Введение к работе
Актуальность темы. Теория переопределенных систем уравнений в частных производных с регулярными коэффициентами связана с именами Якоби и др. Одними из первых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые в настоящее время достаточно хорошо изучены, являются системы в полных дифференциалах.
Простейшей переопределенной системой дифференциальных уравнений в частных производных можно считать систему
Ux=P(x,y), Uy=Q(x,y)
условие Ру = Qx является необходимым и достаточным для разрешимости этой
системы. При его выполнении
dU = Р(х, y)dx + Q(x, y)dy
является полным дифференциалом, и функция U(x,y) восстанавливается интегрированием. Аналогично обстоит дело с полным дифференциалом в трехмерном и n-мерном случаях.
1 9 "3
Академиком АН РТ Л.Г. Михайловым положено начало изучению некоторых систем в полных дифференциалах с сингулярными точками первого порядка.
Получению многообразия решений и исследованию краевых задач для линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа второго порядка, а также исследованию некоторых линейных переопределенных систем первого и второго порядка с одной и с двумя сверхсингулярными линиями и сверхсингулярными точками посвящена монография академика АН РТ
Михайлов Л.Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями. Душанбе, Дониш, 1986г, 116стр.
Михайлов Л.Г. Об одном свойстве сингулярных дифференциальных уравнений. ДАН. России, 1991г, т. 321, №4, стр. 681-686.
3 Михайлов Л.Г. О некоторых переопределенных системах уравнений в частных производных с сингулярными точками // ДАН, России, 2004, Т. 398, №2, С. 1-4.
Раджабова Н. в которой способы, разработанные им для гиперболических уравнений и гиперболических систем с сингулярными коэффициентами, распространяются для гиперболических уравнений и систем со сверхсингулярными коэффициентами.
В 1994 году профессором Э. Рузметовым была опубликована монография "Дифференциальные уравнения с параметром и их приложения к исследованию некоторых переопределенных систем уравнений в частных производных". В ней получены интегральные представления многообразия решений некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулрными линиями, плоскостями и точкой.
Некоторые классы переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами изучены в работах Л.Г. Михайлова, М.В. Коровина, Раджабова Н., Рузметова Э, Пирова Р., Шарипова Б., Шамсуддинова Ф.М. и других авторов.
В основном большинство имеющихся работ посвящено переопределенным системам уравнений в частных производных первого порядка с регулярными коэффициентами, а также с сингулярными линиями на плоскости.
Имеются также некоторые работы, посвященные переопределенным системам уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой на плоскости.
Что касается многомерных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных с сингулярными и сверхсингулярными областями, а также с сингулярной точкой, то они, кроме некоторых случаев, изучены мало.
4 Раджабов Н. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами. Душанбе, 1992.-236стр.
В связи с этим, проблема получения многообразия решений и исследование задачи с начальными данными для переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой в плоском и многомерном случаях является актуальной.
Настоящая диссертационная работа посвящена этой проблеме. В работе сначала изучается переопределенная система двух линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в сингулярном и сверхсингулярном случаях, когда присутствующие коэффициенты в рассматриваемых системах в сингулярной точке не обращаются в нуль.
Во введении дается краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность темы и изложены основные результаты диссертации.
Основной целью настоящей диссертации является получение многообразия решений и изучение свойств полученных решений переопределенных линейных систем двух и трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Настоящая работа посвящена исследованию ранее неизученных двухмерных переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в прямоугольнике.
Кроме того, исследована ранее неизученная переопределенная система трех дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой в параллелепипеде, задача исследования которой сводится к исследованию переопределенных систем двух дифференциальных уравнений с сингулярной и сверсингулярной точкой.
Методика исследования.
В диссертации применены современные методы, разработанные для
переопределенных систем сингулярных и сверхсингулярных
дифференциальных уравнений в частных производных, метод интегральных пр е д став л ений.
Научная новизна и практическая значимость. В диссертации исследуется переопределенная система двух и трех дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярной и сверхсингулярной точкой. Результаты, полученные в работе, являются новыми. Они могут быть использованы, при решении конкретных задач, в механике и физике.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на городских семинарах, руководимых профессором Н.Раджабовым "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных" при кафедре математического анализа и теории функций Таджикского национального университета. Кроме того, работа была доложена на Международном Российско-Болгарском симпозиуме "Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики", Нальчик-Хабез, 2010.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 публикациях автора, список которых приведен в конце диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, библиографического списка (48); она изложена на 108 страницах.
Содержание диссертации. Во введении обосновывается актуальность темы, исследованной в диссертации, формулируется цель исследования, приводится краткий обзор работ, а также приводятся основные результаты исследования.
