Введение к работе
Актуальность темы исследования автономных дифференциальных систем на плоскости, правые части которых представляют собой многочлены, обусловлена их фундаментальной ролью в теории дифференциальных уравнений и широким использованием таких систем в качестве математических моделей. Поэтому исследование различных аспектов, связанных с их математической структурой, является важной актуальной задачей, представляющей теоретический и практический интерес.
Существенный вклад в их изучение внесли ряд отечественных и зарубежных исследователей: А.Ф. Андреев, В.В. Амелькин, А.Н. Берлинский, Е.П. Волокитин, В.Н. Горбузов, М.В. Долов, Т.А. Дружкова, Ю.С. Ильяшенко, Н.А. Лукашевич, А.П. Садовский, К.С. Сибирский, Черкас Л.А., В.М. Чересиз, Л.В. Шахова, Ш.Р. Шарипов, И.В. Хайрут-динов, H.W. Broer, D. Cozma, V.A. Gaiko, F. Dumortier, J. Libre, V. Pu-tuntica, A. uba, D. Schlomiuk, N. Vulpe и др.
Адекватное построение схемы поведения траекторий динамических систем существенно зависит от уровня развития различных инструментов качественной теории, таких как метод изоклин (метод Еру-гина Н.П.), методы Бендиксона и Пуанкаре, Ляпунова, Фроммера и др. В качественной теории дифференциальных уравнений важная роль отводится таким объектам как изоклины и оси симметрии. Использование этих объектов вносит методологические аспекты при исследовании поведения траекторий. В фундаментальной работе В.В. Немыцкого указывается на широкие возможности качественного исследования дифференциальных систем с помощью главных изоклин.
Среди изоклин системы существенную роль играют прямолинейные изоклины. В пользу актуальности исследования вопросов, связанных с прямыми изоклинами автономных дифференциальных систем на плоскости, говорит и тот факт, что задача нахождения координат состояний равновесия даже квадратичной системы становится трудно разрешимой в общем случае. Знание уравнения хотя бы одной прямой изоклины делает эту задачу реально разрешимой. При этом: а) может быть полностью решена задача определения местоположения всех особых точек системы; б) существенно упрощается решение вопросов, связанных с взаимным расположением периодических решений; в) появляются возможности в оценке сверху числа особых точек второй группы и установлении топологической структуры сложной особой точки.
Наряду с прямыми изоклинами большой интерес представляет изучение поведения траекторий полиномиальных дифференциальных систем в бесконечно удаленных частях фазовой плоскости. Он связан, в частности, с тем, что в настоящее время нет законченного исследования особых точек кубических дифференциальных систем на экваторе сферы Пуанкаре.
Несмотря на то, что прямые изоклины, оси симметрии и преобразования Пуанкаре давно известны и широко используются, их систематическое исследование по отношению к кубическим системам не достаточно полно.
Дополнением и дальнейшим развитием этих вопросов служит данное диссертационное исследование.
Цель работы. Развитие методов качественного интегрирования полиномиальных дифференциальных систем на плоскости, основанных на использовании прямолинейных изоклин, осей симметрии и сферы Пуанкаре.
Задачи работы:
1. Оценка сверху числа параллельных между собой прямых изоклин
кубической системы.
Оценка общего числа прямых изоклин кубической системы и числа таких же изоклин, но проходящих через отдельную особую точку.
Полное качественное исследование квадратичных и кубических систем, имеющих оси симметрии векторного ПОЛЯ.
Изучение поведения траекторий кубических систем в бесконечно удаленных частях фазовой плоскости.
Методы исследования. В работе используются: методы общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений, методы качественной теории, в частности теория бифуркаций, метод двух изоклин Н.П. Еругина. При изучении топологической структуры особых точек в бесконечно удаленных частях фазовой плоскости используются преобразования Пуанкаре и метод Бендиксона. Для визуализации результатов качественного интегрирования конкретных дифференциальных полиномиальных систем использованы компьютерные программные пакеты «Maple 10» (Waterloo Maple Inc., 2005), «ADIS» (Нижегородский государственный университет, 2004), «TraX» (Воронежский государственный университет, 2003).
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.
В данной работе:
Получены оценки сверху числа прямых изоклин и числа параллельных между собой прямых изоклин кубической системы.
Разработана теория осей симметрии N- и 5-типа. Доказано, что векторное поле, определяемое системой дифференциальных уравнений с полиномами п-ой степени в правых частях, не может иметь чет-
ного числа осей симметрии Л/-типа при п=2т, тє N. В зависимости от числа осей симметрии N- и 5-типов найдены специальные формы записи квадратичных и кубических систем.
Проведено качественное исследование в целом квадратичной системы, имеющей одну или три оси симметрии, а также кубической системы, имеющей три или четыре оси симметрии.
Проведено полное исследование топологической структуры бесконечно удаленных особых точек кубической системы при условии, что система, полученная в результате переноса начала координат в исследуемую особую точку на экваторе сферы Пуанкаре, имеет невырожденную линейную часть.
Практическая и теоретическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты о прямых изоклинах и осях симметрии позволяют достаточно эффективно решать задачу о расположении траекторий полиномиальных дифференциальных систем в целом и в окрестности отдельно взятой особой точки. Знание распределения особых точек на экваторе сферы Пуанкаре дает возможность сделать выводы о поведении траекторий в ограниченной части фазовой плоскости.
Работа имеет теоретический характер, результаты которой могут быть использованы в качественной теории полиномиальных дифференциальных систем на плоскости, при исследовании различных математических моделей из физики, химии, биологии, экологии, экономики и др., а также при чтении спецкурсов по теории дифференциальных уравнений в вузах.
Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались на международной конференции «Четвертые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям» (Минск, 2005 г.), V и VI Всероссийских научных конфе-
ренциях молодых ученых «Наука, образование, молодежь» (Майкоп, 2008, 2009 гг.), международной конференции к 100-летию со дня рождения академика Н.Н. Боголюбова. (Черновцы, Украина, 2009 г.), Всероссийской конференции «СамДиф-2009» (Самара, 2009 г.), XLVI Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии (Москва, РУДН, 2010 г.), Международной научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «ПЕРСПЕКТИВ А-2010» (Нальчик, КБГУ, 2010 г.), на научных семинарах кафедр математического анализа и теоретической физики АГУ (Майкоп, 2004-2010гг.), XXV Воронежской весенней математической школе «ПОН-ТРЯГИНСКИЕ ЧТЕНИЯ - XXII» (Воронеж, ВГУ, 2011).
Публикации. По теме диссертации автором (лично и в соавторстве) опубликовано 18 работ. Работы [11-14] и [17] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ. Из совместных работ [1, 6, 7, 9, 13, 14] в диссертацию включены только результаты, полученные автором.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 пунктов, списка литературы, содержащего 96 наименований, приложения. Общий объем работы - 138 страниц.
