в окрестности сингулярных критических точек оставался открытым.
Задача установить асимптотику и получить, когда это возмож но, представление решений ДФУ с сингулярностью, исследовать асимптотическое поведение решений при t-^oo поставлена
Ю.А.Митропольским и А.Н.Шарковским в обзоре [36, с. 220J . К этому кругу вопросов относится данная диссертация.
В диссертационной работе изучаются линейные и квазилинейные ДФУ со степенной сингулярностью. Рассматриваются главным образом уравнения с линейным преобразованием аргумента t -» at, относящиеся к так называемым [82 J дифференциально- а.-разностным уравнениям (Д- с^ -РУ): &(<&Л*Ш&(Ъ+с№оиа)+Шъ1$ =о (o.D Pa6ai0^i^«ft,xftWai))x(t")- f ft,xftWai)) (0.2) о^а=й, A,ytL>o .
К таким уравнениям локально (в окрестности критических точек) сводятся ДФУ с преобразованиями аргумента более общего вида.
В диссертации развиваются методы, разработанные для Д- Объектом исследования второй главы, состоящей из 4, 5, являются линейные уравнения вида (0.1). В 4 уравнение (0.1) изучается в окрестности точки t=o при следующих условиях: о<а,<1, о<Ь*1 , otjuL+A $ функция - непрерывно дифференцируема в окрестности точки t -о и $(6) Ф- о ; eft), cUi): TR*—»- 1R - функции, непрерывные в окрестности ТОЧКИ Ь =0 Основным результатом второй главы является теорема 2.1, доказательство которой составляет содержание 4. Теорема 2.1. Пусть сках 1 , о<Ь 1. Для любого решения x(t) уравнения (0.1) существует 1x221 xft) . Более того, каково бы ни было об є 1R , найдет- ся решение х^ії) уравнения (0.1) такое, что lim хАі) = оС. 2. Все решения x(t) уравнения (0.1), для которыхItm ос ft) =0 , в окрестности точки t=o описываются формулой in cl ^ їла Vina / ' f(e) - произвольная непрерывная периодическая функция со свойством 1Г(0Н) "-stgn #&)) 1|"(в) j ^ft) -hm У я'СЯСбСтЕ -6ГТЗ], К^-а^їйй^Г-іїЛ Ш) І а at at - 1 z* c(x) у (ax) dx - \ z~y d(z)y(z) dx cdb at причем fe(t)-o(u4wSdt) при t -* о. 3. Если то xd)sO. x(tt = о ( [z^^dx) при t -^о, Таким образом, если скси^ , о<^уіиИ или а>1, о^уіь<><и , то в окрестности точки t = o построено общее решение уравнения (0.1), зависящее от произвольной постоянной и произвольной 1-периодической или анти-1-периодической функции. Заметим, что если в уравнении (0.1) 0^ ^=/^^ і , то представление его локального общего решения существенно упрощается. В этом случае уравнение (0.1) с помощью замены можно привести к Д- fy-РУ без сингулярности, изученному в работах [49, - 9 -53, 55 ] и утверждения теоремы 2.1 (при 0<^X=/t 4<У<^ ИЛИ СЬ>А , 4*JLL<%. Третья глава диссертации ( б, 7) посвящена исследованию квазилинейных уравнений вида (0.2). В 6 для уравнения (0.2) изучается вырожденная начальная задача х(о)=о . (0.3) Предполагается, что 1) функция oCt9TX,vj непрерывно дифференцируема в области Ur*g- и 8(о,о,о) Ф 0 ; UT#s -* { C"fc,"cr,v) і (K"UT* itjuS, |vK&}, T*>o, 6r>o - некоторые достаточно малые действительные числа. 2) функция fft,xr,v) удовлетворяет в UT*5* усло вию Липшица и f it, о, о)-о . В главе Ш решения задачи (0.2)-(0.3) описаны при любых соотношениях между 0<^Х,уД/^1, o^ci/^1 . Основной ре- зультат третьей главы содержится в б и состоит в следующем. Теорема 3.3. Пусть функции 8ft,tr,v), п,тт,?г) удовлетворяют предположениям D-2). Если а> 1 , о < У * juu ± ^ или о<Си*.і, о< jjl<%<: j , то начальная задача (0.2)-(0.3) имеет единственное решение x(t) =о Если о+&<1 , ex 3^/^1 или <Х>/) , 0^^^^1 , то общее решение начальной задачи (0.2)-(0.3) в некоторой окрестности точки (0,0) можно представить в виде xft)=J^a^Tggdr+GTO(t), - 10 -где ?_ bx|gfao,o)l ?]i^.,/^ Ь-t/hit _ Л ^(9) - произвольная непрерывная периодическая функция со свойством f(9^) = - sign 8fao,o) ^0), Grc.№- Вт 2(LTESET]]4*H[sMl), если o) Если a +o =o при некотором целом m >0, то в вьфажении для ос*(і) появляются логарифмические члены , и частное решение представляется в виде x*rtw№tvtmft"w:int ЗД , (2.12) х=о ^ ' / CLC\m ^"~Гп»<«-»1 О ' (2Л4) причем ряд (2.13), определяющий функцию ^ АО , сходится при ВСЄХ t * оо . б) Если />>-1 , то x*6fO можно представить в ви- де ряда to- V^ef^ OB*(t) = > o6te'xVW . (2.15) Подставляя вьфажение (2.15) в уравнение (2.4), имеем оо о ъ4~* сб-е1^ +0J5 > <,ег =о6е (2.16) j z Z_j х х=о х=о Функции f±() и коэффициенты ^ из соотношения (2.16) можно определить двояко: ftft)--^-ГаЧ) , ьС-еС(а.1)Х , (2.17) ИЛИ '^ 4 * *-1 \аг та = 4^-7Г , 42 =^-а8)\ (2.18) Исследуем полученные ряды на сходимость: -rt+o -&т^^У 1 пч-#и> Л-1 а) ряд N (-ав) е сходится абсолютно при всех Ь>0 , если о<а<ч, с<0 (или а.>4 , |ао|-М ) и является асимптотическим при t-^o рядом, если а>1 ,с>о. 00 t j^c'*44'* /X б) ряд > С-сиВ) е -1 I CLTJ сходится абсолютно при всех t>o , если 0<<Х±А , )а| ^ 4 (или (х>л , схо ) и является асимптотичес- - 28 - ким при t-*-o рядом в случае o С ^-л ± -^-ДА Yj^TP^, если оо, (t^o), если с^о . (2.19) (2.20) в) Если ^=Н и где 9ft)» < , то уравнение (2.4) принимает вид oc(aV аЯоьСЬ) = <>СЇ сх*(і) = oi m), U- a( CLC.-M ' arac+a8 ' в-- ac + i t cl -= , (2.21) (2.22) (2.23) Итак, общее решение уравнения (2.3) при о<ои<1 x(t)=^^t)+tT(^-) , (2.24) где оС - произвольная постоянная, f - произвольная периодическая функция, удовлетворяющая условию х) ДФУ (2.3) при Л-м принадлежит к уравнениям, аналогичным уравнению Эйлера. Другой способ построения решений уравнении такого типа изложен в [78] . да-и) = - scgn 6- у(е)ь *- -^J + 4 a>tmft"M lut Ш , o x=o (-Ob) e , ^>4, ex о J (2.25) Л/і\^ -і v av f-atf e* , ^>i,oo,ft^o); ac /f aac+a ЇА-Н, 8^- О.С-И ' .-ac ac Int t CL ІзаСЬ о>н, 8=- ac + i Из представления (2.24), (2.25) видим, что свойства решений уравнения (2.3) при t^o существенно зависят от знаков параметров уравнения. 2. Если в уравнении (2.2) ^=у^, Поскольку решением функционального уравнения t*[z(atVBz(t)] -о согласно [48] является функция «-'"tftS. 1 Ьііві І21ІСІ1-І21ІСІ ^ _ где v=—-= = = , f - произвольная периоди- ческая функция со свойством 'jpfe+'O — stgn 8-^(0) «, = - bign.-g-f(9) , то приходим к семейству неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений А(Ї)+{І) cx(tt = І Т(ЁЙ (2.27) Общее решение уравнения (2.27) имеет вид АИ^Г/ О-0^/Ь^\ ^-AcU 1 ас()«е ^+\г tfra6 ^J' (2-28) где об - произвольная постоянная . Из (2.28) получаем «да.Ле t^tT(-bL)+QW, (2.29) - ЗІ - где QftV-^e Jt є [П(і^ТУА'«.30) Из записи (2.29) можно получить информацию о решениях уравнения (2.26) при конкретных значениях параметров. -a.c+'f Заметим, что если 9ь>/\ , то Q(t) - oft ) при t -**о ; если о-с^-н и |]^а , то Q(t) = 0(t) при -^ о ; если СК = -1 и J 61 j а act) = ort) при і-о Рассматривая уравнение (2.1) как возмущенное по отношению к уравнениям (2.3), (2.26), можно ожидать, что локально (в окрестности точки t =о ) решение oc(t) уравнения (2.1) обладает свойствами, аналогичными установленным выше для уравнений (2.3), (2.26). Результаты данного параграфа полезны в последующих главах работы при исследовании уравнений, не являющихся расщепляемыми. 3. Приведение граничной задачи для системы волновых уравнений к дифференциально- о. -разностному уравнению Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений с частными производными гъу _^ ЭУ эх at (з.і) Как известно, системы вида (3*1) во многих случаях могут быть использованы в качестве математических моделей электрических, механических, гидродинамических, акустических систем. Например, в работе [40] рассмотрена цепь, состоящая из отрезка длин- . ной линии и туннельного диода х^ (рис. I.I) ->- t(x,t) Рис. І.І. Предполагается, что в линии не происходит падения напряжения. В этом случае связь между напряжением 1г(х,) и током t(fx,t) в любой точке длинной линии описывается системой волновых уравнений r dv в _ і дъ Э*_ —С- (3.2) где L и С погонные индуктивность и емкость линии. Граничные условия (линия замкнута на одном конце) заданы следующим образом: lr(ott) -о, t(e,fl-ffr(e,tVE)+c Э1Ц) , Вместо туннельного диода, который управляется напряжением, можно воспользоваться также элементом с отрицательным сопротивлением, управляемым током (например, диодом типа р-л-р-л. , диодом с двойным смещением, разрядной лампой или электрической дугой и т.п.). В этом случае длинная линия должна быть разомкнута на конце ос=о . - 33 -где - постоянное напряжение смещения, 1= f(V) - вольт-амперная характеристика, С0 - параллельная емкость туннельного диода. В работе [40] показано, что если напряжение смещения устанавливается в области отрицательных сопротивлений, то в линии возникают автоколебания. Эти колебания можно трактовать как периодические решения волнового уравнения (3.2) с нелинейными граничными условиями (при отрицательных потерях). Таким образом система (3.2) с граничными условиями (3.3) является математической моделью автогенератора с распределенными параметрами. В указанной статье [40] , а также в ряде других работ, из которых отметим [28, 30, 77, 86, 95, III] , решение краевой задачи для линейной гиперболической системы уравнений с частными производными, где нелинейности входят в граничные условия, сводится к исследованию нелинейного разностного или дифференциально-разностного уравнения. Такой анализ можно осуществить при помощи метода, предложенного в 1936 г. А.А.Виттом [з] . Проиллюстрируем сведение граничной задачи для гиперболической системы уравнений с частными производными к Д- fy- -РУ на следующем примере: для системы волновых уравнений dir(x,t) __ , 3tfx,i) ах dt (3#2) Эос ді где о^осїН , t >о , зададим граничные условия (на концах х= о, х = л ) следующим образом а) u(o,t) =r0z[o,t) (З.б) б) UM-^bd^ + J&p- , (3.7) - 34 -где Q(ft изменяется по закону Преобразуем систему (3.2) к виду (3.8) = О . ^ Эг 4 Эчг = at l эх ду j_ Qt Dt + С Эх (3.9) Умножая второе из уравнений системы (3.9) на величину ±\]у (волновая проводимость) и складывая полученные произведения с первым уравнением, переходим к системе at \/ьс Эх 4 aft- v] (3.10) Введем обозначения (ЗЛІ) t (x,ti = -j ( it fofc) + ьг(ос,Ь)) Система (ЗЛО) в обозначениях (ЗЛІ) имеет вид (3.12) ^ э^=о. at * Де ах ~ дЬ \[Ц 0х (3.13) - 35 -Равенства (3.13) означают, что полные производные функций тгСос,) , ьґ(хЛ) равны нулю вдоль направлений, соот- ведственно -t - const, х + —=t = const . Следовательно, функции тт(ос,), ілґ(х9ї) постоянны вдоль характеристик х-——:^ = const и, соответственно, х+-=-- = const. Таким образом для любого t >о имеют место соотношения (рис. 1.2, 1.3): trfet + ^C) = tr(4,t+2\/Lc) , (3.14) **ЙСЬсий* W(49t)~ ьг(о,і+)ІЇС) . . (3.15) Рис. 1.2. Рис. 1.3. Граничные условия (З.б) в силу обозначений (3.12) записы ваются следующим образом а) \^[_ъ(оЛ + Щ-ъг(оМЩ~\ = = 4-^[trfo,t*VLCVw(o.b^C)] , а(о,ї+№) = ^r(o,t + \/LC) (3.16) - 36 -Из (3.16) с учетом соотношений (3.14)-(3.15) имеем uat + 2\/LC) = R0 ы(4,Ь), (3.17) ..-5-^ R. =—= (3.18) Далее, из условия (3.7) следует б) -^[тг^Д+яЛс)*- 1дГ(4,і+2\/Ес)] » с-т r^[wat+2>/iJC)-'ur(4,tt2^)] . (3.19) Принимая во внимание соотношение (3.17), из (3.19), получаем l/--Г Ro ъг(ф + v6f,t+ 2\/lc)1 - с, ft +2Лс) x I dz dt J rA J} Положим ілГ(4,Ь} = zffc) . Обозначим 2\/іХ -^,|^^. Тогда уравнение (3.20) принимает вид + Z(tt[fR.-] =о -J + (3.21) Имея решение z-(t) уравнения (3.21), по формулам tte9t)«4-(Rezft-(x-0^c)+ ъСи (ос-ОЛс)) ar№t)-^yE^Re2(t-(»H)^)-ift+^c-f)\/LC)) - 37 - можно найти решения i6c,t), iroc,i) граничной задачи (3.2), (3.6)-(3.8). Замена переменных zft+«0 = %(еи<с)= y.(a.z'), а=ео6>о , ±(t+c)= ах и (ах) приводит уравнение (3.21) к виду Причем t -» оо , если і -* ПОСКОЛЬКУ ^(111^+/)'^ , «.7-1 в силу условия (3.8), приходим к исследованию уравнения гу уСсл^+г^ЦСх)* си.(ах)+ d,u(x) =0 , где Э\ >о , п -2n/lC \Zc"+r«» -2>/LC/ /~ , \ 6-е — , с^е (\/r+?J, - 38 -В заключение отметим работу [20] , в которой к решению линейного Д- а. -РУ нейтрального типа с сингулярностью приводит изучение собственных колебаний в волновой системе с периодически изменяющимися граничными условиями (такими системами являются, например, оптический резонатор и струна с колеблющейся границей, балки с переменной нагрузкой на конце, гидро- и газодинамические системы переменной длины, а в радиофизике и радиоэлектронике -применяемые в информационных, вычислительных и измерительных устройствах волновые системы с периодически изменяющейся емкостью на границе).Похожие диссертации на Асимптотическое поведение решений дифференциально- q- разностных уравнений в окрестности критических точек
