Введение к работе
Актуальность темы. Сравнительно недавно, в 7986 году, вышла на английском языке книга китайских математиков „Теория предельных циклов" под общей редакцией Йе Янкиана. В книге собраны все важнейшие результаты по предельным циклам за последние десятилетия. Появление згой книги обусловлено несколькими причинами. Во-первых, у предельных циклов - юбилей: они были открыты Акри Пуанкаре ровно сто 'лет назад и описаны в его статьях, составивших книгу „Интегральные кривые, определяемые дифференциальинжи. уравнениями" (1881 - 1886). Не успев появится на свет, предельные циклы вызвали много проблем, главная из которых уже в 1900 году была оформлена Давидом Гильбертах в его иеападцащр проблему, а именно:
Каково максимальное число и взаимное расположение предельных циклов уравнения
йу/бх = с^(х. у)/Рп(х, у), (f) где Рп и ^ - полиномы действительных переменных г, у с действительными коэффициентами и степени не выше п ?
Много сил решению этой проблемы отдали Ивар Бендиксон, Генри Лрлак, Паке Фроммер и другие ввдащиеся математики, но она так и осталась нерешенной (дане в случае простейших квадратичных систем).
Во-вторых, в семидесятые - восьмидесятая года, как и полвека назад, во времена Ван-дер Поля, А. А*. Андропова, 4. Лъенара, обострился интерес практики к теории предельных циклов: появилась потребность в более глубоком изучении различных бифуркаций, аттракторов, вопросов устойчивости движения в математических моделях природных явлений и технологических процессов. И наконец, именно в эти года {1979 - 1980) китайским математикам удалесь построить конкретные примеры квадратичных систем, имевдих не менее четырех предельных циклов. Эти примеры имели большой резонанс в научном мире. И так как они давали циклы в расположении (3, 1) (по крайней мере три вокруг одного и один вокруг другого фокуса, с точностью до четного их числа), то возникали другие вопросы: нет ли систем с располокением (2, 2), нельзя ли построить примеры спятью и более циклами, каково их все-таки максимальное число? к после того, как в 1962 году D. С. Илъяшенко обнаружил пробел в доказательстве Теорелы Салака о конечности числа предельных циклов полиномиальных систем, встал вопрос: конечно ли число циклов хотя бы дав квадратичных систем? Параллельно к этому вопросу подошли и американские математики. Только этот вопрос и получил окончательное решение: Ю. С. Илъженко и Р. Валон доказали, что число предельных циклов квадратичных систем конечно.
Но несмотря на некоторые достигнутые в последнее время успехи, шестнадцатая проблеха Пиьберта, похоже, далека от своего окончательного решения. Нужен тонкий аналитический аппарат, чтобы оценить количество кратных циклов, которые могут появиться в системе при изменении некоторых ее параметров из так называемого „уплотнения траекторий". Нужны тща-
тельные аналитические исследования для решения вопроса о совместном существовании предельных циклов вокруг различных фокусов, так как нет, вообще говоря, точных алгебраических условий образования сепаратрисных циклов (петли, двухуголь-ника и т. д.), из которых появляются или в которых исчезают предельные циклы. О необходимости применения аналитического подхода - подхода , разработанного еще А. Н. Ляпуновым и Г. Докжод, - говорят и упомянутые уже работы по проблеме конечности, и признание в „Теории предельных цшаоб" заслуг математиков пятидесятых годов (Н. Н. Баугпит, Н. П. Вругияа, И. Г. Петровсного и др.). которые активно использовали аналитический аппарат для глубоких качественных исследований. И неслучайно, наверное, Н. П. Еругин дополнил 3-е издание своей монографии „Книга для чтения ао общеху курсу дифференциальных уравнений" новыми главами по конструктивной теории предельных циклов к возможностям ее применения для качественных исследований, а в /982 году издал другую монографии -„Проблемі Ршюна", в которой показал, как еще в тридцатые годы реиил сначала Проблелу Пуанкаре, а потом, перед самой войной, и Проблему Рихана. Работы Н. Я. Вругияа могут оказаться тем мостиком, который связывает нас с истоками качественной теория дифферинциальных уравнений. Они проникнуты духом классической математики XIX века, духом творчества А. Пуанкаре и A. М. Ляпунова, И. Бендиксона и Г. Долана. Так что, сознавая актуальность тематики предельных циклов, наиболее актуальной задачей для нас мокно считать осмысление работ наших великих предавственников, развитие и совершенствование созданных ими методов и на этой основе - поиск новых идей и подходов. Может, нам улыбнется удача?
Целью данной работа, является изучение различных бифуркаций предельных циклов, квадратичных систем вида (1) (n = 2) и, правде всего,, бифуркаций-, связанных с образованием сепа-ратрисшх циклов. Они носят нелокальный характер и этим принципиально отличаются ох известной локальной бифуркации Андроно&а - Хопфа.
Мзтодика исследований. В- диссертации используются классические метода качественной., теории дифференциальных уравнений и методы теории, бифуркаций динамических систем на плоскости.
Научная новизна. Новыми, в< диссертации являются- следующие результаты:
иа основании латода двух изоклин разработан, новый подход к классификации квадратичных систем;,
используя данный метод, получен канонический вид систем с параметрами, поворачивающими векторное поле;
с помощью этих параметров, опираясь на системы с „центром", дана полная классификация сепаратрисных циклов квадратичных систем;
изучены различные бифуркации предельных циклов, разработан новый численно-аналитический подход к построению систем с определенным количеством предельных циклов;
с помощью этого подхода, в частности, построена система, имеющая по крайней мере четыре предельных цикла в расположении (3, 1).
Практическая ценность. Приведенные в диссертации подхода и получтилэ результаты могут быть использованы для более общих полиномиальных систем и для исследования конкретных математических моделей в физике, химии, биологии.
Апробация работа. Результаты диссертации докладывались и обсувдались на:
7-й Областной конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Гродно, 1983), Всесоюзной школе по вычислительным методам и математическому моделированию (їїияск-, 1984), 6-й и 7-й Всесоюзных конференциях па качественной теории дифференциальных уравнений (Иркутск, 1986 и Рига-, 1989), Республиканской конференции по применению информатики и вычислительной техники (Нинск, 1989), 6-й конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992), математической конференции, посвященной 200-летию со дня рождения Н. И. Лобачевского (Минск, 1992), семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений в МРТИ (Нинок, 1992), 2-й ежегодном семинара по нелинейным явлениям в сложных системах (Полоцк, 1993) , семинаре кафэдры дифференциальных уравнений БГУ (Минск, 1993).
Публикации. Основное содержание диссертаций опубликовано в дЪенайирли. печатных работах, список которых приведен в конца автореферата.
Структура и объец работы.. Диссертация состой? «з введения, трех глав и списка цитированной литературы (Н2 найменований). Общий объем работы - 100 страниц маввшопйсаого текста, в ней U рисунков и 1 таблица.
